新高考Ⅰ卷2023数学试卷及答案解析(完整版)

【分析】根据向量的坐标运算求出a b λ+a b μ+再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为()()1,1,1,1a b ==-所以(1,1a b λλ+=+-(1,1a b μμ+=+()()a b a b λμ+⊥+可得()()0a b a b λμ+⋅+= )()()()11110λμλμ+++--=整理得：1λμ=-．故选：D ． Df x得ex>上单调递减在12e,-⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增OE AC E=∠则tan CAC1Rt ABF 中914,AF a =12cos F AF ∠=所以在12AF F △因为2223F A F B =-所以(又11F A F B ⊥所以1183F A F B c ⎛⋅= ⎝又点A 在C 上则2222254991c t a b -=所以22222225169c b c a a b -=即25整理得422550c c -）3A B +=即π4C =sin sin(B ==2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=-2222B C A D ∴∥又2222B C A D ，不在同一条直线上2222B C A D ∥.（2）设(0,2,)(0P λλ则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C =--=--设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 2z =得3,1y x λλ=-=- (1,3,n λλ∴=--设平面222A C D 的法向量(,,m a b =则22222202m A C a c m D C a ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-⎪⎩1a =得1,=b c (1,1,2)m ∴=cos ,6n m n m n m⋅==化简可得2430λλ-+= 解得1λ=或3λ=(0,2,1)或(0,2,3)P0fx则(f x 时()f x 在R 上单调递减；在(),ln a -∞-上单调递减）2133a a =13()6d a +=）{}n b 为等差数列13b b =+即2311)a -=1d >0n a ∴>又9999S T -50502550a a ∴-当12a d =16n p ++=本题第一问直接考查全概率公式的应用后两问的解题关键是根据题意找到递推式然1⎛⎫32.11⎛⎫。

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下面是小编为大家整理的2023新高考I卷数学真题及答案，希望能帮助到大家!2023新高考I卷数学真题及答案2023高考考试时间及科目安排传统高考地区各科目高考时间安排如下：6月7日 9:00-11:30 语文考试，6月7日 15:00-17:00 数学考试6月8日9:00-11:30 文综/理综，6月8日15:00-17:00 外语考试3+1+2新高考地区高考各科目时间安排如下：6月7日 9:00-11:30 语文考试，6月7日 15:00-17:00 数学考试6月8日9:00-10:15 物理/历史，6月8日15:00-17:00 外语考试6月9日 8:30-9:45 化学考试，6月9日 11:00-12:15 地理考试6月10日 14:30-15:45 政治考试，6月10日 17:00-18:15 生物考试3+3新高考地区高考各科目时间安排如下：语文科目考试时间：6月7日9:00-11:30;数学科目考试时间：6月7日15:00-17:00;外语科目考试时间：6月7日15:00-17:00;物理科目考试时间：6月7日8:30-9:30;政治科目考试时间：6月7日11:00-12:00;化学科目考试时间：6月7日15:00-16:00;历史科目考试时间：6月10日8:30-9:30;生物科目考试时间：6月10日11:00-12:00;2023年高考试卷类型2023年除了浙江省高考试卷有所调整外，其余各省市采用的试卷基本与2022保持一致，浙江省语数外三科由原来的自主命题变为采用新高考一卷。

这样新高考一卷就增加到了8个省份，试卷类型也由去年的八套试卷，变成了今年的七套试卷，详情如下：一、全国甲卷(5省区)：云南、四川、广西、贵州、西藏二、全国乙卷(12省区)：内蒙古、吉林、黑龙江、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆、山西、安徽、江西、河南三、新高考全国一卷(8省)：山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江四、新高考全国二卷(3省市)：辽宁、重庆、海南五、天津卷：天津市六、上海卷：上海市七、北京卷：北京市注：2023年实行新高考的14省市的物理、化学、生物、政治、历史、地理6科由本省市单独命卷。

2023年高考数学全国一卷试卷及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集{}54321，，，，=U ，集合{}41，=M ，{}52，=N ，则=⋃M C N U （）A .{}5,3,2B .{}431，，C .{}5,4,2,1D .{}5,4,3,22.()()()=-++i i i 22153（）A .1-B .1C .i -1D .i+13.已知向量()1,3=a ，()2,2=b ，则=-+b a b a ,cos （）A .171B .1717C .55D .5524.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A .61B .31C .21D .325.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若1062=+a a ，4584=a a ，则=5S （）A .25B .22C .20D .156.执行右边的程序框图，则输出的=B （）A .21B .34C .55D .897.设21,F F 为椭圆1522=+y x C ：的两个焦点，点P 在C 上，若021=⋅PF PF ，则=⋅21PF PF （）A .1B .2C .4D .58.曲线1+=x e y x 在点⎪⎭⎫⎝⎛21e ，处的切线方程为（）A .x e y 4=B .x ey 2=C .44ex e y +=D .432ex e y +=9.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的离心率为5，C 的一条渐近线与圆()()13222=-+-y x 交于B A ,两点，则=AB （）A .55B .552C .553D .55410.在三棱锥ABC P -中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，2==PB P A ，6=PC ，则该棱锥的体积为（）A .1B .3C .2D .311.已知函数()()21--=x ex f .记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22f a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=23f b ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=26f c ，则（）A .a c b >>B .c a b >>C .ab c >>D .b a c >>12.函数()x f y =的图象由⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62cos πx y 的图象向左平移6π个单位长度，则()x f y =的图象与直线2121-=x y 的交点个数为（）A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题动4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若3678S S =，则{}n a 的公比为.14.若()()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=2sin 12πx ax x x f 为偶函数，则=a .15.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-1332323y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为.16.在正方体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，O 为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2023年高考数学试卷新课标Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=（ ）A. {}2,1,0,1--B. {}0,1,2C. {}2-D. 22. 已知1i22iz -=+,则z z -=（ ） A.i -B. iC. 0D. 13. 已知向量()()1,1,1,1a b ==-,若()()a b a b λμ+⊥+,则（ ） A. 1λμ+= B. 1λμ+=- C. 1λμ= D. 1λμ=-4. 设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则a 的取值范围是（ ）A. (],2-∞-B. [)2,0-C. (]0,2D. [)2,+∞5. 设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =,则=a （ ）A.B.C.D.6. 过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α,则sin α=（ ）A. 1B.C.D.7. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列；乙:{}nS n为等差数列,则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==,则()cos 22αβ+=（ ）． A.79 B.19C. 19-D. 79-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅,其中1x 是最小值,6x 是最大值,则（ ） A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱,定义声压级20lgp pL p =⨯,其中常数()000p p >是听觉下限阈值,p 是实际声压．下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ,则（ ）． A. 12p p ≥ B. 2310p p > C. 30100p p =D. 12100p p ≤11. 已知函数()f x 的定义域为R ,()()()22f xy y f x x f y =+,则（ ）．A. ()00f =B. ()10f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点12. 下列物体中,能够被整体放入棱长为1（单位:m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）A. 直径为0.99m 的球体B. 所有棱长均为1.4m 的四面体C. 底面直径为0.01m ,高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ,高为0.01m 的圆柱体三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14. 在正四棱台1111ABCD A B C D -中,1112,1,AB A B AA ===,则该棱台的体积为________．15. 已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点,则ω的取值范围是________．16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上,点B 在y 轴上,11222,3F A F B F A F B ⊥=-,则C 的离心率为________． 四、解答题:本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中,()3,2sin sin A B C A C B +=-=． （1）求sin A ；（2）设5AB =,求AB 边上的高．18. 如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上,22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明:2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上,当二面角222P A C D --为150︒时,求2B P ． 19. 已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明:当0a >时,()32ln 2f x a >+． 20. 设等差数列{}n a 的公差为d ,且1d >．令2n nn nb a +=,记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=,求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列,且999999S T -=,求d ．21. 甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投籃,若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知:若随机变量i X 服从两点分布,且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅,则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ,求()E Y ．22. 在直角坐标系xOy 中,点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离,记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上,证明:矩形ABCD 的周长大于2023年高考数学试卷新课标Ⅰ卷答案一、选择题.1. C解:因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+,而{}2,1,0,1,2M =--,所以M N ⋂={}2-．故选:C ． 2. A解:因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-,所以1i 2z =,即i z z -=-． 故选:A ． 3. D解:因为()()1,1,1,1a b ==-,所以()1,1a b λλλ+=+-,()1,1a b μμμ+=+- 由()()a b a b λμ+⊥+可得,()()0a b a b λμ+⋅+= 即()()()()11110λμλμ+++--=,整理得:1λμ=-． 故选:D ． 4. D解:函数2xy =在R 上单调递增,而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减,因此12a ≥,解得2a ≥.所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选:D. 5. A解:由21e ,得22213e e =,因此2241134a a --=⨯,而1a >,所以a =故选:A. 6. B解:因为22410x y x +--=,即()2225x y -+=,可得圆心()2,0C ,半径r =过点()0,2P -作圆C 的切线,切点为,A B因为PC ==,则PA ==可得sin APC APC ∠==∠==则sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==22221cos cos 2cos sin 04APB APC APC APC ∠=∠=∠-∠=-=-<⎝⎭⎝⎭即APB ∠为钝角.所以()sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α. 故选:B. 7. C解:甲:{}n a 为等差数列,设其首项为1a ,公差为d 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+ 因此{}nS n为等差数列,则甲是乙的充分条件. 反之,乙:{}nS n为等差数列,即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数,设为t即1(1)n nna S t n n +-=+,则1(1)n n S na t n n +=-⋅+,有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥ 两式相减得:1(1)2n n n a na n a tn +=---,即12n n a a t +-=,对1n =也成立 因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件. 所以甲是乙的充要条件,C 正确. 故选:C. 8. B解:因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=,而1cos sin 6αβ=,因此1sin cos 2αβ=则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=. 故选:B.二、选择题.9. BD解:对于选项A :设2345,,,x x x x 的平均数为m ,126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n 则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系,所以无法判断,m n 的大小 例如:1,2,3,4,5,6,可得 3.5m n ==. 例如1,1,1,1,1,7,可得1,2m n ==. 例如1,2,2,2,2,2,可得112,6m n ==；故A 错误； 对于选项B :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +,故B 正确； 对于选项C :因为1x 是最小值,6x 是最大值则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性,即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差例如:2,4,6,8,10,12,则平均数()12468101276n =+++++= 标准差1s ==4,6,8,10,则平均数()14681074m =+++= 标准差2s ==5>,即12s s >；故C 错误； 对于选项D :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤则6152x x x x -≥-,当且仅当1256,x x x x ==时,等号成立,故D 正确； 故选:BD. 10. ACD解:由题意可知:[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈= 对于选项A :可得1212100220lg20lg 20lg p p p p p L L p p p =-⨯=⨯-⨯ 因为12p p L L ≥,则121220lg0p p p L L p =-⨯≥,即12lg 0pp ≥ 所以121p p ≥且12,0p p >,可得12p p ≥,故A 正确； 对于选项B :可得2332200320lg20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯ 因为2324010p p p L L L -=-≥,则2320lg10p p ⨯≥,即231lg 2p p ≥ 所以23pp ≥23,0p p >,可得23p ≥ 当且仅当250p L =时,等号成立,故B 错误； 对于选项C :因为33020lg40p p L p =⨯=,即30lg 2pp =可得3100p p =,即30100p p =,故C 正确； 对于选项D :由选项A 可知:121220lgp p p L L p =-⨯ 且12905040p p L L ≤-=-,则1220lg40p p ⨯≤ 即12lg2p p ≤,可得12100pp ≤,且12,0p p >,所以12100p p ≤,故D 正确； 故选:ACD. 11. ABC解:因为22()()()f xy y f x x f y =+对于A ,令0x y ==,(0)0(0)0(0)0f f f =+=,故A 正确. 对于B ,令1x y ==,(1)1(1)1(1)f f f =+,则(1)0f =,故B 正确. 对于C ,令1x y ==-,(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-,则(1)0f -=令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=又函数()f x 的定义域为R ,所以()f x 为偶函数,故C 正确对于D ,不妨令()0f x =,显然符合题设条件,此时()f x 无极值,故D 错误. 12. ABD解:对于选项A :因为0.99m 1m <,即球体的直径小于正方体的棱长 所以能够被整体放入正方体内,故A 正确；对于选项B :, 1.4> 所以能够被整体放入正方体内,故B 正确；对于选项C :, 1.8< 所以不能够被整体放入正方体内,故C 正确；对于选项D :, 1.2>设正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ,以1AC 为轴对称放置圆柱,设圆柱的底面圆心1O 到正方体的表面的最近的距离为m h如图,结合对称性可知:11111110.62OC C A C O OC OO ===-= 则1111C O h AA C A =,即0.61h -=解得10.340.012h =>> 所以能够被整体放入正方体内,故D 正确； 故选:ABD.三、填空题．13. 64解:（1（当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有144116C C =种；（2（当从8门课中选修3门①若体育类选修课1门,则不同的选课方案共有1244C C 24=种；②若体育类选修课2门,则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述:不同的选课方案共有16242464++=种. 故答案为:64. 14.解:如图,过1A 作1A M AC ⊥,垂足为M ,易知1A M 为四棱台1111ABCD A B C D -的高因为1112,1,AB A B AA ===则111111111122222AO AC B AO AC ======故()1112AM AC A C =-=,则1A M ===所以所求体积为1(413V =⨯++=故答案为:6. 15. [2,3)解:因为02x π≤≤,所以02x πωω≤≤ 令()cos 10f x x ω=-=,则cos 1x ω=有3个根 令t x ω=,则cos 1t =有3个根,其中[0,2π]t ω∈结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<,故23ω≤<故答案为:[2,3).16.解:依题意,设22AF m =,则2113,22BF m BF AF a m ===+在1Rt ABF 中,2229(22)25m a m m ++=,则(3)()0a m a m +-=,故a m =或3a m=-（舍去）所以124,2AF a AF a ==,213BF BF a ==,则5AB a = 故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===所以在12AF F △中,2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯,整理得2259c a =故5c e a ==.四、解答题．17. （1 （2）6 【小问1详解】3A B C += π3C C ∴-=,即π4C =又2sin()sin sin()A C B A C -==+2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+ sin cos 3cos sin A C A C ∴= sin 3cos A A ∴=即tan 3A =,所以π02A <<sin10A ∴==. 【小问2详解】由（1）知,cos10A ==由sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+=+=由正弦定理,sin sin c bC B=,可得52b ==11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅sin 6h b A ∴=⋅==. 18. （1）证明见解析 （2）1 【小问1详解】以C 为坐标原点,1,,CD CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,如图则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=- 2222B C A D ∴∥又2222B C A D ，不在同一条直线上2222B C A D ∴∥.【小问2详解】 设(0,2,)(04)P λλ≤≤则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=---设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 令 2z =,得3,1y x λλ=-=-(1,3,2)n λλ∴=--设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c =则2222222020m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令 1a =,得1,2==b c(1,1,2)m ∴=cos ,cos1506n m n m n m⋅∴===︒=化简可得,2430λλ-+= 解得1λ=或3λ=(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P21B P ∴=.19. （1）答案见解析 （2）证明见解析 【小问1详解】解:因为()()e x f x a a x =+-,定义域为R ,所以()e 1xf x a '=-当0a ≤时,由于e 0x >,则e 0x a ≤,故()0e 1xf x a -'=<恒成立所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时,令()e 10xf x a '=-=,解得ln x a =-当ln x a <-时,()0f x '<,则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减； 当ln x a >-时,0fx,则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上:当0a ≤时,()f x 在R 上单调递减；当0a >时,()f x 在(),ln a -∞-上单调递减,()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增. 【小问2详解】由（1）得,()()()ln min 2ln ln ln e 1af a a x a f a a a --+=++=+=要证3()2ln 2f x a >+,即证2312ln 2ln a a a ++>+,即证21ln 02a a -->恒成立. 令()()21ln 02g a a a a =-->,则()21212a g a a a a-'=-=令()0g a '<,则02a <<；令()0g a '>,则2a >；所以()g a 在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.所以()2min 1ln 02222g a g ⎛⎛==--=>⎝⎭⎝⎭,则()0g a >恒成立. 所以当0a >时,3()2ln 2f x a >+恒成立,证毕. 20.（1）3n a n = （2）5150d =【小问1详解】21333a a a =+,132d a d ∴=+,解得1a d = 32133()6d d S a a =+==∴又31232612923T b b b d d d d=++=++= 339621S T d d∴+=+= 即22730d d -+=,解得3d =或12d =（舍去） 1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.【小问2详解】{}n b 为等差数列,2132b b b ∴=+,即21312212a a a =+ 2323111616()d a a a a a ∴-==,即2211320a a d d -+=,解得1a d =或12a d = 1d >,0n a ∴>又999999S T -=,由等差数列性质知,5050999999a b -=,即50501a b -=505025501a a ∴-=,即2505025500a a --=,解得5051a =或5050a =-（舍去） 当12a d =时,501495151a a d d =+==,解得1d =,与1d >矛盾,无解； 当1a d =时,501495051a a d d =+==,解得5150d =. 综上,5150d =. 21. （1）0.6（2）1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭（3）52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 【小问1详解】记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ,“第i 次投篮的人是乙”为事件i B 所以,()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.【小问2详解】设()i i P A p =,依题可知,()1i i P B p =-,则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+ 构造等比数列{}i p λ+设()125i i p p λλ++=+,解得13λ=-,则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 又11111,236p p =-=,所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16,公比为25的等比数列,即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【小问3详解】因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,1,2,,i n =⋅⋅⋅ 所以当*N n ∈时,()122115251263185315nn n n n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 22. （1）214y x =+ （2）见解析 【小问1详解】设(,)P x y ,则y =两边同平方化简得214y x =+ 故21:4W y x =+. 【小问2详解】法一:设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<,易知矩形四条边所在直线的斜率均存在,且不为0.则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114AB k b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<- 同理令0BC k b c n =+=>,且1mn =-,则1m n=-设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥,1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=--≥-=+ ⎝.0n >,易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()0f x '=,解得x =当0,2x ⎛∈ ⎝⎭时,()0f x '<,此时()f x 单调递减当,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭,()0f x '>,此时()f x 单调递增则min 27()4f x f ==⎝⎭故122C ≥=,即C ≥当C =时,n m ==,且((b a b a -=-,即m n =时等号成立,矛盾,故C >得证.法二:不妨设,,A B D 在W 上,且BA DA ⊥依题意可设21,4A a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,易知直线BA ,DA 的斜率均存在且不为0则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k-,由对称性,不妨设1k ≤ 直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得220x kx ka a -+-=()()222420k ka a k a ∆=--=->,则2k a ≠则||2|AB k a =-同理||2AD a =+||||2|2AB AD k a a ∴+=-1122k a a k k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =,则(]0,1m ∈,设32(1)1()33m f m m m m m+==+++则2221(21)(1)()23m m f m m m m '-+=+-=,令()0'=f m ,解得12m =当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f m '<,此时()f m 单调递减 当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭,()0f m '>,此时()f m 单调递增 则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭||||AB AD ∴+≥但12|2|2|2k a a k a a k ⎫-+≥-++⎪⎭,此处取等条件为1k =,与最终取等时k =,故AB AD +>. 法三:为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,\矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设 ()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''', 根据对称性不妨设 00t ≥.则 1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+, 由于 A B B C ''''⊥, 则 ()()10201t t t t ++=-.由于 1020,A B t B C t ''''=-=-, 且 0t 介于 12,t t 之间,则 1020A B B C t t ''''+=--. 令 20tan t t θ+=10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''-+⎛⎫+=-++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时第 21 页 共 21 页332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥ ②当 ππ,42θ⎛⎫∈⎪⎝⎭ 时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ--<<- 从而0cot tan 22t θθ-<<又00t ≥ 故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''-++=+ 3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-+>+=+==2≥≥=当且仅当cos 3θ=时等号成立,故A B B C ''''+>,故矩形周长大于。

绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6≥0}，则M∩N=( )A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}2.已知z=1−i2+2i，则z−z−=( )A. −iB. iC. 0D. 13.已知向量a⃗=(1,1)，b⃗⃗=(1,−1).若(a⃗⃗+λb⃗⃗)⊥(a⃗⃗+μb⃗⃗)，则( )A. λ+μ=1B. λ+μ=−1C. λμ=1D. λμ=−14.设函数f(x)=2x(x−a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( )A. (−∞,−2]B. [−2,0)C. (0,2]D. [2,+∞)5.设椭圆C1：x2a2+y2=1(a>1)，C2：x24+y2=1的离心率分别为e1，e2.若e2=√ 3e1，则a=( )A. 2√ 33B. √ 2C. √ 3D. √ 66.过点(0,−2)与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=( )A. 1B. √ 154C. √ 104D. √ 647.记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{S nn}为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知sin(α−β)=13，cosαsinβ=16，则cos(2α+2β)=( )A. 79B. 19C. −19D. −79二、多选题：本题共4小题，共20分。

2023年新高考数学I卷及参考答案(含解析)2023年新高考数学I卷及参考答案(含解析)新高考全国一卷在全国范围内所使用的标准化考试试卷。

该试卷包括语文、数学、外语和必选的文综或理综科目。

以下是关于2023年新高考数学 I 卷及参考答案的相关内容，供大家参考!2023年新课标I卷数学高考试题及答案解析新高考卷什么省用一.云南、广西、贵州、四川、西藏，共5省市区全国甲卷(原全国Ⅲ卷不变)这五个省份的语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。

二.河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西，共12省市区全国乙卷(全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷合并后)全国乙卷的语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。

以上是传统高考省市，接下来我们看看新高考省份。

三.广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北、山东，共7省新高考Ⅰ卷语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。

其中广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北6个省是3+1+2模式的高考省份，山东省是综合改革3+3省份。

四.辽宁、重庆、海南，共3省市新高考Ⅱ卷语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。

其中辽宁、重庆两省市是3+1+2省份，海南是综合改革3+3省份。

五.北京市、上海市、天津市、浙江省，共4省市自主命题这四个地区的考生分别使用其自主命题的试卷，即：北京卷、上海卷、天津卷、浙江卷。

新高考卷难吗比较难。

在2022年高考的全国卷中，数学共有6套试卷，分别是甲卷文理科共2套、乙卷文理科共2套、新高考1卷1套和新高考2卷2套。

这6套数学试卷中，从考生目前反映的情况来看，综合难度最大的还是无疑是新高考一卷了。

有不少考生表示，前面几道题还好，从第6题开始人就懵了，最后不少考生考完数学都哭了起来。

比如新高考一卷数学的第12题，也就是多选题的压轴题，难度太大，很多考生直言毫无头绪。

2023年新高考全国一卷数学试卷及答案（参考）2023年新高考全国一卷数学试卷及答案（参考）高考数学考察的是得分能力，而不是做题能力!我们需要在有限的时间内拿到更多的分数，以下是小编整理的一些2023年新高考全国一卷数学试卷及答案，仅供参考。

2023年新高考全国一卷数学试卷及答案理科数学的考点1.【数列】&【解三角形】数列与解三角形的知识点在解答题的第一题中，是非此即彼的状态，近些年的特征是大题第一题两年数列两年解三角形轮流来，x年大题第一题考查的是数列，x年大题第一题考查的是解三角形，故预计x 年大题第一题较大可能仍然考查解三角形。

数列主要考察数列的定义，等差数列、等比数列的性质，数列的通项公式及数列的求和。

解三角形在解答题中主要考查正、余弦定理在解三角形中的应用。

2.【立体几何】高考在解答题的第二或第三题位置考查一道立体几何题，主要考查空间线面平行、垂直的证明，求二面角等，出题比较稳定，第二问需合理建立空间直角坐标系，并正确计算。

3.【概率】高考在解答题的第二或第三题位置考查一道概率题，主要考查古典概型，几何概型，二项分布，超几何分布，回归分析与统计，近年来概率题每年考查的角度都不一样，并且题干长，是学生感到困难的一题，需正确理解题意。

4.【解析几何】高考在第20题的位置考查一道解析几何题。

主要考查圆锥曲线的定义和性质，轨迹方程问题、含参问题、定点定值问题、取值范围问题，通过点的坐标运算解决问题。

5.【导数】高考在第21题的位置考查一道导数题。

主要考查含参数的函数的切线、单调性、最值、零点、不等式证明等问题，并且含参问题一般较难，处于必做题的最后一题。

6.【选做题】今年高考几何证明选讲已经删除，选考题只剩两道，一道是坐标系与参数方程问题，另一道是不等式选讲问题。

坐标系与参数方程题主要考查曲线的极坐标方程、参数方程、直线参数方程的几何意义的应用以及范围的最值问题;不等式选讲题主要考查绝对值不等式的化简，求参数的范围及不等式的证明。

2023全国高考新课标1卷数学试卷(带答案解析)2023全国高考新课标1卷数学试卷(带答案解析)2023新高考使用全国一卷的省份达到了8个，分别是广东、福建、江苏、河北、山东、湖南，湖北和浙江。

以下是关于2023全国高考新课标1卷数学试卷带答案的相关内容，供大家参考!2023全国新高考1卷数学试题真题及参考答案2023新课标一卷数学难吗2023年新课标一卷数学会对学生提出较高的要求，但总体来说难度不会太大。

主要有以下几个方面的变化：1、新课标倡导数学实践和探究，更加强调学生的数学运用能力和问题解决能力。

所以，考试题目中的计算链会相对简单，但可能出现更多的非例行计算题，要求学生能够发现问题，提出假设，并验证。

这增加了一定难度。

2、新考纲对几何和统计的要求有所加强，几何方面可能考查平面向量、立体几何等较难的内容。

统计方面可能涉及条件概率及贝叶斯定理等。

这也是一定难度的增加。

3、新考纲提高对图形、统计数据和情景分析的要求。

这意味着一套题目中，读图、抓数和分析能力的发挥变得更加关键。

对某些学生而言，这也增加了难度。

4、新课标倡导综合利用相关数学知识解决问题，这要求考生有较强的分析问题和转化问题的能力，并能够灵活运用多道数学知识。

这是对许多学生来说比较难的一点。

但是，总体来说，2023年新课标一卷数学的难度不会离经叛道。

原因有：1、考试范围和要点没有太大调整，主要考查的依然是基础知识与技能。

2、难度系数的确定还是会考虑到绝大多数学生的学习状态和接受能力。

3、试卷的区分度和鉴别度不会过高，主要还是体现基本教学要点。

4、这次改革的重点是更加注重对能力和素质的培养，而不在于考查过于难的知识。

对大部分学生来说，只要认真学习新课标所要求的知识与技能，并积极培养相关的数学素养与能力，2023年新课标一卷数学是可以很好地应对的。

部分考生也许会感到一定难度，但只要在复习中有针对性的提高，成绩依然可以达到较好水平。

新课标一卷数学对考生的影响1、它提高了对数学素养和能力的要求，新课标更加强调对数学思维方式、数学建模和问题解决能力的培养。

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N = （）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1,2 C.{}2- D.2【答案】C 【解析】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．2.已知1i22iz -=+，则z z -=（）A.i -B.iC.0D.1【答案】A 【解析】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．3.已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A.1λμ+=B.1λμ+=-C.1λμ= D.1λμ=-【答案】D 【解析】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．4.设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.[)2,0- C.(]0,2 D.[)2,+∞【答案】D 【解析】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D5.设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则=a （）A.3B.C.D.【答案】A 【解析】由21e =，得22213e e =，因此2241134a a --=⨯，而1a >，所以233a =.故选：A 6.过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.1B.154C.104D.64【答案】B 【解析】方法一：因为22410x y x +--=，即()2225x y -+=，可得圆心()2,0C ，半径r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，因为PC ==，则PA ==可得106sin44APC APC ∠==∠=，则10615sin sin 22sin cos 2444APB APC APC APC ∠=∠=∠∠=⨯⨯=，22226101cos cos 2cos sin 0444APB APC APC APC ⎛⎫⎛∠=∠=∠-∠=-=-< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即APB ∠为钝角，所以()15sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α；法二：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C，半径r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB ，可得PC ==，则PA PB ===，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB +-⋅∠=+-⋅∠且πACB APB ∠=-∠，则()336cos 5510cos πAPB APB +-∠=+--∠，即3cos 55cos APB APB -∠=+∠，解得1cos 04APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，则()1cos cos πcos 4APB APB =-∠=-∠=α，且α为锐角，所以15sin 4α==；方法三：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径r =，若切线斜率不存在，则切线方程为0y =，则圆心到切点的距离2d r =>，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2y kx =-，即20kx y --=，=，整理得2810k k ++=，且644600∆=-=>设两切线斜率分别为12,k k ，则12128,1k k k k +=-=，可得12k k -==所以1212tan 1k k k k -==+α，即sin cos αα=，可得cos =α，则2222sin sin cos sin 115+=+=αααα，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0α>，解得15sin 4α=.故选：B.7.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C 【解析】方法一，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法二，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C 8.已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）．A.79 B.19C.19-D.79-【答案】B 【解析】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选：B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差【答案】BD 【解析】对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=，因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6m n ==；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()12468101276n =+++++=，标准差13s =，4,6,8,10，则平均数()14681074m =+++=，标准差2s =，显然53>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；故选：BD.10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lgp pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．A.12p p ≥B.2310p p >C.30100p p =D.12100p p ≤【答案】ACD 【解析】由题意可知：[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈=，对于选项A ：可得1212100220lg20lg 20lg p p p p p L L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为12p p L L ≥，则121220lg0p p p L L p =-⨯≥，即12lg 0pp ≥，所以121p p ≥且12,0p p >，可得12p p ≥，故A 正确；对于选项B ：可得2332200320lg20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为2324010p p p L L L -=-≥，则2320lg10p p⨯≥，即231lg 2p p ≥，所以23p p ≥23,0p p >，可得23p ≥，当且仅当250p L =时，等号成立，故B 错误；对于选项C ：因为33020lg40p p L p =⨯=，即30lg 2pp =，可得3100p p =，即30100p p =，故C 正确；对于选项D ：由选项A 可知：121220lgp p p L L p =-⨯，且12905040p p L L ≤-=-，则1220lg40p p ⨯≤，即12lg2p p ≤，可得12100pp ≤，且12,0p p >，所以12100p p ≤，故D 正确；故选：ACD.11.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A.()00f =B.()10f =C.()f x 是偶函数 D.0x =为()f x 的极小值点【答案】ABC 【解析】方法一：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，不妨令()0f x =，显然符合题设条件，此时()f x 无极值，故D 错误.方法二：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，当220x y ≠时，对22()()()f xy y f x x f y =+两边同时除以22x y ，得到2222()()()f xy f x f y x y x y=+，故可以设2()ln (0)f x x x x =≠，则2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，当0x >肘，2()ln f x x x =，则()212ln (2ln 1)x x x x xf x x =+⋅=+'，令()0f x '<，得120ex -<<；令()0f x ¢>，得12e x ->；故()f x 在120,e -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在12,0e -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在12,e -⎛⎫ ⎪⎝∞⎭-上单调递减，显然，此时0x =是()f x 的极大值，故D 错误.故选：ABC .12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m 的球体B.所有棱长均为1.4m 的四面体C.底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D.底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体【答案】ABD 【解析】对于选项A ：因为0.99m 1m <，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A 正确；对于选项B 1.4>，所以能够被整体放入正方体内，故B 正确；对于选项C 1.8<，所以不能够被整体放入正方体内，故C 正确；对于选项D ：因为1.2m 1m >，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过1AC 的中点O 作1OE AC ⊥，设OE AC E =I ，可知1131,=2AC CC AC ===，则11tan CC OE CAC AC AO ∠==，=，解得64OE =，且2263990.6482425⎛==>= ⎝⎭，即0.64>，故以1AC 为轴可能对称放置底面直径为1.2m 圆柱，若底面直径为1.2m 的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心1O ，与正方体的下底面的切点为M ，可知：111,0.6AC O M O M ⊥=，则1111tan CC O MCAC AC AO ∠==，10.6AO =，解得1AO =，根据对称性可知圆柱的高为2 1.732 1.21.4140.03520.01-⨯≈-⨯=>，所以能够被整体放入正方体内，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．【答案】64【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144116C C =种；（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244C C 24=种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述：不同的选课方案共有16242464++=种.故答案为：64.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1112,1,AB A B AA ===的体积为________．【答案】6【解析】【分析】结合图像，依次求得111,,AO AO A M ，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过1A 作1A M AC ⊥，垂足为M ，易知1A M 为四棱台1111ABCD A B C D -的高，因为1112,1,AB A B AA ===则1111111111222222A O A C B AO AC ==⨯⨯====故()111222AM AC A C =-=，则162A M ===，所以所求体积为1676(41326V =⨯++⨯=.故答案为：766.15.已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．【答案】[)2,3【解析】【分析】令()0f x =，得cos 1x ω=有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为02x π≤≤，所以02x πωω≤≤，令()cos 10f x x ω=-=，则cos 1x ω=有3个根，令t x ω=，则cos 1t =有3个根，其中[0,2π]t ω∈，结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<，故23ω≤<，故答案为：[)2,3.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=-，则C 的离心率为________．【答案】355【解析】方法一：依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，在1Rt ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-（舍去），所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =，故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===，所以在12AF F △中，2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯，整理得2259c a =，故355c e a ==.方法二:依题意，得12(,0),(,0)F c F c -，令()00),,(0,A x y B t ，因为2223F A F B =- ，所以()()002,,3x c y c t -=--，则00235,3x c y t ==-，又11F A F B ⊥ ，所以()1182,,33F A F B c t c t ⎛⎫⋅=-⎪⎝⎭ 2282033c t =-=，则224t c =，又点A 在C 上，则2222254991c t a b -=，整理得2222254199c t a b -=，则22222516199c c a b-=，所以22222225169c b c a a b -=，即()()2222222225169cca a c a c a --=-，整理得424255090c c a -+=，则()()22225950c a ca --=，解得2259c a =或225c a =，又1e >，所以5e =或5e =（舍去），故5e =.故答案为：355.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．【答案】（1）31010（2）6【解析】【小问1详解】3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，sin10A∴==.【小问2详解】由（1）知，10cos10A==，由sin sin()B A C=+sin cos cos sin)210105A C A C=+==，由正弦定理，sin sinc bC B=，可得255522b⨯==，11sin22AB h AB AC A∴⋅=⋅⋅，sin610h b A∴=⋅==.18.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D-中，12,4AB AA==．点2222,,,A B C D分别在棱111,,AA BB CC,1DD上，22221,2,3AA BB DD CC====．（1）证明：2222B C A D∥；（2）点P在棱1BB上，当二面角222P A C D--为150︒时，求2B P．【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】【小问1详解】以C为坐标原点，1,,CD CB CC所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图，则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A ，2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=-，2222B C A D ∴ ∥，又2222B C A D ，不在同一条直线上，2222B C A D ∴∥.【小问2详解】设(0,2,)(04)P λλ≤≤，则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=---，设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =，则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令2z =，得3,1y x λλ=-=-，(1,3,2)n λλ∴=--，设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c =，则2222222020m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1a =，得1,2==b c ，(1,1,2)m ∴=，2263cos ,cos150264(1)(3)n m n m n m λλ⋅∴==︒=+-+- ，化简可得，2430λλ-+=，解得1λ=或3λ=，(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P ，21B P ∴=.19.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【小问1详解】因为()()e xf x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10xf x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.【小问2详解】方法一：（函数最值）由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e 1af a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则202a <<；令()0g a '>，则22a >；所以()g a 在20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 2212ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法二：（切线放缩1x e x ≥+）令()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-，由于e x y =在R 上单调递增，所以()e 1xh x '=-在R 上单调递增，又()00e 10h '=-=，所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>；所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h ≥=，则e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，因为()2ln 22()e e eln 1xx x af x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-，当且仅当ln 0x a +=，即ln x a =-时，等号成立，所以要证3()2ln 2f x a >+，即证23ln 12ln 2x a a x a +++->+，即证21ln 02a a -->，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >；所以()g a 在20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 1ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法三：（切线放缩ln 1x x ≤-）由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e1af a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，又因为221110224a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以2112a a ->-，而ln 1a a ≤-，所以21ln 2a a ->，故3()2ln 2f x a >+成立，得证明.方法四：（同构+切线放缩）当0a >时，要证3()2ln 2f x a >+，即证明()32ln 2x a e a x a +->+，只需证：232ln 02x ae x a a -+-->，即证()()ln 22211ln 11ln 022x a e x a a a a +-+++--+>，因为1x e x ≥+，故()ln ln 10x a e x a +-++≥，因为ln 1x x ≤-，故()2211ln 02a a --≥，又2102a >，故()()ln 22211ln 11ln 022x a e x a a a a +-+++--+>成立，即3()2ln 2f x a >+成立，得证明.20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．【答案】（1）3n a n =（2）5150d =【解析】【小问1详解】21333a a a =+ ，132d a d ∴=+，解得1a d =，32133()6d d S a a =+==∴，又31232612923T b b b d d d d=++=++=，339621S T d d∴+=+=，即22730d d -+=，解得3d =或12d =（舍去），1(1)3n a a n d n∴=+-⋅=.【小问2详解】{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，即21312212a a a =+，2323111616()d a a a a a ∴-==，即2211320a a d d -+=，解得1a d =或12a d =，1d > ，0n a ∴>，又999999S T -=，由等差数列性质知，5050999999a b -=，即50501a b -=，505025501a a ∴-=，即2505025500a a --=，解得5051a =或5050a =-（舍去）当12a d =时，501495151a a d d =+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解；当1a d =时，501495051a a d d =+==，解得5150d =.综上，5150d =.21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．【答案】（1）0.6（2）1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭（3）52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】【小问1详解】记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ，“第i 次投篮的人是乙”为事件i B ，所以，()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.【小问2详解】设()i i P A p =，依题可知，()1i i P B p =-，则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+，即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+，构造等比数列{}i p λ+，设()125i i p p λλ++=+，解得13λ=-，则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又11111,236p p =-=，所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为25的等比数列，即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【小问3详解】因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，1,2,,i n =⋅⋅⋅，所以当*N n ∈时，()122115251263185315nnnn n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于【答案】（1）214y x =+（2）见解析【解析】【小问1详解】设(,)P x y ,则y =，两边同平方化简得214y x =+，故21:4W y x =+.【小问2详解】法一：设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114AB k b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<-，同理令0BC k b c n =+=>，且1mn =-，则1m n=-，设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥，1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+，则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=--≥-=+ ⎝.0n >，易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令()0f x '=，解得22x =，当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 单调递增，则min 227()24f x f ⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，故122C ≥=,即C ≥.当C =时,2,2n m ==,且((b a b a -=-m n =时等号成立，矛盾，故C >得证.法二：不妨设,,A B D 在W 上，且BA DA ⊥，依题意可设21,4A a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，易知直线BA ，DA 的斜率均存在且不为0，则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k-，由对称性，不妨设1k ≤，直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++，则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得220x kx ka a -+-=，()()222420k ka a k a ∆=--=->，则2k a≠则||2|AB k a =-，同理||2AD a =，||||2|2AB AD k a a ∴+=-1122k a ak k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =，则(]0,1m ∈，设32(1)1()33m f m m m m m +==+++，则2221(21)(1)()23m m f m m m m '-+=+-=，令()0'=f m ，解得12m =，当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '<，此时()f m 单调递减，当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f m '>，此时()f m 单调递增，则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，||||2AB AD ∴+≥，12|2|2|2k a a k a a k ⎫-≥-++⎪⎭，此处取等条件为1k =，与最终取等时22k =不一致，故332AB AD +>.法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''',根据对称性不妨设00t ≥.则1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+,由于A B B C ''''⊥,则()()10201t t t t ++=-.由于1020,A B t B C t ''''=-=-,且0t 介于12,t t 之间,则1020A B B C t t ''''+=-+-.令20tan t t θ+=,10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''-+⎛⎫+=-++=+⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥②当ππ,42θ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ--<<-,从而0cot tan 22t θθ-<<又00t ≥,故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''-++=+3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-+>+=+==2≥，当且仅当cos 3θ=时等号成立，故332A B B C''''+>，故矩形周长大于..。

