2[1].4无穷大量与无穷小量

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教研室主任签字： 年 月 日 任课教师：秦立春

课 时 授 课 计 划 编号：5

授课日期 授课时数

授课班级 2010铁道通信信号20 2010铁道通信信号21 2010应用电子技术11、12 2010建筑工程技术3、4 2

课 题 §1.3：无穷大量与无穷小量

教学目的

1、了解无穷小与无穷大的定义关系和性质

2、掌握无穷小阶的比较

3、运用无穷大、无穷小的知识点求极限

教学重点

无穷小的性质，阶的比较

无穷大与无穷小的关系

教学难点

正确理解无穷大与无穷小

求极限

课堂类型及教学方法

讲授课、

讲授法、讨论法、练习法、

教具、挂图

无

教学过程 如下

一、 复习引入

二、 新课讲授

三、 课堂练习

四、 小结

柳州铁道职业技术学院教师备课教案

讲述

强调定义的注意

了解，不需证明

通过学习，我们看到求极限的方法很多，如何能用较好的方法来求解呢，这就要我们不断地归纳总结，逐类旁通，才能达到事倍功半

【考勤】

【复习旧课】

1、极限的定义

【引入新课】

如果按照极限的定义求极限是很不方便的，这节课我们介绍求极限的方法——极限的运算法则。

【新课】

一、 无穷大与无穷小

（一）、无穷大的定义

1、定义：如果说在自变量的某个变化过程中，函数的绝对值无限增大，那么称函数是该变化过程中的无穷大量。

2、注：无穷大不是很大的数

在说某一函数是无穷大量必需指明自变量的变化方向。

为无穷大的函数的极限是不存在的但为讨论方便我们说函数极限为无穷大。

（二）、无穷小的定义

1、定义：如果说在自变量的某个变化过程中，函数的极限值为0，那么称函数是该变化过程中的无穷小量。

单元教学设计

课题名称 学时数 课程类型

无穷小量与无穷大量 2 理论课

教学内容及学情分析 本节主要学习特殊的变量，无穷小与无穷大，以及无穷小的相关应用。无穷大的概念其实早有接触，两个概念都是建立在极限的基础上。

教学目标 知识目标 1.无穷小量与无穷大量的概念及二者的关系；

2.无穷小量的性质及其应用；

3.等价无穷小。

能力目标 1.掌握无穷小与无穷大的概念；

2.会利用无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量的等价代换等求函数的极限。

素质目标 1.培养学生辩证思维及分析问题解决问题的能力；

2.培养学生缜密的思维及耐心细致不惧难题的学习品质。

教学过程

教学环节 时间分配 教学内容 教学活动 教学

资源 覆盖目标

课程育人 10’ 课前布置任务：

讨论阻尼运动的变化特征，查阅第二次数学危机的产生背景、历史故事 师生共同分享各自查阅的有关资料 多媒体课件 素质目标1，2

导入新课 10’ 讨论阻尼运动的变化特征，随着时间的增加，摆动幅度越来越小，趋向于零 学生对课前布置的问题进行思考和查阅资料，选择学生简单叙述自己的理解和体会。 多媒体课件 知识目标1 讲授新课 40’ 1.无穷小的概念及其性质；

2.无穷大的概念；

3.无穷小与无穷小的关系；

4.无穷小的比较，等价无穷小的性质及应用 1.讲授无穷小与无穷大的概念；

2.介绍两者的区别、联系

3.让学生感受这两种特殊“变量”的变化过程 板书多媒体课件 知识目标1,2,3

学生互动 20’ 1.讨论一个函数，当自变量如何变化时是无穷小，或者是无穷大；

2.利用无穷小的性质求函数的极限；

3.进行无穷小的比较，体会“极限”实际上是描述最终的变化趋势 学生黑板练习

教师答疑解惑 板书 能力目标1,2

素质目标1,2

课堂小结 5’ 1.本节课学习了无穷小与无穷大的概念；

2.理解这两种特殊的极限形式，它们都是变量，在变化的过程中，体现出来的一种变化趋势；

§1.3 无穷小量与无穷大量

一、无穷小量与无穷大量的概念

在实际问题中，经常会遇到以零为极限的变量。例单摆离开铅直位置并摆动, 由于受到空气阻力和机械摩擦力作用, 它的振幅随时间增加而逐渐减少并趋近于零; 又如在电容器放电时, 电压也是随时间的增加而逐渐减少趋近于零.

还有一些变量在变化过程中, 绝对值无限增大. 下面我们给出这两种变量的定义:

【定义1】如果lim()0xXfx，则称函数()fx是当xX时的无穷小量，简称无穷小．

若lim()xXfx，则称()fx为当xX时的无穷大量，简称无穷大．

也就是说, 无穷小是以0为极限的函数,无穷大是绝对值无限增大的函数.

例如, 当0x时，2,sin,xxx都是无穷小, 当1x时，2(1),lnxx是无穷小,当x时，1x是无穷小. 当0x时，1x是无穷大, 当x时，2x是无穷大.

注定义中“xX”表示自变量的某个变化过程，可以是“x、x、x、0xx、0xx、0xx”中的任何一种．

在自变量的同一变化过程中的无穷小具有如下性质:

【性质1】有限个无穷小的代数和是无穷小.

【性质2】有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

由以上两个性质立得以下两性质:

【性质3】常数与无穷小的乘积是无穷小.

【性质4】有限个无穷小的乘积是无穷小. 【例1】求 01limsin.xxx

【分析】当0x时, 1x, 1sinx的取值在区间[1,1]上波动, 无极限, 不能用积的极限法则计算, 应考虑无穷小的性质.

【解】当0x时，x是无穷小量, 又因为1sin1x，所以1sinx是有界变量；．根据性质2有01limsin0.xxx

二、无穷大量与无穷小量的关系

无穷小与无穷大有如下关系:

【定理1】在自变量的同一变化过程中, 如果()fx为无穷大, 则1()fx为无穷小；反之, 如果()fx为无穷小, 且()0fx, 则1()fx为无穷大.

教学课题：§５无穷小量与无穷大量

教学目的：理解无穷小、无穷大及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。

教学重点：会利用它们求某些函数的极限

教学进程：

在学习数列极限时，有一类数列超级引人注视，它们具有如下特征：lim0nna. 咱们称之为无穷小数列。通过前面几节对函数极限的学习。咱们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如：

0limsin0,xx 20lim0,xx

咱们给这种函数一个名称——“无穷小量”。

既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？

以上就是咱们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。

一、无穷小量

1．概念１：设f在某00()Ux内有概念。若0lim()0xxfx，则称f为当0xx时的无穷小量（简称无穷小）。记作：

0()0(1)()fxxx.

（类似地可以概念当00,,,,xxxxxxx时的无穷小量）。

例：(1,2,),sin,1coskxkxx都是当0x时的无穷小量；1x是当1x时的无穷小量；21sin,xxx是x时的无穷小量。

2．无穷小量的性质

（１）概念

概念２（有界量）若函数g在某00()Ux内有界，则称g为当0xx时的有界量，记作：

0()(1)()gxOxx.

例如：sinx是当x时的有界量，即sin(1)()xOx; 1sinx是当0x时的有界量，即1sin(1)(0)Oxx.

注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()0(1)()fxxx，则0()(1)()fxOxx. 区别：“有界量”与“有界函数”。一般在谈到函数f是有界函数或函数f是有界的，意味着存在Ｍ>０，f在概念域内每一点x，都有|()|fxM。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。