人教A版高中数学选修2-2《导数综合练习题》

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（每题小题5分）1.设y=2x －x ,则x ∈[0,1]上的最大值是（ ） A 0 B －41 C 21 D 41 2.若质点P 的运动方程为S(t)=2t 2+t （S 的单位为米，t 的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（ ）A 2米/秒B 3米/秒C 4米/秒D 5米/秒 3.曲线ｙ＝－313x －2在点（－1，35-）处切线的倾斜角为（ ）Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 135º Ｄ 150º 4.函数y=－2x + 3x 的单调递减区间是（ ）A (－∞,－36) B (－36,36) C(－∞,－36)∪(36,+∞) D (36,+∞) 5.过曲线ｙ＝3x ＋１上一点（-１，０），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（ ） Ａ ｙ＝３ｘ＋３ Ｂ ｙ＝3x ＋３ Ｃ ｙ＝-3x -31Ｄ ｙ＝-３ｘ-３ 6.曲线ｙ＝313x 在点（１，31）处的切线与直线ｘ＋ｙ-３＝０的夹角为 Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 60º Ｄ 90º7.已知函数)(x f =3x +a 2x +b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x+y=0平行.则a 、b 的值分别为（ ）.A －3, 2B －3, 0C 3, 2D 3, －4 8.已知)(x f =a 3x +32x +2,若)1(/-f =4,则a 的值等于（ ） A319 B 310 C 316 D 313 9.函数y = 3x －12x +16在 [－3,3]上的最大值、最小值分别是（ ） A 6，0 B 32, 0 C 2 5, 6 D 32, 1610.已知a>0，函数ｙ＝3x -a ｘ在[1，+∞)上是单调增函数，则a 的最大值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 311.已知)(x f =23x -62x +m （m 为常数），在[-2，2]上有最大值3，则此函数在[-2，2]上的最小值为（ ）A -37B -29C -5D -1112.已知)(x f =x +3x , 且x 1+x 2<0, x 2+x 3<0, x 3+x 1<0则（ ）A f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0B f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<0C f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0D f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)符号不能确定. 二、填空题（每小题4分）13.过抛物线y=)(x f 上一点A （1，0）的切线的倾斜角为45°则)1(/f =__________. 14.函数)(x f =3x －3x 的递减区间是__________15.过点P(－1,2)且与曲线ｙ＝32x －4x +2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是__________.16.函数)(x f =x (1－2x )在[0,1]上的最大值为__________. 三、解答题17.已知函数)(x f =a 4x +b 2x +c 的图像经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y=x －2. 求)(x f 的解析式；12分18.证明：过抛物线y=a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0, x 1< x 2)上两点A(x 1,0),B(x 2,0)的切线与x 轴所成的锐角相等。

东至三中2007-2008学年度高二数学单元试题（1）（选修2-2）导数及其应用测试题答案一、选择题：1-5：AABBD 6-10：DDCDC 11-12：CB二、填空题13.递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（13-，1）（注：递增区间不能写成：（-∞，13）∪（1，+∞））14. 6 15.),2()1,(+∞⋃--∞ 16. 16 三、解答题17. 解；（1）∵曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 处的切线方程为31y x =+，∴(1)3,(1)4f f '==。

而2()32f x x ax b '=++且函数()y f x =在2x =-时取极值，有(2)1240(1)323(1)14f a b f a b f a b c '-=-+=⎧⎪'=++=⎨⎪=+++=⎩，得2,4,5a b c ==-= （2）由题意知2()3f x x bx b '=-+，又函数()y f x =在区间[-2，1]上单调递增，所以()0f x '>在（-2，1）上恒成立。

即：163[(1)]1b x x >++--在（-2，1）上恒成立。

而1163[(1)]62(1)011x x x x++-≤-⨯⋅-=--，因此0b ≥18. 解：由函数的定义域可知， 210x -> 即11x -<<又222211()ln [ln(1)ln(1)]12x f x x x x +==+---，2222122()()21111x x x x f x x x x x -'=-=++-+- 令()0f x '>，得1x <-或01x <<综上所述，()f x 的单调递增区间为（0，1） 19．32500120075y x x =-+-（x N ∈）当x =产量为25件时，总利润最大。

导数练习题1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与mx x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值．7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．（本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立． 9．（本小题满分12分）已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意10．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=L ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．11．（本小题满分12分）设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 12．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．导数练习题答案1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与mx x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分） （I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f 得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=03023233c d b a c b a d …………（4分）（II ）依题意3)2('-=f 且5)2(=f⎩⎨⎧=+--+-=--+534648323412b a b a b a b a解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分） （III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点； ()()()42381432--=+-='x x x x x g ，()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,273． …………（10分） 当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点， 故而，276816<<-m 为所求． …………（12分）2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．