（2023·新高考Ⅰ卷·1·★）已知集合{2,1,0,1,2}M =−−，2{|60}N x x x =−−≥，则M N =（ ）（A ）{2,1,0,1}−− （B ）{0,1,2} （C ）{2}− （D ）{2} 答案：C解析：260(2)(3)02x x x x x −−≥⇔+−≥⇔≤−或3x ≥，所以(,2][3,)N =−∞−+∞， 又{2,1,0,1,2}M =−−，所以{2}MN =−.（2023·新高考Ⅰ卷·2·★）已知1i22iz −=+，则z z −=（ ） （A ）i − （B ）i （C ）0 （D ）1 答案：A解析：由题意，221i (1i)(22i)22i 2i 2i 4i 1i22i (22i)(22i)44i 82z −−−−−+−=====−++−−，所以1i 2z =，故11i i i 22z z −=−−=−. （2023·新高考Ⅰ卷·3·★）已知向量(1,1)=a ，(1,1)=−b ，若()()λμ+⊥+a b a b ，则（ ） （A ）1λμ+= （B ）1λμ+=− （C ）1λμ= （D ）1λμ=− 答案：D解析：向量垂直可用数量积为0来翻译，此处可先求两个向量的坐标，再算数量积，但若注意到0⋅=a b ，则会发现直接展开计算量更小，因为()()λμ+⊥+a b a b ，所以22()()()0λμλμλμ+⋅+=++⋅+=a b a b a a b b ①，又(1,1)=a ，(1,1)=−b ，所以222112=+=a ，2221(1)2=+−=b ，111(1)0⋅=⨯+⨯−=a b ， 代入①得：220λμ+=，所以1λμ=−.（2023·新高考Ⅰ卷·4·★★）设函数()()2x x a f x −=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,2]−∞− （B ）[2,0)− （C ）(0,2] （D ）[2,)+∞ 答案：D解析：函数()y f x =由2u y =和()u x x a =−复合而成，可由同增异减准则分析单调性， 因为2u y =在R 上，所以要使()()2x x a f x −=在(0,1)上，只需()u x x a =−在(0,1)上，二次函数2()u x x a x ax =−=−的对称轴为2a x =，如图，由图可知应有12a≥，解得：2a ≥.x =（2023·新高考Ⅰ卷·5·★）设椭圆2212:1(1)x C y a a +=>，222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2e ，若21e =，则a =（ ）（A （B （C （D 答案：A解析：由题意，1e =，22e ==，因为21e =，解得：a =. （2023·新高考Ⅰ卷·6·★★）过点(0,2)−与圆22410x y x +−−=相切的两直线的夹角为α，则sin α=（ ） （A ）1 （B（C（D答案：B解析：2222410(2)5x y x x y +−−=⇒−+=，圆心为(2,0)C，r =，记(0,2)P −，两切点分别为A ，B ， 如图，P A ，PB 的夹角APB απ=−∠，所以sin sin()sin APB APB απ=−∠=∠，注意到2APB APC ∠=∠，故要求sin APB ∠，可先在Rt PAC ∆中求sin APC ∠和cos APC ∠，再用二倍角公式，因为PC ==AC r ==，所以PA =从而cos PA APC PC∠==，sin AC APC PC∠==故sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==.（2023·新高考Ⅰ卷·7·★★★）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列，乙：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则（ ）（A ）甲是乙的充分条件但不是必要条件 （B ）甲是乙的必要条件但不是充分条件 （C ）甲是乙的充要条件（D ）甲既不是乙的充分也不是乙的必要条件 答案：C解析：判断是否为等差数列，就看通项是否为pn q +或前n 项和是否为2An Bn +的形式，故直接设形式来分析，先看充分性，若{}n a 为等差数列，则可设2n S An Bn =+， 此时nS An B n=+，满足等差数列的形式特征， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，故充分性成立；再看必要性，此时可将nS n设为等差数列的通项形式，看看n S 是否满足等差数列的形式特征， 若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则可设n S pn q n =+，所以2n S pn qn =+，满足等差数列前n 项和的形式特征， 从而{}n a 是等差数列，必要性成立，故选C.【反思】{}n a 是等差数列的充要条件是通项为pn q +的形式，或前n 项和n S 为2An Bn +的形式，熟悉这一特征可巧解一些等差数列的概念判断题.（2023·新高考Ⅰ卷·8·★★★）已知1sin()3αβ−=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=（ ）（A ）79 （B ）19（C ）19− （D ）79− 答案：B解析：只要求出cos()αβ+或sin()αβ+，就能用二倍角公式算cos(22)αβ+，而已知的cos sin αβ是sin()αβ+展开才有的结构，故先算sin()αβ+，将sin()αβ−展开也会出现cos sin αβ，于是展开， 由题意，1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ−=−= ①， 又1cos sin 6αβ=，代入①可求得1sin cos 2αβ=， 所以112sin()sin cos cos sin 263αβαβαβ+=+=+=， 故2221cos(22)12sin ()12()39αβαβ+=−+=−⨯=.（2023·新高考Ⅰ卷·9·★★★）（多选）有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（ ） （A ）2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 （B ）2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 （C ）2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 （D ）2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差 答案：BD解析：A 项，1x 和6x 偏离平均数的程度不一定相同，所以去掉它们后，平均数可能发生变化，故能想象A 项错误，我们举个例子，不妨设这组数据为0，2，3，4，5，6， 则原平均数023*******x +++++==， 去掉0和6之后的平均数2345742x x +++'==≠， 故A 项错误；B 项，不妨假设126x x x ≤≤⋅⋅⋅≤，则2345,,,x x x x 和126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数都是342x x +，故B 项正确； C 项，1x 和6x 偏离平均数较大，去掉它们后，标准差可能减小，故通过直观想象能得出C 项错误， 举个例子，不妨设这组数据为1，2，3，5，6，7， 则12356746x +++++==，2221[(14)(24)6s =−+−+222214(34)(54)(64)(74)]3−+−+−+−=，去掉1和7后，235644x +++'==， 2222215[(24)(34)(54)(64)]42s '=−+−+−+−=，所以22s s '<，从而s s '<，故C 项错误；D 项，沿用B 项的假设，则2345,,,x x x x 的极差为52x x −，126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差为61x x −， 要比较两个极差的大小，可再将它们作差判断正负，因为61526521()()()()0x x x x x x x x −−−=−+−≥，所以5261x x x x −≤−，故D 项正确.（2023·新高考Ⅰ卷·10·★★★）（多选）噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量噪声的强度，定义声压级020lgP pL p =⨯，其中常数00(0)p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则（ ） （A ）12p p ≥ （B ）2310p p > （C ）30100p p = （D ）12100p p ≤ 答案：ACD解析：因为我们要比较的是1p ，2p ，3p 的一些大小情况，所以先由所给等式解出p ，由题意，020lg P p L p =⨯，所以0lg20P L p p =，从而20010PL p p =，故20010P Lp p = ①， A 项，由式①可以看到，P L 越大，则p 也越大，由表中数据可知燃油汽车的声压级P L 大于等于混合动力汽车的声压级，所以12p p ≥，故A 项正确； B 项，由表中数据可知506020200201010p p p ≤≤，所以0201000p p ≤≤ ①， 又402030010100p p p ==，所以2310p p ≤，故B 项错误，C 项正确；D 项，由表中数据可知609020200101010p p p ≤≤，所以0101000p p ≤≤，而由①可得020*********p p ≤≤， 所以12100p p ≤，故D 项正确.（2023·新高考Ⅰ卷·11·★★★）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则（ ） （A ）(0)0f = （B ）(1)0f = （C ）()f x 是偶函数 （D ）0x =为()f x 的极小值点 答案：ABC解析：A 项，给出22()()()f xy y f x x f y =+这类性质，让求一些具体的函数值，常用赋值法， 令0x y ==可得22(00)0(0)0(0)f f f ⨯=+，所以(0)0f =，故A 项正确；B 项，令1x y ==可得22(11)1(1)1(1)f f f ⨯=+，所以(1)0f =，故B 项正确；C 项，要判断奇偶性，就看()f x −与()f x 的关系，为了产生()f x −，可将y 取成1−， 令1y =−可得2()()(1)f x f x x f −=+− ①，所以还得算(1)f −，继续赋值，令1x y ==−可得222((1))(1)(1)(1)(1)f f f −=−−+−−，所以(1)2(1)f f =−，结合(1)0f =可得(1)0f −=， 代入①得()()f x f x −=，所以()f x 是偶函数，故C 项正确；D 项，ABC 都对，可大胆猜测D 项错误，正面推理判断此选项较困难，可尝试举个反例，观察发现常值函数()0f x =满足所给等式，故可用它来判断选项，令()0f x =，经检验，满足22()()()f xy y f x x f y =+，显然此时0x =不是()f x 的极小值点，故D 项错误.（2023·新高考Ⅰ卷·12·★★★★）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） （A ）直径为0.99m 的球体（B ）所有棱长均为1.4m 的正四面体 （C ）底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体 （D ）底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体 答案：ABD解析：A 项，因为正方体的内切球直径为1m ，所以直径为0.99m 的球体可以放入正方体容器，故A 项正确； B 项，看到正方体和正四面体，要想到由正方体的面对角线可以构成正四面体，如图1，，比1.4大，从而所有棱长均为1.4m 的正四面体可以放入正方体容器，故B 项正确；C 项，注意到圆柱的底面直径很小，圆柱很细长，不妨将其近似成线段，故先看1.8m 的线段能否放入正方体， 如图1，正方体的棱长为1，则正方体表面上任意两点之间距离的最大值为1 1.8BD =<，所以高为1.8m 的圆柱不可能放入该正方体，故C 项错误；D 项，注意到圆柱的高很小，不妨将圆柱近似看成圆，故先分析直径为1.2m 的圆能否放入正方体，为了研究这一问题，我们得先找正方体的尽可能大的截面，正方体有一个非常特殊的截面，我们不妨来看看， 如图2，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别为所在棱的中点，则EFGHIJ的正六边形， 其内切圆如图3，其中K 为HI中点，则内切圆半径r OK ===，直径2 1.2r =>， 所以可以想象，底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体能放进正方体容器，故D 项正确.1A 1B 1C 1D AB CD1图2图1A 1B 1C 1D A B CDE FGHIJ E F GHIJOK 3图（2023·新高考Ⅰ卷·13·★★）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选2门或3门课，并且每类选修课至少选1门，则不同的选课方案共有_____种.（用数字作答） 答案：64解析：由于一共可以选2门或3门，所以据此分类，若选2门，则只能体育类、艺术类各选1门，有1144C C 16=种选法；若选3门，则可以体育1门艺术2门，或体育2门，艺术1门，有12214444C C C C 48+=种选法；由分类加法计数原理，不同的选课方案共有164864+=种.（2023·新高考Ⅰ卷·14·★★★）在正四棱台1111ABCD A B C D −中，2AB =，111A B =，1AA =积为_____.答案：7√66解析：求正四棱台的体积只差高，由于知道侧棱长，故在包含高和侧棱的截面11AAC C 中来分析， 设正四棱台的高为h ，如图，作1A E AC ⊥于点E ，1C F AC ⊥于点F ，则11A E C F h ==， 因为111A B =，2AB =，所以11EF AC ==AC =1()2AE AC EF =−=，又1AA =，所以1A E ==h =，正四棱台的上、下底面积分别为1S '=，4S =，所以正四棱台的体积1(3V S S h '=++=1A 1B 1C 1D ABCDEF（2023·新高考Ⅰ卷·15·★★）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=−>在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是_____. 答案：[2,3)解析：()0cos 10cos 1f x x x ωω=⇔−=⇔=，所以问题等价于cos y x ω=在[0,2]π恰有3个最大值点， 函数cos y x ω=的图象容易画出，故直接画图来看， 如图，要使cos y x ω=在[0,2]π上有恰有3个最大值点，应有462πππωω≤<，解得：23ω≤<.（2023·新高考Ⅰ卷·16·★★★）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在C上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥，2223F A F B =−，则C 的离心率为_____.解析：如图，条件中有2223F A F B =−，不妨设一段长度，看能否表示其余线段的长，设22AF m =，因为2223F A F B =−，所以23BF m =，故225AB AF BF m =+=，由对称性，123BF BF m ==， 又11F A F B ⊥，所以14AF m ==，1AF 和2AF 都有了，用双曲线的定义可找到m 和a 的关系，于是用双余弦法建立方程求离心率，由图可知A 在双曲线C 的右支上，所以1222AF AF m a −==，从而m a =，故123BF BF a ==， 又122F F c =，所以在12BF F ∆中，由余弦定理推论， 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +−∠=⋅222222994922339a a c a c a a a +−−==⨯⨯，在1ABF ∆中，1133cos 55BF m ABF ABm ∠===， 因为112ABF F BF ∠=∠，所以22292395a c a −=， 故双曲线C的离心率c e a ==.（2023·新高考Ⅰ卷·17·★★★）已知在ABC ∆中，3A B C +=，2sin()sin A C B −=. （1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高.解：（1）由题意，3A B C C π+=−=，所以4C π=，（要求的是sin A ，故用4C π=和34A B π+=将2sin()sin A C B −=的消元，把变量统一成A ） 由334A B C π+==可得34B A π=−，代入2sin()sin A C B −=可得32sin()sin()44A A ππ−=−， 所以332(sin coscos sin )sin cos cos sin 4444A A A A ππππ−=−，整理得：1cos sin 3A A =， 代入22sin cos 1A A +=可得221sin sin19A A +=，所以sin A =0A π<<可得sin A =.（2）设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则5c AB ==，如图，AB 边上的高sin CD CD a B == ①， （已知A ，C ，故sin B 可用内角和为π来求）3sin sin()422B A A A π=−=+=， （再求a ，已知条件有C ，c ，sin A ，故用正弦定理求a ） 由正弦定理，sin sin a cA C =，所以sin sin c A a C==代入①得6CD ==，故AB 边上的高为6.ABCD a（2023·新高考Ⅰ卷·18·★）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，2AB =，14AA =. 点2A ，2B ，2C ，2D 分别在棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 上，21AA =，222BB DD ==，23CC =. （1）证明：22B C ∥22A D ；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D −−为o 150时，求2B P .1A 1B 1C 1D ABC DP 2B 2C2D 2A解：（1）（正四棱柱底面为正方形，侧棱垂直于底面，故天然就有三条两两垂直的直线，可建系证明） 以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则2(0,2,2)B ，2(0,0,3)C ，2(2,2,1)A ，2(2,0,2)D ， 所以22(0,2,1)B C =−，22(0,2,1)A D =−，故2222B C A D =， 由图可知直线22B C 与22A D 不重合，所以22B C ∥22A D .（2）（点P 在棱1BB 上运动时，只有z 坐标会变，故可直接设其坐标，用于计算平面22PA C 的法向量） 设(0,2,)(04)P a a ≤≤，则22(2,2,2)A C =−−，2(0,2,3)C P a =−，22(2,0,1)C D =−， 设平面22PA C 和平面222A C D 的法向量分别为111(,,)x y z =m ，222(,,)x y z =n ，则2211121122202(3)0A C x y z C P y a z ⎧⋅=−−+=⎪⎨⋅=+−=⎪⎩m m ， 令13y a =−，则1112x a z =−⎧⎨=−⎩，所以(1,3,2)a a =−−−m 是平面22PA C 的一个法向量，222222222222020A C x y z C D x z ⎧⋅=−−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩n n ，令21x =，则2212y z =⎧⎨=⎩， 所以(1,1,2)=n 是平面222A C D 的一个法向量， 因为二面角222P A C D −−为o 150，所以cos ,⋅<>===⋅m n m n m n， 解得：3a =或1，所以221B P a =−=.（2023·新高考Ⅰ卷·19·★★★）已知函数()(e )x f x a a x =+−. （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，3()2ln 2f x a >+. 解：（1）由题意，()e 1x f x a '=−，（1()0ln f x x a'=⇒=，但这个零点只在0a >时有意义，故据此讨论） 当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减， 当0a >时，11()0e 10e ln x x f x a x a a'<⇔−<⇔<⇔<，1()0ln f x x a '>⇔>， 所以()f x 在1(,ln )a −∞上单调递减，在1(ln ,)a+∞上单调递增.（2）由（1）可得当0a >时，()f x 有最小值1ln 2111(ln )(e )ln ()ln 1ln a f a a a a a a a a a a=+−=++=++，（要证3()2ln 2f x a >+，只需证13(ln )2ln 2f a a >+，此不等式中ln a 已孤立，故直接移项构造函数分析） 令13()(ln )2ln (0)2g a f a a a =−−>，则21()ln 2g a a a =−−，所以2121()2a g a a a a−'=−=，故()0g a a '>⇔>，()00g a a '<⇔<<， 所以()g a在上单调递减，在)+∞上单调递增，故11()(ln ln 022222g a g ≥=−−=−>，所以13(ln )2ln 2f a a >+， 又因为1(ln )f a是()f x 的最小值，所以3()2ln 2f x a >+.（2023·新高考Ⅰ卷·20·★★★★）设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >，令2n n n nb a +=，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和.（1）若21333a a a =+，3321S T +=，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列，且999999S T −=，求d .解：（1）（所给条件容易用公式翻译，故直接代公式，建立关于1a 和d 的方程组并求解） 因为21333a a a =+，所以1113()3(2)a d a a d +=++，整理得：1a d = ①， 又311323332S a d a d ⨯=+=+，3123123111261226122T b b b a a a a a d a d=++=++=++++， 代入3321S T +=可得1111261233212a d a a d a d++++=++ ②， 将①代入②整理得：327d d+=，解得：3d =或12，又由题意，1d >，所以3d =，结合①可得13a =， 所以1(1)3n a a n d n =+−=.（2）（条件{}n b 为等差数列怎样翻译？可先由1b ，2b ，3b 为等差数列建立方程找1a 和d 的关系） 由题意，112b a =，216b a d =+，31122b a d =+，因为{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，故111122122a d a a d=+++， （上式要化简，同乘以3个分母即可）所以11111112(2)2()(2)12()a a d a d a d a a d +=++++， 整理得：11()(2)0a d a d −−=，所以1a d =或12a d =，（求d 肯定要由999999S T −=来建立方程，故讨论上述两种情况，分别求出n S 和n T ）若1a d =，则1(1)n a a n d nd =+−=，1()()(1)222n n n a a n d nd n n S d +++===，21n n n n b nd d++==， 所以121()()(3)222n n n n n b b n n d d T d++++===，故999999S T −=即为9951995099d d⨯⨯−=，解得：5150d =或1−（舍去）； 若12a d =，则1(1)(1)n a a n d n d =+−=+，1()[2(1)](3)222n n n a a n d n d n n S d ++++===，2(1)n n n nb n d d+==+，所以11()()(1)222n n nn n b b n n d d T d+++===， 故999999S T −=即为9950995199d d ⨯⨯−=，解得：5051d =−或1，均不满足1d >，舍去； 综上所述，d 的值为5150.（2023·新高考Ⅰ卷·21·★★★★）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. （1）求第二次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且(1)1(0)i i i P X P X q ==−==，1,2,,i n =⋅⋅⋅，则11()nni i i i E X q ===∑∑，记前n 次（即从第1次到第n 次）投篮中甲投篮的次数为Y ，求()E Y .解：（1）（第一次投篮的人可能是甲，也可能是乙，两种情况下第二次投篮的人是乙的概率都是已知的，故按第一次投篮的人是谁划分样本空间，套用全概率公式）记第(1,2,3,)i i =⋅⋅⋅次投篮的人是甲为事件i A ，第2次投篮的人是乙为事件B ， 由全概率公式，1111()()(|)()(|)0.5(10.6)0.50.80.6P B P A P B A P A P B A =+=⨯−+⨯=.（2）（要分析第i 次投篮的人是甲的概率，先看第1i −次的情况，不外乎是甲或乙投篮，且两种情况下第i 次投篮的人是甲的概率都已知，故根据第1i −次由谁投篮划分样本空间，套用全概率公式来建立递推公式） 当2i ≥时，由全概率公式，111111()()(|)()(|)()0.6[1()]0.2i i i i i i i i i P A P A P A A P A P A A P A P A −−−−−−=+=⨯+−⨯， 整理得：121()()55i i P A P A −=+ ①， （要由此递推公式求()i P A ，可用待定系数法构造等比数列，设12()[()]5i i P A P A λλ−+=+，展开化简得123()()55i i P A P A λ−=−，与121()()55i i P A P A −=+对比可得3155λ−=，所以13λ=−）由①可得1121()[()]353i i P A P A −−=−，又11()0.52P A ==，所以111()36P A −=，故1()3i P A ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是等比数列， 首项为16，公比为25，所以1112()()365i i P A −−=⨯，故1121()()653i i P A −=⨯+， 即第i 次投篮的人是甲的概率为1121()653i −⨯+.（3）（题干给出了一个期望的结论，我们先把它和本题的背景对应起来. 所给结论涉及两点分布，那本题背景下有没有两点分布呢？有的，在第i 次的投篮中，若设甲投篮的次数为i X ，则i X 的取值为1（表示第i 次投篮的是甲）或0（表示第i 次投篮的是乙），所以i X 就服从两点分布，且前n 次投篮的总次数即为1ni i X =∑，故直接套用所给的期望公式就能求得答案）设第i 次投篮中，甲投篮的次数为i X ，则(1)()i i P X P A ==，且12n Y X X X =++⋅⋅⋅+， 所以12()()n E Y E X X X =++⋅⋅⋅+，由所给结论， 01112121121121()()()()()()()653653653n n E Y P A P A P A −=++⋅⋅⋅+=⨯++⨯++⋅⋅⋅+⨯+ 01121()12221525[()()()][1()]26555363185315nn n n n n −−=++⋅⋅⋅++=⨯+=−+−.（2023·新高考Ⅰ卷·22·★★★★）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点1(0,)2的距离，记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于解：（1）设(,)P x y ,则y =214y x =+，故21:4W y x =+. （2）方法一：设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则1,AB BC k k a b b c =⋅−+<+,令2240114ABk b a b a b am ⎛⎫+−+ ⎪⎝=+⎭==<−， 同理令0BC k b c n =+=>，且1mn =−，则1m n=−， 设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥，1BC AB k k c a n m n n−=−=−=+，则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=−−≥−=+ ⎝0n >，易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()0f x '=，解得2x =，当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 单调递增，则min 27()24f x f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故12C ≥=,即C ≥当C =,2n m ==,且((b a b a −=−m n =时等号成立，矛盾，故C >得证.方法二：不妨设,,A B D 在W 上，且BA DA ⊥，依题意可设21,4A a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，易知直线BA ，DA 的斜率均存在且不为0， 则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k−，由对称性，不妨设1k ≤， 直线AB 的方程为21()4y k x a a =−++，则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−++⎪⎩得220x kx ka a −+−=，()()222420k ka a k a ∆=−−=−>，则2k a ≠则||2|AB k a =−，同理||2AD a =+，||||2|2AB AD k a a ∴+=−1122k a a k k ⎫≥−++≥+=⎪⎭令2k m =，则(]0,1m ∈，设32(1)1()33m f m m m m m+==+++，则2221(21)(1)()23m m f m m m m '−+=+−=，令()0'=f m ，解得12m =， 当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '<，此时()f m 单调递减， 当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f m '>，此时()f m 单调递增， 则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，||||AB AD ∴+≥但1|2|2|2|2k a a k a a k ⎫−≥−++⎪⎭，此处取等条件为1k =，与最终取等时2k =不一致，故2AB AD +>. 方法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于 设 ()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''', 根据对称性不妨设 00t ≥.则 1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+, 由于 A B B C ''''⊥, 则 ()()10201t t t t ++=−.由于 1020,A B t B C t ''''=−=−, 且 0t 介于 12,t t 之间,则 1020A B B C t t ''''+=−+−. 令 20tan t t θ+=,10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=−∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=−=−−,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=+−故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''−+⎛⎫+=−++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥ ②当 ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ−−<<−, 从而0cot tan 22t θθ−<<又00t ≥, 故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''−++=+ 3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ−+>+=+==2≥≥=，当且仅当cos 3θ=时等号成立，故A B B C''''+>.（本题的第二个的关键是通过放缩得12C =|AB|+|BC|≥(n +1n )√1+n 2，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.）。

