高中物理竞赛讲义-镜像法
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(4.4.3.13) 所以金属球的对地电容为
(4.4.3.14) 式中第一项 为孤立金属球的电容
圆柱面镜像1
概念
几何轴：物体的轴线。 电轴：电荷分布的轴线。
问题
已知边界条件、原电荷、几何轴，求镜像电荷，即镜像电轴位置及电荷 量。 已知给定电轴，求等位面、几何轴。
线电荷对导体圆柱的镜像
半径为a的接地导体圆柱外有 一条和它平行的线电荷，密 度为
掌握如何利用平面镜像法求解典型传输设备的对地电容。
球面镜像1
点电荷对接地导体球的镜像
题目：半径为a的接地导体球， 在与球心相据 的 一点电荷 。
在导体球内，距离球心处 的 点处置一镜像电荷 来代替导体球上的感应电荷，边 界条件维持不变，即导体球面为
零电位面。
去掉导体球，用原电荷和镜像电 荷求解导体球外区域场，注意不 能用原电荷和镜像电荷求解导体 球内区域场。 求解镜像电荷的大小和位置： 将原导体球移去，
图4.4.6 点电荷对介质平面的镜像
求解 和 ： z>0时，
(4.4.2.11) z<0时，
(4.4.2.12) 根据边界条件 、
可以解得
(4.4.2.13)
(4.4.2.14)
分区域考虑镜像电荷。
求单导线的对地电容 求单导线的对地电容。一根极长的
单导线与地面平行。导线半径为a，离 地高度为h，求单位长度单导线地对地 电容。
的边界条件。但是有了地面影响，还应满足地面为零等位面的边界条 件。为满足这个条件，就要找出置于球心的
镜像电荷，这就是
，而且满足
。
的出现虽然使地面的边界条件得到了满足，但球面的等位面条件却被破 坏了。我们需要再按照球面镜像的方法求出
在球内的镜像电荷
。
的出现，又出现了
出现时所遇到的情况，我们又需要球它的地面镜像……这样就需要一系
去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意 不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。
电位：
(4.4.2.1) 电场强度：
(4.4.2.2) 其中， 感应电荷：
=>
(4.4.2.3) 电场力：
(4.4.2.4)
图4.4.2 点电荷的平面镜像
无限长单导线对平面的镜像
图4.4.3 单导线的平面镜像
。k为常数。由图可知
、
。所以可得
(4.4.4.5) 这是一个圆方程。其参数为 圆心位置：
(4.4.4.6) 半径：
(4.4.4.7) 即等位线为一簇圆，其圆心自然是位 于等位圆的圆柱面的几何轴心上。圆 心和半径都是k的函数。实际问题往往 是这样：知道两条平行导线的半径及 相互间的距离，而需要确定电轴的位 置。这就要找到如图示的b.R.d之间的 图 关系。 求两个导体圆柱间单位长度的电 容
的关系进行试探求解。同样在圆周上去两点（通过镜像电荷的直径的两 端点），因为圆柱接地，它们的电位必须为零，即
(4.4.4.1)
(4.4.4.2) 代入
的关系后，上面两方程解得 (4.4.4.3)
求解电位： 圆柱外任一点的电位为
(4.4.4.4) 其中 、 分别是 、 到场点的距离。
（1）线荷对不接地、净电荷为零的导体圆柱的镜像。 （2）线电荷对不接地、净电荷不为零的导体圆柱的镜像
圆柱面镜像2
给定电轴，确定几何轴位置和等位面
两条互相平行的导线，其线电荷密 度分别为
和-
。
视这两条极细的带电导线分别为两 个电轴。
求解几何轴的位置 可以直接写出P点的电位为
由图可见，XOZ平面为零电位 面，即
图4.4.10 确定两个给定电轴 的几何轴
时，
。 于是可知常数C为零，则
的表达式为
，取（ ）为常数就可得到等位线，即取
列的电荷去代替金属球和地面两个边界的影响。
求解镜像电荷的大小和位置：
镜像电荷