解：（I ）)0()1()('>-=x xx a x f（2分）当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞<x f a 当a=1时，)(x f 不是单调函数 （5分）（II ）32ln 2)(,22343)4('-+-=-==-=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x mx x g （6分）2)0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间Θ⎩⎨⎧><∴.0)3(',0)1('g g （8分）⎪⎩⎪⎨⎧>-<∴,319,3m m （10分）)3,319(--∈m （12分）3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．解：（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f),323)(1()32(23)(2++-=+-+='∴a x x a ax x x f由33210)(+-==⇒='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值，所以31332-<⇒>+-a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ；…………（4分） （依题意得：9)32(272-=+a ，解得：9-=a所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-=…………（10分）（III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα在区间[-2，2]有： 230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f ,7)1()(=f x f 的最大值是7430368)2()(-=---=-f x f 的最小值是 函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81， 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．…………（14分） 4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分） ∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >． …………（4分）（II ）a x a x a x x g )22)(22(22)(-+=-='，由0)(='x g ，得22ax =，列表当2x )222(a，无极大值． …………（6分）由（I ）a e a >，∵⎪⎩⎪⎨⎧>>22a a e e aa ，∴22a e a>，∴22ae a >01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分）（i ）当122≤a，即20≤<a 时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点 （ii ）当122>a ，即2>a 时若0)2ln 1(2>-a a ，即e a 22<<时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点若0)2ln 1(2=-a a ，即e a 2=时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =；若0)2ln 1(2<-a a ，即e a 2>时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点；综上所述，)(x g y =在(1,)a e 上，我们有结论：当02a e <<时，函数()f x 无零点； 当2a e = 时，函数()f x 有一个零点； 当2a e >时，函数()f x 有两个零点．…………（12分） 5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 解：（I ）当1k =时，2()1x f x x -'=-)(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ………………（2分）∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<， ∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)+∞在上是减函数∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f = ………………（4分）（II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点， ∴函数()f x 有零点，不合要求； ………………（8分） ②当0k >时，1()11()111kk x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分）令1()0,k f x x k +'==得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1(1,),()0x f x k'∈++∞<时，∴1()(1,1)f x k+在内是增函数，1[1,)k++∞在上是减函数，∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k+=-，∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >，因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞．………………（10分） 6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值．解：（I ）由2()(23)x f x x ax a e =+--可得22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……（4分）∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '=∴2(5)0a e +=，解得5a =- ……………（6分） （II ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f ，得)(x f 在)1,(-∞递增，在),2(+∞递增，由0)(<'x f ，得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f =是()f x 在]3,23[∈x 的最小值； ……………（8分）2347)23(e f =，3)3(e f = ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=-∴()f x 在]3,23[∈x 的最大值是3)3(e f =． ……………（12分）7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 解：（Ⅰ）x x x x f ln 164)(2--=，xx x x x x f )4)(2(21642)('-+=--= 2分由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ，解得4>x 或2-<x 注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递增区间是（4，+∞） 由0)('<x f 得0)4)(2(<-+x x ，解得-2＜x ＜4，注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(. 综上所述，函数)(x f 的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0( 6分 （Ⅱ）在],[2e e x ∈时，x a x x x f ln )2(4)(2-+-= 所以xax x x a x x f -+-=-+-=242242)('2，设a x x x g -+-=242)(2当0<a 时，有△=16+4×208)2(<=-a a ，此时0)(>x g ，所以0)('>x f ，)(x f 在],[2e e 上单调递增， 所以a e e e f x f -+-==24)()(2min 8分当0>a 时，△=08)2(2416>=-⨯-a a ， 令0)('>x f ，即02422>-+-a x x ，解得221a x +>或221a x -<； 令0)('<x f ，即02422<-+-a x x ， 解得221a -221ax +<<. ①若221a+≥2e ，即a ≥22)1(2-e 时， )(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==.②若2221e ae <+<，即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间， )(x f 在区间]221,[a e +上单调递减，在区间],221[2e a +上单调递增， 所以min )(xf )221(a f +=)221ln()2(322a a a a +-+--=. ③若221a+≤e ，即a <0≤22)1(-e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2min综上所述，当a ≥222)1(-e 时，a e a x f 244)(24min -+-=；当222)1(2)1(2-<<-e a e 时，)221ln()2(322)(min aa a a x f +-+--=； 当a ≤2)1(2-e 时，a e e x f -+-=24)(2min14分 8．