导数综合训练题库

导数的计算练习题及答案1. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)。

解答：根据函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2，使用导数的定义来计算导数f'(x)。

f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x代入函数f(x)的表达式：f'(x) = lim(delta x -> 0) [(3(x + delta x)^2 - 4(x + delta x) + 2) -(3x^2 - 4x + 2)] / delta x化简并展开：f'(x) = lim(delta x -> 0) [3(x^2 + 2x * delta x + (delta x)^2) - 4x - 4 * delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [3x^2 + 6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4x - 4* delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4 * delta x] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x + 3 * delta x - 4]由于求导数时delta x趋近于0，所以delta x也可以看作一个无穷小量，其平方项可以忽略不计，即delta x^2 = 0。

化简结果：f'(x) = 6x - 4所以函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)为6x - 4。

2. 计算函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)。

- 1 -导数综合训练一、选择题（每题小题5分）1.设y=－,则∈[0,1]上的最大值是（ ）A 0B －C D2.若质点P 的运动方程为S(t)=2t 2+t （S 的单位为米，t 的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（ ）A 2米/秒B 3米/秒C 4米/秒D 5米/秒 3.曲线ｙ＝－－2在点（－1，）处切线的倾斜角为（ ） Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 135º Ｄ 150º 4.函数y=－2+的单调递减区间是（ ）A (－∞,－)B (－,) C(－∞,－)∪(,+∞) D(,+∞) 5.过曲线ｙ＝＋１上一点（-１，０），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（ ）Ａ ｙ＝３ｘ＋３ Ｂ ｙ＝＋３ Ｃ ｙ＝-- Ｄ ｙ＝-３ｘ-３ 6.曲线ｙ＝在点（１，）处的切线与直线ｘ＋ｙ-３＝０的夹角为 Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 60º Ｄ 90º7.已知函数=+a +b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x+y=0平行.则a 、b 的值分别为（ ）.A －3, 2B －3, 0C 3, 2D 3, －48.已知=a +3+2,若=4,则a 的值等于（）A B C D9.函数= －12+16在 [－3,3]上的最大值、最小值分别是（） A 6，0 B 32, 0 C 2 5, 6 D 32, 1610.已知a>0，函数ｙ＝-a ｘ在[1，+∞上是单调增函数，则a 的最大值为（ ）A 0B 1C 2D 311.已知=2-6+m （m 为常数），在[-2，2]上有最大值3，则此函数在[-2，2]上的最小值为（ ）2x x x 412141313x 35-x 3x 3636363636363x 3x 3x 31313x 31)(x f 3x 2x )(x f 3x 2x )1(/-f 319310316313y 3x x 3x ))(x f 3x 2x- 2 -A -37B -29C -5D -11 二、填空题（每小题4分）12.过抛物线y=上一点A （1，0）的切线的倾斜角为45°则=__________.13.函数=－3的递减区间是__________答案：1.A2.D3.C4.B5.C6.D7.A8.B9.B10.D11.A12. 1 13.[－1,1] 提示：1.A f(1)=f(0)=0最大2. D ∵=4t+1∴当t=1时的瞬时速度为5米/秒3. 选Ｃ∵=－∴=－1即tan α=－1∴α=135º4. 选B ∵=－2+3<0,∴－<< 5. C ∵∴该点处的切线斜率为3，∴所求直线方程为y=－(x+1)即Ｃ答案6. 选Ｄ∵ =, │x=1=1,∴切线斜率为1,又直线斜率为－1∴两直线垂直∴夹角为90º7. A ∵=3+2ax ，切线的斜率k=3+2a ，3+2a= -3 ∴a=-3又∵f （1）=a+b+1=0 ∴b=2，故选A8. 选B ∵=3a +6∴=3a －6∴a=9. 选B ∵=3－12, 由=0得=±2当=±2，=±3时求得最大值32，最小值010. D ∵=3－a ，∴若为增函数，则>0即a<3要使a<3, ∈[1,+∞，上恒成立，∴a ≤3故选D11. A 令=0得=0或=2，而f(0)=m,f(2)=－8+m,f(－2)=－40+m 显然f(0)>f(2)>f(－2)∴m=3 最小值为f(－2)=－37故选A12.由题意可知切线斜率为1，由导数定义知=1 13. ∵=3－3∴令3－3≤0解得－1≤≤1)(x f )1(/f )(x f 3x x S ')(/x f 2x )1(/-f y '2x 36x 3623x y ='31y '2x y ')(/x f 2x )(/x f 2x x )1(/-f 310y '2x y 'x x x )(/x f 2x )(x f )(/x f 2x 2x x ))(/x f x x )1(/f )(/x f 2x 2x x。

