非线性数学物理方程的行波解

一些非线性发展方程的行波解的开题报告一、研究背景非线性发展方程（Nonlinear evolution equations）在数学中有重要应用，也在自然科学和工程技术中发挥着至关重要的作用。

行波解（traveling wave solution）是非线性发展方程的一种特解，具有很广泛的应用价值。

目前，已经有许多学者对非线性发展方程的行波解进行了研究，但对于某些非线性发展方程，其行波解的研究仍然是一个难点问题。

二、研究现状对于某些非线性发展方程，其行波解已经得到了很好的研究。

例如，经典的 Korteweg-de Vries 方程和非线性 Schrödinger 方程都有丰富的行波解研究。

同时，研究者还发现了一些新型非线性发展方程，其行波解呈现出了一些非常有意思的性质，例如波形的对称性、高阶波形等等。

但是，对于一些新型非线性发展方程，其行波解的研究仍然是相对较少的，并且很多方程的行波解也没有得到很好的分类和系统的研究。

因此，对于这些方程的行波解的研究仍然是非常有意义的。

三、研究内容本研究将重点关注某些非线性发展方程的行波解的研究。

具体来说，我们将进行以下方面的工作：1. 学习和总结已有的文献，了解非线性发展方程行波解的研究现状和方法。

2. 选取一些典型的非线性发展方程，分析其行波解的性质，例如波形的对称性、高阶波形等等。

3. 对于某些方程，根据其行波解的性质，对其进行分类和系统研究，以便更好地了解其行波解的特征和规律。

4. 如果可能的话，我们将尝试研究某些新型非线性发展方程的行波解，并分析其有意思的性质。

四、研究意义本研究将有助于深入了解非线性发展方程的行波解的性质和规律，为相关领域的研究提供新的启示和思路。

同时，对于某些新型非线性发展方程，我们的研究结果也有助于更好地了解其特征和规律，为这些方程的应用提供更好的理论支持。

数学物理方程中的非线性波动方程研究在数学和物理学领域中，非线性波动方程是一类重要的数学模型，它们广泛应用于描述各种具有非线性行为的现象和过程。

本文将对非线性波动方程进行研究，并探讨其在实际应用中的意义和影响。

一、非线性波动方程的定义和性质非线性波动方程是一类具有非线性项的偏微分方程，常用的非线性波动方程包括Korteweg–de Vries (KdV) 方程、非线性Schrödinger (NLS) 方程等。

这些方程在研究光学、水波、声波等领域中起到了重要的作用。

非线性波动方程的数学模型一般形式如下：\[u_{xt} = F(u, u_x, u_{xx}, u_{xxx}, ...)\]其中，\(u\) 是波动的解，\(x\) 和 \(t\) 分别表示空间和时间，\(F\) 是非线性项函数。

非线性波动方程的性质与线性波动方程有较大的不同。

首先，非线性波动方程的解不再满足叠加原理，即两个或多个解的简单相加不能得到一个新的解。

其次，非线性波动方程可以出现孤立波解，即在无外力驱动的情况下，波动可以保持稳定而不衰减。

此外，非线性波动方程还表现出一些特殊的现象，如特征速度的变化、波的相互作用等。

二、非线性波动方程的应用和意义非线性波动方程在多个领域中都具有重要的应用价值，并对相关学科的发展做出了重要贡献。

1. 光学领域：非线性光学是非线性波动方程在光学领域的应用之一。

通过非线性波动方程，可以研究光在非线性介质中的传播和相互作用，为解释和实现非线性光学现象提供了理论基础。

例如，非线性光学中的自聚焦效应和光孤子现象，都可以通过非线性Schrödinger方程进行建模和解释。

2. 水波领域：非线性水波方程可以用来描述海洋中的大气尺度运动、风浪和海浪等现象。

通过非线性水波方程的研究，可以预测和模拟海洋中的海浪传播、波浪破碎等过程，对沿海工程的设计和海岸线的维护具有重要意义。

3. 力学领域：非线性波动方程在力学领域的应用较为广泛，尤其在固体力学和流体力学中。

第４０卷第１期２０２２年１月贵州师范大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）Ｖｏｌ．４０．Ｎｏ．１Ｊａｎ．２０２２引用格式：王骞，林府标．用φ（ξ）展式法求非线性演化方程的行波解［Ｊ］．贵州师范大学学报（自然科学版），２０２２，４０（１）：８５ ９１．［ＷＡＮＧＱ，ＬＩＮＦＢ．Ｓｏｌｖｉｎｇｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅφ（ξ）ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ），２０２２，４０（１）：８５ ９１．］用φ（ξ）展式法求非线性演化方程的行波解王　骞１，林府标２（１．贵州师范大学附属中学，贵州贵阳　５５０００１；２．贵州财经大学数学与统计学院，贵州贵阳　５５００２５）摘要：研究精确求解某些非线性演化偏微分方程的４种φ（ξ）展式法。

