合肥八中2015-2016学年上学期高三第二次段考数学（理科）参考答案一、选择题: DADBD AAABB DC 二、填空题:13. 如果复数)2)(1(i ai ++的实部和虚部相等，则实数a 等于 .31 14.设,0,()ln ,0,x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则1(())3f f = 31 .15. 将函数)0)(3sin(2)(>+=ωπωx x f 的图象向右平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为 ．216. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin BA的取值范围是 ．【答案】 三、解答题：17.（本小题满分12分）已知函数2()21(),()()f x x ax a f x f x '=++∈R 是的导函数． （I ）解关于x 的不等式()()f x f x '>；（II ）若[2,1]x ∈--，不等式()()f x f x '≤恒成立，求a 的取值范围. 【解析】（I ）①当0a =时，原不等式的解集是(,1)(1,)-∞⋃+∞； ②当0a >时，原不等式的解集是(,12)(1,)a -∞-⋃+∞；③当0a <时，原不等式的解集是(,1)(12,)a -∞⋃-+∞； 6分 （II ）因为()()f x f x '≤，所以2212(1)x x a x -+-≤，又因为21x --≤≤， 所以2212(1)x x a x -+-≥在[2,1]x ∈--时恒成立，因为221132(1)22x x x x -+-=-≤，所以32a ≥． 12分 18． （本小题满分12分）已知角C B A ,,为ABC ∆的三个内角，其对边分别为c b a ,,，若)2sin ,2cos(A A -=m ， )2sin ,2(cos A A =n ，32=a ，且21=⋅n m ．（I ）若ABC ∆的面积3=S ，求c b +的值； （II ）求c b +的取值范围．【解析】（I ）)2sin ,2cos (A A m -=，)2sin ,2(cos A A n =，且21=⋅n m .212sin 2cos 22=+-∴A A ，即21cos =-A ，又),0(π∈A ，32π=∴A 又由3sin 21=⋅=∆A bc S ABC ，4=∴bc由余弦定理得：bc c b bc c b a ++=⋅-+=2222232cos 2π 2)(16c b +=∴，故4=+c b 6分（II ）由正弦定理得：432sin32sin sin sin ====πA a C c B b ，又3ππ=-=+A C B ，)3sin(4)3sin(4sin 4sin 4sin 4ππ+=-+=+=+∴B B B C B c b30π<<B ，则3233πππ<+<B .则1)3sin(23≤+<πB ， 即c b +的取值范围是].4,32(12分19. （本小题满分10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)． (I)求数列{a n }的通项公式；(II)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足不等式T n －22n －1>2 016的n的最小值．【解析】（I ）21n n a =-； 5分 （II ）10. 10分 20. （本小题满分12分）已知函数)(ln 2)(),()(R b x xbx g R a ax x f ∈+=∈=，)()()(x g x f x G -=，且 (1)0G =，()G x 在1x =处的切线斜率为0. （I ）求,a b ；（II ）设/1()2,n a G n n=+-求证：121111118n a a a +++< 【解析】（I ）()2ln (0)bG x ax x x x=-->，由(1)0G = 得：0a b -=/22()b G x a x x=+- 又/(1)0G =，则2a b += 1,1a b ∴==. ……5分（II ）/212()1(0)G x x x x=+->，/1()2,n a G n n =+- 21n a n n ∴=--2111n a n n ∴=--，易证：1n =时，111118a <；2n =时12111118a a +<；3n ≥时，221111111()12(2)(1)321n a n n n n n n n n =<==--------+ 121111*********(1)34253621n a a a n n ∴+++<-++-+-+-++--+ 11111111()361118n n n =---<-+. ……12分21. （本小题满分12分）已知数列{}n a 中，3,221==a a ，其前n 项和n S 满足),2(12*11N n n S S S n n n ∈≥+=+-+ （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设n a n n n b 2)1(41⋅-+=-λ(λ为非零整数，*N n ∈），试确定λ的值，使得对任意 *N n ∈，都有n n b b >+1成立．【解析】（I ）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， 即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+． …………5分（II ）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立， ∴()()112114412120n n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴()11343120n n n λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．（ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-． 即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>． …………12分22. （本小题满分12分）已知a 为常数，R ∈a ，函数x ax x x f ln )(2-+=，x x g e )(=．（e 是自然对数的底数）（Ⅰ）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，设切点为),(00y x P ，试求0x 的值； （Ⅱ）令)()()(x g x f x F =，若函数)(x F 在区间]1,0(上是单调函数，求a 的取值范围． 【解析】（I ）xa x x f 12)(-+='（0>x ）． 所以切线的斜率0002000ln 12x x ax x x a x k -+=-+=，整理得01ln 020=-+x x .显然，10=x 是这个方程的解.…2分又因为1ln 2-+=x x y 在),0(+∞上是增函数， 所以方程01ln 2=-+x x 有唯一实数解．故10=x ．…4分（Ⅱ）xe xax x x g x f x F ln )()()(2-+==，x e x x a x a x x F ln 1)2()(2+-+-+-='．设x x a x a x x h ln 1)2()(2+-+-+-=，则a x xx x h -+++-='2112)(2．易知)(x h '在]1,0(上是减函数，从而a h x h -='≥'2)1()(． （1）当02≥-a ，即2≤a 时，0)(≥'x h ，)(x h 在区间)1,0(上是增函数． 0)1(=h ，0)(≤∴x h 在]1,0(上恒成立，即0)(≤'x F 在]1,0(上恒成立． )(x F ∴在区间]1,0(上是减函数．所以，2≤a 满足题意． …8分 （2）当02<-a ，即2>a 时，设函数)(x h '的唯一零点为1x ，则)(x h 在),0(1x 上递增，在)1,(1x 上递减. 又∵0)1(=h ，∴0)(1>x h ． 又∵0ln )2()(2<+-+-+-=----a a a a a e e a e a e e h ，∴)(x h 在)1,0(内有唯一一个零点x '，当),0(x x '∈时，0)(<x h ，当)1,(x x '∈时，0)(>x h .从而)(x F 在),0(x '递减，在)1,(x '递增，与在区间]1,0(上是单调函数矛盾． ∴2>a 不合题意． 综合（1）（2）得，2≤a ． …12分。