导数专项训练100题 姓名：一、选择题：1.函数221y x =+在闭区间[1,1]x+∆内的平均变化率为（ ） A.12x +∆ B.2x +∆ C.32x +∆ D.42x +∆2. 若函数2y x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（ ）A.1B.1-C.2D.2-3. 函数31y x x=-的导数'y =（ ）A.2213x x -B.1332x -C.2213x x +D.221x x + 4. 已知函数()ln f x x =，则'()ef e 的值等于（ ）A.1B.eC.1eD.2e 5. 已知函数2()22f x x x =-+在区间[1,1],[1,1](01)x x x -∆+∆<∆<的平均变化率分别为12,k k ，则下列关系成立的是（ ） A.120k k +=B.120k k +<C.120k k +<D.120k k ->6.()f x 在(,)a b 内可导，则'()0f x <是()f x 在(,)a b 内单调递减的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.函数214yx x=+的单调增区间为（ ） A.(0,)+∞ B.1(,)2+∞C.(,1)-∞-D.1(,)2-∞-8.在下列结论中，正确的结论共有（ ）(1) 单调增函数的导数也是单调增函数； （3）单调减函数的导数也是单调减函数； (2) 单调函数的导数也是单调函数； （4）导函数是单调的，则原函数也是单调的。

A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 9. 若在区间(,)a b 内有'()0f x >，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（ ）A.()0f x >B.()0f x <C.()0f x =D.不能确定10. 三次函数3()1yf x ax ==-在(,)-∞+∞内是减函数，则（ ）A.1a =B.2a =C.13a = D.0a <11.已知函数(),()f x g x 都是(,)a b 上的可导函数，在[,]a b 上连续且'()'(),()()f x g x f a g a >=，则当(,)x a b ∈时有（ ）A.()()f x g x >B.()()f x g x <C.()()f x g x =D.大小关系不能确定12.3()3f x x x =-为递增函数的区间是（ ） A.(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)-D.(,1)(1,)-∞-+∞13.设32()(0)f x ax bx cx d a =+++>，则()f x 为增函数的充要条件是（ ）A.240b ac ->B.0,0b c >>C.0,0b c =>D.230b ac -<14.下列说法正确的是（ ） A. 当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极大值 B. 当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极小值 C. 当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极值 D. 当0()f x 为()f x 的极值时，0'()0f x =.15.已知函数()1sin ,(0,2)f x x xx π=+-∈，则函数()f x （ ） A. 在(0,2)π上是增函数, B. 在(0,2)π上是减函数C. 在(0,2)π上是增函数，在(,2)ππ上是减函数D. 在(0,2)π上是减函数，在(,2)ππ上是增函数 16.若函数()f x 可导，则“'()0f x =有实根”是“()f x 有极值”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件17.已知函数()y f x =是定义在区间[,]a b 上的连续函数，在开区间(,)a b 内可导，且'()0f x >，则在(,)a b 上下列各结论中正确的是（ ） A.()f a 是极小值，()f b 是极大值 B. ()f a 是极大值，()f b 是极小值 C. ()f x 有极值，但不是(),()f a f b D. ()f x 没有极值18.函数3()33f x x bx b=-+在(0,1)内有极小值，则（ ）A.0b <B.1b <C.0b >D.12b <19.三次函数当1x=时有极大值4，当3x =时有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ） A.3269y x x x =++ B.3269y x x x =-+ C.3269y x x x =-- D.3269y x x x =+-20.函数3()3(||1)f x x x x =-<，那么（ ）A. 有最大值，无最小值B. 有最大值，也有最小值C. 无最大值，也无最小值D. 既有最大值，又有最小值 21.若(3)2,'(3)2f f ==-，则323()lim3x x f x x →--的值为（ ）A.4-B.8C.0D.322.若函数()f x 为可导函数，且满足0(1)(1)lim12x f f x x→--=，则过曲线()f x y =上的点(1,(1))f 处的切线的斜率为（ ）A.2B.1-C.1D.2-23.若曲线4()2f x x x =-+在点P 处的切线与直线310x y +-=垂直，则点P 的坐标为（ ） A.(1,0) B.(1,2) C.(1,4)- D.(1,0)- 24.已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（ ）A.2()(1)3(1)f x x x =-+-B.()2(1)f x x =-C.2()2(1)f x x =-D.()1f x x =- 25.曲线cos y x =和tan y x =交点处两曲线的切线的交角为（ ）A.3π B.4π C.4π D.2π26.如果过曲线313yx =上点P 的切线l 的方程为12316x y -=，那么点P 的坐标为（ ） A.8(2,)3 B.4(1,)3- C.28(1,)3-- D.20(3,)327.