用这些方法分别获得了七阶ＳＫ Ｉｔｏ方程、五阶ＫｄＶ方程、三阶ＫｄＶ方程、三阶Ｊｏｓｅｐｈ Ｅｇｒｉ方程的许多类型的新行波解。

这些方法还可用于求解其它一些非线性演化偏微分方程。

关键词：非线性演化方程；φ（ξ）展式法；行波解中图分类号：Ｏ１７５．２９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４—５５７０（２０２２）０１－００８５－０７ＤＯＩ：１０．１６６１４／ｊ．ｇｚｎｕｊ．ｚｒｂ．２０２２．０１．０１３Ｓｏｌｖｉｎｇｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅφ（ξ）ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄＷＡＮＧＱｉａｎ１，ＬＩＮＦｕｂｉａｏ２（１．ＴｈｅＭｉｄｄｌｅＳｃｈｏｏｌＡｔｔａｃｈｅｄｔｏｔｈｅＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕｉｙａｎｇ，Ｇｕｉｚｈｏｕ５５０００１，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＧｕｉｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＦｉｎａｎｃｅａｎｄＥｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｇｕｉｙａｎｇ，Ｇｕｉｚｈｏｕ５５００２５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｕｒｔｙｐｅｓφ（ξ）ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒａｃｃｕｒａｔｅｌｙｓｏｌｖｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒ ｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｅｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｍａｎｙｔｙｐｅｓｏｆｎｅｗｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｓｅｖ ｅｎｔｈｏｒｄｅｒＳＫ Ｉｔｏｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅｆｉｆｔｈｏｒｄｅｒＫｄＶｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅｔｈｉｒｄｏｒｄｅｒＫｄＶｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄｔｈｅｔｈｉｒｄｏｒｄｅｒＪｏｓｅｐｈ Ｅｇｒｉｅｑｕａｔｉｏｎｗｅｒｅｆｏｕｎｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｓｅφ（ξ）ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓ．Ｔｈｅｓｅｍｅｔｈｏｄｓｃａｎａｌｓｏｂｅｕｓｅｄｔｏｓｏｌｖｅｓｏｍｅｏｔｈｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ；φ（ξ）ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ；ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎ０　引言受数学机械化［１］思想的启发，研究非线性演化偏微分方程［２－４］的方法与技巧不断涌现。

一类非线性波动方程行波解的研究的开题报告开题报告：一类非线性波动方程行波解的研究一、选题背景非线性波动方程是自然科学和工程技术领域中涉及到的一类十分重要的数学模型，例如水波、声波、地震波等等。

其研究具有重要的理论和实际意义。

通过对非线性波动方程的研究，可以更好地了解波的传播规律，优化人类生活和工作环境。

非线性波动方程的行波解是其研究中的重要内容。

行波解是指在一定条件下，波的特定形式将沿某个方向传播，类似于一列列的波浪，具有稳定性和可观性。

因此，行波解的研究是探讨非线性波动方程的规律和应用的基础。

本次选题旨在研究一类非线性波动方程的行波解，探讨其数值解和数学分析方法，从而更好地理解和应用非线性波动方程。

二、研究内容和方法本次研究选取以下方程为研究对象：${u_t} + {a_1}(u){u_x} + {a_2}(u){u_{xxx}} + {a_3}(u){u_{xxxxx}} = 0$其中，$a_1(u)$、$a_2(u)$、$a_3(u)$是关于$u$的非线性函数。

