第7章.弯曲应力-2009.11

二、梁的正应力强度条件
σmax
说明： 说明：
M = ( )max ≤ [σ ] W
对抗拉和抗压许用应力相等的材料（ 对抗拉和抗压许用应力相等的材料（如低 的材料 碳钢等）， ），只需让绝对值最大的应力不超 碳钢等），只需让绝对值最大的应力不超 过许用应力即可。 过许用应力即可。 对抗拉和抗压许用应力不等的材料（ 对抗拉和抗压许用应力不等的材料（如铸 的材料 ），则需分别校核最大拉应力和 则需分别校核最大拉应力 铁），则需分别校核最大拉应力和最大压 应力。 应力。
二、实验观察
（1）变形后，横截面仍保持为 ）变形后， 平面。但横截面间发生转动。 平面。但横截面间发生转动。 （2）纵向线变为彼此平行的弧线， ）纵向线变为彼此平行的弧线， 梁上部的纵线缩短， 梁上部的纵线缩短，下部的纵线 伸长，同一层（高度） 伸长，同一层（高度）的纵向线 变形相同，即曲率相同。 变形相同，即曲率相同。 （3）矩形横截面上宽下窄。 ）矩形横截面上宽下窄。
x
4.2kN⋅ m
120× 20(60 +10) yC = = 42m m 120× 20 + 80× 20
上下边缘距中性轴的距离为
y1 = 52m m y2 = 88m m
计算截面对于中性轴的惯性矩： 计算截面对于中性轴的惯性矩：
20×1203 80× 203 Iz = +80×20×422+ 12 12
A
a P C
P a B D y z
三、两个假设
（1）平面假设 ） （2）纵向纤维互不挤压 ） 假设， 单向受力假设。 假设，即单向受力假设。 z y
§6. 1 纯弯曲梁的正应力
四、理论分析
1、几何分析 中性层：梁中纤维即不伸长也不缩短的那层。 中性层 梁中纤维即不伸长也不缩短的那层。 梁中纤维即不伸长也不缩短的那层 中性轴：中性层与横截面的交线。 中性轴 中性层与横截面的交线。 中性层与横截面的交线
'
20
y
(0.120×0.020m2 )(0.010m) + (0.020×0.120m2 )(0.020 + 0.060m) yC = (0. 120×0.020m2 ) + (0.020×0.120m2 ) = 0.045m
2.计算截面对中性轴的惯性矩 2.计算截面对中性轴的惯性矩
(0.120m)(0.020m 3 ) I1 z = + (0.120 × 0.020m 2 )(0.045m - 0.010m) 2 = 3.02 ×10 -6 m 4 12 (0.020 m )(0.120 m 3 ) I2z = + (0.120 × 0.020 m 2 )(0.080 m - 0.045 m ) 2 = 5.82 × 10 -6 m 4 12
在截面B的上下边缘处， 在截面B的上下边缘处，分别作用有最大拉应力与最大压应力
σ t ,max
σ c ,max
(6000 N)(0.045m) = = 3.05 ×10 7 Pa = 30.5MPa 8.84 ×10 -6 m 4
(6000 N)(0.120m + 0.020m - 0.045m) = = 6.45 ×10 7 Pa 8.84 ×10-6 m 4 = 64.5MPa
[P]max 185×170 = = 26.2KN 1.2
例：图示铸铁梁，其截面为T形，截面尺寸如图。铸铁的许 截面尺寸如图。 图示铸铁梁，其截面为T 用拉应力[σ MPa，许用压应力[σ MPa， 用拉应力[σt] = 30 MPa，许用压应力[σc] = 160 MPa，试校核 该梁的强度。 该梁的强度。
横放时： 横放时：
σmax
Mmax 900 Mmax = 2 = 2 = −9 W b h / 6 30 ×60×10 / 6
=100×106 Pa =100M Pa
比较两者可见： 比较两者可见： 竖放比横放受力合理。 竖放比横放受力合理。
例：已知l=1.2m，[σ]=170MPa，18号工字钢，不计自重。 已知l=1.2m，[σ]=170MPa，18号工字钢 不计自重。 号工字钢， 求：P 的最大许可值。 的最大许可值。
Mz σ= y Iz
(5) 公式不仅适用于矩形截面，而且适用于其它一些截面， 公式不仅适用于矩形截面，而且适用于其它一些截面， 字形梁，工字形梁，圆截面梁等。 如：T字形梁，工字形梁，圆截面梁等。
（6）当取到最大值时。 当取到最大值时。
σ max
Mz = ymax Iz
Iz 令 Wz = ymax
抗弯截面模量
σ max
σ min
Mz = Wz
Mz =− ' Wz
拉应力
压应力
§6. 2