如果一直线过原点且与曲线11y x =+相切与点P ，那么切点P 的坐标为（ ）A.1(,2)2-B.12(,)23-C.(2,1)--D.1(2,)328.若在曲线sin (0)y x x π=<<上取一点M ，使过M点的切线与直线y x =平行，则点M 的坐标为（ ）A.(3πB.(,3π±C.1(,)62πD.(6π 29.若函数()f x 既是周期函数又是偶函数，则其导函数'()f x 为（ ）A. 既是周期函数，又是偶函数B. 既是周期函数，又是奇函数C. 不是周期函数，但是偶函数D. 不是周期函数，但是奇函数30.已知抛物线2y ax bx c =++过点(1,1)，且在点(2,1)-处的切线方程为3y x =-，则a 、b 、c 的值分别是（ ） A.3,11,9- B.11,3,9- C.9,11,3- D.9,3,11-31.如果一个球的半径r 以0.2/cm s 的速度增加，那么当球的半径20r cm =时，它的体积增加的速度为（ ）3/cm s A.310π B.320π C.330π D.360π32.若函数()f x 在0x 处可导，则000()()lim h f x f x h h→--为（ ）A.(0)fB.'(0)fC.0'()f xD.0'()f x -33.若函数()f x 在0x 处可导，那么000()()lim x x f x f x x x →--为（ ）A.可能不存在B.0'()f x -C.0'()f xD.0()f x34.若函数()f x 在x a =处可导，且'()f a m =，则(2)(2)limx a f x a f a x x a →----为（ ） A.m B.2mC.3mD.m -35. 若f (x )=sin α－cos x ,则f ‘(α)等于（ ） A 、sin αB 、cos αC 、sin α+cos αD 、2sin α36.f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ‘(－1)=4,则a 的值等于（ ）A 、319 B 、316 C 、313 D 、310 37．f (x )与g(x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x ),g(x )满足f ′(x )=g ′(x ),则f (x )与g (x )满足（ ）A 、f (x )=g (x )B 、f (x )－g (x )为常数函数C 、f (x )=g (x )=0D 、f (x )+g (x )为常数函数38. 曲线()nyx n N =∈在点P 2n）处切线斜率为20，那么n 为 （ ）A ． 7B ．6C ．5D ．439.函数()f x = （ ）A ．0)x > B ．0)x > C 0)x > D ．0)x >40.函数f(x)=(x+1)(x 2-x+1)的导数是 （ ）A ． x 2-x+1B ．(x+1) (2x-1)C ．3x 2D ．3x 2+141.函数yx =的导数为 （ ）A ．'y x x = B ．'y x =C.'y x = D ．'y x = 42.函数y= （ ）A ．'2cos sin x x x y x += B.'2cos sin x x x y x -=． C.'2sin cos x x x y x -= D ．'2sin cos x x x y x +=43.函数21(31)y x =-的导数是 （ ） A ．'36(31)y x =- B ．'26(31)y x =- C.'36(31)y x =-- D ．'26(31)y x =--44.函数3sin (3)4y x π=+的导数 （ ）A.23sin (3)cos(3)44x x ππ++B.29sin (3)cos(3)44x x ππ++C.29sin (3)4x π+D.29sin (3)cos(3)44x x ππ-++ 45.下列导数数运算正确的是 （ ）A ．'211()1x x x +=+ B ．'21(log )ln 2x x = C.'3(3)3log x xe = D ．2'(cos )2sin x x x x =-46.函数2ln(32)y x x =--的导数 （ ）A ．23x + B ．2132x x -- C ．22223x x x ++- D ．22223x x x -+-47.函数22(0,1)x xy aa a -=>≠，那么'y 为 （ ）A ． 22ln xxa a - B ．222ln xxa a - C.222(1)ln xxx a a -- D ．22(1)ln xxx a a --48.若000(2)()13limx f x x f x x∆→+∆-=∆，则'0()f x = （ ）A ．23B ．32C ．3D ．249. 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈（a，b）则hhxfhxfn)()(lim--+→的值为（）A、f’(x0)B、2 f’(x0)C、-2 f’(x0)D、050.f(x)=ax3+3x2+2，若f’(-1)=4，则a的值为（）A．19/3 B.16/3 C.13/3 D.10/351.设y=8x2-lnx，则此函数在区间(0,1/4)和(1/2,1)内分别为（）A．单调递增，单调递减 B、单调递增，单调递增 C、单调递减，单调递增 D、单调递减，单调递减52.设y=tanx，则y’=( )A.sec2xB.secx·tanxC.1/(1+x2)D.-1/(1+x2)53.曲线y=x3+x-2 在点P0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P0点的坐标是（）54．(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4)54.给出下列命题：（1）若函数f(x)=|x|，则f’(0)=0；（2）若函数f(x)=2x2+1，图像上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则xy∆∆=4+2Δx；（3）加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数；（4）y=2cosx+lgx，则y’=-2cosx·sinx+x1.其中正确的命题有（）A. 0个B.1个C.2个 D。

