1.4条件概率与全概率公式(1)

P ( B ) P ( A j ) P( B | A j )
j 1
于是
P( Ai B)
P( Ai ) P( B Ai )
P( A ) P( B A )
j 1 j j
n
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【例1.22】 在例1.21中，若从这批产品中任取一只电 子元件发现是次品，求此次品是乙分厂生产的概率.
解 P( A1 ) 50% ,
B1 表示第一个是男孩， 所以
3 1 1 P ( B ) , P ( AB ) P ( A) , P ( AB1 ) P ( A) , 4 4 4 P ( AB ) 1 / 4 1 P( A B) P( B) 3/4 3 P ( AB1 ) 1 / 4 1 P ( A B1 ) P( B1 ) 1/ 2 2
三、全概率公式
（ 1）
定义2 设为随机试验的样本空间，A1 , A2 ,, An 是 的一组事件,若
Ai Aj
n i 1
， i .
j, i, j 1,2,, n
；
（ 2） 则称
Ai
A1 , A2 ,, An
为样本空间 的一个划分，也称
之为一个完备事件组．
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二、乘法公式
由条件概率的定义，可以得到乘法公式 乘法公式：设 P( A) 0 ，则有 P( AB) P( A)P(B A)
同样地，设
P( B) 0
， P( AB) P(B)P( A B)
一般地，设事件 P(A 1A 2 A n1 ) 0,
P( A1 A2 An )
P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )P( An A1 A2 An1)
P( B | A0 ) (0.99) 3
P( B | A1 ) 0.992 0.05
P( B | A2 ) 0.99 (0.05) 2
3 i 0
P( B | A3 ) (0.05) 3
P( A) P( B A) P( A) P( B A) 0.0004 0.95 0.0038 0.0004 0.95 0.9996 0.1
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【例1.24】要验收一批(100件)乐器, 验收方案如下:自该批乐器
中随机取3件测试(测试是相互独立进行的), 如果3件中只要有一件 在测试中被认为音色不纯, 则这批乐器被拒绝接收．设一件音色不 纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95, 而一件音色纯的 乐器经测试被误认为音色不纯的概率为0.01．如果已知这100件乐 器中恰有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少?
P( A) 0.0004,
P( B A) 95% ,
由贝叶斯公式得
P( A) 0.9996
P( B A) 10%
P( A B)
P( A) P( B A)
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P( A) P( B A) P( A) P( B A)
由贝叶斯公式得
P( A B)
P( A) P( B A)
本题中， P( A) 0.0004 是先验概率（prior probability），而 P( A B) 0.0038 是后验概率 (posterior probability )，结果表明在检查出阳性的 10000个人中，大约有38个人确实患有癌症．所以即使 检出阳性，尚可不必过早下结论确实患有癌症，此时 医生常要通过再试验来确认．
所求概率为 P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) P( A4 A1 A2 A3 ) r ra t ta r t r t a r t 2a r t 3a
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【例1.20】 10个考签中，有4个难签，3人参加不放回 抽签，甲先、乙次、丙最后．求（1）甲抽到难签的概 率；（2）甲、乙都抽到难签的概率；（3）甲未抽到 难签、乙抽到难签的概率（4）甲、乙、丙都抽到难签 的概率；（5）乙抽到难签的概率． 解 设事件A, B, C 分别表示甲、乙、丙抽到难签，则
1.4条件概率与全概率公式
一、1.条件概率概念的引入 例1
例2 2.条件概率（conditional probability)的定义 二、乘法公式 例3 例4 三、全概率公式（formula of total probability) 例5 例6 四、 贝叶斯公式（Bayes formula） 例7 例8 例9 例10
再由乘法公式
P(B) P( A1) P ( B A ) P ( A ) P ( B A ) P ( A ) P ( B A ) 1 2 2 n n n
即
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
．
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【例1.21】某电视机制造厂从甲、乙、丙三个不同的分厂 进货一批某种型号的电子元件，进货率分别是50%，30%， 20%.由以往的经验得知三个分厂产品的次品率依次为2%， 4%，5%.求该厂进货这批产品的次品率. A1 , A2 , A3 分别表 解 设 B 表示“取出的一只为次品”， 示取出的产品来自甲、乙、丙三家分厂．