2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1．（5分）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{2，3}C．{﹣3，﹣1，0}D．{﹣1，0，2} 2．（5分）若＝1+i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）已知向量＝（0，1），＝（2，x），若⊥（），则x＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．（5分）已知cos（α+β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α﹣β）＝（）A．﹣3m B．﹣C．D．3m5．（5分）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A．2πB．3πC．6πD．9π6．（5分）已知函数为f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．[0，+∞）7．（5分）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为（）A．3B．4C．6D．88．（5分）已知函数为f（x）的定义域为R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且当x＜3时，f（x）＝x，则下列结论中一定正确的是（）A．f（10）＞100B．f（20）＞1000C．f（10）＜1000D．f（20）＜10000二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。

每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。

（多选）9．（6分）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）A．P（X＞2）＞0.2B．P（X＞2）＜0.5C．P（Y＞2）＞0.5D．P（Y＞2）＜0.8（多选）10．（6分）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（）A．x＝3是f（x）的极小值点B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）（多选）11．（6分）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于﹣2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（）A．a＝﹣2B．点（2，0）在C上C．C在第一象限的纵坐标的最大值为1D．当点（x0，y0）在C上时，y0≤三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。

2023新高考I卷数学试卷及答案(含解析)2023年新课标I卷数学高考试题及答案解析2023年全国新高考1卷哪几个省2023年使用新高考1卷的省份有8个,分别是广东、福建、湖北、河北、山东、湖南、江苏、浙江。

新高考1卷的语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题; 物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。

至于广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北6个省是3+1+2模式的高考省份，山东省和浙江省是综合改革3+3省份。

2023高考数学答题技巧有哪些1、恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏;2、圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式;3、求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(注意去掉不符合条件的特殊点);4、求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可;5、三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答;解三角形的题目，重视内角和定理的使用;与向量联系的题目，注意向量角的范围。

2023高考数学万能解题套路1、高考中数学函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。

首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。

2、如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法。

3、高考数学的选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法。

4、求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法。

5、恒成立问题或是它的反面，能够转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏。

2024年普通高等学校招生全国统一考试 新课标Ⅰ卷数学试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