综合算式专项练习题导数计算1. 题目：计算函数f(x) = 3x^4 + 2x^3 - 5x^2 + x - 1的导数。

解析：根据导数的定义，函数f(x)的导数可以通过求各项的幂次以及系数的导数来得到。

首先，对于多项式函数来说，幂次降低1，并且求导时将幂次与系数相乘，所以我们可以将每一项按照这个规则求导。

f'(x) = d/dx (3x^4) + d/dx (2x^3) + d/dx (-5x^2) + d/dx (x) + d/dx (-1)计算每一项的导数：d/dx (3x^4) = 4 * 3x^(4-1) = 12x^3d/dx (2x^3) = 3 * 2x^(3-1) = 6x^2d/dx (-5x^2) = 2 * -5x^(2-1) = -10xd/dx (x) = 1d/dx (-1) = 0将导数合并起来：f'(x) = 12x^3 + 6x^2 - 10x + 1因此，函数f(x) = 3x^4 + 2x^3 - 5x^2 + x - 1的导数为f'(x) = 12x^3 + 6x^2 - 10x + 1。

2. 题目：计算函数g(x) = (2x^2 - 3x + 1) / (x^2 - 4)的导数。

解析：对于这个函数来说，我们可以使用求商法来计算导数，即对于分子和分母分别求导，然后利用导数的性质进行计算。

首先，我们计算分子和分母的导数：分子：d/dx (2x^2 - 3x + 1) = 2 * 2x^(2-1) - 3 * 1x^(1-1) + 0 = 4x - 3分母：d/dx (x^2 - 4) = 2x^2 - 0 = 2x利用导数的性质，我们进行计算：g'(x) = (分子的导数 * 分母 - 分子 * 分母的导数) / (分母)^2= (4x - 3) * (x^2 - 4) - (2x) * (2x^2 - 3x + 1) / (x^2 - 4)^2= (4x^3 - 8x - 3x^2 + 12x - 3x + 12 - 4x^3 + 6x^2 - 2x) / (x^2 - 4)^2 = (x^3 + 3x^2 - x + 12) / (x^2 - 4)^2因此，函数g(x) = (2x^2 - 3x + 1) / (x^2 - 4)的导数为g'(x) = (x^3 + 3x^2 - x + 12) / (x^2 - 4)^2。

