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例 题
例 6-1 已知：梁用№18 工字钢制成, Me=20 kN•m, E=200 GPa。计算：最大弯曲正应力smax, 梁轴曲率半径 r
解：1. 工字钢 一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材 （GB 706-88） №18 工字钢：
I z 1.66 105 m4
Wz 1.85 10 m
3. 最大弯曲正应力
s t,max
s c,max
M B yC 30.5 MPa Iz M B ( b d yC ) 64.5 MPa Iz
例 3 已知：钢带厚d=2mm, 宽b=6mm, D=1400mm, E=200GPa。计算：带内的 smax 与 M 解：1. 问题分析
纯弯曲
F
F
A B
横力弯曲
D C
剪力图
弯矩图
几个基本概念
s
内力的起因 t • 弯矩——横截面上正应力的合力偶，此时， 正应力称为弯曲正应力 • 剪力——横截面上切应力的合力，此时，切 应力称为弯曲切应力 梁弯曲的应力特征 ■ 纯弯曲——横截面上仅存在正应力 ■ 横力弯曲——横截面上不仅有正应力，而 且还存在切应力
r
ymax
s max
1.0 10 3 m 2 y E max 285 MPa r
EI z
d
max
ymax
r
0.0014 10-6
3. 弯矩计算
M r EI z 1 E bd 3 1.141 N m M r 12 r
4. 讨论 若带厚 d=10 mm,
例题1
例 对图示的阶梯形变截面圆直梁校核强度
已知 d1=100mm，d2=120mm，P =30 kN， l1=600mm，l2=800mm，[s ]=100 Mpa。
解 支座反力： FAy=FDy=P/2 =15 kN
P
d1 E d2
FAy
FDy
A
l1
B
l2
C
l1
D
画出弯矩图：关于荷 载P对称，且为折线。 AB(CD)段上的最大 弯矩MB =MC =9 kN· m， 位于截面B和C。 BC段上的最大弯矩 Mmax=ME=15 kN· m，位 于截面E
2 0.045 m
bd 3 d I z1 bd ( yC ) 2 3.02 10-6 m4 12 2
db 3 b Iz2 db(d - y c ) 2 5.82 10-6 m 4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.84 106 m4
横截面上的正应力
研究梁横截面上应力的分布，必须从 几何（变形）、物理（本构）和静力学（ 平衡）三方面进行综合分析 下面依次分析梁纯弯曲时，这三个方 面的特征
变形几何关系
横截面上的正应力
变形几何关系 纯弯曲试验及变形观察(表)
– 纵向线aa，oo ，bb变为弧线a´a´ ， o´o´ ， b´b´ – a´a´ < aa ， oo = o´o´， bb<b´b´ – 横向线mm, nn 仍然为直线，并且 垂直于a´a´ ， o´o´，b´b´ – 矩形截面上部变宽，下部变窄
例 题
例 6-2 已知：F=15kN, l=400mm, b=120mm, d=20mm 计算：截面 B-B 的最大拉应力st,max与压应力sc,max
解：1. 弯矩计算
M B Fl 6000 N m
2. 惯性矩计算 d b bd db(d )
yC 2 bd db
惯性矩、极惯性矩
y
z
I y z dA
2 A
dA
I z y dA
2 A
A
O
r
y
z
I P r dA
2 A
IP I y Iz
惯性矩、惯性半径
y
z
iy
dA
y
Iy A
——图形对 y 轴的惯性半径
O
z
iz
Iz A
——图形对 z 轴的惯性半径
已知：圆截面直径d 求：Iy， Iz， IP
I yz 0
ydA 0,
A
yz dA 0,
A
E
r
2 y dA M A
中性轴z的确定
S z y dA 0
A
横截面关于z轴的静矩为零， 即z 轴为截面的形心轴
I yz yzdA 0
A
横截面关于y、z 轴的惯性 积为零。 y、z 轴为主轴 中性轴通过横截面形心，并垂 直于纵向对称轴y
