4.3.1 等比数列(2)(人教A版高中数学选择性必修第二册)(解析版)

课时同步练4.3.2 等比数列的前n 项和 （1）一、单选题1．等比数列的公比为2,且前四项之和等于1,则其前八项之和等于 （ ）A ．15B ．21C ．19D ．17【答案】D【详细解析】由已知得12341a a a a +++=, 则12345678a a a a a a a a +++++++()412341234a a a a a a a a q =+++++++41217=+=.故选D.2．若a ,4,3a 为等差数列的连续三项,则0129a a a a +++⋯+的值为 （ ）A ．2047B ．1062C ．1023D ．531【答案】C【详细解析】∵ a ,4,3a 为等差数列的连续三项 ∴a +3a =4a =2×4, 解得a =2,故0129a a a a +++⋯+=20+21+22+…+29=1012102312-=-．故选C ．3．已知等比数列｛a n ｝的公比q =12,且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60,则a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100等于 （ ） A ．100B ．90C ．60D ．40【答案】B【详细解析】∵1359960a a a a ++++=,∴2461001359911()603022a a a a a a a a ++++=++++=⨯=,∴1234100306090a a a a a +++++=+=.故选B.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1,a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2,S n ＝15,则项数n 为 （ ）A ．12B ．14C ．15D ．16【答案】D 【详细解析】56781234a a a a a a a a ++++++＝q 4＝2,由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1, 得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝1,即a 1·411q q--＝1,∴a 1＝q －1,又S n ＝15,即()111na q q--＝15,∴q n ＝16, 又∵q 4＝2, ∴n ＝16. 故选D.5．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 （ ）A ．2nB ．3nC ．122n +-D ．31n -【答案】A【详细解析】设等比数列{}n a 的公比为q .因为数列{}1n a +也是等比数列,所以22213(1)(1)(1)210a a a q q +=++⇒-+=,解得:1q =,所以12n S na n ==. 故选A.6．若n S 是一个等比数列{}n a 的前n 项和,48n S =,2=60n S ,则3n S 等于 （ ）A ．183B ．108C ．75D ．63【答案】D【详细解析】由题意可知,n S 、2n n S S -、32n n S S -成等比数列,即48、12、360n S -成等比数列,所以,()23486012n S ⨯-=,解得363n S =,故选D.7．设47()222f n =++1031022()n n N +*+++∈,则()f n 等于 （ ） A ．()2817n- B ．()12817n +- C ．()32817n +- D ．()42817n +- 【答案】D【详细解析】数列04710312,22,,,,22n +是首项为2,公比为328=的等比数列,共有 （n +4）项,所以()()44731042182()222281187n n n f n +++-=++++==--.故选D8．已知一个等比数列的首项为2,公比为3,第m 项至第n 项 （m n <）的和为720,那么m 等于 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【详细解析】由题意可得S n ﹣S m ﹣1＝a m +a m +1+…+a n ＝720, ∵a 1＝2,q ＝3,由等比数列的求和公式可得,()()12132131313n m ----=--720,∴3n ﹣3m ﹣1＝720,∴3m ﹣1 （3n ﹣m +1﹣1）＝9×80＝32×5×24, 则3m ﹣1≠5×16, ∴3m ﹣1＝9, ∴m ＝3, 故选A9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝a n －2(a 为常数且a ≠0),则数列{a n } （ ）A ．是等比数列B ．当a ≠1时是等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或等差数列【答案】D【详细解析】由数列{}n a 的前n 的和2nn S a =-,可得当1n =,得112a S a ==-; 当2n ≥,得11(1)n n n n a S S a a --=-=-,所以数列{}n a 的通项公式为12,1(1),2n n a n a a a n --=⎧=⎨-≥⎩,当10,2,(1),1n n a n a a a a -≠≥=-≠时等比数列,当1a =时,{}n a 是等差数列, 故选D ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =,()121n n S S n N ++=-∈,则10a = （ ）A ．128B ．256C ．512D ．1024【答案】B【详细解析】∵S n +1＝2S n ﹣1 （n ∈N +）, n ≥2时,S n ＝2S n ﹣1﹣1,∴a n +1＝2a n ． n ＝1时,a 1+a 2＝2a 1﹣1,a 1＝2,a 2＝1．∴数列{a n }从第二项开始为等比数列,公比为2．则a 10822a =⨯=1×28＝256． 故选B ．11．在正项等比数列{}n a 中,512a =,673a a +=．则满足123123......n n a a a a a a a a ++++>的最大正整数n 的值为 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【详细解析】∵正项等比数列{}n a 中,512a =,()26753a a a q q +=+=, ∴26q q +=. ∵0q >,解可得,2q =或3q =- （舍）, ∴1132a =, ∵()1231122132 (1232)n nn a a a a --++++==-,∴()1221123232n n n n -->⨯.