2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)

2023高考文科数学全国甲卷试卷附解析2023高考文科数学全国甲卷试卷（附解析）小编带来了2023高考文科数学全国甲卷试卷附解析，大家知道吗?数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。

下面是小编为大家整理的2023高考文科数学全国甲卷试卷附解析，希望能帮助到大家!2023高考文科数学全国甲卷试卷附解析高中数学必考重要知识点1.终边与终边相同(的终边在终边所在射线上).终边与终边共线(的终边在终边所在直线上).终边与终边关于轴对称终边与终边关于轴对称终边与终边关于原点对称一般地：终边与终边关于角的终边对称.与的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定.2.弧长公式：，扇形面积公式：1弧度(1rad).3.三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.4.三角函数线的特征是：正弦线“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线“躺在轴上(起点是原点)”、正切线“站在点处(起点是)”.务必重视“三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系，‘正弦’‘纵坐标’、‘余弦’‘横坐标’、‘正切’‘纵坐标除以横坐标之商’”;务必记住：单位圆中角终边的变化与值的大小变化的关系为锐角5.三角函数同角关系中，平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”;高三数学复习方法指导1、变介绍方法为选择方法高三学生的头脑中已经储存了很多解题方法和规律，如何提取运用是第二轮数学复习的关键。

“给出方法解题目”不可取，必须“给出习题选方法”。

选法是思维活动，只要在如何选上做文章，才能解决好学生自做不会，老师一讲就通的问题。

2、变全面覆盖为重点讲练第二轮数学复习仅有两个半月的时间，从面面俱到从头来过一遍是根本做不到。

要做到紧紧围绕重点方法，重要的知识点，重要的数学思想和方法以及近几年的重点题型，狠抓过关。

3、变以量为主为以质取胜高三数学复习中一切的讲练都是要围绕学生展开的，贪多嚼不烂，学生如果消化不了，那么，讲再多也没有用。

一、单选题1.已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，是数列的前项和，则（ ）A ．45B ．42C ．84D ．1352. 已知函数，若关于x 的不等式恰有1个整数解，则实数a 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．83. 已知偶函数在上单调递增，若，则（ ）A．B．C．D．4. 已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为A．B．C．D．5. 一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（ ）A．B．C．D．6. 如图，正四棱台中，点分别是棱的中点，则下列判断中，不正确的是（）A ．共面B ．平面C．平面D ．平面7. 若函数存在平行于轴的切线，则实数取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 已知的展开式中含的项的系数为，则（ ）A．B．C．D．9. 设集合， 则选项正确的是（ ）A．B．C．D．10. 函数的反函数是（ ）A．B．C．D．11.已知函数，若时，在处取得最大值，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．12.若的展开式中项的系数为，则的最小值为2023年高考全国甲卷数学(文)真题二、多选题三、填空题四、填空题五、解答题A．B．C．D．13. 已知函数的图象经过点，且在上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是（ ）A．B．C ．在上单调递增D ．在上有3个极小值点14.关于函数下列结论正确的是（ ）A ．图像关于轴对称B ．图像关于原点对称C ．在上单调递增D．恒大于015. 设直线l：，圆C：，若直线l 与圆C 恒有两个公共点A ，B ，则下列说法正确的是（ ）A ．r的取值范围是B ．若r 的值固定不变，则当时∠ACB 最小C ．若r的值固定不变，则的面积的最大值为D ．若，则当的面积最大时直线l 的斜率为1或16. 2022年我国对外经济进口总值累计增长率统计数据如图所示，则（）A ．2022年我国对外经济进口总值逐月下降B ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率在前6个月的方差大于后6个月的方差C ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率的中位数为5.5%D ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率的80%分位数为7.1%17. 若公比为2的等比数列满足，则的前7项和为__________．18.右图是某高三学生进入高中三年来第次到次的数学考试成绩茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为_________.19. 已知向量，满足，，且与的夹角为150°，则______．20.甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为______，甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为______．21. 用0，2，3，4，5五个数组成无重复数字的四位数，则不同的四位数共有______个，其中偶数共有______个．六、解答题七、解答题22. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上.(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.23.已知数列的前顶和为.且.(1)求数列的通项公式；(2)在数列中，，求数列的前项和.24. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.(1)请根据直方图中的数据填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男60女110合计附加公式：，(2)在[0，10），[40，50）这两组中采取分层抽样，抽取6人，再从这6名学生中随机抽取2人参加体育知识问卷调查，求这2人中一人来自“课外体育达标”和一人来自“课外体育不达标”的概率．25.如图，在直三棱柱中，D ，E 分别是棱AB，的中点，，．八、解答题(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线与平面所成的角的正弦值．条件①：；条件②：；条件③：到平面的距离为1．26. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 为PC 上一点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若二面角M-BQ-C 为30°，设PM=MC ，试确定 的值.27. 北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.A 材料材料合计试验成功试验失败合计(1)根据等高堆积条形图，填写如上列联表（单位：次），判断试验结果与材料是否有关？如果有关，你有多大把握认为它们相关？(2)研究人员得到石墨烯后．再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV 胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的九、解答题概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元.试问如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？ 附：，其中0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82828. 如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，∠BAC ＝30°，BM ⊥AC 交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，FC //EA ，AC ＝4，EA ＝3，FC ＝1．（1）证明：EM ⊥BF ；（2）求平面BEF 与平面ABC所成的二面角的余弦值．。