与纯弯曲比较： 与纯弯曲比较： 精确的研究表明： 精确的研究表明：
横力弯曲时的正应力
（1）平面假设不成立； 平面假设不成立； （2）纵向纤维间存在互相挤压现象； 纵向纤维间存在互相挤压现象；
一、横力弯曲时的正应力
z1 FA FB
解： 1）计算支反力，画弯矩图 （ 计算支反力，
z1 FB
FA = 2.65kN FB =11.05kN A F
MC = 2.65kN⋅ m
MB = 4.2kN⋅ m
（2）确定截面形心位置，计算 确定截面形心位置， 对中性轴的惯性矩 Iz 。 以 z1 轴为参考轴
M
2.65kN⋅ m
I z = I1z + I 2 z = 3.02 ×10-6 m 4 + 5.82 ×10-6 m 4 = 8.84 ×10-6 m 4
3.计算最大弯曲正应力 3.计算最大弯曲正应力 截面B 的弯矩为： 截面B-B的弯矩为：
M B = F × 0.400m = (15 ×103 N)(0.400m) = 6000 N ⋅ m
当梁的跨度（l ）与梁的高度（h）相比足够大（l > 5h ）时，由于截面 与梁的高度（ 相比足够大（ 当梁的跨度（ 上剪力的存在引起的误差略去不计（ 5%）。 误差略去不计 上剪力的存在引起的误差略去不计（< 5%）。 横力弯曲时正应力近似为： 横力弯曲时正应力近似为：
M y σ= Iz
横力弯曲时最大正应力为： 横力弯曲时最大正应力为：
P
A
l
B
解： 作弯矩图，由图可得： 作弯矩图，由图可得：
P
A
l
M
B
M max = PL =1.2PN⋅ m
故B截面为 危险截面： 危险截面： 查表， 查表，
x
Pl
W =185×103 m 3 =1.85×10-4 m4 m
由：
Mmax ≤ [σ ] W
即：
Mmax ≤W[σ ]
则： 故：
1.2P ≤ (1.85×10-4 )(170×106 )
§6. 1 纯弯曲梁的正应力
一、实例
分析： 分析 CD段： 段 纯弯曲：只有弯矩，无剪力。 纯弯曲：只有弯矩，无剪力。 AC、DB两段： 、 两段 两段： 横力弯曲：既有弯矩， 横力弯曲：既有弯矩， 又有剪力。 又有剪力。 Pa
M FS
A
a P C P
P a B D
P
x
x
§6. 1 纯弯曲梁的正应力
ε=
y
ρ
由实验观察，横截面变形后仍保持为平面，且仍与轴线垂直， 由实验观察，横截面变形后仍保持为平面，且仍与轴线垂直，∴γ=0
§6. 1 纯弯曲梁的正应力
四、理论分析
2、物理分析 由假设（ ）， ），知各纵向纤 由假设（2），知各纵向纤 维为单向拉压， 维为单向拉压，所以在弹性范围 内有： 内有：
σmax
Mmax ymax = Iz
Wz—— 称为抗弯截面模量 称为抗弯截面模量
σmax
Mmax = Wz
bh IZ = 12
3
b h2 , WZ = 6
IZ =
πd
4
64
4
, WZ =
4
π d3
32
4
IZ =
π (D − d )
64
=
4
πD
64
(1 − α )
4
WZ =
πD
32
3
(1 − α )
材料力学多媒体课件
弯曲应力
弯曲应力
第一节 纯弯曲梁的正应力 第二节 横力弯曲梁的正应力 第三节 正应力强度计算 第四节 横力弯曲梁的切应力 第五节 提高梁强度的主要措施
σ dA
σ dA ⇒ M
τ dA
τ dA ⇒ FS τ dA ⇒ M ×
σ ⇔M τ ⇔ FS
σ dA × FS ⇒
在横截面上，只有法向内力元素 = 在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能合成弯矩 才能合成弯矩 M，只有切向内力元素 S=τdA才能合成剪力 S 才能合成剪力F ，只有切向内力元素dF 才能合成剪力
+120×20×(88 − 60)2
= 763×104 m 4 = 763×10−8 m4 m
FA
FB
解： 求支承反力，作弯矩图； 求支承反力，作弯矩图；
P FA = FB = = 3kN 2
M
900N⋅ m
x
Mmax = 900N⋅ m
竖放时： 竖放时：
σmax
900 Mmax Mmax = = = 2 30×602 ×10−9 / 6 W bh / 6
= 50×106 Pa = 50M Pa
§6. 1 纯弯曲梁的正应力
四、理论分析
1、几何分析 中性层：梁中纤维即不伸长也不缩短的那层 中性层 梁中纤维即不伸长也不缩短的那层。 梁中纤维即不伸长也不缩短的那层 中性轴：中性层与横截面的交线 中性层与横截面的交线。 中性轴 中性层与横截面的交线。 ρ ：中性层的曲率半径。 中性层的曲率半径。