导数练习题及答案导数练习题及答案导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

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一、选择题1．函数在某一点的导数是( )A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故应选C.2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )A．6 B．18C．54 D．81[答案] B[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－332＝18Δt＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt.当Δt→0时，ΔsΔt→18，故应选B.3．y＝x2在x＝1处的导数为( )A．2x B．2C．2＋Δx D．1[答案] B[解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2∴ΔyΔx＝2＋Δx当Δx→0时，ΔyΔx→2∴f′(1)＝2，故应选B.4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的`瞬时速度为( ) A．37 B．38C．39 D．40[答案] D[解析] ∵ΔsΔt＝4(5＋Δt)2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt，∴s′(5)＝limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (40＋4Δt)＝40.故应选D.5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( )A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量B.ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率C．f(x)在x0处的导数记为y′D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)[答案] C[解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C.6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即( )A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)B．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)ΔxD．f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx[答案] D[解析] 由导数的定义知D正确．故应选D.7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于( )A．4a B．2a＋bC．b D．4a＋b[答案] D[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－cΔx＝4a＋b＋aΔx，∴y′|x＝2＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (4a＋b＋aΔx)＝4a＋b.故应选D.8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A．圆 B．抛物线C．椭圆 D．直线[答案] D[解析] 当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为( )A．0 B．3C．－2 D．3－2t[答案] B[解析] ∵ΔsΔt＝3(0＋Δt)－(0＋Δt)2Δt＝3－Δt，∴s′(0)＝limΔt→0 ΔsΔt＝3.故应选B.10．设f(x)＝1x，则limx→a f(x)－f(a)x－a等于( )A．－1a B.2aC．－1a2 D.1a2[答案] C[解析] limx→a f(x)－f(a)x－a＝limx→a 1x－1ax－a＝limx→a a－x(x－a)xa＝－limx→a 1ax＝－1a2.二、填空题11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝________；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________.[答案] －11，－112[解析] limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝－f′(x0)＝－11；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝－12limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝－12f′(x0)＝－112.12．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy＝1＋Δx＋11＋Δx－1＋11＝Δx－1＋1Δx＋1＝(Δx)2Δx＋1，∴ΔyΔx＝ΔxΔx＋1.∴y′|x＝1＝limΔx→0 ΔxΔx＋1＝0.13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．[答案] 2[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)＋4－2a－4Δx＝a，∴f′(1)＝limΔx→0 ΔyΔx＝a.∴a＝2.14．已知f′(x0)＝limx→x0 f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则limx→3 2x－3f(x)x－3的值是________．[答案] 8[解析] limx→3 2x－3f(x)x－3＝limx→3 2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3)x－3＝limx→3 2x－3f(3)x－3＋limx→3 3(f(3)－f(x))x－3.由于f(3)＝2，上式可化为limx→3 2(x－3)x－3－3limx→3 f(x)－f(3)x－3＝2－3×(－2)＝8.三、解答题15．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．[解析] 由导数定义有f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0 (x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→0 Δx(2x0＋Δx)Δx＝2x0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析] 位移公式为s＝12at2∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at20＝at0Δt＋12a(Δt)2∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 at0＋12aΔt＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求(1)ΔyΔx (2)f′(1)．[解析] (1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2＋3－12－3Δx＝2＋Δx.(2)f′(1)＝limΔx→0 f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0 (2＋Δx)＝2.18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．[解析] f(x)＝x＋x2 (x≥0)－x－x2 (x<0)Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)＝Δx＋(Δx)2 (Δx>0)－Δx－(Δx)2 (Δx<0)∴limx→0＋ΔyΔx＝limΔx→0＋ (1＋Δx)＝1，limΔx→0－ΔyΔx＝limΔx→0－ (－1－Δx)＝－1，∵limΔx→0－ΔyΔx≠limΔx→0＋ΔyΔx，∴Δx→0时，ΔyΔx无极限．∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x→0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)。