2023年高考文科数学全国甲卷试卷及解析_完整版高三数学复习的方法一、注重综合考查，关注知识交汇对数学知识的考查，既要全面又突出重点。

注重学科的内在联系和知识的综合性，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点设计试题。

二、坚持能力立意，专题复习应对数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心。

数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。

三、回归课本，让课本习题焕发新活力高考万变不离其宗，其中的“宗”和“本”指的都是课本。

很多高考题都源自课本中的定理或定理中的思想方法，或是例题、习题的重新组合等。

课本题大多蕴涵着丰富、深刻的背景。

实践证明，以课本为素材组织高考复习不仅不会影响高考成绩，而且是提高成绩非常有效的途径。

平时学习要用好课本，到了高三复习阶段，更要以课本为主，充分发挥教材的作用。

应在深入研究的基础上充分感悟教材的编写意图，积极开发课本的潜在功能，创设问题链情境，通过改变问题的某一“属性”，探索问题的引申、推广、拓展、变通，开展高考复习中的研究性学习。

这不仅能跳出“题海”，又能巩固基础知识，掌握数学思想方法，深化数学的本质内涵，更为重要的是能激发问题意识，培养综合素养。

高考数学题的解答方法一、夯实基础知识高考数学题中容易题、中等题、难题的比重为3:5:2，即基础题占80%，难题占20%。

无论是一轮、二轮，还是三轮复习都把“三基”即基础知识、基本技能、基本思想方法作为重中之重，死握一些难题的做法非常危险!也只有“三基”过关，才有能力去做难题。

二、建构知识网络数学教学的本质，是在数学知识的教学中，把大量的数学概念、定理、公式等陈述性知识，让学生在主动参与、积极构建的基础上，形成越来越有层次的数学知识网络结构，使学生体验整个学习过程中所蕴涵的数学思想、数学方法，形成解决问题的产生方式，因此，在高考复习中，在夯实基础知识的基础上，把握纵横联系，构建知识网络。

绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，N={2,5}，则N∪∁U M=( )A. {2,3,5}B. {1,3,4}C. {1,2,4,5}D. {2,3,4,5}2.5(1+i 3)(2+i)(2−i)=( )A. −1B. 1C. 1−iD. 1+i3.已知向量a⃗=(3,1)，b⃗⃗=(2,2)，则cos〈a⃗⃗+b⃗⃗，a⃗⃗−b⃗⃗〉=( )A. 117B. √ 1717C. √ 55D. 2√ 554.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )A. 16B. 13C. 12D. 235.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a2+a6=10，a4a8=45，则S5=( )A. 25B. 22C. 20D. 156.执行下边的程序框图，则输出的B =( )A. 21B. 34C. 55D. 897.设F 1，F 2为椭圆C ：x 25+y 2=1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，则|PF 1|⋅|PF 2|=( ) A. 1 B. 2C. 4D. 58.曲线y =e xx+1在点(1,e 2)处的切线方程为( ) A. y =e4xB. y =e2xC. y =e 4x +e4D. y =e 2x +3e49.已知双曲线C ：x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√ 5，C 的一条渐近线与圆(x −2)2+(y −3)2=1交于A ，B 两点，则|AB|=( ) A. √ 55B. 2√ 55C. 3√ 55D. 4√ 5510.在三棱锥P −ABC 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，PA =PB =2，PC =√ 6，则该棱锥的体积为( ) A. 1B. √ 3C. 2D. 311.已知函数f(x)=e −(x−1)2.记a =f(√ 22)，b =f(√ 32)，c =f(√ 62)，则( )A. b >c >aB. b >a >cC. c >b >aD. c >a >b12.函数y =f(x)的图象由y =cos(2x +π6)的图象向左平移π6个单位长度得到，则y =f(x)的图象与直线y =12x −12的交点个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1．答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己地姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准条形码上地准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定地位置贴好条形码.2．回答选择题时,选出每小题解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他解析标号.回答非选择题时,将解析写在答题卡上、写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 设集合5{2,1,0,1,2},02A B xx ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣,则A B = （ ）A. {}0,1,2 B. {2,1,0}-- C. {0,1}D. {1,2}【解析】A 【解析】【分析】根据集合地交集运算即可解出．【详解】因为{}2,1,0,1,2A =--,502B xx ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣,所以{}0,1,2A B = ．故选:A.2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民地垃圾分类知识．为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题地正确率如下图:则（ ）A. 讲座前问卷答题地正确率地中位数小于70%B. 讲座后问卷答题地正确率地平均数大于85%C. 讲座前问卷答题地正确率地标准差小于讲座后正确率地标准差D. 讲座后问卷答题地正确率地极差大于讲座前正确率地极差【解析】B 【解析】【分析】由图表信息,结合中位数、平均数、标准差、极差地概念,逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为70%75%70%2+>,所以A 错；讲座后问卷答题地正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题地正确率地平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题地正确率更加分散,所以讲座前问卷答题地正确率地标准差大于讲座后正确率地标准差,所以C 错；讲座后问卷答题地正确率地极差为100%80%20%-=,讲座前问卷答题正确率地极差为95%60%35%20%-=>,所以D 错.故选:B3. 若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A.B.C.D. 【解析】D的.【解析】【分析】根据复数代数形式地运算法则,共轭复数地概念以及复数模地计算公式即可求出．【详解】因为1i z =+,所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-,所以i 3z z +==故选:D.4. 如图,网格纸上绘制地是一个多面体地三视图,网格小正方形地边长为1,则该多面体地体积为（ ）A. 8B. 12C. 16D. 20【解析】B 【解析】【分析】由三视图还原几何体,再由棱柱地体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体,如图,则该直四棱柱地体积2422122V +=⨯⨯=.故选:B.5. 将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭地图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ,若C 关于y 轴对称,则ω地最小值是（ ）A.16B.14C.13D.12【解析】C 【解析】【分析】先由平移求出曲线C 地解析式,再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ,即可求出ω地最小值.【详解】由题意知:曲线C 为sin sin(2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,又C 关于y 轴对称,则,232k k ωππππ+=+∈Z ,解得12,3k k ω=+∈Z ,又0>ω,故当0k =时,ω地最小值为13.故选:C.6. 从分别写有1,2,3,4,5,6地6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到地2张卡片上地数字之积是4地倍数地概率为（ ）A.15B.13C.25D.23【解析】C 【解析】【分析】先列举出所有情况,再从中挑出数字之积是4地倍数地情况,由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张,共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况,其中数字之积为4地倍数地有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况,故概率为62155=.故选:C.7. 函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦地图象大致为（ ）A. B.C. D.