研究包括以下几个方面：1.推导非线性波动方程的行波解形式，建立行波解的数学模型。

2.探究行波解的稳定性和可观性，分析波的传播规律和动力学特性。

3.实现基于数值计算的行波解求解算法，并对求解结果进行分析和验证。

4.研究非线性波动方程的其他解法和数值方法，比较分析其优缺点。

研究方法包括理论研究和数值模拟两方面。

理论研究将通过数学分析和建模的方式，推导非线性波动方程的行波解形式，并分析其稳定性和可观性；数值模拟将通过编程实现，基于已知的行波解模型，实现行波解的求解和分析验证。

三、预期成果预计本次研究的成果包括如下方面：1.推导一类非线性波动方程的行波解形式，并建立行波解的数学模型。

2.分析行波解的稳定性和可观性，探讨波的传播规律和动力学特性。

3.基于数值计算，实现非线性波动方程的行波解求解算法，并对求解结果进行分析和验证。

4.比较分析非线性波动方程的其他解法和数值方法，为实际应用提供参考。

南通大学学报（自然科学版）２００７年０引言随着非线性科学的飞速发展，物理学、化学、生物学以及通讯工程等领域的许多现象可以通过非线性方程这一数学模型予以简练而准确的描述，因而求解非线性方程一直是数学家和物理学家研究的重要课题．近年来已发展了许多求解这些非线性发展方程的方法，例如反散射法，齐次平衡法等［１－２］．文献［３］用三角函数法得到非线性发展方程的若干解，文献［４－５］用双函数法找到非线性发展方程的广泛孤波解．非线性ＮＬＳ方程在非线性光学、电磁学、超导超流、生物物理、高分子物理、等离子体理论中均有应用．如可从光纤中的群速度色散与非线性效应相平衡时的情况来导出ＮＬＳ．从麦克斯韦方程出发亦可直接建立ＮＬＳ．事实上ＮＬＳ是非线性调制波方程．本文借助Ｍａｔｈｅｒｍａｔｉｃａ软件，采用双函数法和吴文俊消元法［６］，获得了非线性发展方程ＮＬＳ的多组行波解．１非线性ＮＬＳ方程的行波解ＮＬＳ方程可写成非线性ＮＬＳ方程的新显式精确行波解赵长海（南通大学理学院，江苏南通２２６００７）摘要：给出一种求解非线性发展方程精确行波解的新方法———双函数法．借助计算机代数系统Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ，利用双函数法和吴文俊消元法，获得ＮＬＳ方程的多组新的显式行波解，包括孤波解和周期解．关键词：双函数法；吴文俊消元法；ＮＬＳ方程；行波解中图分类号：Ｏ４１５文献标识码：ＡＮｅｗＥｘｐｌｉｃｉｔａｎｄＥｘａｃｔＴｒａｖｅｌｉｎｇＷａｖｅＳｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＮＬＳＮｏｎｌｉｎｅａｒＥｑｕａｔｉｏｎｓＺＨＡＯＣｈａｎｇ－ｈａｉ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＮａｎｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｔｏｎｇ２２６００７，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｈｙｐｅｒｂｏｌａｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｆｏｒｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇｅｘａｃｔｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｍａｎｙｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏＮＬＳｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｅｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｈｙｐｅｒｂｏｌａｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄＷｕ－ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈｉｎｃｌｕｄｅｎｅｗｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｎｄｒａｔｉｏｎａｌｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｕｓｅｄｈｅｒｅｃａｎａｌｓｏｂｅａｐｐｌｉｅｄｔｏｏｔｈｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｙｐｅｒｂｏｌａｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ；Ｗｕ－ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ；ＮＬＳｅｑｕａｔｉｏｎ；ｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎ收稿日期：２００７－０３－１９基金项目：南通大学自然科学基金项目（０６Ｚ００４）作者简介：赵长海（１９６４－），男，南通大学理学院副教授，主要从事非线性物理的研究．文章编号：１６７３－２３４０（２００７）０３－００１２－０４南通大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮａｎｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）第６卷第３期２００７年９月Ｖｏｌ．６Ｎｏ．３Ｓｅｐｔ．２００７ｉ!ｕ!ｔ＋!!２ｕ!ｘ２＋"ｕ２ｕ＝０（１）ＮＬＳ方程有通常只有线性方程才具有的形式为ｕ＝Ａｅｉ（ｋｘ－#ｔ）（２）的单波解．其中，Ａ、#和ｋ分别为振幅、园频率和波数．将式（２）代入方程（１）很快得到频散关系为#＝!ｋ２－"Ａ２（３）式（３）说明，非线性波的频散关系既与波数有关，又与振幅有关．由此求得群速度为ｃｇ≡ｄ#ｄｋ＝２!ｋ（４）因式（１）是根据式（２）得到的，所以式（３）可视为非线性ＮＬＳ方程（１）的最低阶的近似，相应式（２）是它的最低阶的解．因非线性ＮＬＳ方程通常表征非线性的调制作用，所以，我们通常求它的包络波形式解，即设解为ｕ＝$（%）ｅｉ（ｋｘ－#ｔ），%＝ｘ－ｃｇｔ（５）将式（５）代入方程（１）得到!ｄ２$ｄ%２＋ｉ（２!ｋ－ｃｇ）ｄ$ｄ%＋（#－!ｋ２）$＋"$３＝０（６）通常，我们要求$（%）是实函数形式，故要求ｄ$ｄ%前的复系数为零，而这恰好是式（４）的形式．又考虑式（３），我们设式（６）中$前的系数为#－!ｋ２＝－&（&＞０）（７）这样方程（６）就简化为－!ｄ２$ｄ%２＋&$－"$３＝０（８）１．１方法一由双函数法设方程（８）有如下形式的行波解$（%）＝ｎｉ＝１"ｓｉｎｈｉ－１#（Ｂｉｓｉｎｈ#＋Ａｉｃｏｓｈ#）＋Ａ０（９）并且通过平衡方程（８）线性最高阶导数项和非线性的次数易知ｎ为１，所以$（%）＝Ｂ１ｓｉｎｈ#＋Ａ１ｃｏｓｈ#＋Ａ０（１０）其中Ａ０，Ａ１，Ｂ１为待定系数，而ｄ$ｄ%可以有多种选法，令ｄ#ｄ%＝ｓｉｎｈ#（１１）将式（１０）、式（１１）代入式（８），并令其中的常数项以及各次项的系数为零，得到如下线性方程组：&Ａ０－"Ａ０３－３"Ａ０Ａ１２＝０，－!Ｂ１＋&Ｂ１－３"Ａ０２Ｂ１－３"Ａ１２Ｂ１＝０，－３"Ａ０Ａ１２－３"Ａ０Ｂ１２＝０，－２!Ｂ１－３"Ａ１２Ｂ１－"Ｂ１３＝０，&Ａ１－３"Ａ０２Ａ１－"Ａ１Ｂ１２＝０，－６"Ａ０Ａ１Ｂ１＝０，－２!Ａ１－"Ａ１３－３"Ａ１Ｂ１２＝０．利用吴消元法解上述关于Ａ０、Ａ１、Ｂ１的超待定代数方程组得：Ａ０＝０，Ａ１＝０，Ｂ１＝±ｉ２#!$"$，!＝&；Ａ０＝０，Ｂ１＝０，Ａ１＝±ｉ２$!$"$，&＝－２!；Ａ０＝０，Ａ１＝Ｂ１＝±ｉ!$２$"$，－!＝２&．对式（１１）分离变量并且两边积分，积分常数取为零，得：ｓｉｎｈ#＝－ｃｓｃｈ%，ｃｏｓｈ#＝－ｃｏｔｈ%．于是方程（８）有如下形式解：（１）$（%）＝%ｉ２$!$"$ｃｓｃｈ%；（２）$（%）＝%ｉ２$!$"$ｃｏｔｈ%；（３）$（%）＝%ｉ!$２$"$ｃｓｃｈ%%ｉ!$２$"$・ｃｏｔｈ%．