湖南省郴州市2017届高三第二次教学质量监测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知，是虚数单位.若与互为共轭复数，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32.已知均为单位向量，且33(2)(2)2a b a b +-=-•，则向量的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ．3.已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ． 4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S h =+下上•）. A ． 2寸 B ．3寸 C. 4寸 D ．5寸5.考拉兹猜想又名猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果（ ）A ．4B ．5 C.6 D ．76.已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（ ）A ．B ． C. D ．27.已知函数是奇函数，当时，（且），且，则的值为（ ）A ．B ． C. 3 D ．98.设关于的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点，满足.则的取值范围是（ ）A ．B ． C. D ．9.将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角.则四面体的内切球的半径为（ ）A ．1B ． C. D ．10.已知为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点为双曲线虚轴的一个顶点，过的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若，则此双曲线的离心率是（ ）A ．B ． C. D ．11.在中，分别是边的中点，分别是线段的中点，分别是线段*11,(1)n n A A B B n N n --∈>，的中点， 设数列满足：向量*()n n n n B A a CA b CB n N =+∈，有下列四个命题，其中假命题是：（ ）A ．数列是单调递增数列，数列是单调递减数列B ．数列是等比数列C.数列有最小值，无最大值D ．若中，，，，则最小时，12.若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ）A ．B ． C. D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若命题 “020223xx R a a ∃∈-≤-，”是假命题，则实数的取值范围是________. 14.两所学校分别有2名、3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是__________.15.过点的直线与圆交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程为_________.16.已知函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，给出下列四个命题：①函数的图象关于直线对称；②函数在区间上单调递增；③函数的最小正周期为；④函数的值域为.其中真命题的序号是____________.（将你认为真命题的序号都填上）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知等差数列满足:*11(),1n n a a n N a +>∈=，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，且. （1）求数列,的通项公式；（2）求数列的前项和.18. （本小题满分12分）在中，，，分别是角，，的对边，且2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=.（1）求的大小；（2）若，，求的面积．19. （本小题满分12分）如图，菱形中，，与相交于点，平面，//23CF AE AB CF ==，，.（1）求证：平面；（2）当直线与平面所成角的大小为时，求的长度.20. （本小题满分12分）某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率；（2）用表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量的分布列及数学期望.21. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为，且过点.若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试求的面积.22.（本小题满分12分）已知函数，.（1）求函数在上的最小值；（2）对一切，恒成立，求实数的取值范围；（3）探讨函数是否存在零点？若存在，求出函数的零点；若不存在，请说明理由.试卷答案一、选择题1-5: DABBD 6-10:ABCDA 11、12：CB二、填空题13. 14. 15. 16.②④三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）设为等差数列的公差，且，由1231,1,12a a d a d ==+=+，…………（1分）（2）由（1）知，所以23135212222n n n T -=+++…+，①…………（6分） 234111352122222n n n T +-=+++…+，②…………（7分） ① —②，得23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=+⨯++ ⎪⎝⎭…+-，………………（8分） 21111111111211121323222112222222212n n n n n n n n n T -*-**⎛⎫ ⎪--+⎝⎭=+⨯=+--=----，…………（9分） 所以.………………（10分）18.解：（Ⅰ）由()2cos cos tan tan 11A C A C -=， 得sin sin 2cos cos 11cos cos A C A C A C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，…………（1分） ()2sin sin cos cos 1A C A C ∴-=，…………（3分），…………(4分)，…………（5分）又.…………（6分）（Ⅱ）由，得，………………（8分）又5,34a cb B ac π+===∴=，………………（10分）115sin 224ABC S ac B ∆∴==⨯=（12分） 19.解：（1）证明：四边形是菱形，.………………（1分）平面，平面，…………（2分），………………（3分）又平面，平面，，………………（4分）平面.………………（5分）（2）以为原点，以所在直线分别为轴，轴，以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.………………（6分）则()()(),0,,1,0,3B D F -.设，则，()()()1,0,3,0,23,0,1,OF DB EB a ∴=-==--，………………（7分） 设平面的法向量为，则………………（8分）即令，得，………………（9分）()cos ,10n OFn OF n OF ⋅∴==，………………（10分）直线与平面所成角的大小为，，………………（11分）解得或（舍），.………………（12分）20.