（本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立． 解：（I ）226()26a xx af x x xx-+'=-+=， ………………（2分）∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性，∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0， 即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………（4分） ∵226y x x a =-+是对称轴是32x =，开口向上的抛物线，∴222620y a =⋅-⋅+<的实数a 的取值范围(,4)-∞ ………………（6分）（II ）由（I ）22()2a g x x x x =+-，方法1：2222()()62(0)a g x f x x x x x x '=-+=+->， ∵4a <，∴323233444244()22a x x g x x x x x x-+'=-+>-+=，…………（8分） 设2344()2h x x x =-+，3448124(23)()x h x x x x-'=-= ()h x 在3(0,)2是减函数，在3(,)2+∞增函数，当32x =时，()h x 取最小值3827∴从而()g x '3827>，∴38(())027g x x '->，函数38()27y g x x =-是增函数，12x x 、是两个不相等正数，不妨设12x x <，则22113838()()2727g x x g x x ->-∴212138()()()27g x g x x x ->-，∵210x x ->，∴1212()()3827g x g x x x ->- ∴1212()()g x g x x x --3827>，即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分）方法2：11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点，121222121212()()2()2g x g x x x ax x x x x x -+=+--，12x x +>Q 4a <12221212122()22x x a a x x x x x x +∴+->+-1242x x >- ………（8分）设0t t =>，令32()244MN k u t t t ==+-，()4(32)u t t t '=-， 由()0u t '>，得2,3t >由()0u t '<得20,3t <<()u t ∴在)32,0(上是减函数，在),32(+∞上是增函数，)(t u ∴在32=t 处取极小值2738，38()27u t ∴≥，∴所以1212()()g x g x x x --3827>即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分）9．（本小题满分12分）已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意（1）)(x f 的定义域为),0(+∞，xa x x x a ax x x a a x x f )1)(1(11)('2-+-=-+-=-+-= 2分（i ）若2,11==-a a 即，则 .)1()('2xx x f -=故)(x f 在),0(+∞单调增加． （ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(+∞单调增加．（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即 单调增加．（II ）考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212x x a ax x +-+-= 由 .)11(1)1(121)1()('2---=---⋅≥-+--=a a xa x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞><x g x g a a ，从而当021>>x x 时有 ,0)()(,0)()(212121>-+->-x x x f x f x g x g 即 故1)()(2121->--x x x f x f ，当210x x <<时，有1)()()()(12122121->--=--x x x f x f x x x f x f10．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=L ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．解：（I ）(),()1a f x x g x a x''=+=+， ……………（2分）∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当[1,3]x ∈时，2(1)()()()0a x a f x g x x++''⋅=≥恒成立， ……………（4分） 即2(1)()0a x a ++≥恒成立， ∴21a a x >-⎧⎨≥-⎩在[1,3]x ∈时恒成立，或21a a x<-⎧⎨≤-⎩在[1,3]x ∈时恒成立， ∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- ………………（6分）（II ）21()ln ,(1)2F x x a x a x =+-+，()(1)()(1)a x a x F x x a xx--'=+-+=∵()F x 定义域是(0,)+∞，(1,]a e ∈，即1a >∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a +∞是增函数 ∴当1x =时，()F x 取极大值1(1)2M F a ==--，当x a =时，()F x 取极小值21()ln 2m F a a a a a ==--， ………………（8分）∵12,[1,]x x a ∈，∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=- ………………（10分）设211()ln 22G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--，∴1[()]1G a a''=-，∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''>∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>=∴211()ln 22G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数 ………………（12分）∴()()G a G e ≤，即2211(1)()1222e G a e e -≤--=-， 而22211(1)(31)1112222e e e ----=-<-=，∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． ………………（14分） 11．（本小题满分12分）设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 解：（I ）11()0ex f x e xx -'=-==，得1x e= 当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表：∴当1x e=时，()f x 取得极大值()2f e=-，没有极小值； …………（4分）（II ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201ln 0x x xx x --= 即20211ln ()0x x x x x --=，设2211()ln ()xg x x x x x =--211211()ln ()x g x x x x x =--，1/211()ln 10x x g x x =->，1()g x 是1x 的增函数，∵12x x <，∴2122222()()ln()0x g x g x x x x x <=--=； 222211()ln ()x g x x x x x =--，2/221()ln 10x x g x x =->，2()g x 是2x 的增函数， ∵12x x <，∴1211111()()ln ()0xg x g x x x x x >=--=，∴函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ， …………（10分）又∵22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 是增函数， ∴函数2121()ln x x xg x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立…………（12分）（方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-， 即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-， 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x >∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………（10分）∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数 ∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（12分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分． 