1.已知集合{}355A x x =-<<∣，{3,1,0,2,3}B =--，则A B =( ).A.{1,0}-B.{2,3}C.{3,1,0}--D.{1,0,2}- 2.若1i 1z z =+-，则z =( ). A.1i -- B.1i -+ C.1i - D.1i +3.已知向量(0,1)a =，(2,)b x =，若(4)b b a ⊥-，则x =( ).A.-2B.-1C.1D.24.已知cos()m αβ+=，tan tan 2αβ=，则cos()αβ-=( ).A.3m -B.3m -C.3mD.3m5.( ).A. B. C. D.6.已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是( ). A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2π]x ∈时，曲线sin y x =与π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为( ). A.3 B.4 C.6 D.88.已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时，()f x x =，则下列结论中一定正确的是( ).A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)10000f <9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1X =，样本方差20.01S =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N X S ，则( ).（若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.8413P Z μμ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.()0.5P X Z ><C.()0.5P Y Z >>D.()0.8P Y Z ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则( ).A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x <C.当12x <<时，4(21)0f x -<-<D.当110x -<<时，(2)()f x f x -> 11.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于-2，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则( ).A.2a =-B.点0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+ 12.设双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分別为1F ，2F ，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若113F A =，||10AB =，则C 的离心率为_________.13.若曲线e x y x =+在点(0,1)处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =_________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛比赛后，甲的总得分小于2的概率为_________.15.记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=.（1）求B ；（2）若ABC △的面积为3+，求c .16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上两点. （1）求C 的率心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP △的面积为9，求l 的方程.17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA PC ==，1BC =，AB =（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD . 18.已知函数3()ln (1)2x f x ax b x x =++--.（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-，当且仅当12x <<，求b 的取值范围.19.设m 为正整数，数列1a ，2a ，…，42m a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1a ，2a ，…，42m a +是(,)i j ——可分数列.（1）写出所有的(,)i j ，16i j ≤<≤，使数列1a ，2a ，…，6a 是(,)i j ——可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1a ，2a ，…，42m a +足(2,13)——可分数列；（3）从1，2，…，42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1a ，2a ，…，42m a +足(,)i j ——可分数列的概率为m P ，证明：18m P >.参考答案1.A解析：{1,0}A B =-，选A.2.C解析：3.D解析：4(2,4)b a x -=-，(4)b b a ⊥-，(4)0b b a ∴-=，4(4)0x x ∴+-=，2x ∴=，选D.4.A 解析：cos cos sin sin sin sin 2cos cos m αβαβαβαβ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，sin sin 2cos cos m m αβαβ=-⎧∴⎨=-⎩，cos()cos cos sin sin 23m m m αβαβαβ-=+=--=-，选A.5.B解析：设它们底面半径为r ，圆锥母线l，2ππrl ∴=，l ∴==，3r ∴=，1π93V =⋅⋅=，选B.6.B解析：()f x 在R 上↗，00e ln1a a -≥⎧⎨-≤+⎩，10a ∴-≤≤，选B. 7.C解析：6个交点，选C.8.B解析：(1)1f =，(2)2f =，(3)(2)(1)3f f f >+=，(4)(3)(2)5f f f >+>，(5)(4)(3)8f f f >+>，(6)(5)(4)13f f f >+>，(7)(6)(5)21f f f >+>，(8)(7)(6)34f f f >+>，(9)(8)(7)55f f f >+>，(10)(9)(8)89f f f >+>，(11)(10)(9)144f f f >+>，(12)(11)(10)233f f f >+>，(13)(12)(11)377f f f >+>，(14)(13)(12)610f f f >+>，(15)(14)(13)987f f f >+>，(16)1000f >，(20)1000f ∴>，选B.9.BC解析：()2~ 1.8,0.1X N ，()2~ 2.1,0.1Y N ，2 1.820.12μσ=+⨯=+，(2)(2)()10.84130.1587P X P X P X μσμσ>=>+<>+=-=，A 错.(2)( 1.8)0.5P X P X ><>=，B 对.2 2.10.1μσ=-=-，(2)( 2.1)0.5P Y P Y >>>=，C 对.(2)()()0.84130.8P Y P Y P Y μσμσ>=>-=<+=>，D 错，所以选BC.10.ACD解析：A 对，因为()3(1)(3)f x x x '=--；B 错，因为当01x <<时()0f x '>且201x x <<<，所以()2()f x f x <；C 对，因为2(21)4(1)(25)0f x x x -=--<，2(21)44(2)(21)0f x x x -+=-->，2223(2)()(1)(2)(1)(4)(1)(22)2(1)f x f x x x x x x x x --=------=--+=--，11x -<<时，(2)()0f x f x -->，(2)()f x f x ->，D 对.11.ABD解析：A 对，因为O 在曲线上，所以O 到x a =的距离为a -，而2OF =，所以有242a a -⋅=⇒=-，那么曲线的方程为(4x +=.B对，因为代入0)知满足方程；C 错，因为2224(2)()2y x f x x ⎛⎫=--= ⎪+⎝⎭，求导得332()2(2)(2)f x x x '=---+，那么有(2)1f =，1(2)02f '=-<，于是在2x =的左侧必存在一小区间(2,2)ε-上满足()1f x >，因此最大值一定大于1； D 对，因为()22220000004442222y x y x x x ⎛⎫⎛⎫=--≤⇒≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 12.32解析：由||10AB =知25F A =，即2225b c a a a-==，而121F F F A ⊥，所以1212F F =，即6c =，代回去解得4a =，所以32e =. 13.ln 2解析： 14.12 解析：甲出1一定输，所以最多3分，要得3分，就只有一种组合18-、32-、54-、76-.得2分有三类，分别列举如下：（1）出3和出5的赢，其余输：16-，32-，54-，78-（2）出3和出7的赢，其余输：14-，32-，58-，76-；18-，32-，56-，74-，16-，32-，58-，74-（3）出5和出7的赢，其余输：12-，38-，54-，76-；14-，38-，52-，76-；18-，34-，52-，76-；16-，38-，52-，74-；18-，36-，52-，74-；16-，38-，54-，72-；18-，36-，54-，72-共12种组合满足要求，而所有组合为24，所以甲得分不小于2的概率为1215.（1）π3B = （2）c =解析：（1）已知222a b c +-=，根据余弦定理222cos 2a b c C ab +-=，可得：cos 22C ab ==. 因为(0,π)C ∈，所以π4C =.又因为sin C B =，即πsin4B =，2B =，解得1cos 2B =. 因为(0,π)B ∈，所以π3B =. （2）由（1）知π3B =，π4C =，则ππ5πππ3412A B C =--=--=. 已知ABC △的面积为3+，且1sin 2ABC S ab C =△，则1πsin 324ab =1322ab ⨯=，2(3ab =+. 又由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，可得sin sin sin sin a C b C c A B==. 则π5πsin sin 412c a =，5πsin 12πsin 4c a =，同理πsin 3πsin 4c b =.所以2225ππsin sin 1232(3π1sin 42c c ab ⎝⎭===+解得c =16.（1）12（2）见解析解析：（1）将(0,3)A 、33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆22220919941a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则22129a b ⎧=⎨=⎩c =12c e a ∴===.（2）①当L 的斜率不存在时，:3L x =，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3PB =，A 到PB 距离3d =， 此时1933922ABP S =⨯⨯=≠△不满足条件. ②当L 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()11,P x y 、()22,B x y ， 223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--= 2122212224124336362743k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩，PB = 17.（1）证明见解析（2）AD =解析：（1）PA ⊥面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA AD ∴⊥又AD PB ⊥，PB PA P =，,PB PA ⊂平面P ABAD ∴⊥面PAB ，AB ∴⊂平面PAB ，AD AB ∴⊥ABC △中，222AB BC AC +=，AB BC ∴⊥ A ，B ，C ，D 四点共面，//AD BC ∴又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC//AD ∴平面PBC .（2）以DA ，DC 为x ，y 轴过D 作与平面ABCD 垂直的线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系D xyz -令AD t =，则(,0,0)A t ，(,0,2)P t ，(0,0,0)D，DC =()C设平面ACP 的法向量()1111,,n x y z =不妨设1x =1y t =，10z =，()14,0n t =- 设平面CPD 的法向量为()2222,,n x y z =2200n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩222200tx z +=⎧⎪∴=不妨设2z t =，则22x =-，20y =，2(2,0,)n t =-二面角A CP D --的正弦值7，则余弦值为7 1212122cos ,2n nn n n n t ⋅===t ∴=AD ∴=.18.（1）-2（2）证明见解析（3）23b ≥-解析：（1）0b =时，()ln 2x f x ax x =+-，11()02f x a x x'=++≥-对02x ∀<<恒成立 而11222(2)a a a x x x x ++=+≥+--， 当且仅当1x =时取“=”，故只需202a a +≥⇒≥-，即a 的最小值为-2.（2）方法一：(0,2)x ∈，(2)()f x f x -+332ln (2)(1)ln (1)22x x a x b x ax b x a x x-=+-+-+++-=- ()f x ∴关于(1,)a 中心对称.方法二：将()f x 向左平移一个单位31(1)ln(1)1x f x a x bx x +⇒+=+++-关于(0,)a 中心对称平移回去()f x ⇒关于(1,)a 中心对称.（3）()2f x >-当且仅当12x <<，(1)22f a ∴=-⇒=-3()ln 2(1)22x f x x b x x∴=-+->--对12x ∀<<恒成立 222112(1)2()23(1)3(1)(1)32(2)(2)x f x b x b x x b x x x x x x ⎡⎤-'=+-+-=+-=-+⎢⎥---⎣⎦令2()3(2)g x b x x =+-，∴必有2(1)2303g b b =+≥⇒≥-（必要性） 当23b ≥-时，对(1,2)x ∀∈，32()ln 2(1)()23x f x x x h x x ≥---=- 2222(1)1()2(1)2(1)10(2)(2)x h x x x x x x x ⎡⎤-'=--=-->⎢⎥--⎣⎦对(1,2)x ∀∈恒成立，()(1)2h x h ∴>=-符合条件， 综上：23b ≥-. 19.（1）(1,2)，(1,6)，(5,6)（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）以下(,)i j 满足：(1,2)，(1,6)，(5,6)（2）易知：p a ，q a ，r a ，s a 等差,,,p q r s ⇔等差故只需证明：1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14可分分组为(1,4,7,10)，(3,6,9,12)，(5,8,11,14)即可其余k a ，1542k m ≤≤+，按连续4个为一组即可（3）由第（2）问易发现：1a ，2a ，…，42m a +是(,)i j 可分的1,2,42m ⇔+是(,)i j 可分的.易知：1，2，…，42m +是(41,42)k r ++可分的(0)k r m ≤≤≤因为可分为(1,2,3,4)，…，(43,42,41,4)k k k k ---与(4(1)1,4(1),4(1)1,4(1)2)r r r r +-+++++，…，(41,4,41,42)m m m m -++ 此时共211C (1)(1)(2)2m m m m +++=++种 再证：1，2，…，42m +是(42,41)k r ++可分的(0)k r m ≤<≤易知1~4k 与42~42r m ++是可分的只需考虑41k +，43k +，44k +，…，41r -，4r ，42r +记*N p r k =-∈，只需证：1，3，5，…，41p -，4p ，42p +可分1~42p +去掉2与41p +观察：1p =时，1，3，4，6无法做到；2p =时，1，3，4，5，6，7，8，10，可以做到；3p =时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，144p =时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，18(1,5,9,13)，(3,7,11,15)，(4,8,12,16)，(6,10,14,18)满足故2p ∀≥，可划分为：(1,1,21,31)p p p +++，(3,3,23,33)p p p +++，(4,4,24,34)p p p +++，(5,5,25,35)p p p +++，…，(,2,3,4)p p p p ，(2,22,32,42)p p p p ++++，共p 组事实上，就是(,,2,3)i p i p i p i +++，1,2,3,,i p =，且把2换成42p +此时(,)k k p +，2p ≥均可行，共211C (1)2m m m m +-=-组 (0,1)，(1,2)，…，(1,)m m -不可行 综上，可行的(42,41)k r ++与(41,42)k r ++至少11(1)(1)(2)22m m m m -+++组 故()222224212221112C (21)(41)8618m m m m m m m m P m m m m +++++++≥==>++++，得证！。