解（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于吨的频率为：()20.1250.0750.4⨯+=，……………………(1分)记未来天内，第天日销售量不低于吨为事件，则，………………（2分）未来天内，连续天日销售不低于吨，另一天日销量低于吨包含两个互斥事件和，………………（3分）则：()()()123123123123P A A A A A A P A A A P A A A =+………………（4分） ()()0.40.410.410.40.40.40.192=⨯⨯-+-⨯⨯=.………………（6分）（Ⅱ）的可能取值为，且～()()3010.40.216P X ==-=，………………（7分） ()()21310.410.40.432P X C ==⨯-=，………………（8分）()()22320.410.40.288P X C ==⨯-=，………………（9分）()330.40.064P X ===，………………（10分） 所以的分布列为…………（11分）.………………（12分）21.解：（Ⅰ）由，得，………………（1分）又，………………（2分）椭圆，因点在上，22914+143c c ∴=，得，…………（3分），………………（4分）所以椭圆的方程为：；…………（5分）（Ⅱ）设，则，由以为直径的圆经过坐标原点，得，即 （1）………………（6分）由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消除整理得：()()222348430k x mk m +++-=， 由()()222264163430k m k m ∆=-+->，得，而()2121222438,3434m mk x x x x k k -+=-=++ （2）………………（7分）()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -∴=++=+++=+ （3）将（2）（3）代入（1）得：()()()()2222243340434434m m k k k --+=++，即，………………（8分） 又1AB =，………………（9分） 原点到直线的距离，………………（10分）12AOB S AB d ∆∴=………………（11分）把代入上式得，即的面积是为.………………（12分）22.解：（Ⅰ），由得，，由得，函数在上单调递减，在上单调递增.………………（1分）当时，()min 1112,t f x f e e e ⎛⎫+>∴==- ⎪⎝⎭； 当时，在上单调递增，，………………（2分）()min11,0,1ln ,.t e e f x t t t e ⎧-<≤⎪⎪∴=⎨⎪>⎪⎩………………（3分） （Ⅱ）原问题可化为，………………（4分）设()()32ln 0h x x x x x=++>， ，当时，在上单调递减；…………（5分）当时，在上单调递增；………………（6分），故的取值范围为.………………（7分）（Ⅲ）令，得，即，………………（8分）当（Ⅰ）知当且仅当时，的最小值是，…………（9分） 设，则，易知在上单调递增，在上单调递减，当且仅当时，取最大值，且，………………（10分） 对都有，即()12ln 0x F x x e ex=-+>恒成立， 故函数无零点.……………………（12分）。
湖南省郴州市数学高三理数第二次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合，集合B为函数的定义域，则（）A . (1,2)B . [1,2]C . [1,2)D . (1,2]2. （2分）(2017·重庆模拟) 复数z= 的共轭复数为（）A . ﹣1﹣iB . 1﹣iC . ﹣2﹣iD . ﹣2+i3. （2分）“－3＜m＜5”是“方程表示椭圆”的（）．A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2018高一上·大庆期中) 二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（）．A .B .C .D .5. （2分）已知等比数列的前项和为，且满足，则公比=（）A .B .C . 2D .6. （2分） (2019高二下·吉林期末) 为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A . 样本中的男生数量多于女生数量B . 样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C . 样本中多数男生喜欢手机支付D . 样本中多数女生喜欢现金支付7. （2分）(2019·山西模拟) 已知正方形的边长为边的中点为，现将分别沿折起，使得两点重合为一点记为，则四面体外接球的表面积是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高一上·武清期末) 要得到函数y=3cosx的图象，只需将函数y=3sin（2x﹣）的图象上所有点的（）A . 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象再向左平移个单位长度B . 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象再向右平移个单位长度C . 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象再向左平移个单位长度D . 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象再向右平移个单位长度9. （2分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A . 2B .C .D .10. （2分） (2018高二上·武邑月考) 圆与直线l相切于点，则直线l的方程为（）A .B .C .D .11. （2分）对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（）A . 若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB . 若a∥b，b⊂α，则a∥αC . 若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥αD . 若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b则a∥b12. （2分） (2019高三上·葫芦岛月考) 已知函数，，若，，，则a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·甘肃期末) 已知向量，满足，且，则向量与的夹角是________．14. （1分）已知数列{an}为等差数列，若a3+a11=24，a4=3，则数列{an}的通项公式为________．15. （1分） (2015高二上·海林期末) 一位同学家里订了一份报纸，送报人每天都在在早上5：20～6：40之间将报纸送到达，该同学的爸爸需要早上6：00～7：00之间出发去上班，则这位同学的爸爸在离开家前能拿到报纸的概率是________．16. （1分）已知直线y=与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是________三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2020高一下·郧县月考) 如图，四边形中，，， .（1）若，求 .（2）若，求长度的取值范围.18. （10分） (2017高二下·友谊开学考) 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上．（Ⅰ）求异面直线D1E与A1D所成的角；（Ⅱ）若二面角D1﹣EC﹣D的大小为45°，求点B到平面D1EC的距离．19. （10分）(2020·江西模拟) 年前某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如下频率分布直方图.