4
3
I z 1.66 105 m4
Wz 1.85 104 m3
Me=20 kN•m，E=200 GPa，求 smax 与 r
2. 应力计算
M M e 20.0 kN m
s max
M 108.1 MPa Wz
3. 变形计算
M r EI z
1
EI z r 166 m M
第七章 弯曲应力
重庆大学生物工程学院
回顾
s
Fs M
t
上一章任务：合力 横截面上整体情况
本章任务：分力
横截面上每一点情况
几个基本概念
• 横力弯曲——横截面上 既存在弯矩，又存在横 向剪力的梁的弯曲,称为 横力弯曲 • 纯弯曲——横截面上仅 存在弯矩的梁的弯曲 图示简直梁中 BC 段为纯弯曲 AB，CD段为横力弯曲
y
dA
dr
解：取圆环微元面积
r
C
dA 2 π rdr
z
IP 1 I y Iz r 2 dA 2 2 A
4 1 d π d 2 2 r 2πr dr 2 0 64
d
d I p 2I y 32
4
组合图形的惯性矩
(1)选参考坐标系oyz,确定形心 y轴肯定是形心主轴 y是对称轴 o’ o z zc
b b bb ( r y )dq dx ( r y )dq rdq y dx rd q r bb
' '
横截面上的正应力
2、物理关系 由于纵向纤维 仅受拉伸或压缩， 于是在正应力不超 过比例极限时，根 据胡克定理，有
即对给定的横截面，其上 任一点的正应力与该点到 中性轴的距离成正比
s E E
y
r
横截面上的正 应力
3、静力学关系
FN s dA 0,
A
代入
M y zs dA 0,
A
s E E
y
r
目前未解决问题:
M z ys dA M
A
得到
①z轴-中性轴where?
ydA 0,
A
yz dA 0,
A
E
r
2 ②r?与弯矩有何关系？ y d A M A
横截面上的正应力
• 变形假设
1、弯曲变形的平面假设 变形后，横截面仍保持 为平面，并且仍与弯曲 后的纵向线正交，各截 面间作相对转动。
横截面上的正应力
2、弯曲变形的单向受力假定 所有与轴线平行的纵向纤 维处于轴向拉伸或轴向压 缩，纤维之间不受力 梁中纵向纤维长度不变 的过渡层称为中性层。 中性层和横截面的交线 称为中性轴
z
S y zdA, S z ydA
A A
y
dA z
A
形心公式
Sz yc , zc A A S z yc A, S y zc A
坐标原点过形心C
Sy
y
S z 0, S y 0
附录：截面图形的几何性质
惯性积
z
y
dA
z
A
I yz yzdA,
A
y
若图形有对称轴，则坐标轴含对称轴时
已知钢带变形，求 钢带应力与内力 应力～变形关系：
s E
y
r
s max E
ymax
r
内力～变形关系：
M r EI z
1
带厚 d=2 mm, 宽 b= 6mm, D = 1400mm, E = 200GPa，求 smax 与 M 2. 应力计算
s max E
ymax
r
D d 0.701 m 2 2
从而确定形心坐标为
yc=Sz/A, zc= Sy/A=0
组合图形的静矩 Sz=SAiyi , Sy=SAi zi y =yc
(yi , zi)每个图形形心在参考坐标系下oyz坐标
组合图形的惯性矩
(2)组合图形的惯性矩 o z1
Iyc=SIyci= Iy
Izc=? 平行轴公式
o’
Izc=SIzci+di2Ai)
M s y Iz
s max
My max Iz
I 令 Wz z ——抗弯截面系数，则 ymax M 抗弯截面系数综合反映了横 s max 截面形状和尺寸对弯曲正应 Wz
力的影响。
附录：截面图形的几何性质
• 惯性矩
I y z dA,
2 A
I z y dA,
2 A
z
y
dA
My I z max
正应力强度条件
• 对于塑性材料，由于其抗拉和抗压许用 应力相同，梁的弯曲正应力强度条件为 smax [s ] 对于脆性材料，由于其抗拉和抗压许用应 力不相同，梁的弯曲正应力强度条件为 s max [s ] s max [s ]
2
zc
惯性矩平行轴定理:
I z y dA ( y0 a ) dA
2Hale Waihona Puke A Ay z z0 y a b y0 dA z0 z A y0 y
