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材料力学课件第七章变曲应力(土木专业)

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13+第七章+弯曲变形——材料力学课件PPT

13+第七章+弯曲变形——材料力学课件PPT

x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 w
2、截面绕形心轴的角位移 —— 转角 3、轴向位移可忽略
F 变弯后的梁轴——挠曲轴
F 挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程 w= w(x)
F 忽略剪切变形 + 梁的转角一般很小—— = ’ dw/dx
回顾拉压杆与扭转轴的变形描述
7
第七章 弯曲变形
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
8
第七章 弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程 方程推导
Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式
1
M EI
（纯弯）
1 M ( x)（推广到非纯弯）
( x) EI
Q 由高等数学知识
1
w( x)
(x)
1 [w( x)]2
弯曲变形：怎样描述？
5
•弯曲变形的特点
第七章 弯曲变形
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴， 挠曲轴是一条连续、光滑曲线（可微）
对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交
6
第七章 弯曲变形
• 梁变形的描述：
31
一、 载荷叠加法
分解载荷 分别计算位移 求位移之和
19
第七章 弯曲变形
例: 已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程
A
x
B M0
C
l/2
l/2
M0 /l
解: 计算约束反力，建立坐标系。

材料力学课件PPT

材料力学课件PPT

力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所 表现出的力学性能
一
试
件
和
实
常
验
温
条
、
件
静
载
材料拉伸时的力学性质
材料拉伸时的力学性质
二 低 碳 钢 的 拉 伸
材料拉伸时的力学性质
二 低碳钢的拉伸（含碳量0.3%以下）
e
b
f 2、屈服阶段bc（失去抵抗变 形的能力）
b
e P
a c s
s — 屈服极限
（二）关于塑性流动的强度理论
1．第三强度理论（最大剪应力理论） 这一理论认为最大剪应力是引起材料塑性流动破坏的主要
因素，即不论材料处于简单还是复杂应力状态，只要构件危险 点处的最大剪应力达到材料在单向拉伸屈服时的极限剪应力就 会发生塑性流动破坏。
这一理论能较好的解释塑性材料出现的塑性流动现象。 在工程中被广泛使用。但此理论忽略了中间生应力 2的影响， 且对三向均匀受拉时，塑性材料也会发生脆性断裂破坏的事 实无法解释。
许吊起的最大荷载P。
CL2TU8
解： N AB
A [ ]
0.0242 4
40 106
18.086 103 N 18.086 kN
P = 30.024 kN
6.5圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时的强度计算
▪ 最大剪应力：圆截面边缘各点处
max
Tr
Ip
max
Wp T
Wp
Ip r
—
抗扭截面模量
3、强化阶段ce（恢复抵抗变形
的能力）
o
b — 强度极限
4、局部径缩阶段ef
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob

材料力学之应力、变形共180页

材料力学之应力、变形共180页
说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
材料力学之应力、变形
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

高温及环境下的材料力学性能概述(PPT 49张)

高温及环境下的材料力学性能概述(PPT 49张)

在使用上，选用哪种表示方法应视蠕变速率与服役时间而定。
（2）持久强度极限
持久强度极限定义：材料在高温长时载荷作用下的断裂 强度。 蠕变极限表征的是蠕变变形抗力，持久强度极限表征断 裂抗力，是两种不同的性能指标。
持久强度极限表示方法：


t
－－在规定温度（t）下，达到规定的持续时间τ抵抗断裂 的最大应力。
各种耐热钢及高温合金对冶炼工艺的要求较高， 钢中的夹杂物和某些冶金缺陷会使材料的持久强 度极限降低。 高温合金对杂质元素及气体含量要求很严格，即 使含量只有十万分之一，当其在晶界偏聚后，会 导致晶界的严重弱化，使热弹性降低。
（3）热处理工艺的影响
如：珠光体耐热钢一般采用正火加高温回火工 艺，正火温度较高，以促使C化物充分溶于奥 氏体中，回火温度高于使用温度100-150℃， 以提高使用温度下的组织稳定性。
蠕变速度：


d d
按蠕变速率的变化，蠕变
过程分成三个阶段：
金属、陶瓷的典型蠕变曲线
第一阶段（ab）：蠕变速率随时间减小－－减速蠕变或过渡蠕 变阶段。
第二阶段（bc）：蠕变速率Βιβλιοθήκη 变且最小－－稳态蠕变或恒速蠕 变阶段。
第三阶段（cd）：时间延长，蠕变速度逐渐增大，直至d点产生 蠕变断裂－－加速蠕变阶段。
延滞断裂 静载疲劳
一、应力腐蚀
应力腐蚀（Stress Corrosion Cracking, SCC）－－金属在拉应 力和特定的化学介质共同作用下，经过一段时间后所产生的低 应力脆断现象。 应力腐蚀的危险性在于它常发生在相当缓和的介质和不大的 应力状态下，往往事先没有明显的预兆，故常造成灾难性的事 故。
要降低蠕变速度提高蠕变极限，必须控制位错 攀移的速度； 要提高断裂抗力，即提高持久强度，必须抑制 晶界的滑动。