2023年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）数 学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M ={−2,−1,0,1,2}，N ={x |x 2−x −6≥0}，则M ∩N =（ ）A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2} 2. 已知1i 22i z −=+，则z z −=（ ） A. i − B. i C. 0 D. 13. 已知向量()()1,1,1,1a b ==−，若()()a b a b λμ+⊥+，则（ ）A. 1λμ+=B. 1λμ+=−C. 1λμ=D. 1λμ=− 4. 设函数()()2x x a f x −=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A. (],2−∞−B. [)2,0−C. (]0,2D. [)2,+∞5. 设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则=a （ ）A. 3B.C.D.6. 过点()0,2−与圆22410x y x +−−=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A. 1B. 4C. 4D. 47. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}n S n 为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8. 已知()11sin ,cos sin 36αβαβ−==，则()cos 22αβ+=（ ）． A. 79 B. 19 C. 19− D. 79−二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（ ）A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lgp p L p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（ ）．A. 12p p ≥B. 2310p p >C. 30100p p =D. 12100p p ≤11. 已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A. ()00f =B. ()10f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）A. 直径为0.99m 的球体B. 所有棱长均为1.4m 的四面体C. 底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14. 在正四棱台1111ABCD A B C D −中，1112,1,AB A B AA ===，则该棱台的体积为________．15. 已知函数()cos 1(0)f x x ωω=−>在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=−，则C 的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=−=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．18. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上，22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明：2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D −−为150︒时，求2B P ．19. 已知函数()()e xf x a a x =+−． （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．20. 设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn n b a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和． （1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999S T −=，求d ．21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==−===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ． 22. 在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于。

2023全国新高考1卷数学试题真题及参考答案2023全国新高考1卷数学试题真题及参考答案(带解析)2023全国新高考1卷数学难度一般。

2023全国新高考1卷数学整体上题目出的中规中矩，比较符合高考的数学试卷难度和水平。

以下是关于2023全国新高考1卷数学试题真题及参考答案的相关内容，供大家参考!2023全国新高考1卷数学试题真题及参考答案2023年使用全国卷一的地区有哪些教育有关部门明确，从2023年起，浙江高考语文、数学和外语使用全国统一命题试卷，选用全国新高考1卷，选考科目仍自主命题。

我们知道目前在用全国1卷的省份有7个，分别是广东、福建、江苏、河北、山东、湖南以及湖北，浙江加入之后，使用全国1卷的省份达到了8个。

从全国卷使用地区看，使用卷一的地区高考竞争压力较大，主要集中在基础教育相对发达的东部和中部省份。

使用卷二的地区高考竞争压力相对较小，主要集中在我国东北和西北省份、这些省份相对于中东部省份教育发达程度也要低一些。

使用三卷在我国西南区域、不管是经济水平和教育水平都落后全国水平。

国家设置不统一的高考试题是在依据各地区基本情况的基础上保证相对的协调发展。

当然，无论我们用的是三份试卷中的哪一份，最终决定我们去处的，依然是我们自己，想要考入名校，就要努力学习，超过本省的绝大部分考生。

2023年全国新高考1卷数学试题的题型设置1、选择题占比增加选择题占比相较于往年有所增加，考查了学生对基础知识的掌握程度。

2、应用题占比增加应用题占比相较于往年也有所增加，考查了学生的综合能力和解题能力。

3、填空题难度增加填空题难度相较于往年增加，需要学生对知识点的掌握更加熟练。

2023全国新高考1卷数学备考建议与多选题答题技巧：1、注重基础知识的学习基础知识是学生应掌握的最基本的数学知识，注重基础知识的学习对于备战高考至关重要。

2、注重综合能力的培养2023年全国新高考1卷数学试题考查了学生的综合能力，因此需要注重综合能力的培养。

2023 新高考 I 卷一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分第1题已知集合 , , 则 . . . . 答案CM ={−2,−1,0,1,2}N ={x ∣x 2−x −6⩾0}M ∩N =A {−2,−1,0,1}B {0,1,2}C {−2}D {2}第2题已知 , 则 . . . . 答案Az =1−i2+2iz −¯z=A −iB iC 0D 1第3题已知向量 . 若 , 则. . . . 答案Da =(1,1),b =(1,−1)(a +λb )⊥(a +μb )A λ+μ=1B λ+μ=−1C λμ=1D λμ=−1第4题设函数 在区间 单调递减, 则 的取值范围是. . . . 答案Df (x )=2x (x −a )(0,1)a A (−∞,−2]B [−2,0)C (0,2]D [2,+∞)第5题设椭圆 的离心率分别为 若, 则 .. . . 答案AC 1:x 2a 2+y 2=1(a >1),C 2:x24+y 2=1e 1⋅e 2、e 2=√3e 1a =A 2√33B √2C √3D √6第6题过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 , 则 . ...答案B(0,−2)x 2+y 2−4x −1=0αsin α=A 1B √154C √104D √64第7题记 为数列 的前 项和, 设甲: 为等差数列: 乙: 为等差数列, 则. 甲是乙的充分条件但不是必要条件. 用是乙的必要条件但不是充分条件. 甲是乙的充要条件. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案CS n {a n }n {a n }{S nn}A B C D 第8题已知 , 则 ... . 答案Bsin(α−β)=13,cos αsin β=16cos(2α+2β)=A 79B 19C −19D −79二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分第9题有一组样本数据 , 其中 是最小值, 是最大值, 则. 的平均数等于 的平均数. 的中位数等于 的中位数. 的标准差不小于 的标准差. 的极差不大于 的极差答案BCDx 1,x 2,⋯,x 6x 1x 6A x 2,x 3,x 4,x 5x 1,x 2,⋯,x 6B x 2,x 3,x 4,x 5x 1,x 2,⋯,x 6C x 2,x 3,x 4,x 5x 1,x 2,⋯,x 6D x 2,x 3,x 4,x 5x 1,x 2,⋯,x 6第10题噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级 , 其中常数 是听觉下限阈值, 是实际声压. 下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 , 则. . . . 答案ACDL p =20×lgpp 0p 0(p 0>0)p 声源 与声源的距离 /m声压级/dB 燃油汽车1060∼90 混合动力汽车1050∼60 电动汽车104010 m p 1,p 2,p 3A p 1⩾p 2B p 2>10p 3C p 3=100p 0D p 1⩽100p 2第11题已知函数 的定义域为 , , 则. . . 是偶函数. 为 的极小值点答案f (x )R f (xy )=y 2f (x )+x 2f (y )A f (0)=0B f (1)=0C f (x )D x =0f (x )ABC第12题下列物体中, 能够被整体放入棱长为 1 (单位: ) 的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有. 直径为0.99m 的球体. 所有棱长均为 1.4m 的四面体. 底面直径为 0.01m ，高为1.8m 的圆柱体. 底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体答案ABDm A B C D 三、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 20 分第13题某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课, 学生需从这 8 门课中选修 2 门或3 门课, 并且每类选修课至少选修1门, 则不同的选课方案共有种 (用数字作答).答案64第14题在正四棱台 中, , , , 则该棱台的体积为.答案ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2A 1B 1=1AA 1=√276√6第15题已知函数 在区间 有且仅有 3 个零点, 则 的取值范围是.答案f (x )=cos ωx −1(ω>0)[0,2π]ω2⩽ω<3第16题已知双曲线 的左、右焦点分别为 . 点 在 上,点 在 轴上, , , 则 的离心率为 .答案C :x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)F 1,F 2A C B y F 1A ⊥F 1B →→F 2A =−23F 2B →→C 3√55四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分第17题已知在 中, .(1). 求 .(2). 设 , 求 边上的高 .答案(1).(2). 6解析(1). 由题意得所以(2). 因为 , 所以由正弦定理可知所以由面积法可知△ABC A +B =3C ,2sin(A −C )=sin B sin A AB =5AB 3√1010A +B =3C ⇒A +B +C =4C =π⇒C =π42sin (A −π4)=sin (34π−A )⇒sin A =3√1010sin B =sin(A +C )=2√5b sin B =csin C⇒b =2√10S =12⋅b ⋅c ⋅sin A =12⋅c ⋅h ⇒h =b sin A =6第18题如图, 在正四棱柱 中,, . 点 分别在棱 ,, , 上, , ,(1) 证明： .(2) 点 在棱 上, 当二面角 为 时, 求 .答案(1). 建系易证(2). 解析以 C 为原点, CD 为 轴, CB 为 轴, CC 为 轴建立空间直角坐标系, 所以, , , (1). 因为 , 所以 , 所以 .(2). 设 , 其中 所以 , , , .所以面 法向量 , 面 法向量 因为二面角 为 , 所以所以 ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2AA 1=4A 2,B 2,C 2,D 2AA 1BB 1CC 1DD 1AA 2=1BB 2=DD 2=2CC 2=3B 2C 2//A 2D 2P BB 1P −A 2C 2−D 2150∘B 2P B 2P =1x y 1z B 2:(0,2,2)C 2:(0,0,3)A 2:(2,2,1)D 2:(2,0,2)B 2C 2=(0,−2,1)→A 2D 2=(0,−2,1)→B 2C 2=A 2D 2→→B 2C 2//A 2D 2P :(0,2,t )2⩽t ⩽4PA 2=(2,0,1−t )→PC 2=(0,−2,3−t )→D 2C 2=(−2,0,1)→D 2A 2=(0,2,−1)→PA 2C 2n 1=(t −1,3−t ,2)→D 2A 2C 2n 2=(1,1,2)→P −A 2C 2−D 2150∘√6√2t 2−8t +14=|cos 150∘|=√32⇒t =1(舍)||t =3B 2P =1第19题已知函数 .(1). 讨论 的单调性.(2). 证明: 当 时, .答案见解析f (x )=a (e x +a )−x f (x )a >0f (x )>2ln a +32解析(1). 对 求导得 , 故① 时, , 函数 单调递减② 时, 令 得 , 故(2). 令 , 求导得 令导数为 解得 , 所以所以 故 , 所以 f (x )f ′(x )=a ⋅e x −1a ⩽0f ′(x )⩽−1<0f (x )a >0f ′(x )=0x 0=−ln a (−∞,−ln a )−ln a (−ln a ,∞)f ′(x )−0+f (x )↘极小值↗f =f (−ln a )=a 2+1+ln am i n g (a )=a 2−ln a −12g ′(a )=2a −1a0a =√22(0,√22)√22(√22,∞)g ′(a )−0+g (a )↘极小值↗g =g (√22)=ln 22>0m in g (a )>0f (x )>2ln a +32第20题设等差数列 的公差为 , 且 , 令 , 记 分别为数列 ,的前 项和.(1). 若 , , 求 的通项公式.(2). 若 为等差数列, 且 , 求 .答案(1). (2). 解析(1). 由题意得 , , 解得{a n }d d >1b n =n 2+na nS n ,T n {a n }{b n }n 3a 2=3a 1+a 3S 3+T 3=21{a n }{b n }S −T =999999d a n =3n d =51503a 2=3a 1+a 32a 2=a 1+a 3a 2=2a 1,a 3=3a 1又因为 为等差数列, 所以 , 所以 因为 , 所以所以 (2). 设 , , 其中 记 , 故 也为等差数列, 所以所以 因为 , 所以代入可得所以可得方程组解得 {a n }a n =a 1⋅n b n =n +1a 1S 3+T 3=216a 1+9a 1=21⇒a 1=3||a 1=12(舍)a n =3na n =d a ⋅n +p ab n =d b ⋅n +p b d a >1c n =a n −b n =(d a −d b )n +p a −p b {c n }S −T =c 1+c 2+⋯+c =(c 1+c )⋅992=99⋅c =999999999950c =150b n =n 2+na nd b n +p b =n 2+nd a n +p a⟹n 2+n =d a ⋅d b ⋅n 2+(d a ⋅p b +d b ⋅p a )n +p a ⋅p b⎧⎨⎩d a ⋅d b =1d a ⋅p b +d b ⋅p a =1p a ⋅p b =050(d a −d b )+p a −p b =1d =d a =5150第21题甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 0.6, 乙每次投篮的命中率均为 0.8, 由抽签确定第 1 次投篮的人选, 第一次投篮的人是甲,乙的概率各为 0.5 .(1). 求第 2 次投篮的人是乙的概率.(2). 求第 次投篮的人是甲的概率.(3) 设随机事件 为甲投球次数, , 求 .答案(1).(2). i Y Y =0,1,⋯,n E (Y )3516⋅()i −1+1325(3). 解析(1). (2). 记 为第 次投篮的人是甲的概率, 所以所以(3).E (Y )=n 3+518−19⋅()n −125P =12⋅25+12⋅45=35a i i a i =35⋅a +15(1−a )=25a +15i −1i −1i −1a i −13=25(a −13)⇒a i =16⋅()i −1+13i −125E (Y )=a 1+a 2+⋯+a n=16[()0+()1+⋯+()n −1]+n 3=16⋅1−()n1−25+n 3=n 3+518−19⋅()n −12525252525第22题在直角坐标系 中, 点 到 轴的距离等于点 到点 的距离, 记动点 的轨迹为 .(1). 求 的方程.(2). 已知矩形 ABCD 有三个顶点在 上, 证明: 矩形 ABCD 的周长大于 .答案(1). 解析xOy P x P (0,12)P W W W 3√3W :x 2=y −14(1). 由题意得 为抛物线, 且准线为 , 焦点为 , 这是由标准抛物线方程 向上平移 个单位得到的, 故可设为 因为焦点到准线的距离为 , 所以 , 所以 .(2). 不妨设 A,B,C 在抛物线上, 且 AB ⊥ BC, 所以令 , , 由对称性, 不妨设 所以周长可表示为令 , 则 , 故所以 , 当且仅当 , 所以有W y =0(0,12)x 2=2p y 14x 2=2p y −14p p =12W :x 2=y −14y B −y C x B −x C ⋅y B −y A x B −x A =−1⇒x 2B −x 2C x B −x C ⋅x 2B −x 2Ax B −x A=−1⇒(x B +x A )(x B +x C )=−1x B +x A =m x B +x C =−1m|m |⩽112⋅周长=AB +BC =√(y A −y B )2+(x A −x B )2+√(y C −y B )2+(x C −x B )2=|x A −x B |⋅√1+m 2+|x C −x B ||m |⋅√1+m 2⩾√1+m 2⋅(|x A −x B |+|x C −x B |)⩾√1+m 2⋅|x A −x C |=√1+m 2⋅m +1m =√(1+m 2)3m 2f (x )=(1+x )3k (0<x <1)f ′(x )=(x +1)2(2x −1)x 2(0,12)12(12,1)f ′(x )−0+f (x )↘极小值↗f (x )⩾f (12)=274|m |=√22周长>2⋅√274=3√3。

