11.4_无穷小量与无穷大量

1 无穷小量与无穷大量

一、基本内容

1. 无穷小的定义 ：若)(xf当?x时的极限为零，（即?x时)(xf0）则称)(xf为当?x时的无穷小量，简称无穷小。

2. 无穷小与函数极限的关系：AxfAxfx)()(lim?，其中是?x时的无穷小。

3. 无穷大的定义：若x满足||00xx（或Xx||）时，有Mxf|)(|，则称)(xf为当0xx（或x）时的无穷大量，简称无穷大。

4. 无穷小与无穷大的关系：

1）若)(xf是无穷大，则)(1xf是无穷小；

2）若)(xf是无穷小，且0)(xf，则)(1xf是无穷大。

二、学习要求

1. 了解无穷小、无穷大的概念。

2. 理解无穷小与无穷大的关系及无穷小与函数极限的关系。

三、基本题型及解题方法

题型 判定无穷小与无穷大

解题方法：（1）直接根据无穷小无穷大的定义；

（2）当变量是分式时，常根据无穷大与无穷小的关系：若分母的极限值是零而分子的极限为常数，则该变量为无穷大量；若分母为无穷大而分子的极限为常数，则该变量为无穷小量。

【例】 判断下列哪些是无穷小量，哪些是无穷大量

(1) 当x时，x1； (2) 当x时，xe；

(3) 当1x时，112x； (4) 当2x时，412xx。 2 解：(1)因为01limxx ,则当x时，x1为无穷小量。

（2）因为0limxxe，故当x时，xe为无穷小量。

（3）因为当1x时，分母12x0，而分子为非零常数，由无穷大与无穷小的关系，可知当1x时，112x为无穷大量。

（4）因为当2x时，412xx的分母042x，而分子31x，故当2x时，412xx为无穷大量。

四、同步练习

（一）填空题：

1．若)2)(1()3)(1()(xxxxxf为无穷大量，则x ，或x 。

高等数学 1 第二章 极限与连续（二）

一、教学内容

无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质；极限四则运算法则

二、教学目的

掌握极限四则运算法则 理解无穷小量、无穷大量的概念及相互关系；

三、教学重点

无穷小量、无穷大量的概念及相互关系 极限的运算。

四、教学难点

无穷小量、无穷大量的概念及相互关系

§2 无穷小量与无穷大量

一、无穷小量

无穷小量的定义：

如果在x的某种趋向下，函数f(x)以零为极限，则称在x的这种趋向下，函数f(x)是无穷小量。

注意：讲一个函数是无穷小量，必须指出其自变量变化趋向，例如讲f(x)=1/x是无穷小量是没有意义的，必须讲当x->∞时，是无穷小量。无穷小量不一定是零，是趋向于零的一种函数。但零作为函数来讲一定是无穷小量。

定理一 若在x某种趋向下，函数f(x)->A,则在x的这种趋向下，f(x)-A是无穷小量，其逆也真。

在x的某种趋向下，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和; 高等数学 2 二、无穷大量

无穷大量的定义：

如果在x的某种趋向下，函数f(x)的绝对值可以任意地大，则称函数f(x)是在x的这种趋向下的无穷大量，记作lim f(x)=∞

注意：无穷大量不是一个很大的数。

定理 在自变量的同一变化过程中，如果)(xf为无穷大，则)(1xf为无穷小

定理 如果)(xf为无穷小，且0)(xf，则)(1xf为无穷大。

例 11lim1xx

三、无穷小量的运算

定理 设()x和()x是无穷小量 于是：

（1）两个无穷小量的和差是无穷小量：lim()0lim()0xxlim(()())0xx

（2）对于任意常数C，数列()cx也是无穷小量：lim()0lim(())0xcx

（3）无穷小与有界函数的积为无穷小。

§3 函数极限的运算法则

lim()fxA,lim()gxB,则有

⑴ lim[()()]lim()lim()fxgxfxgxAB

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专业： 科目：《经济数学基础》

第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫

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第三节 无穷小量与无穷大量

教学目标：1.了解无穷小量和无穷大量的概念

2.理解无穷小量的性质

教学重点：无穷小量、无穷大量的概念

教学难点：无穷小量的性质

教学课时：2学时

教学方法：讲授法

教学过程：

1.3.1无穷小量

定义1.12：如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零 那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小

特别地 以零为极限的数列{xn}称为n时的无穷小

例如

因为01limxx 所以函数x1为当x时的无穷小

因为0)1(lim1xx 所以函数为x1当x1时的无穷小

因为011limnn 所以数列{11n}为当n时的无穷小

讨论 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？

提示 无穷小是这样的函数 在xx0(或x)的过程中 极限为零 很小很小的数只要它不是零 作为常数函数在自变量的任何变化过程中 其极限就是这个常数本身 不会为零

说明：

1.无穷小量对函数中对x x x

0xx 0xx 0xx都适用

2.无穷小量的定义对数列也适用 兰州外语职业学院教案专用纸

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3.无穷小量是以0为极限的变量，不能把很小的常数看做无穷小量。（0是唯一可以作为无穷小量的常数）

4.无穷小量是对某一个变化过程而言的

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第三节 无穷小量与无穷大量

教学目标：1.了解无穷小量和无穷大量的概念

2.理解无穷小量的性质

教学重点：无穷小量、无穷大量的概念

教学难点：无穷小量的性质

教学课时：2学时

教学方法：讲授法

教学过程：

1.3.1无穷小量

定义1.12：如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零 那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小

特别地 以零为极限的数列{xn}称为n时的无穷小

例如

因为01limxx 所以函数x1为当x时的无穷小

因为0)1(lim1xx 所以函数为x1当x1时的无穷小

因为011limnn 所以数列{11n}为当n时的无穷小

讨论 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？

提示 无穷小是这样的函数 在xx0(或x)的过程中 极限为零 很小很小的数只要它不是零 作为常数函数在自变量的任何变化过程中 其极限就是这个常数本身 不会为零

说明：

1.无穷小量对函数中对x x x

0xx 0xx 0xx都适用

2.无穷小量的定义对数列也适用 兰州外语职业学院教案专用纸

专业： 科目：《经济数学基础》

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3.无穷小量是以0为极限的变量，不能把很小的常数看做无穷小量。（0是唯一可以作为无穷小量的常数）

4.无穷小量是对某一个变化过程而言的