（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数a（精确到0.01）（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在的企业数为X，求X的分布列与数学期望（3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布其中近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有多少家?（结果保留整数）.附参考数据与公式：则， .20. （10分） (2020高一下·大丰期中) 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上．（1）求圆C的方程；（2）已知过点的直线与圆C相交截得的弦长为，求直线的方程；21. （10分）(2020·宜春模拟) 超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚至死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 .（1）运用概率统计的知识，若，试求P关于k的函数关系式；（2）若P与抗生素计量相关，其中，，…，（）是不同的正实数，满足，对任意的（），都有 .（i）证明：为等比数列；（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.参考数据：，，，，，，，，22. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以O为极点，Ox正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求曲线C1的直角坐标方程；（2）设C1与C2相交于A，B两点，求A，B两点的极坐标．23. （10分）设m是实数，f（x）=m﹣（x∈R）（1）若函数f（x）为奇函数，求m的值；（2）试用定义证明：对于任意m，f（x）在R上为单调递增函数；（3）若函数f（x）为奇函数，且不等式f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。
2020届湖南省郴州市高三第二次教学质量监测数学（理）试题一、单选题1．已知集合(){}{20,A x x x B y y =-<==，则A B =I （ ）A ．[)1,2B ．()0,2C ．[)0,2D ．[)0,+∞【答案】B【解析】可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：(){}{}20|02A x x x x x =-<=<<，{{}|0B y y y y ===≥；{}()|020,2A B x x ∴=<<=I ． 故选：B ． 【点睛】考查描述法、区间表示集合的概念，以及交集及其运算，属于基础题． 2．在复平面内，复数2iiz -=（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】化简复数为a bi +(a 、)b R ∈的形式，可以确定z 对应的点位于的象限． 【详解】 解：复数222(2)(2)12i i iz i i i i i--===--=-- 故复数z 对应的坐标为()1,2--位于第三象限 故选：C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题． 3．函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）A ．()ln sin f x x =B ．()()ln cos f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan cos f x x =- 【答案】B【解析】根据特殊值及函数的单调性判断即可； 【详解】解：当0x =时，sin00=，ln sin0无意义，故排除A ； 又cos01=，则(0)tan cos0tan10f =-=-≠，故排除D ； 对于C ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 0x >，所以()sin tan f x x =-不单调，故排除C ； 故选：B 【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.4．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ） A ．3B ．3 C ．12D ．12-【答案】B【解析】由等差数列的性质和已知可得623a π=，即可得到9343a a π+=，代入由诱导公式计算可得． 【详解】解：由等差数列的性质可得1611632a a a a π++==，解得623a π=， 963324a a a π+==∴，()3943sin sin s si in 333n a a ππππ∴⎛⎫=+=-=- =⎪⎝+⎭故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．5．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中30.866≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．3π B ．4π C ．2π D ．23π 【答案】A【解析】由已知6AB BC ==，设2ABC θ∠=．可得 5.196sin 0.8667θ==．于是可得θ，进而得出结论． 【详解】解：依题意6AB BC ==，设2ABC θ∠=． 则 5.1963sin 0.8667θ==． 3πθ∴=，223πθ=． 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α． 则2αθπ+=，3πα∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=u u u r u u u r u u u r（ ）A ．52B ．4C ．2 D ．13+【答案】B【解析】连接CD 、OD ，即可得到60CAB DOB ︒∠=∠=，1AC =，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得； 【详解】解：连接CD 、OD ，C Q ，D 是半圆弧的两个三等分点， //CD AB ∴，且2AB CD =，60CAB DOB ︒∠=∠=所以四边形AODC 为棱形，1cos 1212AC AB AC AB BAC ∴=∠=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r g g∴()11222AB AC AD AB AC AC AB AB AC AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g2122AC AB AB =+u u u r u u u r u u u r g ．2121242=⨯+⨯=故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A ．408 B ．120 C ．156 D ．240【答案】A【解析】利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况； 【详解】解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有66720A =（种），当“乐”排在第一节有55120A =（种），当“射”和“御”两门课程相邻时有2525240A A =（种），当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有242448A A =（种），则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有72012024048408--+=（种）， 故选：A ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题．8．