镜像离球心距离
……
……
……
……
式中
求解电位、对地电容：
球体的点电荷为
(4.4.3.12) 金属球的电位应为所有电荷 、 、 、…产生的，但 和 这对电荷、 和 这对电荷、…直至无穷的成对电荷都是维持金属球面为零电位的，唯独 置于球心的电荷使金属球具有电位 ，其值为
与地面平行的极长的单导线，半径为a，离地高度为h。
用位于地面下方h处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边界条 件维持不变。
将地面取消而代之以镜像单导线（所带电荷的电荷密度为
） 电位：
(4.4.2.5) 对地电容：
(4.4.2.6
平面镜像2
无限长均匀双线传输线对平面的镜 像
与地面平行的均匀双线传输线，半径为 a，离地高度为h，导线间距离为d，导线 一带正电荷+ ，导线二带负电荷。 用位于地面下方h处的镜像双导线代替地 图4.4.4 无限长均匀传输线对 面上的感应电荷，边界条件维持不变。 地面的镜像 将地面取消而代之以镜像双导线。 求解电位：
镜像法
思路
用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。 保持求解区域中场方程和边界条件不变。 使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区 域。
使用范围
界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。
步骤
确定镜像电荷的大小和位置。 去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。 求解边界上的感应电荷。 求解电场力。
(4.4.2.8)
(4.4.2.9) 平行导线间单位长度电容：
(4.4.2.10) 其中
小天线的镜像
与地面的小天线，长度为 l ，离地高度为 h 。 用位于地面下方 h 处的镜像小天线代替地面上的感应电荷，边界条件维
持不变。
与自由空间的天线比较，当天线离平面很近时，若天线与平面平行，辐 射功率为零，若天线与平面垂直，辐射功率增强。若天线与平面倾斜放 置，则辐射功率的变化与倾斜角度有关。具体辐射功率的计算请参看天 线辐射（超链），此处仅给出思路和结论。
两根无限长平行圆柱， 半径均为a，轴线距离位 D。求两圆柱间单位长度上 的电容。
例题图4.10
把圆柱看成两平行线电荷 及的场中的两个等位面，只要求出两线电荷的位置，便可得到解。
这里 和 可由D和a定出。即 、
解得
、
对于左边圆柱面上的点，有这样的关系
，
故左边圆柱的电位为
对于右边圆柱上的点有 ，电位为
单位长度单导线的对地电容
可表示为
（式1）。 式中
为单导线的电位，
为地电位（
＝0）， 为导线的线电荷密度。现在需要求 出
，用镜像法求解。
例题图4.9
单位长度单导线的对地电容 可表示为
（式1）。
式中 为单导线的电位， 为地电位（ ＝0）， 为导线的线电荷密度。现在需要求出 。
令 （近似认为 均匀分布于导线表面），利用镜像法，将地面取消而代之以镜像 单导线（带 ）。则原地面上方任意点P的电位为
平面镜像1
点电荷对平面的镜像
(a) 无限大接地导体平面上方有
（b） 用镜像电荷-q代替导体平面上方
点电荷q
的感应电荷
图4.4.1 点电荷的平面镜像
在无限大接地导体平面（YOZ平面）上方有一点电荷q，距离导体 平面的高度为h。
用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q代替导体平面上的感应电 荷，边界条件维持不变，即YOZ平面为零电位面。
球面镜像2
无穷镜像问题
（a） 图4.4.8 无穷镜像问题
半径为a的金属球，带电荷 ，球心离地高度h。
（b）