材料力学第七章弯曲变形1PPT课件

材料力学第七章弯曲变形1PPT课件

ql3
C1
, 24
C2 0
ql/2
q ql/2
A
B
C
x
l
d)确定挠曲线和转角方程
y qx (l3 2lx2 x3) 24EI
y q (l3 6lx2 4x3)
24EI
e)最大挠度及最大转角
y max
max
x L 2
5 ql 4 384 EI
A ql 3
B
24 EI
例：求图示梁的跨中的挠度和转角
E ( x ) I y ( M ( x ) d ) d x C x 1 x C 2
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
边界条件： （1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。
（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。
连续性条件：（3）、在弯矩方程分段处：
一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。
第七章 弯曲变形
§1 梁变形的基本概念 挠度和转角 §2 挠曲线近似微分方程 §3 积分法计算梁的变形 §4 叠加法计算梁的变形 §5 简单超静定梁
工程中对梁的设计，除了必须满足强度条件外，还必 须限制梁的变形，使其变形在容许的范围之内。
梁弯曲变形的计算 目的：要控制梁的最大变形
在一定的限度内。 ----弯曲刚度的计算
M(x) y EI
EyIM(x)
M> 0
x
x
y ( x ) 0
y
y
结论：挠曲线近似微分方程——
M<0
y ( x ) > 0
EyIM (x)
EI
d2y dx2
M(x)
挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”以及( y)2

材料力学07(第七章 弯曲变形)

材料力学07(第七章 弯曲变形)
A a EI F=qa D a B a
3 3 3
B B×a Cq w
Cq
C
例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰 接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度， 其中：F=2qa。
q F A a/2 a D EI B EI a C
解：可在铰接点处将梁分成图 a 和 b 所示两部分，并 可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：
qa4 qa4 qa4 6 EI 8EI 24EI
3
（向下）
2 3 qa 2a qa B B1 B 2
16EI
qa （顺时针） 3EI 12EI
（2）对图b，C截面的挠度和转角分别为：
qa4 wCq 8 EI
Cq
qa3 6 EI
F qa FB FB 2
A
F wB /2 wDF
直线
(a)
wB F/ 2 q F/ 2 wB B C
(b)
图a和b中分别给出了两部分的变形情况。 并且图b又可分解为图c所示两种载荷的组合。
q F/ 2
B

+
(c)
B
C
（1）对图b，可得其B截面的挠度和转角为：
qa wBFB 3EI 3 qa BFB 2 EI
原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即： 所以：
wC wCq B a
C B Cq
qa4 1 qa3 5qa4 wC a （向下） 8EI 12 EI 24EI qa qa qa C （顺时针） 6 EI 12EI 4 EI
C1 2l B1
wC1
wB1
Fl 3 wC1 3EI

材料力学精美ppt第七章弯曲应力课件


max
Q Izb
BH 2
8
(
B
b
)
h2 8
min
QB Izb 8
H 2 h2
3
工字形梁腹板上的切应力分布
讨论
4、当B=10b, H=20b, t=2b时
max /min=1.18, 大致均匀
分布
Hh
5、腹板上能承担多少剪力？ 积分 得 —— 总剪力的95％～97％
近似计算公式：
Q
对称
L/5
4L/5
M qL2/10
ymax
0.014 PL3 EI
x
ymax
0.0073 PL3 EI
21
提高弯曲强度的措施之四 —— 用超静定梁
qL2
M8 q
L
x
ymax
0.013 qL4 EI
超静定梁
M q
L/2 L/2
9qL2 /512 x
qL2 32
ymax
0.326103 qL4 EI
或
（+）
（拉应力小）
（-） （-）
钢筋混凝土 [ t ] [ c ]
（压应力小）
（+）
18
提高弯曲强度的措施之二 —— 整体考虑
变截面梁的例子 1. 梁的纵向 —— 变截面、开孔或等强度 2. 梁的变型 —— 单根梁转化为结构
19
提高弯曲强度的措施之三 ——改善受力状态
1.支座位置 合理布置支座位置，使 M max 尽可能小
12
如何确定弯曲中心的位置
弯心处，主矩 M= Q1h－Qe＝ 0
e Q1h b2h2t Q 4Iz
弯曲中心位置与外 力大小和材料的性 质无关，是截面图 形的几何性质之一

