2.3.2平面与平面垂直的判定3面面垂直的判定定理
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平面与平面垂直的判定3
P
B
l
O
A
3、三垂线法
寻找二面角旳平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二 面角旳平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D A
C B
寻找二面角旳平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二 面角旳平面角：
A B
C E
练习3： ABCD是正方形，O是正方形旳 中心，PO⊥平面ABCD ， E是PC旳中点， 求证：(1) PC⊥平面BDE；
(2)平面PAC⊥BDE. P
E
D
C
A
O B
课堂小结
1. 二面角旳定义、二面角旳平面角； 2. 二面角平面角旳求法； 3. 平面与平面垂直旳鉴定.
2.3.2平面与平面 垂直旳鉴定
复习回忆
两直线所成角旳取值范围： 直线和平面所成角旳取值范围：
平面旳斜线和平面
O
所成旳角旳取值范围：
1
A
B
复习回忆
两直线所成角旳取值范围：[ 0o, 90o ]．
直线和平面所成角旳取值范围：[ 0o, 90o ]．
平面旳斜线和平面
O
所成旳角旳取值范围：
(0o, 90o)．
A
C
B
练习2：如图，已知三棱锥D-ABC旳三 个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面 BCA为面旳二面角旳大小？ D
A B
C E
练习2：如图，已知三棱锥D-ABC旳三 个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面 BCA为面旳二面角旳大小？ D
2.3.2面面垂直的判定
A
)
B．它们两两都垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、
平面PAD都不垂直
例2
如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，
CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中 点，求证：平面BEF⊥平面BGD.
1.如图所示，ABCD—A1B1C1D1 为长方体，且底
面ABCD为正方形．求证：截面ACB1⊥平面 BDD1B1.
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵BB1⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.
又BD∩BB1＝B，故AC⊥平面BDD1B1，
又AC⊂平面ACB1，
∴截面ACB1⊥平面BDD1B1.
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_____ 无数 个平面 与平面α垂直. 无数 个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作_____ 1 个平面与 3.过平面α的一条斜线，可作____ 平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作____ 1 个平 面与α垂直.
学完一节课或一个内容，
应当及小结，梳理知识
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理 2、 线线垂直
线面垂直面面垂直
二面角的计算步骤
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明所作的角就是所求二面角的平面角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
4.如图，P 是边长为 2 2的正方形 ABCD 外 一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且 PC＝5，
2
2
B
1
α
l
A
O
M
β
6.如图，已知A、B是120的二 面角—l—棱l上的两点，线 段AC，BD分别在面，内，且 AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1， B C AB=3，求线段CD的长。
《面面垂直的判定》人教版高中数学必修二PPT课件(第2.3.2课时)
新知探究
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成 的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这外,如何判定两个平面互相垂直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子? 为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
新知探究
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α
∪ ∪
∪
求证：α⊥β.
α
A
C
B
D
人教版高中数学必修二
第2章 关系 点、直线、平面之间的位置关系
感谢你的凝听
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讲授人： 时间：20XX.6.1
A
新知探究
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
A, B l
AC
BD
AC⊥l BD ⊥l
Bl
C
D
AO
二面角 --l--
D’
C’
A
A’ D
A
B’ O
CB B
D
O
E
C
二面角B--B’C--A
二面角A--BC-D
新知探究
二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、说明此角即为所求二面角的平面角 4、 求出此角的大小 5、回答此角的大小
§2.3.2平面与平面垂直的判定
§2.3.2 平面与平面垂直的判定 【学习目标】 1. 理解和掌握二面角和二面角的平面角的相关概念； 2. 掌握平面与平面垂直的判定定理. 【重点难点】 1.二面角的平面角； 2.面面垂直的判定定理. [自主感知] 1. 二面角及其相关定义？ 2. 两个平面互相垂直的判定定理: 文字语言：若一个平面过另一个平面的 ,则这两个 平面 .简称：若线面垂直，则面面垂直 符号语言：若_______________________________，则 . [深入探究] 探究一：二面角大小的表示往往利用二面角的平面角例 2 如图所示，已知三棱锥D ABC -中，满足A B A C D B ==DC == 2,BC DA ==，求二面角A B C D --的大小. 探究二：面面垂直判定定理的考察 例1 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，求证：平面PAC PBC ⊥平面.……………………………………装…………………………………订…….…………………………………线……….………………………………...................................…[拓展运用]例3 如图，在正方体''''ABCD A B C D-中，求证：平面''ACC A⊥平面'A BD．【课堂小结】1.二面角的平面角；2.面面垂直的判定定理.【当堂检测】1.已知直线l⊥平面α，则经过l且和平面α垂直的平面有（）A.1个B.2个C.有无数个D.不存在2.正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于()A.33B.22C. 2D. 33.直线l是平面α的斜线，则经过l且和平面α垂直的平面有个.4.四边形ABCD是矩形，P为平面ABCD外一点，P A⊥平面ABCD，且P A=AB，则二面角P—BC—D的大小为.【课下作业】复习导学案，并完成相应学科练.【预习指导】请同学们提前预习下一节课课本内容和导学案.。
2[1].3.2平面与平面垂直的判定
![2[1].3.2平面与平面垂直的判定](https://img.taocdn.com/s1/m/4f36fdd9d15abe23482f4db2.png)
F
D1 A1 C1 B1 A1 D1 O H C1 G B1
（1） ）
（2） ）
六、两个平面互相垂直的定义
两个平面相交, 两个平面相交,如果它们所成的二面角 是直二面角，就说这两个平面相互垂直 两个平面相互垂直. 是直二面角，就说这两个平面相互垂直.
