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等比数列的前n项和(2)最新版

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等比数列的前项和课件2022-2023学年上学期高二数学选择性必修第二册

等比数列的前项和课件2022-2023学年上学期高二数学选择性必修第二册
①
我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得
qSn=a1q + a1q2 + a1q3 + … +a1qn-1+ a1qn
②
Sn=a1 + a1q + a1q2 + … +a1qn-1
qSn=
a1q + a1q2 + … +a1qn-1 + a1qn
①
②
①②两式的右边由很多相同的项，用①的两边分别减
去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得
次为a2 , a3 , …, an , …, 则a1=25.
例9 如图，正方形ABCD的边长为5cm,
取正方形ABCD各边的中点E、F、G、H, 做
第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH
各边的中点I、J、K、L, 做第3个正方形IJKL,
以此方法一直继续下去.
(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；

2
4
1+q +q = ,
由②÷①,
解得m=7.
方法2:由等比数列前n项和的性质知, S2, S4−S2, S6−S4
也成等比数列, 即有(6−4)2 =4×(S6−6), 解得S6=7.
例9 如图，正方形ABCD的边长为5cm,
取正方形ABCD各边的中点E、F、G、H, 做
第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH
S4=4a1, S2=2a1, 即S4=2S2, 与已知矛盾, 故q≠1 .
设S6=m, 则由已知得
a1 (1- q 2 )
a1 (1- q 4 )
a1 (1- q 6 )
S2 =
= 4 (1) ，S4 =

等比数列前n项和(二)

等比数列前n项和(二)

2.5 等比数列的前n 项和(二)[学习目标]1．熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题． 2．应用方程的思想方法解决与等比数列前n 项和有关问题． [知识链接]上一节我们学习了等比数列的前n 项和的公式，那么该公式与相应的函数有怎样的关系？等比数列的前n 项和又有怎样的性质？如何利用这些性质解题？ [预习导引]1．等比数列的前n 项和的变式(1)当q ≠1时，S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a n q －a 1 q －1＝a 1(1－q n)1－q ＝a 1(q n－1)q －1；当q ＝1时，S n ＝na 1.(2)当公比q ≠1时， S n ＝a 1(1－q n)1－q 可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q ，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A . 由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 2．等比数列前n 项和的性质(1)连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )，仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数) (2)S m ＋n ＝S m ＋q m S n ，特别地S 2n ＝S n ＋q n S n ，S 3n ＝S 2n ＋q 2n S n ． 证明(3)若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝q .题型一 等比数列前n 项和S n 的函数特征 例1 设f (n )＝2＋24＋27＋ (23)＋1(n ∈N *)，则f (n )等于( )A.27(8n －1)B.27(8n ＋1－1)C.27(8n ＋2－1)D.27(8n ＋3－1)跟踪演练1 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.题型二 等比数列前n 项和性质的应用例2在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n .跟踪演练2在等比数列{a n }中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( )A ．90B ．70C ．40D ．30题型三 等差、等比数列前n 项和的综合问题例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，在数列{b n }中，b 1＝1， 点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .跟踪演练3 在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， 又a 3与a 5的等比中项为2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S nn 最大时，求n 的值．当堂达标1．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．－12．等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝( ) A ．2n－1 B.4n －13 C.1－(－4)n 5 D.1－(－2)n33．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝k·3n －1－16，则k 的值为( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12 4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.5．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 6．在等比数列{a n }中，已知S n ＝189，q ＝2，a n ＝96，求a 1和n .B 组7．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.1728．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．45 D ．45＋19．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________.10．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ，S n ，S l 成等差数列，求证：对任意自然数k ， a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．。