【解析】A 【解析】【分析】由函数地奇偶性结合指数函数、三角函数地性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22xxf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦,则()()()()()33cos 33cos xx x x f x x x f x ---=--=--=-,所以()f x 为奇函数,排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,330,cos 0x xx -->>,所以()0f x >,排除C.故选:A.8. 当1x =时,函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-,则(2)f '=（ ）A. 1- B. 12-C.12D. 1【解析】B 【解析】【分析】根据题意可知()12f =-,()10f '=即可解得,a b ,再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+,所以依题可知,()12f =-,()10f '=,而()2a b f x x x '=-,所以2,0b a b =--=,即2,2a b =-=-,所以()222f x x x '=-+,因此函数()f x 在()0,1上递增,在()1,+∞上递减,1x =时取最大值,满足题意,即有()112122f '=-+=-．故选:B.9. 在长方体1111ABCD A B C D -中,已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成地角均为30°,则（ ）A. 2AB AD= B. AB 与平面11AB C D 所成地角为30°C. 1AC CB =D. 1B D 与平面11BB C C 所成地角为45︒【解析】D 【解析】【分析】根据线面角地定义以及长方体地结构特征即可求出．【详解】如下图所示:不妨设1,,AB a AD b AA c ===,依题以及长方体地结构特征可知,1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB ∠,1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠,所以11sin 30c b B D B D==,即b c =,12B D c ==,解得a =．对于A ,AB a =,AD b =,AB =,A 错误；对于B ,过B 作1BE AB ⊥于E ,易知BE ⊥平面11AB C D ,所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE ∠,因为tan c BAE a ∠==所以30BAE ∠≠ ,B 错误；对于C,AC ==,1CB ==,1AC CB ≠,C 错误；对于D ,1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠,11sin 2CD a DB C B D c ∠===,而1090DB C <∠<,所以145DB C ∠=．D 正确．故选:D ．10. 甲、乙两个圆锥地母线长相等,侧面展开图地圆心角之和为2π,侧面积分别为S 甲和S 乙,体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙,则=VV 甲乙（）A.B.C.D.【解析】C 【解析】【分析】设母线长为l ,甲圆锥底面半径为1r ,乙圆锥底面圆半径为2r ,根据圆锥地侧面积公式可得122r r =,再结合圆心角之和可将12,r r 分别用l 表示,再利用勾股定理分别求出两圆锥地高,再根据圆锥地体积公式即可得解.【详解】解:设母线长为l ,甲圆锥底面半径为1r ,乙圆锥底面圆半径为2r ,则11222S rl r S r l r ππ===甲乙,所以122r r =,又12222r r l l πππ+=,则121r rl+=,所以1221,33r l r l ==,所以甲圆锥地高1h ==,乙圆锥地高2h ==,所以2112221313r h V V r h ππ===甲乙.故选:C.11. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>地离心率为13,12,A A 分别为C 地左、右顶点,B 为C 地上顶点．若121BA BA ⋅=-,则C 地方程为（ ）A. 2211816x y += B. 22198x y += C. 22132x y += D. 2212x y +=【解析】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ,解得关于22,a b 地等量关系式,即可得解.【详解】解:因为离心率13c e a ===,解得2289b a =,2289=b a ,12,A A 分别为C 左右顶点,则()()12,0,,0A a A a -,B 为上顶点,所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=- BA a b BA a b ,因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ,将2289=b a 代入,解得229,8a b ==,故椭圆地方程为22198x y +=.故选:B.12. 已知910,1011,89m m m a b ==-=-,则（ ）A. 0a b >> B. 0a b >> C. 0b a >> D. 0b a>>【解析】A 【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数地单调性即可知9log 101m =>,再利用基本不等式,换底公式可得lg11m >,8log 9m >,然后由指数函数地单调性即可解出．【详解】由910m =可得9lg10log 101lg 9m ==>,而()222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以lg10lg11lg 9lg10>,即lg11m >,所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg 922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以lg 9lg10lg8lg 9>,即8log 9m >,所以8log 989890m b =-<-=．综上,0a b >>．故选:A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ,则m =______________．【解析】34-##0.75-的【分析】直接由向量垂直地坐标表示求解即可.【详解】由题意知:3(1)0a b m m ⋅=++=,解得34m =-.故解析为:34-.14. 设点M 在直线210x y +-=上,点(3,0)和(0,1)均在M 上,则M 地方程为______________．【解析】22(1)(1)5x y -++=【解析】【分析】设出点M 地坐标,利用(3,0)和(0,1)均在M 上,求得圆心及半径,即可得圆地方程.【详解】解:∵点M 在直线210x y +-=上,∴设点M 为(,12)-a a ,又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上,∴点M 到两点地距离相等且为半径R ,==R ,222694415-++-+=a a a a a ,解得1a =,∴(1,1)M -,R =M 地方程为22(1)(1)5x y -++=.故解析为:22(1)(1)5x y -++=15. 记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>地离心率为e ,写出满足条件"直线2y x =与C 无公共点"地e 地一个值______________．【解析】2（满足1e <≤皆可）【解析】【分析】根据题干信息,只需双曲线渐近线by x a =±中02b a<≤即可求得满足要求地e 值.【详解】解:2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>,所以C 地渐近线方程为b y x a=±,结合渐近线地特点,只需02b a <≤,即224b a≤,可满足条件"直线2y x =与C 无公共点"所以==≤=c e a 又因为1e >,所以1e <≤,故解析为:2（满足1e <≤皆可）16. 