进一步由式（５）得：（１′）ｕ＝%ｉ２$!$"$ｃｓｃｈ%・ｅｉ（ｋｘ－#ｔ）；（２′）ｕ＝%ｉ２$!$"$ｃｏｔｈ%・ｅｉ（ｋｘ－#ｔ）；（３′）ｕ＝（%ｉ２$!$"$ｃｓｃｈ%%ｉ!$２$"$・ｃｓｃｈ%）ｅｉ（ｋｘ－#ｔ）．赵长海：非线性ＮＬＳ方程的新显式精确行波解・１３・南通大学学报（自然科学版）２００７年如令ｄ!ｄ"＝ｃｏｓｈ!（１２）将式（１０）、式（１２）代入式（８）中，并令其中的常数项以及各次项的系数为零，得到如下线性代数方程组：#Ａ０－$Ａ０３－３$Ａ０Ａ１２＝０，－２%Ｂ１＋#Ｂ１－３$Ａ０２Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１＝０，－３$Ａ０Ａ１２－３$Ａ０Ｂ１２＝０，－２%Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１－$Ｂ１３＝０，－%Ａ１＋#Ａ１－３$Ａ０２Ａ１－$Ａ１３＝０，－６$Ａ０Ａ１Ｂ１＝０，－２%Ａ１－$Ａ１３－３$Ａ１Ｂ１２＝０．利用吴消元法解上述关于Ａ０、Ａ１、Ｂ１的超待定代数方程组得：Ａ０＝０，Ａ１＝０，Ｂ１＝±ｉ２!%!$!，２%＝#；Ａ０＝０，Ｂ１＝０，Ａ１＝±ｉ２!%!$!，#＝－%；Ａ０＝０，Ａ１＝Ｂ１＝±ｉ%!２!$!，%＝２#．对式（１２）分离变量并且两边积分，积分常数取为零，得：ｓｉｎｈ!＝－ｃｏｔ"，ｃｏｓｈ!＝－ｃｓｃ"．于是方程（８）有如下周期解：（４）&（"）＝"ｉ２!%!$!ｃｏｔ"；（５）&（"）＝"ｉ２!%!$!ｃｓｃ"；（６）&（"）＝"ｉ%!２!$!ｃｏｔ""ｉ%!２!$!ｃｓｃ"．进一步由式（５）得：（４′）ｕ＝"ｉ２!%!$!ｃｏｔ"・ｅｉ（ｋｘ－!ｔ）；（５′）ｕ＝"ｉ２!%!$!ｃｓｃ"・ｅｉ（ｋｘ－!ｔ）；（６′）ｕ＝（"ｉ%!２!$!ｃｏｔ""ｉ%!２!$!ｃｓｃ"）ｅｉ（ｋｘ－!ｔ）．１．２方法二由双函数法设方程（８）有如下形式的行波解&（"）＝Ｂ１ｓｉｎ!＋Ａ１ｃｏｓ!＋Ａ０（１３）令ｄ!ｄ"＝ｓｉｎ!（１４）将式（１３）、式（１４）代入式（８）中，并令其中的常数项以及各次项的系数为零，得到如下线性代数方程组：#Ａ０－$Ａ０３－３$Ａ０Ａ１２＝０，－%Ｂ１＋#Ｂ１－３$Ａ０２Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１＝０，３$Ａ０Ａ１２－３$Ａ０Ｂ１２＝０，２%Ｂ１＋３$Ａ１２Ｂ１－$Ｂ１３＝０，#Ａ１－３$Ａ０２Ａ１－$Ａ１３＝０，－６$Ａ０Ａ１Ｂ１＝０，２%Ａ１＋$Ａ１３－３$Ａ１Ｂ１２＝０．利用消元法解上述关于Ａ０、Ａ１、Ｂ１的超待定代数方程组得：Ａ０＝０，Ａ１＝０，Ｂ１＝±２!%!$!，%＝#；Ａ０＝０，Ｂ１＝０，Ａ１＝±ｉ２!%!$!，#＝－２%．对式（１４）分离变量并且两边积分，积分常数取为零，得：ｓｉｎ!＝ｓｅｃｈ"，ｃｏｓ!＝±ｔａｎｈ"．于是方程（８）有如下解：（７）&（"）＝"２!%!$!ｓｅｃｈ"；（８）&（"）＝"ｉ２!%!$!ｔａｎｈ"．进一步由式（５）得：（７′）ｕ＝"２!%!$!ｓｅｃｈ"・ｅｉ（ｋｘ－!ｔ）；（８′）ｕ＝"ｉ２!%!$!ｔａｎｈ"・ｅｉ（ｋｘ－!ｔ）．１．３方法三又由双函数法设方程（８）有如下形式的行波解・１４・!（"）＝Ｂ１ｆ（"）＋Ａ１ｇ（"）＋Ａ０（１５）若取ｆ（"）和ｇ（"）为修正的双函数如下：情况１：ｆ（"）＝１ｒ＋ｓｉｎｈ"，ｇ（"）＝ｃｏｓｈ"ｒ＋ｓｉｎｈ（"）．其中"为行波变量，ｒ为参数，可以调整波行的变化．则易知，ｇ２（"）＝ｆ２（"）＋（１－ｒｆ（"））２．又易知ｆ′（"）＝－ｆ（"）ｇ（"）ｇ′（"）＝－ｆ２（"）＋ｒｆ（"）－ｒ２ｆ２（"）（１６）将式（１５）、（１６）代入式（８）中，且令其中的常数以及各次项的系数为零，得到如下线性代数方程组：#Ａ０－$Ａ０３－３$Ａ０Ａ１２＝０，%Ａ１－３$Ａ０２Ｂ１－$Ａ１３＝０，ｒ&Ａ１＋２ｒ$Ａ１３－６$Ａ０Ａ１Ｂ１＝０，－&Ｂ１＋%Ｂ１＋６ｒ$Ａ０Ａ１２－３$Ａ０２Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１＝０，３ｒ&Ｂ１－３$Ａ０Ａ１２－３ｒ２$Ａ０Ａ１２＋６ｒ$Ａ１２Ｂ１－３$Ａ０Ｂ１２＝０，－２&Ａ１－２ｒ２&Ａ１－$Ａ１３－ｒ２$Ａ１３－３$Ａ１Ｂ１２＝０，－２&Ｂ１－２ｒ２&Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１－３ｒ２$Ａ１２Ｂ１－$Ｂ１３＝０．