《结构力学习题集》(上)静定结构位移计算

《静定结构的位移计算》习题一、判断题1、某梁段杆长为l ，在图乘时可以选取图示的ω与y c 。

（ ）2（ ） 3、结构位移计算的图乘法公式中，纵坐标必须从单位荷载弯矩图中取得，不能取自实际弯矩。

（ ） 4、变形体的虚功原理仅适用于线弹性体系，不适用于非线性非弹性体系。

（） 5、功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线性非弹性体系。

（ ） 6、虚功中的力状态和位移状态彼此独立无关，故这两个状态中的任一个都可以看作是虚设的。

（ ）7C 点的竖向位移相等。

（ ）8、某刚架的两个弯矩图如图示，已知EI =常数，则下列图乘结果是正确的。

（ ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=∆l ql l l l ql EI 8523232221122q2l第8题图(b)9、梁的两个弯矩图如图示，已知EI =常数，则下列图乘结果是正确的。

（ ）⎪⎫⎛⋅+⋅=∆d bc d ac EI 85323221110、导出单位荷载法的原理是虚力原理。

（ ）二、填空题1、图示结构中支座A 有一个向右的水平位移⊿A ，则C 点的竖向位移为。

2、图示结构中，支座A 有一顺时针方向的转角θA ，则B 点的水平位移为__________。

3、简支梁EI =常数，(a)图所示的ΦB =l 2/16EI ，则(b)图所示的ΔC =________。

4=Δ∑ +∑ +∑ ∑-c R第9题图(b)第9题图(a)5、图示桁架B 点的竖向位移为________。

6、图示桁架A 点的水平位移为________。

三、分析计算题1、求φF ，EI =常数。

23、计算图示刚架中D 点的竖向位移，已知EI =常数。

l第6题图4、求图示结构A 、B 点的相对线位移，已知EI =常数。

56、图示桁架中杆件GD 结点G 的竖向位移。

7、求图示伸臂梁C 点的竖向位移，已知EI =常数。

ΦA 共同作用，求C 截面的转角。

9ΦB ，已知EI =常数。

102。

11第5题图B O。

第5章 静定结构位移计算§5 – 1 基本概念5-1-1 虚拟单位力状态构造方法●虚拟单位力状态构造方法：（1）去掉所有荷载重画一个结构； （2）标出所求位移矢量；（3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。

如图3-1a 刚架求C 点竖向位移CV ∆和C 截面转角C ϕ，图3-1b 和图3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单位力状态。

5-1-2 位移计算公式虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力：N Q ,,,Ri F M F F实际荷载作用下，引起的内力：NP P QP ,,F M F●位移计算一般公式N Q Ri i F du Md F ds F c ∆ϕγ=++-∑∑∑∑⎰⎰⎰●荷载作用产生位移的计算公式Q N QP NP Pk F F F F M M ds ds ds EA EI GA∆=++∑∑∑⎰⎰⎰ 1、梁或刚架结构 PM M ds EI∆=∑⎰ 2、桁架结构 N NPF F ds EA∆=∑⎰图3-1虚拟单位力状态)a ()b ()c (2 结构力学典型例题解析3、混合结构N NP PF F MM ds ds EA EI∆=+∑∑⎰⎰ ●支座移动引起位移计算公式Ri i F c ∆=-∑●温度引起位移计算公式()N 0tF t dx Mdx hα∆∆α=+±∑∑⎰⎰()N 0Mtt lF A hα∆∆α=+±∑∑式中：0,,t t α∆为线膨胀系数形心温度温差，h 截面高度M A 虚拟状态弯矩图面积●有弹性支座情况的位移计算公式()P RPR 0RPR M M Fds F EI kAy F F EI k∆=+⨯±=+⨯∑∑⎰∑∑5-1-3 图乘法图乘法公式：0P()Ay MM dx EI EI±∆==∑∑⎰图乘法公式条件：●等截面直杆且EI=常数 ●求 y 0图形必须为一条直线 正负号确定：面积A 与y 0同侧取“+”号注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。

第三章 静定结构的位移计算一、判断题：1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。

2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。

3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。

4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;;B.D.C.=1=15、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。

6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。

M kM p21y 1y 2**ωω( a )M =17、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。

8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。

aa9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。

二、计算题：10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角ϕA ，EI = 常数。

qlll /211、求图示静定梁D 端的竖向位移 ∆DV 。

EI = 常数 ，a = 2m 。

a a a10kN/m12、求图示结构E 点的竖向位移。

EI = 常数 。

ll l /32 /3/3q13、图示结构，EI=常数 ，M =⋅90kN m , P = 30kN 。

求D 点的竖向位移。

P 3m3m3m14、求图示刚架B 端的竖向位移。

q15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。

q16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。

EI ＝常数。

l ll/217、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。

EI＝常数。

18、求图示刚架中D点的竖向位移。

E I = 常数。

qll l/2219、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。

l/23l/320、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。

ll21、求图示结构B点的竖向位移，EI = 常数。

6-1 求图示桁架AB 、AC 的相对转角，各杆EA 为常量。

解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b ）所示。

(b)(a)N(d )(c)题6-1N N（2）建立虚设单位力状态如（c ）所示,求AB 杆的转角。

1113(2)82i P iAB i i P a P a P a N N l P a a a E A EA EA EA EAϕ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅==++⨯=∑（↺）（3）建立虚设单位力状态如（d ）所示,求AC 杆的转角。