等比数列前n项公式2课件

等比数列前n项公式2课件
（3）求证：数列{bn }是等比数列； （4）记 dn
an bn ,求{dn }的前 n项和 Sn 。
6
探究1：
1. 等比数列通项an与前n项和Sn的关系？
{an}是等比数列
Sn Aq B
n
其中A 0, q 1, A B 0.
练习1：
若等比数列{an}中，Sn＝m· 3n＋1，则
1 1 2 例3. 求和 : ( x ) ( x 2 ) y y
练习： 求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n项和。
5
0.999
n个9
99
1 (x n ) y
n
1 1 2 1 3 例4：求和Sn = 2( ) 3( ) 2 2 2
练习： 求和S n 1 3 2 5 2 7 2
-1 实数m＝__________.
7
探究2：
an 的 前n项 和, 已 知Sn 是 等 比 数 列
且S10 5, S20 15.
(1).求S30 ;
35
( 2).问S10 , S20 S10 , S30 S20
是否成等比数列?
结论： S n 是等比数列an 的前n项和，
Sn≠0，
2 3
1 n n( ) 2
n 1
(2n 1) 2
a2 6, a5 18，数列{bn } 例5已知数列{an }是等差数列，
1 的前 n项和是 Tn ，且 Tn bn 1 。 2
（1）求数列{an } 的通项公式；
4 , 求{cn } 的前 n 项的和An ； （2）记 cn an an 1
2.5 等比数列的前n项和(2)

等比数列的前n项和课件2

等比数列的前n项和课件2
详细描述
已知等比数列的前n项和公式为$S_n = frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$，当$S_n = S_{n+1}$时，我们可以求出等比数 列的项数。通过解这个方程，我们可以得到$n = frac{1}{r} - 1$，其中$n$是等比数列的项数。
求等比数列的和
总结词
利用等比数列的前n项和公式，我们可以求出等比数列的和。
等比数列的通项公式是：$a_n = a_1 times q^{(n-1)}$ ，其中$a_n$是第n项，$a_1$是第一项，q是公比。
等比数列的性质
01
等比数列中，任意两项的平 方和等于它们中间两项的乘 积，即$a_n^2 = a_{n-1}
times a_{n+1}$。
02
等比数列中，任意两项的立 方和等于它们中间两项的平
求等比数列的极限
等比数列的极限定义 ：lim(n->∞) a_n = a_1 / (1 - r)
当|r| > 1时，等比数 列的极限不存在
当|r| < 1时，等比数 列的极限存在，且 lim(n->∞) a_n = 0
等比数列前n项和公式的几何意义
等比数列前n项和公式可以看作是等 比数列的面积和
放射性衰变
放射性衰变过程中，原子核按照一定 的比例不断减少，这种减少的过程可 以视为等比数列。
细胞分裂
在生物学中，细胞分裂是一个重要的 过程，每次分裂后产生的细胞数量按 照一定的比例增加，这种增加的过程 也可以视为等比数列。
THANKS
已知等比数列的前n项和公式为$S_n = frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比。通过这个公式，我们 可以推导出通项公式$a_n = a_1r^{n-1}$，其中$a_n$是第n 项的值。

等比数列的前n项和2

等比数列的前n项和2

解：设尖头有灯a1盏，则由题意得：
a1 a1q 7 a1 a1 27 即 381 S7= 1 q 1 2
解得
a1 =3，
故尖头有灯3盏
小结
1.已知 a1 , n, q 则
Sn
{
na 1,
a1 1 q n , 1 q


( q=1).
(q≠1).
( q=1). (q≠1).
一个等比数列的前项和为前项和为那么它的前项和为510515101510152102n1分组求和法分组求和法只须注意再讨论y是否等于1的取值情况分组求和法分组求和法xxxnxxsxxxnxnxxsxxxnxxxxnxxsnxxsxxxnx11例4
定义
等差数列 an an1 d
等比数列
an q(q 0) an 1 n 1 n 1
当x 1时，
n 1 n n 2
n1
（用错项相消法）
2 3
Sn 1 2x 3x 4x
nx
xSn
x 2x 3x
2 3
n 1 x
n1
nx
n
2 1 x S 1 x x n
xn1 nxn
2 1 x S 1 x x n
∴ Sn
n1 n n1 n n n 2 S n (1 1 1) n 2 2 2 n a 1 a n1 n 当 a 0, a 1 时 S n 1 a 2 n n2 (a 1) , 2