整理可得,()1152n n n ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭, ∴112n <≤,经检验12n =满足题意, 故选C ．12．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若存在*m N ∈,满足228m m S S =,22212m m a m a m +=-,则数列{}n a 的公比为 （ ） A ．12 B ．13C ．2D ．3【答案】D【详细解析】设等比数列公比为q 当1q =时,2228mmS S =≠,不符合题意, 当1q ≠时,()()21211128,12811m mm m m a q S q q S q a q--=∴⋅=+=--, 得27m q =,又2221221,22m m m a m m q a m m ++=∴=--, 由221272m m +=-,得3m =,327,3q q ∴=∴=,故选D.二、填空题13．若数列{}n a 中,13a =,且13n n a a +=,则其前n 项和n S =______.【答案】()3312n- 【详细解析】依题意,13n na a +=,所以数列{}n a 是以3为首项,3为公比的等比数列,则3(13)3(31)132nn n S -==--.故填()3312n-. 14．若等比数列{}n a 的通项公式是()42nn a n -*=∈N ,这个数列的前5项之和为______.【答案】312【详细解析】由题意可得41128a -==,且公比为()4111421222n n n n a q a -+-+-====,因此,该数列的前5项和为()551181131211212a q q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭==--, 故填312. 15．等比数列{}n a 为非常数数列,其前n 项和是n S ,当333S a =时,则公比q 的值为_____．【答案】12-【详细解析】333S a =,则2211113a a q a q a q ++=,10a ≠,则2210q q --=,解得12q =-或1q = （舍去）. 故填12-. 16．已知数列{}n a 的前n 项和为233nn S =-,则通项公式为_________． 【答案】17(1),323(2)n n n a n -⎧-=⎪=⎨⎪-⋅⎩ 【详细解析】已知数列{}n a 的前n 项和为233nn S =-, 当1n =时,11123373a S ==-=-, 当2n ≥时,11122333332n n n n n n S S a ---=--⎛⎫⎛⎫=-=-⋅⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,而173a =-,不适合上式, 所以17(1),323(2)n n n a n -⎧-=⎪=⎨⎪-⋅⎩ 故填17(1),323(2)n n n a n -⎧-=⎪=⎨⎪-⋅⎩17．设S n 是等比数列{}n a 的前n 项和,若510S S ＝13,则20105S S S +＝________.【答案】118【详细解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,因为()()()()()()()51055201010111151021111111,11111,1a q a q a q q a q a q q qqqqS SSq---+--+====---=--,所以()()51010201051,1S S q SS q =+=+)．由510S S ＝13,得05511113S S q ==+,解得5102,4q q ==,所以105201053,515S S S S S ===,从而1020518S S S +=,所以0552051S S 1S S 18S 18==+,故填118. 18．已知数列{}n a 的首项135a =,1321nn n a a a +=+,*n N ∈,记12111n nS a a a =+++,若100k S <,则正整数k 的最大值为__________.【答案】99【详细解析】因为1321n n n a a a +=+,所以112133n n a a +=+,设11113n n k k a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 得111233n n k a a +=-,与112133n n a a +=+比较得2233k -=,1k ∴=-.所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 又112103a -=≠,所以()*110n n N a -≠∈,所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列,所以1121133n n a -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭,所以11213nn a ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,所以1212111111111332211333313n n n nn S n n n a a a +-⎛⎫=+++=++++=+⨯=+- ⎪⎝⎭-, 若100k S <,则111003k k +-<,所以max 99k =,故正整数k 的最大值为99, 故填99.三、解答题19．已知等差数列{}n a 不是常数列,其前四项和为10,且2a 、3a 、7a 成等比数列.（1）求通项公式n a ;（2）设2n an b =,求数列{}n b 的前n 项和n S .【详细解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差d ,1234232710a a a a a a a +++=⎧⎨=⎩ ()()()12111461026a d a d a d a d +=⎧⎪⇒⎨+=++⎪⎩ 解得:12,3a d =-=()21335n a n n ∴=-+-⨯=- ;（2）352n n b -= ,3231352282n n n n b b -+-=== ,114b = {}n b ∴是公比为8,首项为14的等比数列,()1188141828n n n S ⨯--∴==- .20．等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3．