正比例函数

正比例函数知识点整理一、正比例函数的定义。

1. 定义形式。

- 一般地，形如y = kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

例如y = 2x，y=(1)/(3)x都是正比例函数，这里k = 2和k=(1)/(3)分别是它们的比例系数。

2. 对定义的理解。

- 函数表达式必须是y = kx这种形式，x的次数为1，且不能有其他项。

比如y = 2x+1就不是正比例函数，因为它多了常数项1；y=x^2也不是，因为x的次数是2。

- k不能为0，如果k = 0，那么函数y = 0× x=0，它是一个常数函数，而不是正比例函数。

二、正比例函数的图象与性质。

1. 图象。

- 正比例函数y = kx（k≠0）的图象是一条经过原点(0,0)的直线。

- 当k>0时，例如y = 2x，图象经过一、三象限，从左向右上升；当k < 0时，比如y=-2x，图象经过二、四象限，从左向右下降。

2. 性质。

- 增减性。

- 当k>0时，y随x的增大而增大。

例如在y = 3x中，如果x_1 = 1，y_1 = 3×1 = 3；当x_2=2时，y_2 = 3×2 = 6，因为2>1且6 > 3，所以y随x增大而增大。

- 当k < 0时，y随x的增大而减小。

例如在y=-2x中，若x_1 = 1，y_1=-2×1=-2；当x_2 = 2时，y_2=-2×2=-4，因为2 > 1且-4<-2，所以y随x增大而减小。

- 倾斜程度。

- | k|越大，直线越靠近y轴，即直线越陡。

例如y = 5x比y = 2x的图象更陡，因为|5|>|2|；y=-5x比y=-2x的图象更陡，同样是因为| - 5|>|-2|。

三、正比例函数解析式的确定。

1. 方法。

- 因为正比例函数y = kx（k≠0），只需要知道一个点的坐标（除原点外）就可以确定k的值，从而确定函数解析式。

1、正比例函数 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做系数.2、正比例函数图象和性质 一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的一条直线，我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.3、正比例函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k，其基本步骤是： （1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程； （3）解方程，求出待定系数k； （4）将求得的待定系数的值代回解析式.4、一次函数 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.5、一次函数的图象 （1）一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是经过（0，b）和两点的一条直线，因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx ＋b. （2）一次函数y=kx＋b的图象的画法. 根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.6、正比例函数与一次函数图象之间的关系 一次函数y=kx＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.7、直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0,b>0 经过第一、二、三象限 k>0,b<0经过第一、三、四象限 k>0,b=0经过第一、三象限k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大 k<0 b>0经过第一、二、四象限 k<0,b<0经过第二、三、四象限 K,0,b=0经过第二、四象限 k<0 图象从左到右下降，y随x的增大而减小8、直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系： (1)当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象． (2)当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y1=kx＋b的图象．9、直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定： 当k1≠k2时，l1与l2相交，交点是(0，b)． 10、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点． (1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)； (2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为( ，0)与y轴交点坐标为(0，b)．。