已知ABC 中,点D 在边BC 上,120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时,BD =________．1-##-【解析】【分析】设220CD BD m ==>,利用余弦定理表示出22AC AB 后,结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>,则在ABD △中,22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++,在ACD △中,22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-,所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++44≥=-,当且仅当311mm +=+即1m =-时,等号成立,所以当ACAB取最小值时,1m =.故解析为1-.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试卷考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17. 甲、乙两城之间地长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车地运行情况,随机调查了甲、乙两城之间地500个班次,得到下面列联表:准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间地长途客车准点地概率；（2）能否有90%地把握认为甲、乙两城之间地长途客车是否准点与客车所属公司有关？附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++, ()2P K k…0.1000.0500.010 k 2.706 3.841 6.635【解析】（1）A,B两家公司长途客车准点地概率分别为12 13,78（2）有【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型地概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算2K,再利用临界值表比较即可得结论.【小问1详解】根据表中数据,A共有班次260次,准点班次有240次,设A家公司长途客车准点事件为M,则24012 ()26013==P M；B共有班次240次,准点班次有210次,设B家公司长途客车准点事件为N,则210 ()27840==P N.A 家公司长途客车准点地概率为1213；B 家公司长途客车准点地概率为78.【小问2详解】列联表准点班次数未准点班次数合计A 24020260B 21030240合计4505050022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯,根据临界值表可知,有90%地把握认为甲、乙两城之间地长途客车是否准点与客车所属公司有关.18. 记n S 为数列{}n a 地前n 项和．已知221nn S n a n+=+．（1）证明:{}n a 是等差数列；（2）若479,,a a a 成等比数列,求n S 地最小值．【解析】（1）证明见解析； （2）78-．【解析】【分析】（1）依题意可得222n nS n na n +=+,根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,作差即可得到11n n a a --=,从而得证；（2）由（1）及等比中项地性质求出1a ,即可得到{}n a 地通项公式与前n 项和,再根据二次函数地性质计算可得．【小问1详解】解:因为221nn S n a n+=+,即222n n S n na n +=+①,当2n ≥时,()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②,①-②得,()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----,即()12212211n n n a n na n a -+-=--+,即()()()1212121n n n a n a n ----=-,所以11n n a a --=,2n ≥且N*n ∈,所以{}n a 是以1为公差地等差数列．【小问2详解】解:由（1）可得413a a =+,716a a =+,918a a =+,又4a ,7a ,9a 成等比数列,所以2749a a a =⋅,即()()()2111638a a a +=+⋅+,解得112a =-,所以13n a n =-,所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭,所以,当12n =或13n =时()min 78n S =-．19. 小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭地包装盒,包装盒如下图所示:底面ABCD 是边长为8（单位:cm ）地正方形,,,,EAB FBC GCD HDA 均为正三角形,且它们所在地平面都与平面ABCD 垂直．（1）证明://EF 平面ABCD ；（2）求该包装盒地容积（不计包装盒材料地厚度）．【解析】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）分别取,AB BC 地中点,M N ,连接MN ,由平面知识可知,EM AB FN BC ⊥⊥,EM FN =,依题从而可证EM ⊥平面ABCD ,FN ⊥平面ABCD ,根据线面垂直地性质定理可知//EM FN ,即可知四边形EMNF 为平行四边形,于是//EF MN ,最后根据线面平行地判定定理即可证出；（2）再分别取,AD DC 中点,K L ,由（1）知,该几何体地体积等于长方体KMNL EFGH -地体积加上四棱锥B MNFE -体积地4倍,即可解出．【小问1详解】如下图所示:,分别取,AB BC 地中点,M N ,连接MN ,因为,EAB FBC 为全等地正三角形,所以,EM AB FN BC ⊥⊥,EM FN =,又平面EAB ⊥平面ABCD ,平面EAB ⋂平面ABCD AB =,EM ⊂平面EAB ,所以EM ⊥平面ABCD ,同理可得FN ⊥平面ABCD ,根据线面垂直地性质定理可知//EM FN ,而EM FN =,所以四边形EMNF 为平行四边形,所以//EF MN ,又EF ⊄平面ABCD ,MN ⊂平面ABCD ,所以//EF 平面ABCD ．【小问2详解】如下图所示:,分别取,AD DC 中点,K L ,由（1）知,//EF MN 且EF MN =,同理有,//,HE KM HE KM =,//,HG KL HG KL =,//,GF LN GF LN =,由平面知识可知,BD MN ⊥,MN MK ⊥,KM MN NL LK ===,所以该几何体地体积等于长方体KMNL EFGH -地体积加上四棱锥B MNFE-体积地4倍．因为MN NL LK KM ====,8sin 60EM == 点B 到平面MNFE 地距离即为点B 到直线MN 地距离d ,d =,所以该几何体地体积(2143V =⨯+⨯⨯=+=20. 已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+,曲线()y f x =在点()()11,x f x 处地切线也是曲线()y g x =地切线．（1）若11x =-,求a ；（2）求a 地取值范围．【解析】（1）3 （2）[)1,-+∞【解析】【分析】（1）先由()f x 上地切点求出切线方程,设出()g x 上地切点坐标,由斜率求出切点坐标,再由函数值求出a 即可；（2）设出()g x 上地切点坐标,分别由()f x 和()g x 及切点表示出切线方程,由切线重合表示出a ,构造函数,求导求出函数值域,即可求得a 地取值范围.