2023年新高考全国一卷数学试卷及答案解析(完整)2023年新高考全国一卷数学试卷及答案解析(完整)2023高考不同省份高考的试卷类型和考试模式不一样，分数也不同，那我们知道2023年新高考全国一卷数学试卷及答案解析吗？下面是小编整理的2023年新高考全国一卷数学试卷及答案解析，希望能够帮助到大家。

2023年新高考全国一卷数学试卷及答案解析高考考生进考场安检顺序第一步：排队入场一如既往，高考考生们需要按照前方工作人员的指引有序排队，依次进入安检区域。

请大家不要超前、插队，以免耽误考试，遗憾无比。

第二步：个人物品检查进入安检区域后，高考考生需要将个人物品放在放行带上，并在现场工作人员的指导下，将自己的物品都放进X光机内进行检查。

高考考生应该提前将手机、钥匙、身份证等常用物品都拿出来，以免造成拥堵和马虎遗忘。

第三步：身体安检除了物品安全之外，高考考生的身体也要经过安检员的严加检查。

这一步主要包括手提物品的人工检查、金属探测仪的使用，以及打腰机等方便安检的手续。

请考生们配合工作人员操作，确保自己的安全。

第四步：放行进场经过前三步安检之后，高考考生就可以准备进入考场啦!请工作人员核对您的身份证信息与考场信息是否一致后，放行您进入考场区域。

高考入考场时有哪些注意事项1.严禁携带各类电子通讯工具(如手机等无线接收、传送设备等)、电子存储记录设备以及手表、涂改液、修正带等物品或饰品进入考场。

2.经监考员检查允许后可带透明塑料瓶装的饮用水(高考考生由此弄湿答题卡等意外而耽误的考试时间不予补足)和透明(玻璃或塑料)小瓶装的风油精或小湿巾，考生携带的透明玻璃或塑料瓶装饮用水、风油精、小湿巾经安检确认没有问题后可以允许带入。

3.高考考生要积极配合安全检查和身份验证工作，对以各种形式阻挠或拒绝接受检查的考生，一律不准入场考试。

4.已经通过安检的考生因特殊原因离开考场后返回，必须再次进行安检。

考试必备的工具,一般来说,在考试之前老师都会嘱咐同学们要自己准备一个透明的笔袋,用来装考试时所用到的东西,例如:笔、身份证、准考证等,而进入考场之后老师也会进行检查,以免出现作弊的情况。

2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）A．{-2，-1，0，1}B．{0，1，2}C．{-2}D．{2}A．-iB．i C．0D．1A．λ+μ=1B．λ+μ=-1C．λμ=1D．λμ=-1（2023•新高考Ⅰ）已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N={x|x 2-x-6≥0}，则M∩N=（ ）答案：C解析：先把集合N表示出来，再根据交集的定义计算即可．解答：解：∵x 2-x-6≥0，∴（x-3）（x+2）≥0，∴x≥3或x≤-2，N=（-∞，-2]∪[3，+∞），则M∩N={-2}．故选：C．（2023•新高考Ⅰ）已知z=，则z-z =（ ）1-i 2+2i答案：A解析：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．解答：解：z==•=•=-i ，则z =i ，故z -z =-i.故选：A．1-i 2+2i 121-i 1+i 12（1-i ）2（1+i ）（1-i ）1212（2023•新高考Ⅰ）已知向量a =（1，1），b =（1，-1）．若（a +λb ）⊥（a +μb ），则（ ）→→→→→→答案：DA．（-∞，-2]B．[-2，0）C．（0，2]D．[2，+∞）A．B．C．D．解析：由已知求得a +λb 与a +μb 的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解．→→→→解答：解：∵a =（1，1），b =（1，-1），∴a +λb =（λ+1，1-λ），a +μb =（μ+1，1-μ），由（a +λb ）⊥（a +μb ），得（λ+1）（μ+1）+（1-λ）（1-μ）=0，整理得：2λμ+2=0，即λμ=-1．故选：D．→→→→→→→→→→（2023•新高考Ⅰ）设函数f（x）=2x （x-a ）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（ ）答案：D解析：利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可．解答：解：设t=x（x-a）=x 2-ax,对称轴为x=，抛物线开口向上，∵y=2t 是t的增函数，∴要使f（x）在区间（0，1）单调递减，则t=x 2-ax在区间（0，1）单调递减，即≥1，即a≥2，故实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：D．a 2a 2（2023•新高考Ⅰ）设椭圆C 1：+y 2=1（a＞1），C 2：+y 2=1的离心率分别为e 1，e 2．若e 2=e 1，则a=（ ）x 2a 2x 24√32√33√2√3√6答案：A解析：利用椭圆C 2：+y 2=1的方程可求其离心率e 2，进而可求e 1，可求a.x 24A．1B．解答：解：由椭圆C 2：+y 2=1可得a 2=2，b 2=1，∴c 2==，∴椭圆C 2的离心率为e 2∵e 2=e 1，∴e 1=，∴=，∴=4=4（-）=4（-1），即3=4，解得a 1故选：A．x 2√4-1√32√312c 1a 112a 12c 12a 12b 12a 12a 123（2023•新高考Ⅰ）过点（0，-2）与圆x 2+y 2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=（ ）√15444答案：B解析：圆的方程化为（x-2）2+y 2=5，求出圆心和半径，利用直角三角形求出sin ，再计算cos 和sinα的值．α2α2解答：解：圆x 2+y 2-4x-1=0可化为（x-2）2+y 2=5，则圆心C（2，0），半径为r=；设P（0，-2），切线为PA、PB，则PC==2，△PAC中，sin =，所以cos ==，所以sinα=2sin cos =2×．故选：B．√5√22+22√2α2√52√2α2√32√2α2α2√5√3√154A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件A．B．C．-D．-（2023•新高考Ⅰ）记S n 为数列{a n }的前n项和，设甲：{a n }为等差数列；乙：{}为等差数列，则（ ）S nn答案：C解析：首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的论证．解答：解：若{a n }是等差数列，设数列{a n }的首项为a 1，公差为d,则S n =na 1+d,即=a 1+d=n+a 1-，故{}为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，若{}为等差数列，则可设-=D，则=S 1+（n-1）D，即S n =nS 1+n（n-1）D，当n≥2时，有S n-1=（n-1）S 1+（n-1）（n-2）D，上两式相减得：a n =S n -S n-1=S 1+2（n-1）D，当n=1时，上式成立，所以a n =a 1+2（n-1）D，则a n+1-a n =a 1+2nD-[a 1+2（n-1）D]=2D（常数），所以数列{a n }为等差数列．即甲是乙的必要条件．综上所述，甲是乙的充要条件．故本题选：C．n （n -1）2Sn n n -12d 2d 2S nnS n n S n +1n +1Sn nS nn（2023•新高考Ⅰ）已知sin（α-β）=，cosαsinβ=，则cos（2α+2β）=（ ）131679191979A．x 2，x 3，x 4，x 5的平均数等于x 1，x 2，⋯，x 6的平均数B．x 2，x 3，x 4，x 5的中位数等于x 1，x 2，⋯，x 6的中位数C．x 2，x 3，x 4，x 5的标准差不小于x 1，x 2，⋯，x 6的标准差D．x 2，x 3，x 4，x 5的极差不大于x 1，x 2，⋯，x 6的极差答案：B解析：由已知结合和差角公式先求出sinαcosβ，再求出sin（α+β），然后结合二倍角公式可求．解答：解：因为sin（α-β）=sinαcosβ-sinβcosα=，cosαsinβ=，所以sinαcosβ=，所以sin（α+β）=sinαcosβ+sinβcosα=+=，则cos（2α+2β）=1-2sin 2（α+β）=1-2×=．故选：B．1316121216234919（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据x 1，x 2，⋯，x 6，其中x 1是最小值，x 6是最大值，则（ ）答案：BD解析：根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可．解答：解：A选项，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数不一定等于x 1，x 2，⋯，x 6的平均数，A错误；B选项，x 2，x 3，x 4，x 5的中位数等于，x 1，x 2，⋯，x 6的中位数等于，B正确；C选项，设样本数据x 1，x 2，⋯，x 6为0，1，2，8，9，10，可知x 1，x 2，⋯，x 6的平均数是5，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是5，x 1，x 2，⋯，x 6的方差=×[（0-5）2+（1-5）2+（2-5）2+（8-5）2+（9-5）2+（10-5）2]=，x 2，x 3，x 4，x 5的方差=×[（1-5）2+（2-5）2+（8-5）2+（9-5）2]=，＞，∴s 1＞s 2，C错误．+x 3x 42+x 3x 42s 1216503s 2214252s 12s 22A．p1≥p2B．p2＞10p3C．p3=100pD．p1≤100p2D选项，x6＞x5，x2＞x1，∴x6-x1＞x5-x2，D正确．故选：BD．（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p =20×lg，其中常数p（p＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（ ）pp答案：ACD解析：根据题意分别计算p1，p2，p3的范围，进行比较即可求解．解答：解：由题意得，60≤20lg≤90，1000p≤p1≤1p，50≤20lg≤60，1p≤p2≤1000p，20lg=40，p3=100p，可得p1≥p2，A正确；p2≤10p3=1000p，B错误；p3=100p，C正确；p1≤1p=100×1p≤100p2，p1≤100p2，D正确．故选：ACD．p1p92p2p52p3p92052（2023•新高考Ⅰ）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）=y2f（x）+x2f（y），则（ ）A．f（0）=0B．f（1）=0C．f（x）是偶函数D．x=0为f（x）的极小值点A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体答案：ABC解析：在已知等式中，取x=y=0判断A；取x=y=1判断B；求出f（-1），再取y=-1判断C；取满足等式的特殊函数判断D．解答：解：由f（xy）=y 2f（x）+x 2f（y），取x=y=0，可得f（0）=0，故A正确；取x=y=1，可得f（1）=2f（1），即f（1）=0，故B正确；取x=y=-1，得f（1）=2f（-1），即f（-1）=f（1）=0，取y=-1，得f（-x）=f（x），可得f（x）是偶函数，故C正确；由上可知，f（-1）=f（0）=f（1）=0，而函数解析式不确定，不妨取f（x）=0，满足f（xy）=y 2f（x）+x 2f（y），常数函数f（x）=0无极值，故D错误．故选：ABC．12（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）答案：ABD解析：对于A，由正方体的内切球直径大于0.99可判断；对于B，由正方体内部最大的正四面体的棱长大于1.4可判断；对于C，由正方体的体对角线小于1.8可判断；对于D，取E，F，G，H，I，J都为棱中点，则六边形EFGHIJ为正六边形，由正六边形的内切圆直径大于1.2可判断．解答：解：对于A，棱长为1的正方体内切球的直径为1＞0.99，选项A正确；对于B，如图，正方体内部最大的正四面体D-A 1BC 1的棱长为=＞1.4，选项B正确；对于C，棱长为1的正方体的体对角线为＜1.8，选项C错误；对于D，（法一）如图，六边形EFGHIJ为正六边形，E，F，G，H，I，J为棱的中点，高为0.01米可忽略不计，看作直径为1.2米的平面圆，所以FH =FG =GH =米，故六边形EFGHIJ内切圆直径为米，而=＞（1.2=1.44，选项D正确．（法二）因为1.2m＞1m,可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过AC 1的中点O作OE⊥AC 1，设OE∩AC=E，可知AC =，C=1，A =，OA 则tan ∠CA ==，即OE且==＞=0．0.6，故以AC 1为轴可能对称放置底面直径为1.2m的圆柱，√+1212√2√32√3√3√62√622232）2√2C 1C 1√32C 1CC 1AC OE AO 344238924925624若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心为O 1，与正方体的下底面的切点为M，可知，AC 1⊥O 1M，O 1M=0.6，则tan ∠CA ==，，解得A =0.6，根据对称性可知圆柱的高为-2×0.6≈1.732-1.2×1.414=0.0352＞0.01，所以能够被整体放入正方体内，故选项D正确．故选：ABD．C 1CC 1ACM O 1AO 10.6AO 1O 1√2√3√2（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 64种（用数字作答）．答案：见试题解答内容解析：利用分类计数原理进行计算即可．解答：解：若选2门，则只能各选1门，有=16种，如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，则有+=24+24=48，综上共有16+48=64种不同的方案．故答案为：64．C 41C 41C 41C 42C 42C 41（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台ABCD-A 1B1C 1D 1中，AB=2，A 1B 1=1，AA 1=，则该棱台的体积为．√27√66答案：见试题解答内容解析：先根据题意求出四棱台的高，再代入台体的体积公式即可求解．解答：解：如图，设正四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1的上下底面中心分别为M，N，过A 1作A 1H⊥AC，垂足点为H，由题意易知A 1，∴AH=AN-HN=，又AA 1=，∴A 1H=MN=2√2√22√2，∴该四棱台的体积为×（1+4+故答案为：．√6213√1×4267√66（2023•新高考Ⅰ）已知函数f（x）=cosωx-1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 [2，3）．答案：见试题解答内容解析：利用余弦函数的周期，结合函数的零点个数，列出不等式求解即可．解答：解：x∈[0，2π]，函数的周期为（ω＞0），cosωx-1=0，可得cosωx=1，函数f（x）=cosωx-1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，可得2•≤2π＜3•，所以2≤ω＜3．故答案为：[2，3）．2πω2πω2πω（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．点A在C上，点B在y轴上，A ⊥B ，A =-B ，则C的离心率为．x 2a 2y 2b 2→F 1→F 1→F 223→F 23√55答案：见试题解答内容解析：（法一）设F 1（-c,0），F 2（c,0），B（0，n），根据题意可得点A的坐标，进一步得到A =（c ,-n ），B =（c ,n ），再由A ⊥B ，可得n 2=4c 2．结合点A在双曲线上，可得解；（法二）易知=，设|A |=2t ,|B |=3t ，∠F 1AF 2=θ，解三角形可知5c 2=9a 2，进而得解．→F 18323→F 1→F 1→F 1|A |→F 2|B |→F 223→F 2→F 2解答：解：（法一）如图，设F 1（-c,0），F 2（c,0），B （0，n），设A（x,y），则A =（x -c ,y ），B =（-c ,n ），→F 2→F 2又A =-B ，则，可得A （c ,-n ），又A ⊥B ，且A =（c ,-n ），B =（c ,n ），则A •B =-=0，化简得n 2=4c 2．又点A在C上，则-=1，整理可得-=1，代n 2=4c 2，可得-=9，即25-=9，解得=或（舍去），故e（法二）由A =-B ，得=，设|A |=2t ,|B |=3t ，由对称性可得|B |=3t ，则|A |=2t +2a ,|AB |=5t ，设∠F 1AF 2=θ，则sinθ==，所以cosθ==，解得t=a,所以|A |=2t +2a =4a ,|A |=2a ，在△AF 1F 2 中，由余弦定理可得cosθ==，即5c 2=9a 2，则e 故答案为：．→F 223→F 2⎧⎨⎩x -c =c y =-n 23235323→F 1→F 1→F 18323→F 1→F 1→F 183c 223n 2259c 2a 249n 2b225c 29a 24n 29b 225c 2a 216c 2b2e 216e 2-1e 2e 29155→F 223→F 2|A |→F 2|B |→F 223→F 2→F 2→F 1→F 1→3t 5t 35452t +2a 5t →F 1→F 216+4-4a 2a 2c 216a 24553√55（2023•新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B=3C，2sin（A-C）=sinB．（1）求sinA；（2）设AB=5，求AB边上的高．答案：见试题解答内容解析：（1）由三角形内角和可得C=，由2sin（A-C）=sinB，可得2sin（A-C）=sin（A+C），再利用两角和与差的三角函数公式化简可得sinA=3cosA，再结合平方关系即可求出sinA；（2）由sinB=sin（A+C）求出sinB，再利用正弦定理求出AC，BC，由等面积法即可求出AB边上的高．π4解答：解：（1）∵A+B=3C，A+B+C=π，∴4C=π，∴C=，∵2sin（A-C）=sinB，∴2sin（A-C）=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），∴2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=3cosAsinC，=3，∴sinA=3cosA，即cosA=sinA，又∵sin 2A+cos 2A=1，∴si A +si A =1，解得sin 2A=，又∵A∈（0，π），∴sinA＞0，（2）由（1）可知sinA=，cosA=sinA=，∴====5，∴AC=5sinB=5×=2，BC=5×sinA =5×=3，设AB边上的高为h,则AB •h =×AC ×BC ×sinC ，∴h =×2×3×解得h=6，即AB边上的高为6．π42213n 219n 2910103√101013√101021025AB sinC AC sinB BC sinA 5sin π4√2√2√22√55√10√2√23√1010√512125212√10√52（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AA 1=4．点A 2，B 2，C 2，D 2分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2=1，BB 2=DD 2=2，CC 2=3．（1）证明：B 2C 2∥A 2D 2；（2）点P在棱BB 1上，当二面角P-A 2C 2-D 2为150°时，求B 2P．答案：见试题解答内容解析：（1）建系，根据坐标法及向量共线定理，即可证明；（2）建系，根据向量法，向量夹角公式，方程思想，即可求解．解答：解：（1）证明：根据题意建系如图，则有：B 2（0，2，2），C 2（0，0，3），A 2（2，2，1），D 2（2，0，2），∴=（0，-2，1），=（0，-2，1），∴=，又B 2，C 2，A 2，D 2四点不共线，∴B 2C 2∥A 2D 2；（2）在（1）的坐标系下，可设P（0，2，t），t∈[0，4]，又由（1）知C 2（0，0，3），A 2（2，2，1），D 2（2，0，2），∴=（2，2，-2），P =（0，2，t -3），=（0，-2，1），设平面PA 2C 2的法向量为m =（x ,y ,z ），则，取m =（t -1，3-t ,2），设平面A 2C 2D 2的法向量为n =（a ,b ,c ），则，取n =（1，1，2），∴根据题意可得|cos150°|=|cos＜m ，n ＞|=，→B 2C 2→A 2D 2→B 2C 2→A 2D 2→C 2A 2→C 2→A 2D 2→⎧⎨⎩m •=2x +2y -2z =0m •P =2y +（t -3）z =0→→C 2A 2→→C 2→→{n •=2a +2b -2c =0n •=-2b +c =0→→C 2A 2→→A 2D 2→→→|m •n |→→|m ||n |→→∴=，∴t 2-4t+3=0，又t∈[0，4]，∴解得t=1或t=3，∴P为B 1B 2的中点或B 2B的中点，∴B 2P=1．√326×√（t -1+（3-t +4）2）2√6（2023•新高考Ⅰ）已知函数f（x）=a（e x +a）-x.（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当a＞0时，f（x）＞2lna+．32答案：见试题解答内容解析：（1）先求出导函数f'（x），再对a分a≤0和a＞0两种情况讨论，判断f'（x）的符号，进而得到f（x）的单调性；（2）由（1）可知，当a＞0时，f（x）min =f（ln ）=1+a 2+lna,要证f（x）＞2lna+，只需证1+a 2+lna＞2lna+，只需证-lna -＞0，设g（a）=-lna -，a＞0，求导可得g（x）min =g（）＞0，从而证得f（x）＞2lna+．1a3232a 212a 212√2232解答：解：（1）f（x）=a（e x +a）-x,则f'（x）=ae x -1，①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在R上单调递减，②当a＞0时，令f'（x）=0得，x=ln ，当x∈（-∞，ln ）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln ，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f（x）在（-∞，ln ）上单调递减，在（ln ，+∞）上单调递增．证明：（2）由（1）可知，当a＞0时，f（x）min =f（ln ）=a（+a）-ln =1+a 2+lna,要证f（x）＞2lna+，只需证1+a 2+lna＞2lna+，只需证-lna -＞0，设g（a）=-lna -，a＞0，则g'（a）=2a-=，1a1a 1a1a1a1a 1a 1a3232a 212a 2121a 2-1a 22当a∈（0，）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减，当a∈（，+∞）时，g'（a）＞0，g（a）单调递增，）=--=-ln 即g（a）＞0，所以-lna -＞0得证，即f（x）＞2lna+得证．√22√222122122a 21232（2023•新高考Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d,且d＞1．令b n =，记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n项和．（1）若3a 2=3a 1+a 3，S 3+T 3=21，求{a n }的通项公式；（2）若{b n }为等差数列，且S 99-T 99=99，求d.+n n 2a n答案：见试题解答内容解析：（1）根据题意及等差数列的通项公式与求和公式，建立方程组，即可求解；（2）根据题意及等差数列的通项公式的特点，可设a n =tn,则=，且d=t＞1；或设a n =k（n+1），则=，且d=k＞1，再分类讨论，建立方程，即可求解．b n n +1tb n n k 解答：解：（1）∵3a 2=3a 1+a 3，S 3+T 3=21，∴根据题意可得，∴，∴2d 2-7d+3=0，又d＞1，∴解得d=3，∴a 1=d=3，∴a n =a 1+（n-1）d=3n,n∈N*；（2）∵{a n }为等差数列，{b n }为等差数列，且b n =，∴根据等差数列的通项公式的特点，可设a n =tn,则=，且d=t＞1；或设a n =k（n+1），则=，且d=k＞1，①当a n =tn,=，d=t＞1时，则S 99-T 99=-（+）×=99，⎧⎨⎩3（+d ）=3++2d3+3d +（++）=21a 1a 1a 1a 12a16+da 112+2da 1{=d6d +=21a 19d+n n 2a nb n n +1tb n n kb n n +1t（t +99t ）×9922t 100t 992∴50t -=1，∴50t 2-t-51=0，又d=t＞1，∴解得d=t=；②当a n =k（n+1），=，d=k＞1时，则S 99-T 99=-（+）×=99，∴51k -=1，∴51k 2-k-50=0，又d=k＞1，∴此时k无解，∴综合可得d=．51t5150b n n k（2k +100k ）×9921k 99k99250k5150（2023•新高考Ⅰ）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量X i 服从两点分布，且P（X i =1）=1-P（X i =0）=q i ，i=1，2，⋯，n,则E （）=．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．∑ni =1X i ∑ni =1q i答案：见试题解答内容解析：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，结合题意，即可得出答案；（2）由题意设P n 为第n次投篮的是甲，则P n+1=0.6P n +0.2（1-P n ）=0.4P n +0.2，构造得P n+1-=0.4（P n -），结合等比数列的定义可得{P n -}是首项为，公比为0.4的等比数列，即可得出答案；（3）由（2）得P i =+×（）i-1，当n∈N *时，E（Y）=P 1+P 2+...+P n ，求解即可得出答案．13131316131625解答：解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，由题意得P=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6；（2）由题意设P n 为第n次投篮的是甲，则P n+1=0.6P n +0.2（1-P n ）=0.4P n +0.2，∴P n+1-=0.4（P n -），又P 1-=-=≠0，则{P n -}是首项为，公比为0.4的等比数列，∴P n -=×（）n-1，即P n =+×（）n-1，∴第i次投篮的人是甲的概率为P i =+×（）i-1；1313131213161316131625131625131625（3）由（2）得P i =+×（）i-1，∴当n∈N *时，E（Y）=P 1+P 2+...+P n =（+=+=[1-（）n ]+，综上所述，E（Y）=[1-（）n ]+，n∈N *．13162516∑n i =125）i -1n 3[1-（]1625）n 1-25n 351825n 351825n 3（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3．12√3答案：见试题解答内容解析：（1）设点p坐标，结合几何条件即可得出W的方程．（2）首先利用平移性，化简W的方程可简化计算，核心是把两邻边的和用其他方式表示出来．解答：解：（1）设点P点坐标为（x,y），由题意得|y|=两边平方可得：y 2=x 2+y 2-y+，化简得：y=x 2+，符合题意．故W的方程为y=x 2+．（2）解法一：不妨设A，B，C三点在W上，且AB⊥BC．设A（a,a 2+），B（b,+），C（c,+），则AB =（b -a ,-），BC =（c -b ,-）．由题意，AB •BC =0，即（b-a）（c-b）+（b 2-a 2）（c 2-b 2）=0，显然（b-a）（c-b）≠0，于是1+（b+a）（c+b）=0．此时，|b+a|．|c+b|=1．于是min{|b+a|，|c+b|}≤1．不妨设|c+b|≤1，则a=-b-，则|AB|+|BC|=|b-a|+|c-b|=|b-a|14141414b 214c 214→b 2a 2→c 2b 2→→1b +c√1+（a +b ）2√1+（c +b ）2√1+（c +b ）2≥|b-a|+|c-b|≥|c-a|=|b+c+|．设x=|b+c|，则f（x）=（x+），即f（x）=，又f′（x）==．故矩形ABCD的周长为2（|AB|+|BC|）≥2f（x）≥3．这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．解法二：不妨设A，B，D在抛物线W上，C不在抛物线W上，欲证命题为|AB|+|AD|＞．由图象的平移可知，将抛物线W看作y=x2不影响问题的证明．设A（a,a2）（a≥0），平移坐标系使A为坐标原点，则新抛物线方程为y′=x′2+2ax′，写为极坐标方程，即ρsinθ=ρ2cos2θ+2aρcosθ，即ρ=．欲证明的结论为||+||＞也即|-|+|+|＞不妨设||≥||，将不等式左边看成关于a的函数，根据绝对值函数的性质，其最小值当•a-=0即a=时取得，因此欲证不等式为|+|＞，即||＞根据均值不等式，有|cosθsin2θ|由题意，等号不成立，故原命题得证．√1+（c+b）2√1+（c+b）2√1+（c+b）21b+c√1+（c+b）21x√1+x2（1+）x232x．（3-1-）（1+）x212x2x2x2．（2-1）（1+）x212x22222√323√32sinθ-2acosθθcos2sinθ-2acosθθcos2sin（θ+）-2acos（θ+）π2π2（θ+）cos2π22 2acosθsinθθcos22asinθcosθθsin222cosθ2sinθ2cosθsinθθcos2sinθ1cosθcosθθsin221cosθsiθn22√2coθ（1-coθ）（1-coθ）s2s2s2。