β
β
α
记作: 记作:
α
α ⊥β
七、面面垂直的判定定理: 面面垂直的判定定理:
注意： 注意：
α A
二面角的平面角的三个特征: 二面角的平面角的三个特征: 2.线在面内 3.与棱垂直
1.点在棱上
平面角是直角的二面角叫做直二面角
l
O B
β
练习： 练习： 指出下列各图中的二面角的平面角： 指出下列各图中的二面角的平面角：
正方体 A’C中 D’ A’ D A 二面角B--B’C--A 二面角 B B’ O C B E O C D C’ A
经典例题讲解
如图， 是 的直径， 垂直⊙ 所在的平面 所在的平面， 是 例1 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O所在的平面，C是 的直径 圆周上不同于A，B的任意一点， 的任意一点， 圆周上不同于 的任意一点 求证：平面 求证：平面PAC⊥平面 ⊥平面PBC. . 又已知条件， 设 所在平面为 证明： 证明： ⊙O所在平面为α，又已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以PA⊥BC. ⊥ 在 所以 因为点C是圆周上不同于 因为点 是圆周上不同于A，B的任意 是圆周上不同于 的任意 一点，AB是⊙O的直径， 一点， 是 的直径， 的直径 所以， 是直角， 所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC. 是直角 又因为PA与 是 又因为 与AC是△PAC所在平面内的 所在平面内的 两条相交直线，所以BC⊥平面PAC. 两条相交直线，所以 ⊥平面 又因为BC在平面 又因为 在平面PBC内，所以，平面 在平面 内 所以， PAC⊥平面 ⊥平面PBC.
高中数学人教必修二平面与平面垂直的判定定理
练习
思考
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
2.平面与平面垂直的判定
(1) 定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作
a
a
(2) 面面垂直的判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂 直． 注2：① a , a ②该定理作用：“线面垂直面面垂直” ③应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
练 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, (1)求证：平面A1C⊥平面B1D (2)E、F分别是AB、BC的中点， 求证：平面A1C1FE⊥平面B1D (3)G是BB1的中点， 求证：平面A1C1G⊥平面B1D
总结: 直线A1C1 ⊥平面B1D，则过直线 A1C1 的平面都垂直于平面B1D D1 A1 A D F E Ｂ G G G G C
A' A
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
B'
O' B
O
②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
A A
l
O B
注1： ①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°； ②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两 个平面互相垂直.
A B C
ABC为直角三角形，ABC=90，则O为斜边AC的中点. 由PO 面PAC，PO 面ABC，可得面PAC 面ABC.
变式1 在三棱锥P-ABC中，PA PB PC，ABC=90，求证 : 面PAC 面ABC.
P
2.3.2平面与平面垂直的判定
PA BC AC BC PA AC A PA 面PAC
BC 面PAC
BC 面PBC
AC 面PAC
面PAC 面PBC
探究1： 如图为正方体,请问哪些平面与 面A1 B 垂直?
D1 A1 面BC1 面A1B 面A1C1
规律总结：1.求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一 定要注意顶点的选择．
2．作二面角的平面角的方法 方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特 殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射 线． 如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面 角．
方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作 另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利 用线面垂直可找到二面角的平面角或其补 角． 如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平 面角．
B D A
C
●互动探究
面面垂直的判定
如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝ AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1 的中点．证明：平面ABM⊥平 面A1B1M. [探究] 1．证面面垂直关键让 线面垂直，找平面的垂线． 2．平面A1B1M的垂线是谁？
[证明] 由长方体的性质可知 A1B1⊥平面 BCC1B1， 又 BM⊂平面 BCC1B1，所以 A1B1⊥BM. 又 CC1＝2，M 为 CC1 的中点，所以 C1M＝CM＝1.