{
a 1 a n n1 n , 1 a 2
= 2 ( 2n – 1 ) n = n2

等比数列的前n项和

等比数列的前n项和

∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－ 12＋212＋213＋…＋21100
＝12＋213＋…＋2199－12＋212＋…＋21100 ＝1321100－1. [答案] (1)C (2)①－116 ②1321100－1
求解数列综合问题的步骤 (1)分析题设条件． (2)分清是 an 与 an＋1 的关系，还是 an 与 Sn 的关系． (3)转化为等差数列或等比数列，特别注意 an＝Sn－Sn－1 (n≥2，n 为正整数)在 an 与 Sn 的关系中的应用． (4)整理求解．
1，则S奇S－偶 a1＝q.
(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－ S2n…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…均不为0)．
(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0， q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0， q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列．
na1q＝1， a111－－qqnq≠1
Sn＝
na1q＝1， a11－－aqnqq≠1
[点睛]
在应用公式求和时，应注意到Sn＝
a11－qn 1－q
的使用
条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.
2．等比数列前n项和的性质
(1)等比数列{an}中，若项数为2n，则
S偶 S奇
＝q；若项数为2n＋
等比数列的前 n 项和
(1)公比是1的等比数列的前n项和如何计算？ (2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？ (3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？ (4)等比数列前n项和的性质有哪些？

2.5.2 等比数列的前n项和(第2课时)性质及应用(课件)-下学期高一数学(人教A版必修5)

2.5.2 等比数列的前n项和(第2课时)性质及应用(课件)-下学期高一数学(人教A版必修5)
[提示] S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80 ＝140.
1．思考辨析
[基础自测]
(1)等比数列{an}共 2n 项，其中奇数项的和为 240，偶数项的和为 120， 则该等比数列的公比 q＝2.( )
(2)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a·3n－1－1，则 a＝1.( ) (3)若数列{an}为等比数列，则 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 也成等比数列．( ) (4)若 Sn 为等比数列的前 n 项和，则 S3，S6，S9 成等比数列．( )
等比数列前 n 项和公式的函数特征应用 例 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an－1(a 是不为零且不等于 1 的常数)， 则数列{an}( ) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列
B [当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1； 当 n＝1 时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*. ∴aan＋n 1＝a， ∴数列{an}是等比数列．]
[解] 设 S2n＝x，S4n＝y，则 2，x－2,14－x，y－14 成等比数列，所以 x－22＝214－x， 14－x2＝x－2y－14， 所以xy＝ ＝63， 0 或xy＝ ＝－ －44，0 (舍去)，所以 S4n＝30.
2．(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q＝3，S80＝32”变为“项数为偶 数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间 两项的和为1238”求此等比数列的项数．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1． （2019 年金华模拟）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10∶S5＝1∶2，

等比数列前n项和公式怎么求

等比数列前n项和公式怎么求

等比数列前n项和公式怎么求等比数列是高中数学重点知识之一，那么等比数列前n项和公式怎么求呢?下面是由小编为大家整理的“等比数列前n项和公式怎么求”，仅供参考，欢迎大家阅读。

等比数列前n项和公式怎么求等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

推导如下：因为an=a1q^(n-1)所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)(1)-(2)注意(1)式的第一项不变。

把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。

把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。

以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。

(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

于是得到(1-q)Sn=a1(1-q^n)即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

拓展阅读：等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：=q(n≥2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G=±。

2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an=a1qn-1;通项公式的推广：an=amqn-m.(2)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1;当q≠1时，Sn==。

3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al=am·an。

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm。

(3)当q≠-1，或q=-1且n为奇数时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍成等比数列，其公比为qn。