2023年高考新课标I卷数学试卷真题及答案解析(含图片)2023年高考新课标I卷数学试卷真题及答案解析(含图片)高考结束后，山东考生们相互之间都会对答案、估分，参照高考试题和答案解析来认真分析自己的分数，下面是小编整理的2023年高考新课标I卷数学试卷真题及答案解析，希望能够帮助到大家。

2023年高考新课标I卷数学试卷真题及答案解析高考志愿如何填报一、登录网站网上填报高考志愿要在省招办指定的网上进行，登录指定网页，打开浏览器，输入网报网址。

指定网页一般会印制在准考证上面。

二、输入用户名密码用户名是高考考生准考证上的14位报名号数字，第一次登录网上报名系统的初始密码是身份证号码，输入用户名和密码后即可登录网上报名系统。

三、填写基本信息并修改初始密码考生应仔细阅读网上填报志愿的流程和注意事项，了解操作流程和相关要求以后再填写住址、电话等重要信息。

高考考生在第一次登录网上填报志愿系统时，一定要修改初始密码，如果不修改，就会自动返回到上一步，无法继续往下操作。

四、填报志愿进去页面之后点击“填报志愿”，按自己的成绩选择不同的批次，进行填写。

填写后最好再核对一遍，这一步尤为重要。

五、保存志愿在填完信息后，一定要记得保存志愿，只有点击“保存”，才会存到网报系统中，没保存就相当于没有填。

2023高考志愿怎么选择专业1. 认真分析自己的兴趣爱好和能力，选择适合自己的专业。

2. 关注高考分数线和各大高校招生计划，了解自己的分数是否符合目标院校的录取要求。

3. 合理规划志愿，根据自己的实际情况，选择合适的志愿填报方案，并且要注意填报时所需缴纳的报考费用。

4. 考虑填报备选志愿，以备不时之需。

5. 留意学校的特殊要求，包括体育、艺术、科技等方面的特长和素质要求。

6. 多方面收集各大高校的信息，包括历史沿革、学科设置、科研水平、师资力量、校园环境等，以便全面了解目标院校。

7. 要提前了解自己所报考学校的招生政策、面试形式以及入学考试难度。

2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅰ卷）数学一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若集合M ={x|√x <4}，N ={x|3x ≥1}，则M ∩N =( )A. {x|0≤x <2}B. {x|13≤x <2}C. {x|3≤x <16}D. {x|13≤x <16}2. 若i(1−z)=1，则z +z −=( )A. −2B. −1C. 1D. 23. 在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 3m⃗⃗⃗ −2n ⃗ B. −2m⃗⃗⃗ +3n ⃗ C. 3m⃗⃗⃗ +2n ⃗ D. 2m⃗⃗⃗ +3n ⃗ 4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km 2；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为(√7≈2.65)( )A. 1.0×109m 3B. 1.2×109m 3C. 1.4×109m 3D. 1.6×109m 35. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )A. 16B. 13C. 12D. 236. 记函数f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T <π，且y =f(x)的图像关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=( )A. 1B. 32C. 52D. 37. 设a =0.1e 0.1，b =19，c =−ln0.9，则( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. a <c <b8. 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A. [18,814]B. [274,814]C. [274,643]D. [18,27]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则()A. 直线BC1与DA1所成的角为90°B. 直线BC1与CA1所成的角为90°C. 直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D. 直线BC1与平面ABCD所成的角为45°10.已知函数f(x)=x3−x+1，则()A. f(x)有两个极值点B. f(x)有三个零点C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线11.已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2=2py(p>0)上，过点B(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则()A. C的准线为y=−1B. 直线AB与C相切C. |OP|⋅|OQ|>|OA|2D. |BP|⋅|BQ|>|BA|212.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x).若f(32−2x)，g(2+x)均为偶函数，则()A. f(0)=0B. g(−12)=0 C. f(−1)=f(4) D. g(−1)=g(2)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为______(用数字作答)．14.写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程______．15.若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．16.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=1，{S na n}是公差为13的等差数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．18. 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA 1+sinA =sin2B1+cos2B ．(1)若C =2π3，求B ；(2)求a 2+b 2c 2的最小值．19. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为4，△A 1BC 的面积为2√2．(1)求A 到平面A 1BC 的距离；(2)设D 为A 1C 的中点，AA 1=AB ，平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，求二面角A −BD −C 的正弦值．20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组 40 60 对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B|A)P(B −|A)与P(B|A −)P(B −|A −)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ． (ⅰ)证明：R =P(A|B)P(A −|B)⋅P(A −|B −)P(A|B −)；(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B −)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R 的估计值． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． P(K 2≥k)0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82821.已知点A(2,1)在双曲线C：x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．已知函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．答案解析1.【答案】D【解析】解：由√x <4，得0≤x <16，∴M ={x|√x <4}={x|0≤x <16}， 由3x ≥1，得x ≥13，∴N ={x|3x ≥1}={x|x ≥13}， ∴M ∩N ={x|0≤x <16}∩{x|x ≥13}={x|13≤x <16}． 故选：D ．分别求解不等式化简M 与N ，再由交集运算得答案． 本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由i(1−z)=1，得1−z =1i =−i−i 2=−i ， ∴z =1+i ，则z −=1−i ， ∴z +z −=1+i +1−i =2． 故选：D ．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z −，再求出z +z −． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：如图，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3n ⃗ −2m ⃗⃗⃗ ． 故选：B ．直接利用平面向量的线性运算可得12CB⃗⃗⃗⃗⃗ =32CD⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而得解．本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：140km2=140×106m2，180km2=180×106m2，根据题意，增加的水量约为140×106+180×106+√140×106×180×1063×(157.5−148.5)=(140+180+60√7)×1063×9≈(320+60×2.65)×106×3=1437×106≈1.4×109m3.故选：C．先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有C72=21种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为1421=23．故选：D．先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T，则T=2πω，由2π3<T<π，得2π3<2πω<π，∴2<ω<3，∵y=f(x)的图像关于点(3π2,2)中心对称，∴b=2，且sin(3π2ω+π4)=0，则3π2ω+π4=kπ，k∈Z．∴ω=23(k−14)，k∈Z，取k=4，可得ω=52．∴f(x)=sin(52x+π4)+2，则f(π2)=sin(52×π2+π4)+2=−1+2=1．故选：A．由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则f(π2)可求．本题考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：构造函数f(x)=lnx+1x，x>0，则f′(x)=1x −1x2，x>0，当f′(x)=0时，x=1，0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在x=1处取最小值f(1)=1，∴lnx>1−1x，∴ln0.9>1−10.9=−19，∴−ln0.9<19，∴c<b；∵−ln0.9=ln109>1−910=110，∴109>e0.1，∴0.1e0.1<19，∴a<b；∵0.1e0.1>0.1×1.1=0.11，而−1n0.9=ln109<12(109−910)=19180<0.11，∴a>c，∴c<a<b．故选：C．构造函数f(x)=lnx+1x ，x>0，利用导数性质求出lnx>1−1x，由此能求出结果．本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：如图所示，正四棱锥P −ABCD 各顶点都在同一球面上，连接AC 与BD 交于点E ，连接PE ，则球心O 在直线PE 上，连接OA ， 设正四棱锥的底面边长为a ，高为ℎ，在Rt △PAE 中，PA 2=AE 2+PE 2，即l 2=(√2a2)2+ℎ2=12a 2+ℎ2，∵球O 的体积为36π，∴球O 的半径R =3，在Rt △OAE 中，OA 2=OE 2+AE 2，即R 2=(ℎ−3)2+(√2a2)2，∴12a 2+ℎ2−6ℎ=0，∴12a 2+ℎ2=6ℎ， ∴l 2=6ℎ，又∵3≤l ≤3√3，∴32≤ℎ≤92，∴该正四棱锥体积V(ℎ)=13a 2ℎ=13(12ℎ−2ℎ2)ℎ=−23ℎ3+4ℎ2， ∵V′(ℎ)=−2ℎ2+8ℎ=2ℎ(4−ℎ)，∴当32≤ℎ<4时，V′(ℎ)>0，V(ℎ)单调递增；当4<ℎ≤92时，V′(ℎ)<0，V(ℎ)单调递减， ∴V(ℎ)max =V(4)=643，又∵V(32)=274，V(92)=814，且274<814，∴274≤V(ℎ)≤643，即该正四棱锥体积的取值范围是[274,643]， 故选：C ．画出图形，由题意可知求出球的半径R =3，设正四棱锥的底面边长为a ，高为ℎ，由勾股定理可得l 2=12a 2+ℎ2，又R 2=(ℎ−3)2+(√2a 2)2，所以l 2=6ℎ，由l 的取值范围求出ℎ的取值范围，又因为a 2=12ℎ−2ℎ2，所以该正四棱锥体积V(ℎ)=−23ℎ3+4ℎ2，利用导数即可求出V(ℎ)的取值范围． 本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：如图，连接B 1C ，由A 1B 1//DC ，A 1B 1=DC ，得四边形DA 1B 1C 为平行四边形， 可得DA 1//B 1C ，∵BC 1⊥B 1C ，∴直线BC 1与DA 1所成的角为90°，故A 正确；∵A 1B 1⊥BC 1，BC 1⊥B 1C ，A 1B 1∩B 1C =B 1，∴BC 1⊥平面DA 1B 1C ，而CA 1⊂平面DA 1B 1C ， ∴BC 1⊥CA 1，即直线BC 1与CA 1所成的角为90°，故B 正确；设A 1C 1∩B 1D 1=O ，连接BO ，可得C 1O ⊥平面BB 1D 1D ，即∠C 1BO 为直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角，∵sin∠C 1BO =OC 1BC 1=12，∴直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角为30°，故C 错误；∵CC 1⊥底面ABCD ，∴∠C 1BC 为直线BC 1与平面ABCD 所成的角为45°，故D 正确． 故选：ABD ．求出异面直线所成角判断A ；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B ；分别求出线面角判断C 与D ． 本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：f′(x)=3x 2−1，令f′(x)>0，解得x <−√33或x >√33，令f′(x)<0，解得−√33<x <√33，∴f(x)在(−∞,−√33),(√33,+∞)上单调递增，在(−√33,√33)上单调递减，且f(−√33)=2√3+99>0,f(√33)=9−2√39>0，∴f(x)有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A 正确，选项B 错误；又f(x)+f(−x)=x 3−x +1−x 3+x +1=2，则f(x)关于点(0,1)对称，故选项C 正确；假设y =2x 是曲线y =f(x)的切线，设切点为(a,b)，则{3a 2−1=22a =b，解得{a =1b =2或{a =−1b =−2，显然(1,2)和(−1,−2)均不在曲线y =f(x)上，故选项D 错误． 故选：AC ．对函数f(x)求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB ；由f(x)+f(−x)=2，可判断选项C ；假设y =2x 是曲线y =f(x)的切线，设切点为(a,b)，求出a ，b 的值，验证点(a,b)是否在曲线y =f(x)上即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：∵点A(1,1)在抛物线C ：x 2=2py(p >0)上， ∴2p =1，解得p =12，∴抛物线C 的方程为x 2=y ，准线方程为y =−14，选项A 错误； 由于A(1,1)，B(0,−1)，则k AB =1−(−1)1−0=2，直线AB 的方程为y =2x −1，联立{y =2x −1x 2=y ，可得x 2−2x +1=0，解得x =1，故直线AB 与抛物线C 相切，选项B 正确；根据对称性及选项B 的分析，不妨设过点B 的直线方程为y =kx −1(k >2)，与抛物线在第一象限交于P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立{y =kx −1y =x 2，消去y 并整理可得x 2−kx +1=0，则x 1+x 2=k ，x 1x 2=1，y 1y 2=(kx 1−1)(kx 2−1)=k 2x 1x 2−k(x 1+x 2)+1=1，|OP|⋅|OQ|=√x 12+y 12⋅√x 22+y 22≥√2x 1y 1⋅√2x 2y 2=2√x 1x 2y 1y 2=2=|OA|2，由于等号在x 1=x 2=y 1=y 2=1时才能取到，故等号不成立，选项C 正确；|BP||BQ|=√x 12+(y 1+1)2⋅√x 2+(y 2+1)2>√x 12+4y 1⋅√x 22+4y 2=√5x 12⋅√5x 22=5√(x 1x 2)2=5=|BA|2，选项D 正确． 故选：BCD ．对于A ，根据题意求得p 的值，进而得到准线；对于B ，求出直线AB 方程，联立直线AB 与抛物线方程即可得出结论；对于C ，设过点B 的直线方程为y =kx −1(k >2)，联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两个之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD ． 本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：∵f(32−2x)为偶函数，∴可得f(32−2x)=f(32+2x)，∴f(x)关于x =32对称， 令x =54，可得f(32−2×54)=f(32+2×54)，即f(−1)=f(4)，故C 正确； ∵g(2+x)为偶函数，∴g(2+x)=g(2−x)，g(x)关于x =2对称，故D 不正确； ∵f(x)关于x =32对称，∴x =32是函数f(x)的一个极值点，∴g(32)=f′(32)=0， 又∴g(x)关于x =2对称，∴g(52)=g(32)=0，∴x =52是函数f(x)的一个极值点，f(x)关于x =32对称，∴x =−12是函数f(x)的一个极值点，∴g(−12)=f′(−12)=0，故B 正确； f(x)图象位置不确定，可上下移动，即没一个自变量对应的函数值是确定值，故A 错误． 故选：BC ．由f(32−2x)为偶函数，可得f(x)关于x =32对称，可判断C ；g(2+x)为偶函数，可得g(2+x)=g(2−x)，g(x)关于x =2对称，可判断D ；由g(32)=0，g(x)关于x =2对称，可得g(52)=0，得到x =52是f(x)的极值点，x =−12也是极值点，从而判断B ；f(x)图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A ．本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．13.【答案】−28【解析】解：(x +y)8的通项公式为T r+1=C 8r x 8−r y r， 当r =6时，T 7=C 86x 2y 6，当r =5时，T 6=C 85x 3y 5，∴(1−yx)(x +y)8的展开式中x 2y 6的系数为C 86−C 85=8!6!⋅2!−8!5!⋅3!=28−56=−28． 故答案为：−28．由题意依次求出(x +y)8中x 2y 6，x 3y 5项的系数，求和即可． 本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】x =−1(填3x +4y −5=0，7x −24y −25=0都正确)【解析】解：圆x 2+y 2=1的圆心坐标为O(0,0)，半径r 1=1， 圆(x −3)2+(y −4)2=16的圆心坐标为C(3,4)，半径r 2=4， 如图：∵|OC|=r 1+r 2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条． ∵k OC =43，∴l 1的斜率为−34，设直线l 1：y =−34x +b ，即3x +4y −4b =0，由|−4b|5=1，解得b =54(负值舍去)，则l 1：3x +4y −5=0；由图可知，l 2：x =−1；l 2与l 3关于直线y =43x 对称，联立{x =−1y =43x ，解得l 2与l 3的一个交点为(−1,−43)，在l 2上取一点(−1,0)，该点关于y =43x 的对称点为(x 0,y 0)，则{y 02=43⋅x 0−12y 0x 0+1=−34，解得对称点为(725,−2425).∴k l 3=−2425+43725+1=724，则l 3：y =724(x +1)−43，即7x −24y −25=0． ∴与圆x 2+y 2=1和(x −3)2+(y −4)2=16都相切的一条直线的方程为： x =−1(填3x +4y −5=0，7x −24y −25=0都正确)．故答案为：x =−1(填3x +4y −5=0，7x −24y −25=0都正确)．由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】(−∞,−4)∪(0,+∞)【解析】解：y′=e x +(x +a)e x ，设切点坐标为(x 0,(x 0+a)e x 0)， ∴切线的斜率k =e x 0+(x 0+a)e x 0，∴切线方程为y −(x 0+a)e x 0=(e x 0+(x 0+a)e x 0)(x −x 0)， 又∵切线过原点，∴−(x 0+a)e x 0=(e x 0+(x 0+a)e x 0)(−x 0)，整理得：x 02+ax 0−a =0，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴Δ=a2+4a>0，解得a<−4或a>0，即a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞)，故答案为：(−∞,−4)∪(0,+∞)．设切点坐标为(x0,(x0+a)e x0)，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得x02+ax0−a=0，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ>0即可求出a的取值范围．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．16.【答案】13【解析】解：∵椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，∴不妨可设椭圆C：x24c2+y23c2=1，a=2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴k DE=tan30°=√33，由等腰三角形的性质可得，|AD|=|DF2|，|AE|=|EF2|，设直线DE方程为y=√33(x+c)，D(x1,y1)，E(x2,y2)，将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx−32c2=0，由韦达定理可得，x1+x2=−8c13，x1x2=−32c213，|DE|=√k2+1|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√13+1⋅√(−8c13)2+128c213=4813c=6，解得c=138，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|=4a=8c=8×138=13．故答案为：13．根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)已知a1=1，{S na n }是公差为13的等差数列，所以S na n =1+13(n−1)=13n+23，整理得S n=13na n+23a n，①，故当n≥2时，S n−1=13(n−1)a n−1+23a n−1，②，①−②得：13a n=13na n−13na n−1−13a n−1，故(n−1)a n=(n+1)a n−1，化简得：a na n−1=n+1n−1，a n−1a n−2=nn−2，........，a3a2=42，a2a1=31；所以a na1=n(n+1)2，故a n=n(n+1)2(首项符合通项)．所以a n=n(n+1)2．证明：(2)由于a n=n(n+1)2，所以1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以1a1+1a2+...+1a n=2(1−12+12−13+...+1n−1n+1)=2×(1−1n+1)<2．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵cosA1+sinA =sin2B1+cos2B，∴cosA1+sinA=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，化为：cosAcosB=sinAsinB+sinB，∴cos(B+A)=sinB，∴−cosC=sinB，C=2π3，∴sinB=12，∵0<B<π3，∴B=π6．(2)由(1)可得：−cosC =sinB >0，∴cosC <0，C ∈(π2,π)， ∴C 为钝角，B ，A 都为锐角，B =C −π2． sinA =sin(B +C)=sin(2C −π2)=−cos2C ，a 2+b 2c 2=sin 2A+sin 2Bsin 2C=cos 22C+cos 2Csin 2C=(1−2sin 2C)2+(1−sin 2C)sin 2C =2+4sin 4C−5sin 2Csin 2C=2sin 2C+4sin 2C −5≥2√2×4−5=4√2−5，当且仅当sinC =1√24时取等号．∴a 2+b 2c 2的最小值为4√2−5．【解析】(1)利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B ．(2)利用诱导公式把A 用C 表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论． 本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为4，可得V A 1−ABC =13V A 1B 1C 1−ABC =43，设A 到平面A 1BC 的距离为d ，由V A 1−ABC =V A−A 1BC ， ∴13S △A 1BC ⋅d =43，∴13×2√2⋅d =43，解得d =√2． (2)由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1知BB 1⊥平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，又平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，又平面ABC ∩平面A 1BC =BC ， 所以BC ⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥A 1B ，BC ⊥AB ，以B 为坐标原点，BC ，BA ，BB 1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA 1=AB ，∴BC ×√2AB ×12=2√2，又12AB ×BC ×AA 1=4，解得AB =BC =AA 1=2， 则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，A 1(0,2,2)，D(1,1,1)， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，设平面ABD 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y +z =0，令x =1，则y =0，z =−1，∴平面ABD 的一个法向量为n ⃗ =(1,0,−1)， 设平面BCD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， {m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a =0m⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b +c =0，令b =1，则a =0，c =−1， 平面BCD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1,−1)， cos <n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ >=√2⋅√2=12， 二面角A −BD −C 的正弦值为√1−(12)2=√32．【解析】(1)利用体积法可求点A 到平面A 1BC 的距离；(2)以B 为坐标原点，BC ，BA ，BB 1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A −BD −C 的正弦值．本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．20.【答案】解：(1)补充列联表为：计算K 2=200×(40×90−10×60)2100×100×50×150=24>6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异． (2)(i)证明：R =P(B|A)P(B −|A)：P(B|A −)P(B −|A −)=P(B|A)P(B −|A)⋅P(B −|A −)P(B|A −)=P(AB)P(A)P(AB −)P(A)⋅P(A −B −)P(A −)P(A −B)P(A −)=P(AB)⋅P(A −B −)P(AB −)⋅P(A −B)=P(AB)P(B)P(A −B)P(B)⋅P(A −B −)P(B −)P(AB −)P(B −)=P(A|B)P(A −|B)⋅P(A −|B −)P(A|B −)；(ⅱ)利用调查数据，P(A|B)=40100=25，P(A|B −)=10100=110，P(A −|B)=1−P(A|B)=35，P(A −|B −)=1−P(A|B −)=910， 所以R =2535×910110=6．【解析】(1)补充列联表，根据表中数据计算K 2，对照附表得出结论． (2)(i)根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；(ⅱ)利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．21.【答案】解：(1)将点A 代入双曲线方程得 4a 2−1a 2−1=1，化简得a 4−4a 2+4=0，∴a 2=2，故双曲线方程为x 22−y 2=1，由题显然直线l 的斜率存在，设l ：y =kx +m ，设P(x 1,y 1)Q(x 2,y 2)， 则联立双曲线得：(2k 2−1)x 2+4kmx +2m 2+2=0， 故x 1+x 2=−4km 2k 2−1，x 1x 2=2m 2+22k 2−1，k AP +k AQ =y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2=kx 1+m−1x 1−2+kx 2+m−1x 2−2=0，化简得：2kx 1x 2+(m −1−2k)(x 1+x 2)−4(m −1)=0， 故2k(2m 2+2)2k 2−1+(m −1−2k)(−4km2k 2−1)−4(m −1)=0，即(k +1)(m +2k −1)=0，而直线l 不过A 点，故k =−1； (2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan∠PAQ =2√2，∴2tan∠PAQ 21−tan 2∠PAQ 2=2√2，得tan∠PAQ 2=√22， 由2α+∠PAQ =π，∴α=π−∠PAQ2，得k AP =tanα=√2，即y 1−1x 1−2=√2，联立y 1−1x 1−2=√2，及x 122−y 12=1得x 1=10−4√23,y 1=4√2−53， 代入直线 l 得m =53，故x 1+x 2=203,x 1x 2=689，而|AP|=√3|x 1−2|,|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ =2√23， 故S △PAQ =12|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=16√29． 【解析】(1)将点A 代入双曲线方程得x 22−y 2=1，由题显然直线l 的斜率存在，设l ：y =kx +m ，与双曲线联立后，根据直线AP ，AQ 的斜率之和为0，求解即可；(2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan∠PAQ =2√2，得tan∠PAQ 2=√22，联立y 1−1x 1−2=√2，及x 122−y 12=1，根据三角形面积公式即可求解．本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．22.【答案】(1)解：∵f(x)=e x−ax，g(x)=ax−lnx，∴f′(x)=e x−a，g′(x)=a−1x，∵y=e x在x∈R上单调递增，函数y=−1x在x∈(0,+∞)上单调递增，∴函数f′(x)和函数g′(x)在各自定义域上单调递增，又∵函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有最小值，∴当f′(x)=0时，x=lna，当g′(x)=0时，x=1a，∴函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，函数g(x)在(0,1a )上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增，∴f(x)min=f(lna)=a−alna，g(x)min=1+lna，∵函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值∴a−alna=1+lna，解得：a=1．(2)证明：设三个交点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，由(1)得，函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴x1∈(−∞,0)，x2∈(0,1)，x3∈(1,+∞)，b=e x1−x1=e x2−x2=x2−lnx2=x3−lnx3，∴2x2=e x2+lnx2，e x1−x1=x2−lnx2，e x2−x2=x3−lnx3，∴e x1−x1=e lnx2−lnx2，e x2−x2=e lnx3−lnx3，∴f(x1)=f(lnx2)，f(x2)=f(lnx3)，∵lnx2∈(−∞,0)，lnx3∈(0,+∞)，∴x1=lnx2，x2=lnx3，∴x3=e x2，∴x1+x3=lnx2+e x2=2x2，∴x1，x2，x3成等差数列，∴存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【解析】(1)先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f(x)和g(x)的单调性，从而求得f′(x)和g′(x)的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；(2)设三个交点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，得到有关x1，x2，x3的方程，然后化简利用函数f(x)的单调性求得x1，x3和x2的数量关系，进而得证命题．本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量关系．。