12．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >． 解：（I ）22log (24)0x x -+>，即2241x x -+> ……………………（2分）得函数()f x 的定义域是(1,3)-， ……………………（4分） （II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为－8的切线， 又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ++='>+++∴存在实数b 使得⎪⎩⎪⎨⎧>+++-<<--=++1114823020300020bx ax x x b ax x 有解， ……………………（6分）由①得,238020ax x b ---=代入③得082020<---ax x ，200028041x ax x ⎧++>⎪∴⎨-<<-⎪⎩由有解， ……………………（8分） 方法1：0082()()a x x <-+-，因为041x -<<-，所以0082()[8,10)()x x -+∈-， 当10a <时，存在实数b ，使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线………………（10分）方法2：得08)1()1(208)4()4(222>+-⨯+-⨯>+-⨯+-⨯a a 或，1010,10.a a a ∴<<∴<或 ………………（10分） 方法3：是222(4)(4)802(1)(1)80a a ⎧⨯-+⨯-+≤⎪⎨⨯-+⨯-+≤⎪⎩的补集，即10a < ………………（10分）（III ）令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xx x xx h x x x x h +-+='≥+=由 又令,0),1ln(1)(>+-+=x x xxx p 0)1(11)1(1)(22<+-=+-+='∴x x x x x p ， ),0[)(+∞∴在x p 单调递减. ……………………（12）分0()(0)0,1()0,x p x p x h x '∴><=∴≥<当时有当时有 ),1[)(+∞∴在x h 单调递减，x y y x y x x y yy x x y x )1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时， ).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当 ………………（14分）①②③。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作高二数学选修2-2导数检测题一、选择题 1．函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(]1,1- B ．(]0,1 C ．[)1,+∞ D ．()0,+∞ 2．若f ′(x )＝3，则 f （x 0－m ）－f （x 0）3m等于（ ）A ．3B ．13C ．－1D ．13．若曲线2y x ax b =++在点(1,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（ ）A ．1,2a b =-=B ．1,2a b ==C ．1,2a b ==-D ．1,2a b =-=- 4．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为 ( )A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln 25．已知ax x x f -=3)(在[1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知函数f (x )＝x －sin x ，若x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且f (x 1)＋f (x 2)>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．x 1>x 2 B ．x 1<x 2 C ．x 1＋x 2>0 D ．x 1＋x 2<07．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )A ．0≤a <1B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <128．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数y ＝(1－x )()f x '的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)9．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''>，且()()xf x ag x =(0a >，且1)a ≠，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．若数列(){}()f ng n 的前n 项和大于62，则n 的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．910．已知函数1(),()ln 22x x f x e g x ==+的图象分别与直线y m =交于,A B 两点,则||AB 的最小值为( ) A ．2 B ．2ln2+ C ．212e + D ．32ln 2e -二、填空题11．()2321d xx -+=⎰ .12．已知函数()x x f x f cos sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫⎝⎛4πf =_____ 13．已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且在（0，+∞）上有()x f '>0，若0)1(=-f ，那么关于x 的不等式()0<x xf 的解集是_________14．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，则实数a 的范围是15．已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示.下列关于()f x 的命题：①函数()f x 的极大值点为 0与4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数a x f y -=)(零点的个数可能为0、1、2、3、4个. 其中正确命题的序号是 ． 三、解答题16．已知函数a x x x x f +++-=93)(23. （1）求)(x f 的单调递减区间；（2）若)(x f 在区间]2,2[-上的最大值是20，求它在该区间上的最小值。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作导数练习题1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与mx x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=．（I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值．7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．（本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立． 9．（本小题满分12分）已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意10．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． 11．（本小题满分12分）设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 12．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．