【小问1详解】由题意知,(1)1(1)0f -=---=,2()31x f x '=-,(1)312f '-=-=,则()y f x =在点()1,0-处地切线方程为2(1)y x =+,即22y x =+,设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ,()2g x x '=,则22()22g x x '==,解得21x =,则(1)122g a =+=+,解得3a =；【小问2详解】2()31x f x '=-,则()y f x =在点()11(),x f x 处地切线方程为()()32111131()y x x x x x --=--,整理得()2311312y x x x =--,设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ,()2g x x '=,则22()2g x x '=,则切线方程为()22222()y x a x x x -+=-,整理得2222y x x x a =-+,则21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩,整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭,令432931()2424h x x x x =--+,则32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-,令()0h x '>,解得103x -<<或1x >,令()0h x '<,解得13x <-或01x <<,则x 变化时,(),()h x h x '地变化情况如下表:x1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭13-1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,11()1,+∞()h x '-0+0-+()h x527141-则()h x 地值域为[)1,-+∞,故a 地取值范围为[)1,-+∞.21. 设抛物线2:2(0)C y px p =>地焦点为F ,点(),0D p ,过F 地直线交C 于M ,N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时,3MF =．（1）求C 地方程；（2）设直线,MD ND 与C 地另一个交点分别为A ,B ,记直线,MN AB 地倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时,求直线AB 地方程．【解析】（1）24y x =； （2）:4AB x =+.【解析】【分析】（1）由抛物线地定义可得=2pMF p +,即可得解；（2）设点地坐标及直线:1MN x my =+,由韦达定理及斜率公式可得2MN AB k k =,再由差角地正切公式及基本不等式可得AB k =,设直线:AB x n =+,结合韦达定理可解.【小问1详解】抛物线地准线为2px =-,当MD 与x 轴垂直时,点M 地横坐标为p ,此时=32pMF p +=,所以2p =,所以抛物线C 地方程为24y x =；【小问2详解】设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,直线:1MN x my =+,由214x my y x=+⎧⎨=⎩可得2440y my --=,120,4y y ∆>=-,由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y -==+-,34223434444AB y y k y y y y -==+-,直线112:2x MD x y y -=⋅+,代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=,130,8y y ∆>=-,所以322y y =,同理可得412y y =,所以()34124422MNAB k k y y y y ===++又因为直线MN 、AB 地倾斜角分别为,αβ,所以tan tan 22MN AB k k αβ===,若要使αβ-最大,则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设220MN AB k k k ==>,则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ--===≤=+++,当且仅当12k k =即k =,等号成立,所以当αβ-最大时,AB k =,设直线:AB x n =+,代入抛物线方程可得240y n --=,34120,4416y y n y y ∆>=-==-,所以4n =,所以直线:4AB x =+.【点睛】关键点点睛:解决本题地关键是利用抛物线方程对斜率进行化简,利用韦达定理得出坐标间地关系.（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做地第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中,曲线1C地参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）,曲线2C地参数方程为26s x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）．（1）写出1C 地普通方程；（2）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线3C 地极坐标方程为2cos sin 0θθ-=,求3C 与1C 交点地直角坐标,及3C 与2C 交点地直角坐标．【解析】（1）()2620y x y =-≥；（2）31,C C 地交点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭,()1,2,32,C C 地交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭,()1,2--．【解析】【分析】(1)消去t ,即可得到1C 地普通方程；(2)将曲线23,C C 地方程化成普通方程,联立求解即解出．【小问1详解】因为26t x +=,y =,所以226y x +=,即1C 普通方程为()2620y x y =-≥．【小问2详解】因为2,6sx y +=-=,所以262x y =--,即2C 地普通方程为()2620y x y =--≤,由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=,即3C 地普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩,解得:121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩,即交点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭,()1,2；联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩,解得:121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩,即交点坐标1,12⎛⎫--⎪⎝⎭,()1,2--．[选修4-5:不等式选讲]23. 已知a ,b ,c 均为正数,且22243a b c ++=,证明:（1）23a b c ++≤；（2）若2b c =,则113a c+≥．【解析】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据()22222242a b c a b c ++=++,利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得043a c <+≤,即可得到1143a c ≥+,再根据权方和不等式即可得证.【小问1详解】证明:由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦,所以23a b c ++≤,当且仅当21a b c ===时,取等号,所以23a b c ++≤；【小问2详解】证明:因为2b c =,0a >,0b >,0c >,由（1）得243a b c a c ++=+≤,的为即043a c <+≤,所以1143a c ≥+,由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c++=+≥=≥++,当且仅当124a c =,即1a =,12c =时取等号,所以113a c+≥.。