棱l的射线 OA、OB，则∠AOB 叫做二面角 -l- 的平面角．
学科网
∠AOB的大小一定．
二面角的大小用它的 平面角来度量.
P
5．二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来 度量．即二面角的平面角是多少度，就
BC 面PAC
BC 面PBC
AC 面PAC
面PAC 面PBC
探究1： 如图为正方体,请问哪些平面与 面A1 B 垂直?
D1 A1 面BC1 面A1B 面A1C1
规律总结：1.求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一 定要注意顶点的选择．
2．作二面角的平面角的方法 方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特 殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射 线． 如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面 角．
方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作 另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利 用线面垂直可找到二面角的平面角或其补 角． 如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平 面角．
B D A
C
●互动探究
面面垂直的判定
如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝ AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1 的中点．证明：平面ABM⊥平 面A1B1M. [探究] 1．证面面垂直关键让 线面垂直，找平面的垂线． 2．平面A1B1M的垂线是谁？
[证明] 由长方体的性质可知 A1B1⊥平面 BCC1B1， 又 BM⊂平面 BCC1B1，所以 A1B1⊥BM. 又 CC1＝2，M 为 CC1 的中点，所以 C1M＝CM＝1.
棱l的射线 OA、OB，则∠AOB 叫做二面角 -l- 的平面角．
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∠AOB的大小一定．
二面角的大小用它的 平面角来度量.
P
5．二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来 度量．即二面角的平面角是多少度，就
2.3.2平面和平面垂直的判定
跟踪训练1
如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段
SA、SB、SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.
求证：平面ABC⊥平面BSC.
证明 取BC中点D，连接SD、AD， 由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，得AB＝AC＝SA. ∴AD⊥BC，SD⊥BC， ∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角. 2 2 又∠BSC＝90° ，令 SA＝1，则 SD＝ 2 ，AD＝ 2 ， ∴SD2＋AD2＝SA2. ∴∠ADS＝90°，∴平面ABC⊥平面BSC.
又CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，
所以 C 到平面 A1ABB1 的距离为 CD＝ BC2－BD2＝ 5.
解析答案
解
如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1.
又由(1)知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1， 所以∠A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角.
解析答案
规律与方法
1.求二面角的步骤
简称为“一作二证三计算”.
2.作二面角的三种常用方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直 于棱的射线.如图①，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角. (2)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线， 垂足为 B，由点 B向二面角的棱作垂线，垂足为 O，连接 AO，则 ∠AOB 为二面角的平面角或其补角，如图③， ∠AOB 为二面角 α － l － β 的平面 角.
2 从而 A1D＝ AA2 ＋ AD ＝2 3. 1
DD1 AA1 6 所以，在 Rt△A1DD1 中，cos∠A1DD1＝ A D ＝A D＝ 3 . 1 1
反思与感悟
平面与平面垂直的判定
l 分别作垂直于棱l的射线OA、OB， O O1
B A
B1
A1
思考：∠AOB的大小与点O在AB上的
注意：
1. 二面角的大小可以用它的平面角来度量。即二面角
的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面 角的范围？ [ 0o, 180o ] 2. O点选择的任意性。即二面角的平面角的大小由二面 角的两个面的位置唯一确定，与棱上点的选择无关。 3. 由这个角确定的平面与二面角的棱垂直。 4. 定义给了我们一种作二面角的平面角的方法。
C
O
B
探究：
已知AB 面BCD, BC CD 请问哪些平面互相垂直的,为什么?