利用吴消元法解上述关于Ａ０、Ａ１、Ｂ１的超代定代数方程组得：Ａ０＝０，Ｂ１＝０，ｒ＝±ｉ，Ａ１＝%!$!，&＝－２%．舍去和前面计算结果相似的答案，将以上结果代入式（１５）中，则方程（８）有如下孤立波解：’（"）＝"%!$!ｃｏｓｈ"（"ｉ＋ｓｉｎｈ"）．进一步由式（５）得：ｕ＝"%!$!ｃｏｓｈ"（"ｉ＋ｓｉｎｈ"）ｅｉ（ｋｘ－(ｔ）．情况２：ｆ（"）＝１ｒ＋ｓｉｎ"，ｇ（"）＝ｃｏｓ"ｒ＋ｓｉｎ（"）．其中"为行波变量，ｒ为参数，可以调整波行的变化．则易知，ｇ２（"）＝ｆ２（"）－（１－ｒｆ（"））２．又易知ｆ′（"）＝－ｆ（"）ｇ（"）ｇ′（"）＝－ｆ２（"）－ｒｆ（"）＋ｒ２ｆ２（"）（１７）将式（１５）、（１７）代入式（８）中，且令其中的常数以及各次项的系数为零，得到如下线性代数方程组：%Ａ０－$Ａ０３＋３$Ａ０Ａ１２＝０，%Ａ１－３$Ａ０２Ａ１＋$Ａ１３＝０，－ｒ&Ａ１－２ｒ$Ａ１３－６$Ａ０Ａ１Ｂ１＝０，&Ｂ１＋%Ｂ１－６ｒ$Ａ０Ａ１２－３$Ａ０２Ｂ１＋３$Ａ１２Ｂ１＝０，－３ｒ&Ｂ１－３$Ａ０Ａ１２＋３ｒ２$Ａ０Ａ１２－６ｒ$Ａ１２Ｂ１－３$Ａ０Ｂ１２＝０，－２&Ａ１＋２ｒ２&Ａ１－$Ａ１３＋ｒ２$Ａ１３－３$Ａ１Ｂ１２＝０，－２&Ｂ１＋２ｒ２&Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１＋３ｒ２$Ａ１２Ｂ１－$Ｂ１３＝０．利用吴消元法解上述关于Ａ０、Ａ１、Ｂ１的超代定代数方程组得：Ａ０＝０，Ｂ１＝０，ｒ＝±１，Ａ１＝%!$!，&＝－２%．舍去和前面计算结果相似的答案，将以上结果代入式（１５）中，则方程（８）有如下孤立波解：’（"）＝±%!$!ｃｏｓ"（±１＋ｓｉｎ"）．进一步由式（５）得：ｕ＝±%!$!ｃｏｓ"（±ｉ＋ｓｉｎ"）ｅｉ（ｋｘ－(ｔ）．２结束语本文采用双函数法和吴消元法，获得了ＮＬＳ方程的多组孤波解，其中一些为复标量场中的解，丰富了ＮＬＳ方程解的结果，将有助于我们对ＮＬＳ方程所描述物理现象的进一步了解和研究．双函数法不仅可以用于求解一元非线性可积方程，而且可以用来求解非线性方程的各种解．其中双函数可以选择双曲函数，也可以选择三角函数等．参考文献：［１］ＡＢＬＯＷＩＴＺＭＪ，ＣＬＡＲＫＳＯＮＰＡ，Ｓｏｌｉｔｏｎ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＥｖｏｌｕｔｉｏｎｓａｎｄＩｎｖｅｒｓｅＳｃａｔｔｅｒｉｎｇ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９９１．［２］ＷＨＩＴＨＡＭＧＢ．ＬｉｎｅａｒａｎｄＮｏｎｌｉｎｅａｒＷａｖｅｓ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：Ｗｉｌｅｙ，１９７４．（下转第２２页）赵长海：非线性ＮＬＳ方程的新显式精确行波解・１５・南通大学学报（自然科学版）２００７年［３］阎振亚，张鸿庆，笵恩贵．一类非线性演化方程新的显式行波解［Ｊ］．物理学报，１９９９，４８（０１）：１－５．［４］郑赟，张鸿庆．一个非线性方程的显式行波解［Ｊ］．物理学报，２０００，４９（０３）：３８９－３９１．［５］赵长海，盛正卯．Ｚａｋｈａｒｏｖ方程的显式行波解［Ｊ］．物理学报，２００４，５３（０６）：１６２９－１６３４．［６］关霭云．吴消元法讲义［Ｍ］．北京：北京理工大学出版社，１９９４．（责任编辑：戴兵）Ａ!Ｘ＝ｂ－ＡＸＡ＊!ｙ＋!Ｓ＝Ｃ－Ｓ－Ａ＊ｙＳｐ（!ＸＳ＋Ｘ!Ｓ）＝!"Ｉ－Ｓｐ（ＸＳ!####"####$）（５）由文献［１］知，系统（５）有唯一解．定义４设#＞０，（Ｘ（$），ｙ（$），Ｓ（$））是系统（４）的解，则称集合（Ｘ（$），ｙ（$），Ｓ（$）│$＞０）为原始－对偶中心路径．