2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。

2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁U M＝（ ）A．{2，3，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{2，3，4，5}【答案】A【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，所以∁U M＝{2，3，5}，则N∪∁U M＝{2，3，5}．故选：A．2．（5分）＝（ ）A．﹣1B．1C．1﹣i D．1+i【答案】C【解答】解：＝＝1﹣i．故选：C．3．（5分）已知向量＝（3，1），＝（2，2），则cos〈+，﹣〉＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：根据题意，向量＝（3，1），＝（2，2），则+＝（5，3），﹣＝（1，﹣1），则有|+|＝＝，|﹣|＝＝，（+）•（﹣）＝2，故cos〈+，﹣〉＝＝．故选：B．4．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解答】解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n ＝＝6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m ＝＝4，则这2名学生来自不同年级的概率为P ＝＝＝．故选：D ．5．（5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 2+a 6＝10，a 4a 8＝45，则S 5＝（ ）A ．25B ．22C ．20D ．15【答案】C【解答】解：等差数列{a n }中，a 2+a 6＝2a 4＝10，所以a 4＝5，a 4a 8＝5a 8＝45，故a 8＝9，则d ＝＝1，a 1＝a 4﹣3d ＝5﹣3＝2，则S 5＝5a 1+＝10+10＝20．故选：C ．6．（5分）执行下边的程序框图，则输出的B ＝（ ）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：模拟执行程序框图，如下：n＝3，A＝1，B＝2，k＝1，k≤3，A＝1+2＝3，B＝3+2＝5，k＝2，k≤3，A＝3+5＝8，B＝8+5＝13，k＝3，k≤3，A＝8+13＝21，B＝21+13＝34，k＝4，k＞3，输出B＝34．故选：B．A．1B．2C．4D．5【答案】B【解答】解：根据题意，点P在椭圆上，满足•＝0，可得∠F1PF2＝，又由椭圆C：+y2＝1，其中c2＝5﹣1＝4，可得|PF1|•|PF2|＝2，故选：B．8．（5分）曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（ ）A．y＝x B．y＝x C．y＝x+D．y＝x+【答案】C【解答】解：因为y＝，y′＝＝，故函数在点（1，）处的切线斜率k＝，切线方程为y﹣＝（x﹣1），即y＝．故选：C．9．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为（ ）A．1B．C．2D．3【答案】A【解答】解：如图，PA＝PB＝2，AB＝BC＝2，取AB的中点D，连接PD，CD，可得AB⊥PD，AB⊥CD，又PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD，在△PAB与△ABC中，求得PD＝CD＝，在△PCD中，由PD＝CD＝，PC＝，得PD2+CD2＝PC2，则PD⊥CD，∴，∴×AB＝．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）＝．记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（ ）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】A【解答】解：令g（x）＝﹣（x﹣1）2，则g（x）的开口向下，对称轴为x＝1，∵，而＝，∴，∴，∴由一元二次函数的性质可知g（）＜g（），∵，而，∴，∴，综合可得，又y＝e x为增函数，∴a＜c＜b，即b＞c＞a．故选：A．12．（5分）函数y＝f（x）的图象由y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到f（x）＝cos （2x+）＝﹣sin2x，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为：3．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年高考全国甲卷数学(文)试题及答案使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选：A2. 设z =，则z z ⋅=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 2【答案】D 【解析】【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=.故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B. 12C. 2- D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-.故选：D4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ）A. 2- B.73C. 1D.29【答案】D 【解析】【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理..【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=，又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==.故选：D5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）A.14B.13C. 12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】当甲排排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=.故选：B6. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4 B. 3C. 2【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.的在【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A.16C. 12D. 【答案】A 【解析】【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-，故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯=故选：A.8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.9. 已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1D. 1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪-α⎝⎭，故选：B.原10题略10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ）A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.32【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==-⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：213 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．【答案】()2,1-【解析】.【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+>则()()()2325351g x x x x x =+-=+-'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈-.故答案为：()2,1-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.【答案】（1）153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）353232n⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用等比数列的求和公式可求n S .【小问1详解】因为1233n n S a +=-,故1233n n S a -=-，所以()12332n n n a a a n +=-≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =-=⨯-=-，故11a =，故153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【小问2详解】由等比数列求和公式得5113353523213n nn S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-.16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.【答案】（1）证明见详解； （2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V --=即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，由等体积法可得M ABF F ABM V V --=，21111233232F ABM ABM V S FO -=⋅⋅=⋅⋅=△，222cos 2FA AB FBFAB FAB FA AB+-∠===∠=⋅11sin 222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠==△，设点M 到FAB 的距离为d，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d --==⋅⋅==△，解得d =M 到ABF 17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1ex f x -<恒成立．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【小问1详解】()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'-=-=当0a ≤时，1()0ax f x x -'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.【小问2详解】2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x -'=-+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x-'=-，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=-=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=-+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =，故椭圆方程22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k =-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Q y y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--为()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x t y t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+（2）34a =【解析】【分析】（1）根据cos x ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =20. 实数,ab 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。