113(2)()(72i P i AC i iP a P a N N lPa a E A EA EA EAϕ⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅+==+⨯=∑（↺）故，AB 、AC 的相对转角为两杆转角之差：8(7(10.414AB AC P P P PEA EA EA EAϕϕϕ=-=-==-（夹角减小）6-2 求半圆曲梁中点K 的竖向位移。

只计弯曲变形。

EI 为常数。

方法一 解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a ）所示。

以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为：sin (0)P M θθπ=-≤≤Pr（2）建立虚设单位力状态如（b ）所示，其弯矩方程为：[]1cos )(0)2211cos()cos )()222i M πθθππθθθπ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-=≤≤⎪⎩(r -r r -r (r +r(a)题6-2（3）积分法求半圆曲梁中点K 的竖向位移。

20233220022311cos )(sin )cos )(sin )2211cos )sin cos )sin sin sin 2)sin sin 2)2222cos 2i V Pk Pr Pr M M ds rd rd EIEI EI Pr Pr d d d d EI EI Pr EI πππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅-⋅-⋅∆==+⎡⎤⎡⎤=-⋅+⋅=-+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(r -r (r +r (-(+(-(+(-11320211cos 2)cos cos 2)442Pr EI πππθθθ⎡⎤⎢⎥+-+=-↑⎢⎥⎣⎦（）( 方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。

习题一．选择题4-1 与图示结构上的广义力相对应的广义位移为（ C ）。

A ．B 点水平位移；B ．A 点水平位移；C ．AB 杆的转角；D ．AB 杆与AC 杆的相对转角P P题4-1图题4-2图4-2 图示结构加P1F 引起位移11Δ、21Δ，再加P2F 又产生新的位移12Δ、22Δ，两个力所作的总功为（ C ）。

A ．22P21211P1)(ΔF ΔΔF W ++=；B ．22P21211P121)(ΔF ΔΔF W ++=；C ．22P212P111P12121ΔF ΔF ΔF W ++=； D ．)()(2221P21211P1ΔΔF ΔΔF W +++=4-3 变形体虚功原理适用于（ B ）。

A ．线弹性体系；B ．任何变形体；C ．静定结构；D ．杆件结构 4-4 图示结构中，位移之间的关系成立的有（ D ）。

A ．643θθθ+=，82ΔΔ=，74θθ=；B ．315θθ+=∆，86ΔΔ=，921θθθ=+C ．642θθ+=∆，85ΔΔ=，93θθ=；D ．642θθ+=Δ，68θ=Δ，973θθθ+=4-5 下面说法中正确的一项是（D ）。

A ．图乘法适用于任何直杆结构；B ．虚功互等定理适用于任何结构；C ．单位荷载法仅适用于静定结构；D ．位移互等定理仅适用于线弹性结构 二．填充题4-6 若使图示结构的A 点竖向位移为零，则应使P1F 与P2F 的比值为P2P1/F F = 16/5。

P2题4-6图题4-7图4-7 图示结构中，AB 杆的温度上升t 度，已知线膨胀系数为α，则C 点的竖向位移为 4ALT 。

4-8 上题结构中的AB 杆，由于加热而伸长了Δ，则由此产生的C 点竖向位移为 2 。

4-9 上题结构中的AB 杆，由于制作时作长了Δ，则由此产生的C 点竖向位移为 。

三．计算题4-10 试求图示桁架A 点竖向位移。

已知各杆截面相同，22m 105.1-⨯=A ，210GPa =E 。

静定结构的位移计算——典型例题【例1】计算如图1(a)所示梁结构中跨中C 点的竖向位移，已知EI 为常数。

【解】方法一：（积分法）（1）荷载作用的实际状态以及坐标设置如图6-8(a)，其弯矩方程为：（2）虚设单位力状态，以及坐标设置如图6-8(b)，其弯矩方程为：（3）积分法求跨中的竖向位移图1方法二：图乘法（1）荷载作用的实际状态，其弯矩图如图1(c)所示； （2）虚设单位力状态，其弯矩图如图1(d)所示； （3）图乘计算跨中竖向位移【例2】计算如图2(a)所示半圆曲梁中点C 的竖向位移，只考虑弯曲变形。

已知圆弧半径为R ，EI 为常数。

CV ∆21102211112222P qlx x l M qlx q x l l x l ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎛⎫⎪--<≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩1021122x x l M l l x l ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩24/20/211111113()22222232l l P CVl MM ql ds x qlxdx l qlx q x l dx EI EI EI EI ⎡⎤⎛⎫∆==⨯⨯+⨯⨯--=↓⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰4222211112111311121113()222432284223232232cPCV A y MM ds EI EI ql l ql l ql ql l l l ql l EI EI EI ω∆==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=↓ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑⎰CV ∆图2【解】（1）实际荷载作用下，以任意半径与x 轴的顺时针夹角θ为自变量（图2a ），弯矩方程为（截面内侧受拉为正）：（2）虚设单位荷载状态如图2(b)所示，其弯矩方程为：（3）积分法求跨中的竖向位移【例3】如图3(a)所示梁的EI 为常数，在荷载F 作用下测得结点E 的竖向位移为9mm （向下），求截面B 处的角位移。