内容小结 思考题
本节重点
一、1.条件概率概念的引入
【例1.17】 现有一批灯泡，甲厂生产的100个，其中 次品是10个，乙厂生产的200个，其中次品是40个， 随机抽取一个检测．设A =“抽到甲厂生产的灯泡灯”， 求 P( A), P(B ), P( AB ), P(B A ) B “抽到次 品”. 10 解 显然 P ( A) 100 P ( B ) 50 P ( AB ) 300 300 300 而 P(B A) ，表示甲厂生产的100个产品中，抽到甲 厂生产的次品的概率，即 P ( B A) 10 100
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t 【例1.19】 设袋中装有 r 只红球，只白球，每次自袋中任 取一只球，观察其颜色然后放回,并再放入a只与所取 出的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求 第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率． i 解 以A i (=1,2,3,4) 表示事件“第 次取到红球”，
A3 , A4 分别表示事件第三、四次取到白球，
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证明 因为
B B ( A1 A2 An )B A1 B A2 B An B 又 Ai Aj ， 所以 ( Ai B)( Aj B) ， i j , i, j 1,2, , n 由加法公式 P( B) P( A1 B) P( A2 B) P( An B)
P( A1 B) 0.3125 , P( A3 B) 0.3125
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【例1.23】某一地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲 胎蛋白法进行普查．化验结果是存在误差的．已知真正患 有肝癌的人其化验结果95%呈阳性（有病），而确实没有 患肝癌的人其化验结果90%呈阴性（无病）．现抽查了一 个人，试验反应是阳性，问此人真是癌症患者的概率有多 大? 解 设 B 表示“试验结果是阳性”， A 表示“抽查的人确 实患有癌症”．根据题意
4 2 （1） P ( A) 10 5 4 3 2 （2）P( AB ) P( A) P( B A) 10 9 15
6 4 4 （3 ） P( AB) P( A) P( B A) 10 9 15
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【例1.20】 10个考签中，有4个难签，3人参加不放回 抽签，甲先、乙次、丙最后．求（1）甲抽到难签的概 率；（2）甲、乙都抽到难签的概率；（3）甲未抽到 难签、乙抽到难签的概率（4）甲、乙、丙都抽到难签 的概率；（5）乙抽到难签的概率．
P( AB) P( B | A) P( A)
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条件概率的性质：
设 B 是一事件，且 P( A) 0 ,则 (1) 对任一事件 B ， 0 P( B A) 1; (2)
P( A) 1； (3) 设 B1 , B2 ,, Bn , 是两两互不相容的事件，则 P(B1 B2 Bn A) P(B1 A) P(B2 A) P(Bn A)
定理1 设随机试验的样本空间为 , A 1, A 2 ,, A n 是 的一个划分，且 P( A ) 0 ，(i 1,2,, n), B i 为 E 的任意一个事件，则
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
n
为全概率公式（formula of total probability)．
P( Ai B)
P( Ai ) P( B Ai )
P( A ) P( B A )
j 1 此公式称为贝叶斯公式（Bayes formula）．
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证明
又
由
P( Ai B) P( Ai B) P( B)
n
P( Ai B) P( Ai )P(B Ai )
50% 2% 30% 4% 20% 5% 0.032
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二、贝叶斯（Bayes）公式
定理2 设随机试验 E 的样本空间为 , A , A ,, A 1 2 n 是 的一个划分，且 P( Ai ) 0 ，(i 1,2, , n), B 为 E 的任意一个事件，则
10 10 300 P( AB) 另一方面 P( B A) 100 100/ 300 P( A)
这个关系具有一般性，即条件概率是两个无条件概率 之商，这就是条件概率的定义． 返回
2.条件概率的定义
则称
定义1 设 是样本空间 A, B的两个事件，且 P( A) 0
为在事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率 （conditional probability)，简称条件概率． 注：条件概率P( B A)是在事件 A 已经发生的条件下 （此时样本空间缩小为 A ）讨论事件 B的发生的概 率．