定义５称Ｎ（%）＝｛（Ｘ，ｙ，Ｓ）∈Ｆ０（Ｐ）×Ｆ０（Ｄ）：‖ＸＳ－!"Ｉ‖≤%"，"＝Ｘ・Ｓｎ｝为中心路径邻域．半定规划原始－对偶路径跟踪法的算法基本框架如下．令%∈（０，１），给定初始点（Ｘ０，ｙ０，Ｓ０）∈Ｎ（%）和误差容限&＞０，令"０＝Ｘ０・Ｓ０ｎ．循环直到"ｋ≤&：１）取矩阵Ｐｋ∈Ｓ＋＋ｎ和中心参数!ｋ∈［０，１］；２）求解系统（５），其中Ｐ＝Ｐｋ，"＝"ｋ，!＝!ｋ，（Ｘ，ｙ，Ｓ）＝（Ｘｋ，ｙｋ，Ｓｋ），得到解（!Ｘｋ，!ｙｋ，!Ｓｋ）；３）取（Ｘｋ＋１，ｙｋ＋１，Ｓｋ＋１）＝（Ｘｋ，ｙｋ，Ｓｋ）＋’ｋ（!Ｘｋ，!ｙｋ，!Ｓｋ），其中’ｋ＞０满足（Ｘｋ＋１，ｙｋ＋１，Ｓｋ＋１）∈Ｎ（%）；４）取(ｋ＋１＝Ｘｋ＋１・Ｓｋ＋１ｎ，ｋ＝ｋ＋１，返回．结束．５结语半定规划作为线性规划的推广，许多性质和算法都可以从线性规划直接推广得到，它们都是线性函数的极值问题，且都是凸优化问题，也都是特殊的锥优化问题；而半定规划比线性规划更一般，其对偶理论比线性规划的对偶理论弱，但是很多非线性凸优化问题可以化归为半定规划来求解，另外线性规划的可行集一般是多面体，其边界是光滑的，而半定规划的可行集的边界一般是非光滑的，因此线性规划有简单易行且高效的单纯形法，而半定规划尚无直接的、适用的单纯形法．参考文献：［１］ＷＯＬＫＯＷＩＣＺＨ，ＳＡＩＧＡＬＲ，ＶＡＮＤＥＮＢＥＲＧＨＥＬ．Ｈａｎｄ－ｂｏｏｋｏｆｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：ＫｌｕｗｅｒＡｃａ－ｄｅｍｉｃＰｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，ＢｏｓｔｏｎＤｏｒｄｒｅｃｈｔ－Ｌｏｎｄｏｎ，２０００．［２］ＴＯＤＤＭＪ．Ｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．ＡｃｔａＮｕｍｅｒｉｃａ，２００１（１０）：５１５－５６０．［３］ＶＡＮＤＥＮＢＥＲＧＨＥＬ，ＢＯＹＤＳ．Ｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．ＳＩＡＭＲｅｖ．，１９９６（３８）：４９－９５．［４］ＨＥＬＭＢＥＲＧＣ．Ｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｈｏｍｅｐａｇｅ［ＥＢ／ＯＬ］．（２００５－０８－０４）［２００６－０５－０６］．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｚｉｂ．ｄｅ／ｈｅｌｍ－ｂｅｒｇ／ｓｅｍｉｄｅｆ．ｈｔｍｌ．［５］ＫＡＲＭＡＲＫＡＲＮＫ．Ａｎｅｗｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ－ｔｉｍｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．Ｃｏｍｉｎａｔｏｒｉｅａ，１９８４（４）：３７３－３９５．［６］ＮＥＳＴＥＲＯＶＹＥ，ＮＥＭＩＲＯＶＳＫＩＩＡＳ．Ｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔｐｏｌｙｎｏ－ｍｉａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｉｎｃｏｎｖｅｘｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｍ］．ＳＩＡＭｐｕｂｌｉｃａ－ｔｉｏｎｓ，ＳＩＡＭ，ｐｈｉｌａｄｅｌｐｈｉａ，ＵＳＡ，１９９４．［７］ＷＲＩＧＨＴＳＪ．Ｉｎｔｅｒｉｏｒ－ｐｏｉｎｔｍｅｔｈｏｄｓｏｎｌｉｎｅｈｏｍｅｐａｇｅ［ＥＢ／ＯＬ］．（１９９８－０６－０７）［２００６－０５－０６］．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ－ｕｎｉｘ．ｍｃｓ．ａｎｌ．ｇｏｖ／ｏｔｃ／ＩｎｔｅｒｉｏｒＰｏｉｎｔ．（责任编辑：张燕）（上接第１５页）・２２・。