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫===⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ） A ．()()()f a f b f c << B ．()()()f a f c f b << C ．()()()f b f a f c << D ．()()()f c f a f b <<【答案】C【解析】可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可设1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上单调递增，再根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】解：因为ln1ln 2ln e <<，即01a <<，又12124b -⎛⎫== ⎪⎝⎭，12log 21c ==-设[]0,1x ∈，根据条件，()()(2)f x f x f x =-=-+，[]21,2x -+∈； 若1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，则：1222x x -+>-+；()f x Q 在[]1,2上是减函数；12(2)(2)f x f x ∴-+<-+；12()()f x f x ∴<；()f x ∴在[]0,1上是增函数；所以()()()20f b f f ==，()()()11f c f f =-=∴()()()f b f a f c <<故选：C 【点睛】考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设12x x <，通过条件比较1()f x 与2()f x ，函数的单调性的应用，属于中档题.9．下列结论中正确的个数是（ ）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列；②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1 B ．2C ．3D ．0【答案】B【解析】根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可； 【详解】解：①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 的通项公式为()n a f n =， 可得1(n n a a k k +-=为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l 与α可以相交或平行，故②错误；③在ABC ∆中，(),0,B A π∈，而余弦函数在区间()0,π上单调递减，故“cos cos A B >”可得“B A >”，由“B A >”可得“cos cos A B >”，故“cos cos A B >”是“B A >”的充要条件，故③错误；④若0,0,24a b a b >>+=，则42a b =+≥2ab ≤，当且仅当22a b ==时取等号，故④正确；综上可得正确的有①④共2个； 故选：B 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 10．已知函数2()sin cos444f x x x x πππ=，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（ ） A ．2018 B ．1009 C ．1010 D ．2020【答案】C【解析】首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后借助于三角函数的周期性确定其值即可． 【详解】 解：2()sincos444f x x x x πππ=-．1(1cos )222x x ππ=- 1sin()262x ππ=-++，1()sin()262f x x ππ∴=-++，()f x ∴的周期为242T ππ==，()1f =，()21f =， ()3f ，()40f =， ()()()()12342f f f f +++=． ()()()122020f f f ∴+++L ()()()()5051234f f f f =⨯+++⎡⎤⎣⎦5052=⨯1010=．故选：C 【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．11．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛ ⎝⎦C ．)+∞D ．(【答案】A【解析】依题意可得22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++1224PF a b ≥-= 即可得到()242a b a c +>+，从而求出双曲线的离心率的取值范围； 【详解】解：依题意可得如下图象，22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++112PE PF EF a =++- 1224PF a b ≥-=()12242PF a b a c ∴=+>+所以2b c > 则22244c a c -> 所以2234c a >所以22243cea=>所以23e>，即23,3e⎛⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.12．已知函数()xef x axx=-，(0,)x∈+∞，当21x x>时，不等式()()1221f x f xx x<恒成立，则实数a的取值范围为（）A．(,]e-∞B．(,)e-∞C．,2e⎛⎫-∞⎪⎝⎭D．,2e⎛⎤-∞⎥⎝⎦【答案】D【解析】由()()1221f x f xx x<变形可得()()1122x f x x f x<,可知函数()()g x xf x=在(0,)x∈+∞为增函数, 由()20xg x e ax'=-≥恒成立,求解参数即可求得取值范围. 【详解】(0,),x∈+∞Q()()1122x f x x f x∴<,即函数2()()xg x xf x e ax==-在(0,)x∈+∞时是单调增函数. 则()20xg x e ax'=-≥恒成立.2xe a x∴≤.令()x e m x x =,则2(1)()xx e m x x-'= (0,1)x ∈时,()0,()m x m x '<单调递减,(1,)x ∈+∞时()0,()m x m x '>单调递增.min 2()(1),2ea m x m e a ∴≤==∴≤故选:D. 【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.二、填空题13．62x⎛ ⎝的展开式中，3x 项的系数是__________．【答案】240【解析】利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于3，计算展开式中含有3x 项的系数即可. 【详解】由题意得：616(2)r rr r T C x -+=，只需3632r -=，可得2r =， 代回原式可得33240T x =， 故答案：240. 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用，相对不难. 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11233n n a a a n -++⋯+=，则4S =______【答案】4027【解析】对题目所给等式进行赋值，由此求得n a 的表达式，判断出数列{}n a 是等比数列，由此求得4S 的值. 【详解】解：11233n n a a a n -+++=L ，可得1n =时，11a =，2n ≥时，2121331n n a a a n --++⋯+=-，又11233n n a a a n -++⋯+=，两式相减可得131n n a -=，即113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，上式对1n =也成立，可得数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，可得441140127133S -==-． 