正比例函数知识点总结正比例函数是数学中一种重要的函数形式，也是高中数学中常见的函数类型之一。

它是指两个变量之间的关系是成正比的，即当一个变量增大（或减小）时，另一个变量也相应地增大（或减小）。

下面将从定义、性质、图像、应用等方面对正比例函数进行总结。

一、定义正比例函数又称为一次函数，它的数学定义为：如果两个变量x和y之间的比值恒定，即y与x的比值为常数k，则称y是x的正比例函数，记作y=kx。

其中k为比例系数，表示y与x之间的关系。

正比例函数可以看作是一条直线，其斜率为k，过原点(0,0)。

二、性质1. 常数k为正比例函数的比例系数，它决定了函数图像的斜率。

当k>0时，函数图像向上倾斜；当k<0时，函数图像向下倾斜。

2. 正比例函数的定义域为全体实数，值域为全体实数。

因为无论x 取任何实数，对应的y都可以通过比例系数k计算得出。

3. 正比例函数的图像经过原点(0,0)，这是因为当x=0时，根据函数定义，y=k*0=0。

4. 当x>0时，y也大于0；当x<0时，y也小于0。

这是因为正比例函数的比例系数k为正，所以x的增大必然导致y的增大，x的减小必然导致y的减小。

三、图像正比例函数的图像为一条直线，过原点(0,0)，斜率为k。

当k>0时，图像向上倾斜；当k<0时，图像向下倾斜。

当k=0时，函数图像为一条水平直线，即y=0。

四、应用正比例函数在实际生活中有许多应用，例如：1. 速度与时间的关系：当物体的速度恒定时，速度与时间成正比。

速度为正比例函数，时间为自变量，速度为因变量。

2. 成本与产量的关系：在某些生产过程中，成本与产量呈正比例关系。

成本为正比例函数，产量为自变量，成本为因变量。

3. 周长与半径的关系：在一个圆形中，周长与半径成正比。

周长为正比例函数，半径为自变量，周长为因变量。

4. 温度与气压的关系：在恒定的体积下，温度与气压成正比。

温度为正比例函数，气压为自变量，温度为因变量。

正比例函数正比例函数是一类具有特定形式的数学函数，它是数学中重要的概念之一。

正比例函数在各个学科领域都有广泛的应用，无论是自然科学、社会科学还是工程技术等领域，都可以找到正比例函数的身影。

正比例函数的基本形式可以表示为 y = kx，其中 k 是常数，表示比例系数。

可以看出，正比例函数中，自变量 x 和因变量 y 成正比关系，其比例系数 k 则表示了两个变量之间的比例关系。

当 x 变化一倍时，y 也会相应变化一倍，所以正比例函数也被称为直线函数。

正比例函数的图像在数学坐标系中是直线，其斜率就是比例系数 k。

当比例系数为正数时，图像呈斜正直线，斜率表示了函数的走向与增长速度；当比例系数为负数时，图像呈斜负直线，斜率表示了函数的走向与减小速度。

正比例函数可以用来描述各种实际问题中的变化规律。

比如，在物理学中，牛顿的第二定律 F = ma 中，力 F 和加速度 a 的关系可以用正比例函数来表达。

力的大小正比于物体的加速度，比例系数即为物体的质量。

在经济学中，成本和生产量之间的关系也可以用正比例函数来表示。

成本与生产量正好成正比，比例系数则表示单位生产量的成本。

在生物学中，体积和质量之间的关系也可以用正比例函数来描述。

当生物体的体积增加时，质量也会相应增加，比例系数就是体密度。

在工程中，速度和时间的关系也可以用正比例函数来表达。

车辆行驶的速度和行驶的时间成正比，比例系数就是车辆的平均速度。

通过使用正比例函数，我们可以更加深入地理解各种问题中的变化规律，并可以预测未知情况下的数值。

通过观察其图像特征和计算比例系数，可以直观地了解变量之间的关系。

在实际应用中，我们可以通过观察和分析数据，找到合适的比例系数，并运用正比例函数来解决问题。

除了基本形式 y = kx，正比例函数还可以有其他形式。

比如当自变量和因变量都经过了平移或伸缩时，正比例函数可以写成 y = k(x - a) 或者 y = k(x - a)+b 的形式。

正比例函数简介：正比例函数是数学中常见的一类函数，它们的图像是一条通过原点的直线。

本文将介绍正比例函数的定义、特点以及相关示例，以帮助读者更好地理解和应用正比例函数。

定义正比例函数是指一种函数关系，其中两个变量的比例保持不变。

设x和y是两个变量，若存在常数k使得对于任意的x，有y=kx成立，则称y是x的正比例函数。

k被称为比例系数。

通常用符号y ∝ x表示两者成比例的关系。

特点1.直线关系：正比例函数的图像是一条通过原点的直线。

这是因为当x为0时，y=k×0=0，因此原点(0,0)必然在图像上。

2.比例系数：比例系数k决定了直线的斜率。

斜率为正值时表示正相关关系，斜率为负值时则表示负相关关系。

斜率的绝对值越大，变化越快，反之则变化越慢。

3.例外情况：当比例系数k为0时，该函数不再成立。

因为此时代表变量无法通过相等的乘法关系相互联系。

示例以下是几个正比例函数的示例:示例1：函数表达式：y = 2xx | -2 | 0 | 3 | 5 |y | -4 | 0 | 6 | 10 |这个函数描述了一个正相关关系，且比例系数k为2。

当x增加1个单位时，y也增加2个单位。

以原点(0,0)为起点，连接所有的点就得到了一条通过原点的直线。

示例2：函数表达式：y = 0.5xx | -4 | 0 | 2 | 6 |y | -2 | 0 | 1 | 3 |这个函数仍然描述了一个正相关关系，但比例系数k为0.5。

即当x增加1个单位时，y增加0.5个单位。

通过连接所有的点，我们得到一条斜率较小的直线。

示例3：函数表达式：y = -3xx | -3 | 0 | 2 | 5 |y | 9 | 0 | -6 | -15 |这个例子展示了一个负相关关系，当x增加1个单位时，y减少3个单位。

我们可以通过连接所有的点得到一条斜率为负的直线。

应用正比例函数在实际生活中有许多应用。

例如：1.比例尺：地图上的比例尺可以用正比例函数来表示，其中地图上的距离与实际距离之间存在着直接成比例的关系。