等比数列前n项和二

等比数列前n项和二
2 1 n 2 2 2 an+1=bn⋅bn+1. ②
∵an>0, bn>0, ∴由②式得 an+1=bn⋅bn+1.
2 从而当 代入① 从而当 n≥2 时, an=bn-1⋅bn, 代入①得 2bn=bn-1⋅bn+bn⋅bn+1. ∴2bn=bn-1+bn+1(n≥2). ∴{bn} 是等差数列 是等差数列. (2)解: 由 a1=1, b1= 2 及①②两式易得 a2=3, b2= 3 2. ①②两式易得 解 2 2 从而 bn=b1+(n-1)d = 2 (n+1). 故 an+1= 1 (n+1)(n+2). 2 ∴ an= 1 n(n+1)(n≥2). 2 亦适合上式, 而 a1=1 亦适合上式 ∴ an= 1 n(n+1)(n∈N*). ∈ 2 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 ) = 2n . ∴ Sn=…=2(1- 2 2 3 … n n+1 n+1 … -
性质应用： 性质应用：
2.设等比数列 {a n }的前 n项和为 S n , 若 S 8 = 3 S 4 , S12 的值。 求 的值。 S4
最值问题： 最值问题：
3.设正项等比数列 {a n }的前 n项和为 S n = 80 , 前 2 n 项和 S 2 n = 6560 , 在前 n项中数值最大项为 54， 求通项 a n。
最值问题： 最值问题：
是等比数列， 4.若{a n }是等比数列， a1 = 8，设bn = log 2 ( n ∈ N * )
an
如果数列{bn }的前7项和S 7是它的前 n项和组成的 中最大值， 数列{ S n }中最大值，且 S 7 ≠ S 8，求{a n }的公比q的 取值范围。 取值范围。

等比数列前n项和2

等比数列前n项和2

5、若数列 n}中前 项和 n=3n+1，则数列 n}是 D 、若数列{a 中前 项和S 中前n项和 ，则数列{a 是 A) 等差数列 B) 等比数列 C)既是等差数列又是等比数列 既是等差数列又是等比数列 D) 既不是等差数列也不是等比数列 的前n项 6、数列 、数列1,1+2,1+2+22,…,(1+2+22+…+2n-1),…的前 项 的前 和等于 B A) 2n+1-n B) 2n+1-n-2 C) 2n-n D) 2n
2
(1 x ) Sn = 2 ( x + x
= 1 x
2 x (1 xn )
+L+ x
n
) 2nx
n+1
2nx n +1
2 x ( 1 x n ) 2nx n +1 2 1 x Sn = ( 1 x ) n ( n + 1)
( x ≠ 1)
( x ≠ 1) ( x=1)
例4、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进 、从社会效益和经济效益出发， 行生态环境建设，并以此发展旅游业，根据规划， 行生态环境建设，并以此发展旅游业，根据规划，本年 1 度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 5 ，本年 万元， 度投入 万元 度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅 万元， 度当地旅游业收入估计为 万元 游业的促进作用， 游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年 年内(本年度为第一年 总投入为a 增加 1 。(1)设n年内 本年度为第一年 总投入为 n万元， 设 年内 本年度为第一年)总投入为 万元， 4 旅游业总收入为b 万元，写出a 的表达式； 至少经 旅游业总收入为 n万元，写出 n,bn的表达式；(2)至少经 过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（三维） ？（三维 过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（三维）

等比数列的前n项和公式(第二课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册)

等比数列的前n项和公式(第二课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册)
[解析] 由 ，得 ，当 时， ,令 ,得 ,所以 ， ， ， ， ,所以 是等比数列.
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
课本P40
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨).
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
12
课本P40
新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质
➱பைடு நூலகம்
➱
当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
【例】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
2、等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；
20
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
= 20 ( 1.05+1.052+…+1.05n ) -( 7.5+9+…+6+1.5n )
常用数列求和方法之分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn )(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.