（1）求{a n }的通项公式;（2）记S n 为{a n }的前n 项和．若S m =63,求m ．【详细解析】 （1）设{}n a 的公比为q,由题有:1421114a a q a q =⎧⎨=⎩解得: 0()22q q q ===-舍去或或 故()1122n n n n a a --=-=或（2）若()12n n a -=-,则()123nns --=,由63m s =得()2188m-=-,此方程没有正整数解;若12n n a -=,则21n n s =-,由63m s =得,264m =,6m ∴=综上:6m =21．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知12n n S a +=.（1）求{}n a 的通项公式;（2）求使得22020n n a S >+的n 的取值范围. 【详细解析】 （1）由题知,12n n S a +=①, 当1n =时,11a =当2n ≥时,1112n n S a --+=② ①减②得,12n n a a -=,故{}n a 是以1为首项,2为公比的等比数列, 所以12n na（2）由 （1）知,2122n n a -=,21nn S =-22020n n a S >+即210221202n n --+> 等价于()2224038nn->易得()222nn-随n 的增大而增大而6n =,()2224038nn-<,7n =,()2224038n n ->故7n ≥,n N ∈22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,13a =,且对任意的正整数n ,都有113n n n S S λ++=+,其中常数0λ>．设3nn n a b =()n N *∈﹒ （1）若3λ=,求数列{}n b 的通项公式; （2）若1λ≠且3λ≠,设233n n n c a λ=+⨯-()n N *∈,证明数列{}n c 是等比数列; （3）若对任意的正整数n ,都有3n b ≤,求实数λ的取值范围．【详细解析】∵113n n n S S λ++=+,n N *∈, ∴当2n ≥时,-13nn n S S λ=+,从而123nn n a a λ+=+⋅,2n ≥,n N *∈﹒又在113n n n S S λ++=+中,令1n =,可得12123a a λ=+⋅,满足上式, 所以123nn n a a λ+=+⋅,n N *∈﹒（1）当3λ=时,1323nn n a a +=+⋅,n N *∈,从而112333n n n na a ++=+,即123n n b b +-=, 又11b =,所以数列{}n b 是首项为1,公差为23的等差数列, 所以213n n b +=． （2）当0λ>且3λ≠且1λ≠时,1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯-- 11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--,又163(1)3033c λλλ-=+=≠--,所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--,公比为λ的等比数列,13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒ （3）在 （2）中,若1λ=,则0n c =也适合,所以当3λ≠时,13(1)3n n c λλλ--=⋅-． 从而由 （1）和 （2）可知11(21)33{3(1)23333n n n n n a λλλλλλ--+⨯==-⋅-⨯≠--，，，． 当3λ=时,213n n b +=,显然不满足条件,故3λ≠． 当3λ≠时,112()333n n b λλλλ--=⨯---． 若3λ>时,103λλ->-,1n n b b +<,n N *∈,[1,)n b ∈+∞,不符合,舍去． 若01λ<<时,103λλ->-,203λ->-,1n n b b +>,n N *∈,且0n b >． 所以只须11133a b ==≤即可,显然成立．故01λ<<符合条件; 若1λ=时,1n b =,满足条件．故1λ=符合条件; 若13λ<<时,103λλ-<-,203λ->-,从而1n n b b +<,n N *∈, 因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，, 要使3n b ≤成立,只须233λ-≤-即可． 于是713λ<≤． 综上所述,所求实数λ的范围是7(0]3，．。

4.3 等比数列 1、等比数列的概念（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：q a a n n =-1(n ≥2，q 为非零常数). （2）如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab .2、等比数列的通项公式及前n 项和公式（1）若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1qn －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .（2）等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q 1－q. （3）错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解.3、等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和.（1）若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n .（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .（3）当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n . 知识梳理（1）若数列}{n a 为等比数列，则数列}{n a c ⋅(c ≠0)，|}{|n a ，}{2n a ，}{n a 1也是等比数列. （2）由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.（3）在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.5、构造法：（1）由⎩⎨⎧+=+=+++q pa a q pa a n n n n 121相减得)()(112n n n n a a p a a -=-+++，则}{1n n a a -+为等比数列。