材料力学课件：梁的弯曲应力


2纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且 各 纵向纤维之间无挤压。
11
§ 4 . 6 梁横截面的正应力
推理：
Fs
（1）横截面上没有切应力
（2）横截面上有正应力
切应力τ
M
3、假设：
切应力τ 正应力σ
1弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变 形后 仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横 截 面绕其上的某轴转动了一个角度。
16
§ 4 . 6 梁横截面的正应力
1 M
EIZ
——弯曲变形计算的基本公式
将上式代入式 ( E Ey ) 得：
My
Iz
弯曲正应力计算公式
M Z
y zAσ x
y
弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。
当M > 0时，上压下拉；
当M < 0时，上拉下压。
17
§ 4 . 6 梁横截面的正应力
92.55106 Pa 92.55MPa
M ql2 / 8 67.5kN m 22
§ 4 . 6 梁横截面的正应力
例题
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql2 / 8 67.5kN m
120
4. 全梁最大正应力
180
B
xK
30 最大弯矩
z M max 67.5kNm
M
67.5kNm
解：1. 求支反力
FAy 90kN FBy 90kN
MC 60kN m
x
IZ
bh3 12
0.12 0.183 12
5.832105 m4
90kN 2. C 截面上K点正应力

【材料力学课件】07-弯曲变形


w(a −− ) = w(a ++ )
L
挠度是光滑的：
θ (a −− ) = θ (a ++ )
20
例 求图示梁的挠度曲线。 弯矩
y qL / 2
2 2
q x x
1 22 1 22 M ( x) = − qL + qLx − qx 2 2
L
qL
转角 挠度
θ ( x) =
q ⎛ 1 22 1 22 1 33 ⎞ − L x + Lx − x + C ⎟ ⎜ 2 6 EI ⎝ 2 ⎠
w(0) = 0 , D = 0
25 w(l ) = 0 , C = − q00l 33 384
4 2 4 2 ⎡11 1 1 1 1 22 25 33 ⎤ l l 3 4 3 4 w( x) = ⎢ q00lx − q00x + q00 x − − q00l x − − q00l x⎥ 24 24 2 2 2 384 EI ⎣ 48 ⎦
q ⎛ 1 22 22 1 33 1 44 w( x) = ⎜ − L x + Lx − x + Cx + D ⎞ ⎟ EI ⎝ 4 6 24 ⎠
边界条件 θ (0) = 0
C =0
w(0) = 0
D=0
qx 22 22 (x − 4 Lx + 6 L22 ) w( x) = − 24 EI
21
7.2.2 用奇异函数求挠度方程
3 2 2 0 0
3 1 ⎤ l l 1 ⎡11 1 1 2 3 2 2 3 2 θ ( x ) = ⎢ q00lx − q00x + q00 x − − q00l x − + C⎥ EI ⎣16 6 6 2 2 ⎦ 1

材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析


M
1.平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴
C截面
Fb/4 拉应力 压应力 B截面
20
y 20
拉应力
压应力
可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B ：
t,max
c, max
M B y1 F / 2 2 103 mm134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN
c
注：强度校核（选截面、荷载） （ 1） （ 2）
[ ]t [ ]c （等截面）只须校核Mmax处
[ ]t [ ]c （等截面）
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%，可用
例4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁 的许用拉应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁 横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。
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3
46470 10 8 m 4
a
y
z
138.6 106 Pa =138.6 MPa
第七章
弯曲应力
[例2] 试求图示 T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。已知
Iz = 7.64×106 mm4、 y1 = 52 mm、y2 = 88 mm。
解： 1）画弯矩图
梁的最大正弯矩发生
在截面 C 上，最大负弯 矩发生在截面 B 上，分
对称弯曲
对称截面梁，在纵向对称面承受横向 外力时的受力与变形形式－对称弯曲
第七章
弯曲应力
弯 曲 试 验
第七章
试验现象
弯曲应力
（纯弯与正弯矩作用）
横线为直线, 仍与纵线正交 靠顶部纵线缩短, 靠底部纵 线伸长 纵线伸长区,截面宽度减小 纵线缩短区, 截面宽度增大 弯曲假设 横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平面假设 各纵向“纤维”处于单向受力状态－单向受力假设
第七章
7.1 概 述
弯曲应力
F
C
a
F
D
a
B
弯曲正应力只与弯矩有关，故 通过纯弯曲梁来研究弯曲正应力.
FS
A
纯弯曲： 梁的剪力恒为零， 弯矩为常量。
F
x
F
x
M
Fa
第七章
弯曲应力
纯弯曲
第七章
弯曲应力
.2 弯曲应力
弯曲正应力
弯曲应力
梁弯曲时横截面上的
弯曲切应力
梁弯曲时横截面上的
A ydA M
yC ydA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
E
中性轴通过横截面形心
(a)(c)
A
y 2dA M
M EI z 1
Iz
A
y2dA－惯性矩
(d)
(d)(a)
( y )
My Iz