2023年全国高考甲卷数学文科试卷附答案2023年全国高考甲卷数学文科试卷（附答案）小编带来了2023年全国高考甲卷数学文科试卷附答案，数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。

下面是小编为大家整理的2023年全国高考甲卷数学文科试卷附答案，希望能帮助到大家!2023年全国高考甲卷数学文科试卷附答案高三数学必考知识点(1)不等关系感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景。

(2)一元二次不等式①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。

②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。

(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组(参见例2)。

③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(参见例3)。

(4)基本不等式：①探索并了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的(小)值问题。

高三数学复习方法注重基础。

要做好基础知识的梳理、基本解题思路的归纳、基本数学思想方法的培养。

数学中的基本概念、定义、公式、数学中一些隐含的知识点、基本的解题思路和方法，是第一轮复习的重中之重。

因此建议同学要先把书本吃透，要先把书本上的常规题做好(近几年有很多高考题都来源于教材)，在教师上课前要预习，必须在自己的头脑里有一个比较清晰的知识网络，在掌握基本知识的基础上，对基本的解题思路和方法做小结和归纳。

上课要把教师解题的方法学到手。

每个同学必须对数学基本题的要求及应答方法、技巧做到心中有数。

学习要立足基础，揭示知识发生、发展和深化过程，展示问题的思维过程，从中领悟基础知识、基本方法的应用，通过变式训练归纳解题方法、技巧、规律和思想方法，促进由知识向能力转化，实现自我完善，争取收到做一题得一法、会一类通一片的效果。

2023甲卷数学试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知函数f(x)=2x+3，下列关于f(x)的描述正确的是：A. 函数是奇函数B. 函数是偶函数C. 函数是单调递减函数D. 函数是单调递增函数答案：D2. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，求a5的值：A. 9B. 10C. 11D. 123. 若直线l的方程为y=2x+1，且直线l与x轴交于点A，求点A的坐标：A. (0, 1)B. (1, 0)C. (-1, 0)D. (0, -1)答案：C4. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，下列关于三角形ABC的描述正确的是：A. 三角形ABC是锐角三角形B. 三角形ABC是直角三角形C. 三角形ABC是钝角三角形D. 无法确定三角形ABC的类型5. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，求圆心坐标：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)答案：A6. 若复数z满足|z|=1，且z的实部为1/2，则z的虚部为：A. √3/2B. -√3/2C. √3/2iD. -√3/2i答案：B7. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的值：A. 3x^2-6xB. 3x^2-6x+2C. x^3-3x^2D. x^3-3x^2+2答案：A8. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∩B的值：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}答案：B二、填空题（每题5分，共30分）9. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值。

答案：-110. 已知向量a=(3, -1)，向量b=(2, 4)，求向量a与向量b的数量积。

答案：511. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a=2，b=1，求双曲线的渐近线方程。