为满足金属球为等位面，但电位不等于零及地面为零等位面的边界条 件，我们需要用一系列的电荷去代替金属球和地面两个边界的影响。
若仅是孤立球体，则将电荷 集中于球心来代替导体球的分部电荷，这样就满足了金属球面为等位面
及像电荷
图4.4.7 点电荷对接地导体球的镜像
在原球面上任一点P处产生的电 位应为零，即
(.4.3.1)
我们在球面上取通过 的直径的两端点，对于这两点的电位式为
(4.4.3.2)
(4.4.3.3) 以上两方程解得
(4.4.3.4)
(4.4.3.5) 求解电位、电场强度、感应电荷： 的表达式表示对于球面上任一点P， 与 是相似三角形，即
两圆柱间电压为 故两圆柱间单位长度的电容为
如果 ，则 。
掌握如何利用柱面镜像法求解典型传输设备的电容。
，与圆柱轴相距为
。
用位于导体圆柱内，距离圆 柱轴线
处的镜像线电荷
代替导体圆柱上的感应电 荷，边界条件维持不变，即 导体圆柱面为零电位面。
图4.4.9 圆柱导体与线电荷的镜像
去掉导体圆柱，用原线电荷 和镜像线电荷求解导体圆柱 外区域场，注意不能用原电 荷和镜像电荷求解导体圆柱 内区域场。
求解镜像电荷的大小和位置： 我们用
，于是球外任意一点的电位为
(4.4.3.6) 采用球坐标，取原点为球心O点，z轴与 轴重合，则球外任一点 处有
(4.4.3.7) (4.4.3.8) 这样可求得电场 的分量为
(4.4.3.9)
(4.4.3.10) r=a时球面上的感应电荷密度为
(4.4.3.11)
（1）点电荷对不接地、净电荷为零的导体球的镜像。 （2）点电荷对不接地、净电荷不为零的导体球的镜像。 （3）接地球形空腔内电荷的镜像
（式2）。 式中
、 分别代表镜像单导线及原单导线到P点的垂直距离。由2式可知 为
。 把此式代入1式则得单导线对地电容为
（式3）。 有了上式，就可以方便地写出平行双导线间的单位长度的电容
为
（式4）。 式中，D为平行双导线间的距离（相当于本题中的2h），a为导线
半径。若D>>a， 就可以简化为式4的近似式。
点电荷对相交接地平面的镜像
(4.4.3.14) 式中第一项 为孤立金属球的电容
圆柱面镜像1
概念
几何轴：物体的轴线。 电轴：电荷分布的轴线。
问题
已知边界条件、原电荷、几何轴，求镜像电荷，即镜像电轴位置及电荷 量。 已知给定电轴，求等位面、几何轴。
线电荷对导体圆柱的镜像
半径为a的接地导体圆柱外有 一条和它平行的线电荷，密 度为
掌握如何利用平面镜像法求解典型传输设备的对地电容。
球面镜像1
点电荷对接地导体球的镜像
题目：半径为a的接地导体球， 在与球心相据 的 一点电荷 。
在导体球内，距离球心处 的 点处置一镜像电荷 来代替导体球上的感应电荷，边 界条件维持不变，即导体球面为
零电位面。
去掉导体球，用原电荷和镜像电 荷求解导体球外区域场，注意不 能用原电荷和镜像电荷求解导体 球内区域场。 求解镜像电荷的大小和位置： 将原导体球移去，
图4.4.6 点电荷对介质平面的镜像
求解 和 ： z>0时，
(4.4.2.11) z<0时，
(4.4.2.12) 根据边界条件 、
可以解得
(4.4.2.13)
(4.4.2.14)
分区域考虑镜像电荷。
求单导线的对地电容 求单导线的对地电容。一根极长的
单导线与地面平行。导线半径为a，离 地高度为h，求单位长度单导线地对地 电容。
的边界条件。但是有了地面影响，还应满足地面为零等位面的边界条 件。为满足这个条件，就要找出置于球心的
镜像电荷，这就是
，而且满足
。
的出现虽然使地面的边界条件得到了满足，但球面的等位面条件却被破 坏了。我们需要再按照球面镜像的方法求出
在球内的镜像电荷
。
的出现，又出现了
出现时所遇到的情况，我们又需要球它的地面镜像……这样就需要一系
去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意 不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。