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列前n 项和公式，属于中档题.15．直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于,A B 两点，若AB 4=，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于________. 【答案】94【解析】由已知可知直线440kx y k --=过抛物线2y x =的焦点，求出弦AB 的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦AB 的中点到直线102x +=的距离． 【详解】 解：如图，直线440kx y k --=过定点1(4，0)，而抛物线2y x =的焦点F 为1(4，0)，∴弦AB 的中点到准线14x =-的距离为1||22AB =，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于19244+=． 故答案为：94．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属于中档题．16．平行四边形ABCD 中，60,4,2BAD AB AD ∠=︒==，E 为边CD 上一点（不C D 、与重合），将平行四边形ABCD 沿BE 折起，使五点,,,,A B C D E 均在一个球面上，当四棱锥C ABED -体积最大时，球的表面积为________. 【答案】523π 【解析】依题意可得A 、B 、E 、D 四点共圆，即可得到120BED ︒∠=，从而得到三角形BCE 为正三角形，利用余弦定理可得AE ，且AE BE ⊥，要使四棱锥C ABED -体积最大，当且仅当面BCE ⊥面ABED 时体积取得最大值，利用正弦定理求出BCE∆的外接圆的半径，再又可证AE ⊥面BCE ，则外接球的半径R =，即可求出球的表面积； 【详解】解：依题意可得A 、B 、E 、D 四点共圆， 所以180BED BAD ︒∠+∠= 因为60BAD ∠=︒，所以120BED ︒∠=，60BEC ︒∠=，所以三角形BCE 为正三角形，则2BE BC ==，60CBE ︒∠=，60ABE ︒∠= 利用余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠即22242242cos60AE ︒=+-⨯⨯，解得AE =222AE BE AB += 所以AE BE ⊥，当面BCE ⊥面ABED 时，C ABED V -取得最大， 所以BCE ∆的外接圆的半径22sin 60r ︒== 又面BCE ⊥面ABED ，AE BE ⊥，且面BCE I 面ABED BE =， AE ⊂面ABED 所以AE ⊥面BCE ，所以外接球的半径224133233AE R r ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭所以213524433S R πππ==⨯= 故答案为：523π【点睛】本题考查多面体的外接球的相关计算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.三、解答题17．已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且()22sin sin sin sin sin A B C A B -=-.（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若1,c ABC =∆的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）3C π=；（Ⅱ）有最大值，最大值为3.【解析】（Ⅰ）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （Ⅱ）由正弦定理可得,33a A b B ==，则2sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质计算可得； 【详解】（Ⅰ）由()22sin sin sin sin sin A B C A B -=-得222sin sin sin sin sin A B C A B +-=再由正弦定理得222a b c ab +-=因此2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又因为()0,C π∈，所以3C π=.（Ⅱ）当1c =时，ABC ∆的周长有最大值，且最大值为3， 理由如下：由正弦定理得1sin sin sin sin 3a b c A B C ====π，所以,a A b B ==，所以22sin 36a b A B A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为203A π<<，所以5666A πππ<+<， 所以当62A ππ+=即3A π=时，+a b 取到最大值2，所以ABC ∆的周长有最大值，最大值为3. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函数的性质的应用，属于中档题.18．已知()0,2P -，点,A B 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右顶点，直线BP 交E 于另一点,Q ABP ∆为等腰直角三角形，且:3:2PQ QB =. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过点P 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，总使得MON ∠为锐角，求直线l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）214x y +=；（Ⅱ）2,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】（Ⅰ）由题意可知：由32PQ QB =u u u r u u u r，求得Q 点坐标，即可求得椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线2y kx =-，代入椭圆方程，由韦达定理，由>0∆，由MON ∠为锐角，则0OM ON >u u u u r u u u r g ，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线l 斜率的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）根据题意ABP ∆是等腰直角三角形 2a ∴=，()20B ∴,，设(),Q Q Q x y 由:3:2PQ QB =得32PQ QB =u u u r u u u r则6545Q Q x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入椭圆方程得21b =∴椭圆E 的方程为214x y +=（Ⅱ）根据题意，直线l 的斜率存在，可设方程为2y kx =- 设()()1122,,M x y N x y由22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +-+= 由直线l 与椭圆E 有两个不同的交点则>0∆ 即()()2216412140k k --⨯⨯+>得234k >又12212216141214k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩∠Q MON 为锐角则cos 0MON ∠> 121200OM ON x x y y ∴⋅> ∴+>u u u u r u u u r()()()()2121212121212221240x x y y x x kx kx k x x k x x +=+--=+-++>Q即()222121612401414kkk k k +-+>++24k ∴< ②由①②2k <<或2k -<< 故直线l斜率可取值范围是2,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查计算能力，属于中档题． 