导数专项训练例题讲解【1】导数的几何意义及切线方程1. 已知函数f(x) a在x 1处的导数为2,则实数a的值是x2. 曲线y=3x-x3上过点A( 2,-2)的切线方程为________________________.1 23•曲线y 1和y x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是_.x4. 若直线y= kx-3与曲线y=2lnx相切，则实数k= ________ .5. 已知直线y x 2与曲线y In x a相切，则a的值为__________________ .6. 等比数列｛a n｝中，3 1^2012 9,函数f (x) x(x a0(x a2)L (x a2012)2,则曲线y f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为____________________ .7. _______________________________________________________________________ 若点P 是曲线y=x2-Inx上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为_____________________ .8. 若点P、Q分别在函数y=e x和函数y=lnx的图象上，则P、Q两点间的距离的最小值是______ .9. 已知存在实数a,满足对任意的实数b,直线y x b都不是曲线y x33ax的切线，则实数a的取值范围是___________ .10. 若关于x的方程e x 3x kx有四个实数根，则实数k的取值范围是___________________ .11. 函数f(x)=ax2+1(a>0), g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线，则c的值是_____________ .【2】常见函数的导数及复合函数的导数x x1. ______________________________ f(x)=2 e2e2,则f'2) = .ln x2. 设曲线y = ——1在点(1,0)处的切线与直线x- ay+ 1 = 0垂直，则a = ___________ .x I3 3 33 .函数f(x) (x 1)(x 2)L (x 100)在x 1处的导数值为____________ .4.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是5. 若函数f (x) x n 1 n N*的图像与直线x 1交于点P，且在点P处的切线与x轴交点的横坐标为X n，则log2013 N log2013 X2 log2°13 X3 L log2013 X2012 的值为--------6. 设f1(x)=cos x,定义f n 1(x)为f n(x)的导数，即f n 1(x) f'n(x), n N*,若ABC 的内角A 满足f/A) f2( A) L f2013( A) 0,则sin A 的值是 _______ .【3】导数与函数的单调性1 21•函数y lx2 In X的单调递减区间为_____________ .f x f(X1 )2.已知函数f (x) In x(a R)，若任意为、x［2,3］且X2 X i , t = 2—,则实数tX2 X i的取值范围_____________ .3.已知函数f(x)=x3-6x2+9x+a在x R上有三个零点，则实数a的取值范是_________ .4.设f'(x)和g'(x)分别是f(x )和g(x)的导函数，若f'(x)g'(x) 0在区间I上恒成立，则称f(x)1 和g(x)在区间I上单调性相反若函数f(x)= -X32ax 与g(x)=x2+2bx在开区间(a, b)上单调性3相反(a>0)，贝U b-a的最大值为 _________ .【4】导数与函数的极值、最值3 2 21. 已知函数f (x) x 3mx nx m在x 1时有极值0,则m n __________ .2. 已知函数f (x) 2f (1)ln x x ,贝U f (x)的极大值为________________ .3. 已知函数f(x)=x4+ax3+2^+b,其中a, b R .若函数f(x)仅在x=0处有极值,则a的取值范围是_______________ .4. 设曲线y (ax 1)e x在点Axoy 处的切线为h ,曲线y 1 x e x在点B(X o』2)处的切3线为12.若存在x o 0,-，使得l1 I2,则实数a的取值范围为__________________ .5. 已知函数f(x)=e X-1, g(x)= -x2+4x-3若有f(a)=g(b),则b的取值范围为________ .13 2 26. f '(x)是函数f(x) ~x mx (m 1)x n的导函数，若函数y f［ f '(x)］在区间［m ,3m+1］上单调递减，则实数m的取值范围是___________ .【解答题】1. 