新高考数学试题(及答案)
一、选择题
1．设1i
2i 1i
z -=++，则||z = A ．0
B ．
12
C ．1
D ．2
2．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ．
110
B ．
310
C ．
35
D ．
25
4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22
221x y a b
+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，
使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )
A ．2,13⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．12,32⎡⎢⎣⎦
C ．1,13⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
6．已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
7．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x
⎧---≤⎪
=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．30a -≤<
B ．0a <
C ．2a ≤-
D ．32a --≤≤
8．5
22x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10
B ．20
C ．40
D ．80
9．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220
B ．2755
C ．
2125
D ．
27
220
10．已知,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A ．
6
π B ．
3
π C ．23
π D ．
56
π 11．在[0,2]π内，不等式3
sin 2
x <-的解集是（ ） A ．(0)π，
B ．4,33ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
C ．45,33ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．5,23ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
12．已知P 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上一点，12F F ，
为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4
3
y x =±
B ．34
y
x C ．35
y x =±
D ．53
y x =±
二、填空题
13．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688
P A B P B C P A B C ⋅=
⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．
14．在ABC 中，60A =︒，1b =，面积为3，则
sin sin sin a b c
A B C
________．
15．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.
16．已知直线：与圆
交于两点，过分别作的垂线与
轴交于
两点.则
_________.
17．计算：1726
cos()sin 43
ππ-
+=_____． 18．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活
动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.
19．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____. 20．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．
三、解答题
21．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由. 22．
在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,
,
x t y kt =⎧⎨
=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为
2,,x m m m y k =-+⎧⎪
⎨
=⎪⎩
（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
()3:cos sin 20l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.
23．已知数列｛n a ｝的前n 项和Sn ＝n 2－5n (n∈N +）． （1）求数列｛n a ｝的通项公式； （2）求数列｛
1
2n
n a +｝的前n 项和Tn . 24．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3
BAD π∠=，PAD ∆是等边
三角形，F 为AD 的中点，PD BF ⊥.