高中数学： 等比数列的前n项和(二)含解析

高中数学： 等比数列的前n项和(二)含解析

A．33
B．72
C．84
D．189
答案 C
解析 由 S3＝a1(1＋q＋q2)＝21 且 a1＝3，得 q＋q2－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22·S3＝84.
2．某厂去年产值为 a，计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%，从今年起 5 年内，
该厂的总产值为( )
前 5 项和为( )
15
31
31
15
A. 8 或 5
B.16或 5
C. 16
D. 8
答案 C
解析 若 q＝1，则由 9S3＝S6 得 9×3a1＝6a1，
则 a1＝0，不满足题意，故 q≠1. a11－q3 a11－q6
由 9S3＝S6 得 9× 1－q ＝ 1－q ， 解得 q＝2.
故 an＝a1qn－1＝2n－1，
高中数学
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11
an＝(2)n－1.
1
1
所以数列{an}是以 1 为首项，2为公比的等比数列，其前 5 项和为 1
1 × [1－ 5] 2
1
31
1－
S5＝
2 ＝16.
4．一弹性球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则
第 10 次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )
1
11
1－ 1－ 1－ 2－
∴ a 8＋ a 9＝ a 8 a .
14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款 10 万元，第一年
便可获利 1 万元，以后每年比前一年增加 30%的利润；乙方案前一年增加 5 千元，两方案使用期都是 10 年，到期后一次性归
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1
1


1
8
S8
2 2 1 1


255 256
2
练习
已知等比 an中 数 , 列
1 a 1 2 , S 3 1 . 则 q 4 2或-3
a 3

8或18
2 a 1 1 , a 4 2 则 q 1 -6 , S 4 6 185
sn=a1+a2+a3+ ······+an-1+an
Sn = a1 + a1q + a1q2 +……+a1qn-2 + a1qn-1 (*)
q n a s 1 q a 1 q 2 a 1 q 3 a n 1 q a 1 q n (*
两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n
欢迎光临指导
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
3 a 0 时 ， S 1 0 1
练习
已 { a n } 中 知 a n 1 ， 2 a n ,a 2 3 ,求 s 6
解： an1 2an
aaqnn13(221,2且{6a)na}1为 等23 比数列
s6 2 1 2
189 2
Sn
a1(1qn)(q1) 1q
ana1qn1
或
Sn

a1 anq 1q
当 q = 1 时 Sn = n a1
1 2 2 2 2 1 1 11 212 2121 1 2
等比数 a中 列 n
1 a 1 3 ,q 2 ,n 6 则 s n 189
2a8,q1,a1,则 s 15 1
1
2n 2 n
2
归纳 ： 已 a知 ,q,n用公 sa 11 式 q n
1
n 1 q
已a知 ,q,a用公 sa 式 1anq
1
n
n 1q
例 1.求等比 1,1,1 数 , 前 列 8项的 . 和 248
解 ： a11 2,q1 41 21 2,n8
2.5等比数列的前n项和
传销缔传销
传销是社会毒瘤， 是经济邪教， 应坚决取缔。
引入
• 某人于元月经引诱参与传销活动 ，二月发展2人作为其下线。一 个月后，每个下线各发展2人作 其下线，依此继续。问：年底共 有多少人受骗？
让我们来分析一下: 由于每个人各发展2人作为其下线，
归纳要熟记公式： a aqn1
n
1
a 1qn
S 1 n 1q
或
S
a 1
anqq1
n 1q
a、 q、 n、 a、 s 知三求二
1
n
n
例2.求S1aa2a3a10aR
解:
1 S11a111a11
1a 1a
a0且 a1
2 a 1 时 ， S 1 1 1 11
小结
两个 S n公 a 1(1 1 式 q qn)a ： 1 1 a q nq(q 1 )
一种方法：错位相减法
由 Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二 .
注意公式适用的条件
(1)是否为等比数列
(2)q 1
课堂作业
P129-习题 1. 2. 3.
Good bye…
各个月受骗人数依次为
1，2，22，23，……211
于是总受骗人数就是
1+2+22+23+……+211
等比数列的前n项和
• 记s12=1+2+22+23+……210+211
2s12=2+22+23+24+……+211+212 两式相减得： s12=212-1=4095
在等比数列{an}中，如何求前 n项的和sn呢？