电位：
(4.4.2.1) 电场强度：
(4.4.2.2) 其中， 感应电荷：
=>
(4.4.2.3) 电场力：
(4.4.2.4)
图4.4.2 点电荷的平面镜像
无限长单导线对平面的镜像
图4.4.3 单导线的平面镜像
。k为常数。由图可知
、
。所以可得
(4.4.4.5) 这是一个圆方程。其参数为 圆心位置：
(4.4.4.6) 半径：
(4.4.4.7) 即等位线为一簇圆，其圆心自然是位 于等位圆的圆柱面的几何轴心上。圆 心和半径都是k的函数。实际问题往往 是这样：知道两条平行导线的半径及 相互间的距离，而需要确定电轴的位 置。这就要找到如图示的b.R.d之间的 图 关系。 求两个导体圆柱间单位长度的电 容
的关系进行试探求解。同样在圆周上去两点（通过镜像电荷的直径的两 端点），因为圆柱接地，它们的电位必须为零，即
(4.4.4.1)
(4.4.4.2) 代入
的关系后，上面两方程解得 (4.4.4.3)
求解电位： 圆柱外任一点的电位为
(4.4.4.4) 其中 、 分别是 、 到场点的距离。
（1）线荷对不接地、净电荷为零的导体圆柱的镜像。 （2）线电荷对不接地、净电荷不为零的导体圆柱的镜像
圆柱面镜像2
给定电轴，确定几何轴位置和等位面
两条互相平行的导线，其线电荷密 度分别为
和-
。
视这两条极细的带电导线分别为两 个电轴。
求解几何轴的位置 可以直接写出P点的电位为
由图可见，XOZ平面为零电位 面，即
图4.4.10 确定两个给定电轴 的几何轴
时，
。 于是可知常数C为零，则
的表达式为
，取（ ）为常数就可得到等位线，即取
列的电荷去代替金属球和地面两个边界的影响。
求解镜像电荷的大小和位置：
镜像电荷
镜像离球心距离
……
……
……
……
式中
求解电位、对地电容：
球体的点电荷为
(4.4.3.12) 金属球的电位应为所有电荷 、 、 、…产生的，但 和 这对电荷、 和 这对电荷、…直至无穷的成对电荷都是维持金属球面为零电位的，唯独 置于球心的电荷使金属球具有电位 ，其值为
与地面平行的极长的单导线，半径为a，离地高度为h。
用位于地面下方h处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边界条 件维持不变。
将地面取消而代之以镜像单导线（所带电荷的电荷密度为
） 电位：
(4.4.2.5) 对地电容：
(4.4.2.6
平面镜像2
无限长均匀双线传输线对平面的镜 像
与地面平行的均匀双线传输线，半径为 a，离地高度为h，导线间距离为d，导线 一带正电荷+ ，导线二带负电荷。 用位于地面下方h处的镜像双导线代替地 图4.4.4 无限长均匀传输线对 面上的感应电荷，边界条件维持不变。 地面的镜像 将地面取消而代之以镜像双导线。 求解电位：
镜像法
思路
用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。 保持求解区域中场方程和边界条件不变。 使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区 域。
使用范围
界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。
步骤
确定镜像电荷的大小和位置。 去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。 求解边界上的感应电荷。 求解电场力。
(4.4.2.8)
(4.4.2.9) 平行导线间单位长度电容：
(4.4.2.10) 其中
小天线的镜像
与地面的小天线，长度为 l ，离地高度为 h 。 用位于地面下方 h 处的镜像小天线代替地面上的感应电荷，边界条件维