19．如图，在四棱锥A BCDE -中，平面BCDE ⊥平面ABC ，,1,2,60BE EC BC AB ABC ⊥==∠=︒.（Ⅰ）求证：BE ⊥平面ACE ； （Ⅱ）若锐二面角E AB C --的余弦值为217，求直线CE 与平面ABC 所成的角. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）45︒.【解析】（Ⅰ）由余弦定理解得AC ，即可得到AC BC ⊥，由面面垂直的性质可得AC ⊥平面BCDE ，即可得到AC BE ⊥，从而得证；（Ⅱ）在平面BCDE 中，过点E 作EO BC ⊥于点O ，则OE ⊥平面ABC ，如图所示建立空间直角坐标系，设()()3,0,0,0,A a E b -，其中01,0a b <<>，利用空间向量法得到二面角的余弦，即可得到,a b 的关系，从而得解； 【详解】解：（Ⅰ）证明：在ABC ∆中，2222cos AC BC AB BC ABC =+-⋅∠，解得3AC = 则222AC BC AB +=，从而AC BC ⊥因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC = 所以AC ⊥平面BCDE ， 又因为BE ⊂平面BCDE ， 所以AC BE ⊥，因为BE EC ⊥，AC CE C =I ，AC ⊂平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，所以BE ⊥平面ACE ；（Ⅱ） 解：在平面BCDE 中，过点E 作EO BC ⊥于点O ，则OE ⊥平面ABC ，如图所示建立空间直角坐标系，设()()3,0,0,0,A a E b -，其中01,0a b <<>，则()()()1,0,0,3,0,1,0,B a BA BE a b -=-=-u u u r u u u r设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =u r，则 00BA m BE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v，即()010x a x bz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 令1y =，则m =⎭u r又平面ABC 的一个法向量()0,0,OE b =u u u r，则cos 7m OE m OE m OE⋅⋅===⋅u r u u u ru r u u u r u r u u u r 从而1b a =-，故45EBO ECB ∠=︒=∠则直线CE 与平面ABC 所成的角为ECB ∠，大小为45︒. 【点睛】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.20．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响. （1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求,,p p p 123；②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中,,p p p 123的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式.【答案】（1）分布列见解析；（2）①1231743,,636216p p p ===；②116177i i i p p p +-=+，11156n np ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【解析】（1）经过1轮投球，甲的得分X 的取值为1,0,1-，记一轮投球，甲投中为事件A ，乙投中为事件B ，,A B 相互独立，计算概率后可得分布列；（2）由（1）得1p ，由两轮的得分可计算出2p ，计算3p 时可先计算出经过2轮后甲的得分Y 的分布列（Y 的取值为2,1,0,1,2--），然后结合X 的分布列和Y 的分布可计算3p ，由00p =，代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，得两个方程，解得,a c ，从而得到数列{}n p 的递推式，变形后得1{}n n p p --是等比数列，由等比数列通项公式得1n n p p --，然后用累加法可求得n p ． 【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，,A B 相互独立，由题意1()2P A =，2()3P B =，甲的得分X 的取值为1,0,1-， (1)()P X P AB =-=121()()(1)233P A P B ==-⨯=， (0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+12121(1)(1)23232=⨯+-⨯-=， 121(1)()()()(1)236P X P AB P A P B ====⨯-=，∴X 的分布列为：（2）由（1）116p =， 2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=111117()2662636=⨯+⨯+=， 同理，经过2轮投球，甲的得分Y 取值2,1,0,1,2--： 记(1)P X x =-=，(0)P X y ==，(1)P X z ==，则2(2)P Y x =-=，(1)P Y xy yx =-=+，2(0)P Y xz zx y ==++，(1)P Y yz zy ==+，2(2)P Y z ==由此得甲的得分Y 的分布列为：∴3111111131143()()3362636636636216p =⨯+⨯++⨯++=， ∵11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，00p =，∴1212321p ap bp p ap bp cp =+⎧⎨=++⎩，71136664371721636636a b a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，∴6(1)717b a bc -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠得：116177i i i p p p +-=+， ∴111()6i i i i p p p p +--=-， ∴数列1{}n n p p --是等比数列，公比为16q =，首项为1016p p -=， ∴11()6nn n p p --=．∴11210()()()n n n n n p p p p p p p ---=-+-++-L 111111()()(1)66656n n n -=+++=-L ． 【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率．21．设函数()()ln ,xf x x x ae p x kx =-=，其中,a R e ∈是自然对数的底数.（Ⅰ）若()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()ln 1'(),(1)x x f x e ϕ=+-ϕ=，函数()x ϕ与函数()p x 的图象交于()()1122,,,A x y B x y ，且AB 线段的中点为()00,P x y ，证明：00()(1)x p y ϕ<<.