A
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
B
D
C
课堂小结
1. 二面角的定义、二面角的平面角；
2.平面与平面垂直的判定；
§2.3.2 平面与平面 垂直的判定
复习回顾
1.异面直线所成角的取值范围： 直线和平面所成角的取值范围： 2.平面的斜线和平面所成角 的取值范围： 3.证明线面垂直的方法：
1
A B
O
复习回顾
1.异面直线所成角的取值范围： ( 0o, 90o ]． 直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]． 2.平面的斜线和平面所成角的取值范围： (0o, 90o)． 3.证明线面垂直的方法： （1）利用定义 （2）利用判定定理 （3）如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面，那么另一条也垂直于这个平面
别为、的二面角记 l
为 -l- ．
3．画二面角
3．画二面角 ⑴
2.3.2平面与平面垂直的判定
如图：
C
•P
•Q l
如图二面角记作：
D 二面角 l
或二面角P-CD-Q
思考：我们常说“把门开大一些”，是指哪个 角大一些？
我们应该怎样刻画二面角的大小呢？
3、二面角的平面角：
在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足， 在两个半平面内分别做垂直于棱l的射线OA和OB，则射线
OA和OB构成的AOB 叫做二面角的平面角。
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD A
AB 面BCD 面ABD 面BCD
CD 面ABC 面ABC 面ACD
B
D
C
小结
1.二面角，二面角的平面角的概念 2.求二面角平面角的步骤 3.证明面面垂直的方法：
（1）定义 （2）用面面垂直的判定定理
4.线线垂直
VA=VB=AC=BC=2
D是AB的中点
VD AB, CD AB VDC为二面角 V AB C 的平面角。
在VDC中，VC 1
VD DC 22 （ 3）2 1
C
VDC为等边三角形
VDC 60
V
1 2
2 2
二面角V AB C二面角的平面角的步骤：
思想：将空间二面角转化为平面角来求解。
1）角的大小与O的位置有关吗？ 为什么？
O
2）二面角的范围应该 是什么？
[0o ,180o ]
A
l
B
练习：如图，三棱锥V-ABC中，
VA=VB=AC=BC=2，AB= 2 3 ，VC=1，
试 找出二面角V-AB-C的平面角，并求它的度数。
解：取AB的中点D，连接VD，CD。
证明：设⊙O所在的平面为 ，由已知
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学习目标
1、理解平面与平面垂直的判定定理；
2、能初步运用判定定理解题。
• 重点：平面与平面垂直的判定定理。 • 难点：平面与平面垂直的判定定理的应用。
1、面面垂直的定义：
• 一般地，两个平面相交，如果它们所成的 二面角是直二面角，就说这两个平面互相 垂直。 直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。 • 画法：
α A B β
• 符号语言：
总结：
• 证明两个平面垂直有哪些方法？
1、定义法：
• 证明二面角为直二面角。 2、平面与平面垂直的判定定理： • 证明一个平面经过另一个平面的垂线。
追 踪 练 习
1、如图为正方体，问正方体中面A1B与
哪些表面垂直?
D1
A1 B1
C1
面A1B 面A1C1 面A1B 面AD1
P E F
PA⊥底面 ABCD ， PA=AD ， M 为 AB 的中点，
D
C
A
M
B
追踪练习
5、如图，在四面体ABCD中，AC⊥BD， ∠BAD=60°， ∠BAC=∠CAD=45°， 求证：平面ABC⊥平面ACD。
D
C
B
E
A
知识盘点1ຫໍສະໝຸດ 面面垂直的定义：2、面面垂直的判定定理：
(线线垂直线面垂直面面垂直)
β
β
α
α
• 记作：α⊥β
抛砖引玉
• 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
ι
注意观察：
1.门轴与地面的关系；
2.门轴与门面的关系；
3.门面与地面的关系。
你发现了什么？
2、面面垂直的判定定理：
• 文字语言： (线线垂直线面垂直面面垂直) 一个平面过另一个平面的垂线，则这 两个平面垂直。 • 图形语言：
D A B
C
面A1B 面BC1
面A1B 面AC
追 踪 练 习
A
2 、如图，已知 AB⊥面 BCD ， BC⊥CD ， 则图中哪些平面是互相垂直的？为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC
B C
D
面ABC 面ACD
精讲点拨
2.3.2 平面与平面垂直的判定
（3）面面垂直的判定定理
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• 判断空间垂直关系的关键是线线垂直，你
能想起多少种判断线线垂直的方法？
一、平面几何知识： • 等腰三角形底边上的中(角分)线垂直于底边。 • 勾股定理。 • 圆直径所对的圆周角是直角。 • 菱(正方)形对角线互相垂直。 • 矩形邻边互相垂直。 二、空间直线和平面垂直的定义。
• 【例】如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于 ⊙ O 所在的平面， C 为圆周上不同于 A 、 B 的任意一点，求证：平面 PAC⊥平面 PBC 。
P
C A O B
追踪练习
3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断
平面B1AC与平面B1BDD1是否垂直。
追踪练习
4 、 如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 为 矩 形 ， 求证：平面PMC⊥平面PCD。
课后作业
• 白皮练习二十、二十一的选择、填空
• 白皮练习二十六全做