持不变。
与自由空间的天线比较，当天线离平面很近时，若天线与平面平行，辐 射功率为零，若天线与平面垂直，辐射功率增强。若天线与平面倾斜放 置，则辐射功率的变化与倾斜角度有关。具体辐射功率的计算请参看天 线辐射（超链），此处仅给出思路和结论。
两根无限长平行圆柱， 半径均为a，轴线距离位 D。求两圆柱间单位长度上 的电容。
例题图4.10
把圆柱看成两平行线电荷 及的场中的两个等位面，只要求出两线电荷的位置，便可得到解。
这里 和 可由D和a定出。即 、
解得
、
对于左边圆柱面上的点，有这样的关系
，
故左边圆柱的电位为
对于右边圆柱上的点有 ，电位为
单位长度单导线的对地电容
可表示为
（式1）。 式中
为单导线的电位，
为地电位（
＝0）， 为导线的线电荷密度。现在需要求 出
，用镜像法求解。
例题图4.9
单位长度单导线的对地电容 可表示为
（式1）。
式中 为单导线的电位， 为地电位（ ＝0）， 为导线的线电荷密度。现在需要求出 。
令 （近似认为 均匀分布于导线表面），利用镜像法，将地面取消而代之以镜像 单导线（带 ）。则原地面上方任意点P的电位为
平面镜像1
点电荷对平面的镜像
(a) 无限大接地导体平面上方有
（b） 用镜像电荷-q代替导体平面上方
点电荷q
的感应电荷
图4.4.1 点电荷的平面镜像
在无限大接地导体平面（YOZ平面）上方有一点电荷q，距离导体 平面的高度为h。
用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q代替导体平面上的感应电 荷，边界条件维持不变，即YOZ平面为零电位面。
球面镜像2
无穷镜像问题
（a） 图4.4.8 无穷镜像问题
半径为a的金属球，带电荷 ，球心离地高度h。
（b）
为满足金属球为等位面，但电位不等于零及地面为零等位面的边界条 件，我们需要用一系列的电荷去代替金属球和地面两个边界的影响。
若仅是孤立球体，则将电荷 集中于球心来代替导体球的分部电荷，这样就满足了金属球面为等位面
及像电荷
图4.4.7 点电荷对接地导体球的镜像
在原球面上任一点P处产生的电 位应为零，即
(.4.3.1)
我们在球面上取通过 的直径的两端点，对于这两点的电位式为
(4.4.3.2)
(4.4.3.3) 以上两方程解得
(4.4.3.4)
(4.4.3.5) 求解电位、电场强度、感应电荷： 的表达式表示对于球面上任一点P， 与 是相似三角形，即
两圆柱间电压为 故两圆柱间单位长度的电容为
如果 ，则 。
掌握如何利用柱面镜像法求解典型传输设备的电容。
，与圆柱轴相距为
。
用位于导体圆柱内，距离圆 柱轴线
处的镜像线电荷
代替导体圆柱上的感应电 荷，边界条件维持不变，即 导体圆柱面为零电位面。
图4.4.9 圆柱导体与线电荷的镜像
去掉导体圆柱，用原线电荷 和镜像线电荷求解导体圆柱 外区域场，注意不能用原电 荷和镜像电荷求解导体圆柱 内区域场。
求解镜像电荷的大小和位置： 我们用
，于是球外任意一点的电位为
(4.4.3.6) 采用球坐标，取原点为球心O点，z轴与 轴重合，则球外任一点 处有
(4.4.3.7) (4.4.3.8) 这样可求得电场 的分量为
(4.4.3.9)
(4.4.3.10) r=a时球面上的感应电荷密度为
(4.4.3.11)
（1）点电荷对不接地、净电荷为零的导体球的镜像。 （2）点电荷对不接地、净电荷不为零的导体球的镜像。 （3）接地球形空腔内电荷的镜像
（式2）。 式中
、 分别代表镜像单导线及原单导线到P点的垂直距离。由2式可知 为
。 把此式代入1式则得单导线对地电容为
（式3）。 有了上式，就可以方便地写出平行双导线间的单位长度的电容
为
（式4）。 式中，D为平行双导线间的距离（相当于本题中的2h），a为导线
半径。若D>>a， 就可以简化为式4的近似式。
点电荷对相交接地平面的镜像