max
M Wz
max
Mymax Iz
第七章

C t max
弯曲应力
y1
O
28.8MPa
y2
z
C cmax 17.0MPa
M My 正应力公式： ( y) max Iz Wz （Wz － 抗弯截面系数）
应用条件： max p, 对称弯曲 , 纯弯与非纯弯
第七章
（1）当中性轴为对称轴时
弯曲应力
d z y b
4 3 Iz πd / 64 πd 实心圆截面 W d /2 d /2 32
第七章
弯曲应力
动画纯弯曲
第七章
弯曲应力
横向纵向面线变形
第七章
弯曲应力
平面假设
第七章
弯曲应力
推 论 梁内存在一长度不变的过渡层－中性层 中性层与横截面得交线－中性轴
中性轴⊥截面纵向对称轴
横截面间绕中性轴相对转动
第七章
弯曲应力
纤维变形
第七章
公式的建立
弯曲应力
几何方面:
( y) E
y1
O
z
y2
别为
4
y
M C 2.5kN m M B 4kN m
M kN m
C
B
2.5
第七章
M C 2.5kN m M B 4kN m
弯曲应力
y1
O
z
y2
4
C
B
y
2）计算截面 C 的最大拉应
力和最大压应力
M kN m
2.5

C t max
MC MC y2 yt max Iz Iz
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数
弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度 的影响
第七章
弯曲应力
[例1] 图示梁为 No. 50a 工字钢，跨中作用一集中力 F =140kN。
Wz
Iz －抗弯截面系数 ymax
第七章
总 结
弯曲应力
假设 平面假设，单向受力假设
综合考虑三方面
( y)
y
结论

( y) E ( y)
dA 0 A
A ydA M
中性轴位置：中性轴过截面形心 中性层曲率：
M （I z － 惯性矩） EI z （EI z － 截面弯曲刚度） 1
静力学方面:
( y)
( y)d d y d

y
(a)
物理方面:
( y) E ( y)
dA0 (b) Fx 0, A M z 0, A ydA M (c)
第七章
弯曲应力
正应力分布
第七章
E
y
弯曲应力
(b)

(a)
dA 0 A
max
M max 280 103 N m 6 150.5 10 Pa = 150.5 MPa -6 3 Wz 1860 10 m
危险截面 C 上翼缘与腹板交界处 a 点的正应力
M a max ya Iz
280 10 N m 0.25 0.02 m
2.5 10 N m 8.8 10
3
2
m
7.64 10 m
6
4
= 28.8 MPa
cCmax
3 2 2.5 10 N m 5.2 10 m MC MC ycmax y1 = 17.0 MPa 6 4 Iz Iz 7.64 10 m
矩形截面
Iz bh3 / 12 bh2 W h/ 2 h/ 2 6 d α D
h
z y D d
πD 3 4 W ( 1 ) 空心圆截面 32
z y
第七章
弯曲应力
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
yc max 和 yt max 直接代入公式
试求梁危险截面上的最大正应力以及翼缘与腹板交界处 a 点的正
应力。 解： 该梁可简化为简支梁
A
F
z
C 8m
a
B
y
1）画弯矩图 跨中截面 C 为危险截面 最大弯矩
M max 1 Fl 280 kN m 4
A
F
C
B
8m
x
M /kN m
280
第七章
2）计算正应力
弯曲应力
查型钢表，No. 50a 工字钢的惯性矩 Iz = 46470 cm4 ，抗弯截面系数 Wz = 1860 cm3 危险截面 C 上的最大正应力
My σ Iz
σ t max My t max Iz Myc max Iz
σc max
yc max
M
z
yt max
y
σ c max
σ tmax
第七章
一些易混淆的概念 对称弯曲与纯弯曲
弯曲应力
对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式 纯 弯 曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态