【答案】（Ⅰ）10a e<<；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）依题意()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，等价于'()0f x =在()0,∞+有两个不等实根，由ln 1e 0x x a +-=参变分类可得ln 1e x x a +=，令ln 1()xx g x e+=，利用导数研究()g x 的单调性、极值，从而得到参数的取值范围；（Ⅱ）由题解得1a =，()xx e ϕ=，要证()()001x p y ϕ<<成立，只需证：1221122212x x x x x x e e e e ek x x +-+<=<-，即：1221122212x x x x x e e e e e e x x +-+<<-，只需证：212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-，设210t x x =->，即证：2112t t te e e t -+<<，再分别证明21t t e e t -<，112t t e e t -+<即可； 【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，0,'()ln 1xx f x x ae >=+-，()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，等价于'()0f x =在()0,∞+有两个不等实根，由ln 1e 0x x a +-=可得，ln 1e x x a +=，令ln 1()xx g x e+=， 则()1ln 1'()xx x g x e -+=，令1()ln 1h x x x=--， 可得211'()h x x x=--，当0x >时，'()0h x <， 所以()h x 在()0,∞+上单调递减，且(1)0h =当()0,1x ∈时，()0,'()0,()h x g x g x >>单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0,'()0,()h x g x g x <<单调递减；所以1x =是()g x 的极大值也是最大值，max 11()(1)g x g a e e∴==∴<又当0,()x g x →→-∞，当,()x g x →+∞大于0趋向与0，要使'()0f x =在()0,∞+有两个根，则10a e<<， 所以a 的取值范围为10a e<<； （Ⅱ）由题解得1a =，()xx e ϕ=，要证()()001x p y ϕ<<成立， 只需证：1221122212x x x x x x e e e e ek x x +-+<=<-即：1221122212x x x x x e e e e e ex x +-+<<-， 只需证：212121221112x x x x x x e e x x e----+<<- 设210t x x =->，即证：2112tt t e e e t -+<<要证21t t e e t-<，只需证：22t t e e t -->令()1122F t e et -=--，则()221'102t tF t e e -⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭()F t ∴在()0,∞+上为增函数()()00F t F ∴>=，即21tt e e t -<成立；要证112t t e e t -+<，只需证明：112t t e t e -<+令()112tt e tG t e -=-+，则()()()()()()2222241121'0212121t t t tttte e e e G t e e e -+--=-==<+++()G t ∴在()0,∞+上为减函数，()()00G t G ∴<=，即112t t e e t -+<成立211,02tt t e e e t t -+∴<<>成立，所以()()001x p y ϕ<<成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用导数证明不等式，属于难题;22．在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为11x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线1l 的极坐标方程为66θααππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，射线2l 的极坐标方程为2πθα=+.（Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程，并指出是何种曲线；（Ⅱ）若射线1l 与曲线C 交于O A 、两点，射线2l 与曲线C 交于O B 、两点，求ABO ∆面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）2cos 2sin r q q =+，曲线C 是以()1,1为半径的圆；（Ⅱ）[]1,2. 【解析】（Ⅰ）由曲线C 的参数方程能求出曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（Ⅱ）令12cos 2sin OA ραα==+，22cos 2sin 22OB ρααππ⎛⎫⎛⎫==+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1212S ρρ∆OAB =，利用诱导公式及二倍角公式化简，再由余弦函数的性质求出面积的取值范围； 【详解】解：（Ⅰ）由11x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）化为普通方程为()()22112x y -+-=()()22cos 1sin 12ρθρθ-+-=，整理得2cos 2sin r q q =+曲线C 是以()1,1为半径的圆. （Ⅱ）令12cos 2sin OA ραα==+22cos 2sin 2sin 2cos 22OB ρααααππ⎛⎫⎛⎫==+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()221212cos sin 2cos 22S ρρααα∆OAB ==-=66αππ-≤≤Q ，233αππ∴-≤≤，1cos 212α∴≤≤，12cos22α∴≤≤，ABO ∆面积的取值范围为[]1,2【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 23．设函数()2sin |3||1|f x x a a =+-+-. （1）若62f π⎛⎫>⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围； （2）证明：x R ∀∈，1()|3|1f x a a≥--+恒成立. 【答案】（1）()(),04,-∞+∞U （2）证明见解析【解析】（1）将不等式62f π⎛⎫> ⎪⎝⎭化为|3||1|4a a -+->，利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）将要证明的不等式转化为证x R ∀∈，12sin |1|1x a a≥---+恒成立，由2sin x 的最小值为2-，得到只要证12|1|1a a -≥---+，即证1|1|12a a-++≥，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立. 【详解】（1）∵62f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴2|3||1|6a a +-+->，即|3||1|4a a -+-> 当3a ≥时，不等式化为3143a a a -+->⎧⎨≥⎩，∴4a >当13a <<时，不等式化为(3)(1)413a a a -+->⎧⎨<<⎩，此时a 无解当1a ≤时，不等式化为(3)(1)41a a a -+->⎧⎨≤⎩，∴0a <综上，原不等式的解集为()(),04,-∞+∞U（2）要证x R ∀∈，1()|3|1f x a a≥--+恒成立 即证x R ∀∈，12sin |1|1x a a≥---+恒成立 ∵2sin x 的最小值为－2，∴只需证12|1|1a a -≥---+，即证1|1|12a a-++≥又11|1|111a a a a -++≥-++11||2a a a a =+=+≥= ∴1|1|12a a-++≥成立，∴原题得证 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.。