某企业拟建造如上图所示的容器(不计厚度，长度单位：米),其中容器的中间为圆柱形，左80右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为乩立方米，且I 2r.假设该容器的建造3费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c c 3 .设该容器的建造费用为y千元.(1) 写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2) 求该容器的建造费用最小时的r22. 已知函数 f (x )= ax — ( a + 2) x + Inx.(1 )当a = 1时，求曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x)在区间［1 , e )上的最小值为一2,求a 的取值范围.3. 已知函数 f(x) (x a)Inx ,( a 0).(1)当a 0时，若直线y 2x m 与函数y f (x)的图象相切，求m 的值；⑵若f (x)在1,2上是单调减函数，求a 的最小值； ⑶ 当x 1,2e 时，f (x)e 恒成立，求实数a 的取值范围.(e 为自然对数的底).2a4. 已知函数f (x) In x ——，a R .x(1) 若函数f (x)在［2，)上是增函数，求实数 a 的取值范围；(2) 若函数f(x)在［1，e ］上的最小值为3，求实数a 的值.5. 设函数 f (x) e x 1 x ax 2 (1 )若a 0,求f (x)的单调区间; (2)若当x 0时f (x)0，求a 的取值范围导数专项练习答案【1】导数的几何意义及切线方程1. 2;2. y=-2 或 9x+y-16=06.y^2012小3 x 2 ;7.2 ；11.4【2】常见函数的导数及复合函数的导数 1 11. e - ;2.3. 3e 2【3】 导数与函数的单调性1 11. (0, 1)；2.帀 ；3. (-4, 0);3 3.44. 2 , e ； 58. 2；9. 1a 31099!4. 2x-y-1=0 ；5. -1 ;14 —2【4】导数与函数的极值、最值 3 ； 0,3 e6. 1;1.11 ；2. 2ln2-2 ;3.4.5. 1,36. m [5]解答题1.答案解:(1)由题意可知r1280~32r803r"2.容器的建造费用为rl 4 r2803r2r2c,2r c, 定义域为x0①当16 0,得r20c 2有最小值;9时, c202 2,当00,函数单调递减，•••当3J ----------②当c 9时,「c202 2,当0时，y 0;当r20时, c2 0,•••当r 20时y有最小值.c 29综上所述,当3 c 时,建造费用最小时2 r 2;当c时,建造费用最小时220c 22. 答案Wi题t?师①= 1^. f x i= - Sx+lnx/'1 x i = - 5 + -:.f 1- -0, fill = -z■T f n/r •■.听以也孙程是尸⑵函数f x 2axa 0时，f 2ax ln x的定义域是21 2axx0,+ ,令 f x 0,2ax2 a 2 1 2x 1 ax 10,当X丄幻"目卩皿三1时「厂门低［1・d上单调己孑a所以F⑴在［山“_!_的#d'1M^/(5=-2j ............................... 吒分1 1沽―一“时，兀T)在［九一」二的畫加值是/( -)<J (1)-4*下合杀意！10^a a时，了检)衽E小丁二嗨產族・a所应了⑴在一存贞］上的最小借杲f⑷疋/⑴=-氛不咅邈直........ ... 11分放口的取值为厲杪冷 --------------------------- ----- --- -- 12分希為导較的几何談厶刊臣#财函忌壶值，3•解答解：〔L )当斗口时j f C x ) =K1IIX ■・・・f C x 3 =lrut+l・・■直线尸％+IT>与函数尸£ J J的图象栢切"■■■lnx+l=2> -\x=e '-'t C宅)-*i j・"■切.点为〔宅"电)丿・'-n>-—e iC 2) f? O)二lz+1—旦Vf Cx)在口上囚上是单调减函敷・「・严(s)=lnK+l--^0在［1 , 2］上恒成盒K-"-5clm<+x在［1 r21 上恒成立夺耳〔我〉=slns+K r贝U# ( X ) =llWc+2 y- 0■花5)二显坤坛在［1 >迂］上单调递増.■- i> C 2 J =ZlnZ+2/-曲最小值为ZLLnS+Z ；t □ > | f C x ) | 丘■等价于-« C x™* J I EUE W e-"・_，一^M~a< eI JTK lnx/-R~- E—底直氐H+-C-lm(lnx设h〔乂)=x+—-— > t ( x i ―-—J则t【筈)nri日艾€ 3■羔h〔工)min』True lrix商h， Cx) JgJ—e j・.・k t ^) =□2Hili. 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