非线性波方程行波解分岔及其动力学行为的研究的开题报告摘要：本文旨在研究非线性波方程行波解分岔及其动力学行为。

首先，我们将介绍非线性波方程及其行波解的定义，特别是双曲型方程的行波解。

其次，我们将探讨行波解存在分岔的原因，并讨论分岔现象的数学描述。

然后，我们将考虑分岔前后的行波解的稳定性和动力学行为。

最后，我们将通过数值仿真模拟来验证我们的理论研究成果。

关键词：非线性波方程；行波解；分岔；稳定性；动力学行为1. 研究背景与意义非线性波方程是研究波动现象中的重要数学模型，具有很广泛的应用。

行波解是非线性波方程中的一类非常特殊和重要的解，具有稳定性和可预测性等优良性质。

分岔是一种普遍存在于动力学系统中的现象，其在非线性波方程的行波解中的存在也是非常普遍的。

因此，对于非线性波方程行波解分岔及其动力学行为的研究具有重要的理论和应用价值。

2. 研究方法和思路本文将采用非线性波方程的数学理论和方法，结合动力学系统的基本概念和理论，对非线性波方程中的行波解分岔及其动力学行为进行研究。

在理论分析的基础上，我们将通过数值仿真模拟来验证我们的理论研究成果。

3. 研究内容（1）非线性波方程及其行波解的定义介绍；（2）行波解存在分岔的原因，分岔现象的数学描述；（3）分岔前后的行波解的稳定性和动力学行为；（4）数值仿真模拟及结果分析。

4. 研究进度与计划目前，我们已对非线性波方程的性质和行波解的定义进行了深入的研究，以及分岔现象的分析和数学描述。

接下来，我们将从分岔前后的行波解的稳定性和动力学行为方面展开研究，并对分岔现象进行数值仿真模拟。

最后，我们将完成论文的撰写和修改。