导数练习题答案1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与mx x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分）（I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f 得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=0323233c d b a c b a d …………（4分）（II ）依题意3)2('-=f 且5)2(=f⎩⎨⎧=+--+-=--+534648323412b a b a b a b a解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分） （III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点； ()()()42381432--=+-='x x x x x g ，x⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-32,32⎪⎭⎫⎝⎛432， 4()∞+，4()x g ' + 0 - 0 + ()x g增极大值减极小值增()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,276832． …………（10分） 当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点， 故而，276816<<-m 为所求． …………（12分）2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．解：（I ）)0()1()('>-=x xx a x f（2分）当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞<x f a 当a=1时，)(x f 不是单调函数 （5分）（II ）32ln 2)(,22343)4('-+-=-==-=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x mx x g （6分）2)0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间⎩⎨⎧><∴.0)3(',0)1('g g （8分）⎪⎩⎪⎨⎧>-<∴,319,3m m （10分）)3,319(--∈m （12分）3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．解：（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f),323)(1()32(23)(2++-=+-+='∴a x x a ax x x f由33210)(+-==⇒='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值，所以31332-<⇒>+-a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ；…………（4分） （II ）由下表：x)1,(-∞1)332,1(+-a332+-a ),332(+∞+-a)(x f '+ 0 - 0 - )(x f递增极大值2--a递减极小值 2)32(276++a a递增依题意得：9)32()32(27622+-=++a a a ，解得：9-=a所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-=…………（10分）（III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα在区间[-2，2]有： 230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f ,7)1()(=f x f 的最大值是7430368)2()(-=---=-f x f 的最小值是 函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81， 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．…………（14分） 4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分） ∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >． …………（4分）（II ）xa x a x x a x x g )22)(22(22)(-+=-='，由0)(='x g ，得22ax =，列表x)22,0(a 22a ),22(+∞a)(x g ' - 0 +)(x g单调递减 极小值 单调递增当22ax =时，函数)(x g y =取极小值)2ln 1(2)22(aa a g -=，无极大值． …………（6分）由（I ）a e a >，∵⎪⎩⎪⎨⎧>>22a a e e aa ，∴22a e a>，∴22ae a >01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分）（i ）当122≤a，即20≤<a 时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点 （ii ）当122>a ，即2>a 时若0)2ln 1(2>-a a ，即e a 22<<时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点若0)2ln 1(2=-a a ，即e a 2=时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =；若0)2ln 1(2<-a a ，即e a 2>时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点；综上所述，)(x g y =在(1,)a e 上，我们有结论：当02a e <<时，函数()f x 无零点； 当2a e = 时，函数()f x 有一个零点； 当2a e >时，函数()f x 有两个零点．…………（12分） 5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 解：（I ）当1k =时，2()1x f x x -'=-)(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ………………（2分）∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<， ∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)+∞在上是减函数∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f = ………………（4分）（II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点， ∴函数()f x 有零点，不合要求； ………………（8分）②当0k >时，1()11()111kk x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分）令1()0,k f x x k +'==得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1(1,),()0x f x k'∈++∞<时，∴1()(1,1)f x k +在内是增函数，1[1,)k++∞在上是减函数，∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k+=-，∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >，因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞．………………（10分） 6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值．解：（I ）由2()(23)x f x x ax a e =+--可得22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……（4分）∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '=∴2(5)0a e +=，解得5a =- ……………（6分） （II ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f ，得)(x f 在)1,(-∞递增，在),2(+∞递增，由0)(<'x f ，得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f =是()f x 在]3,23[∈x 的最小值； ……………（8分）2347)23(e f =，3)3(e f = ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=-∴()f x 在]3,23[∈x 的最大值是3)3(e f =． ……………（12分）7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值．解：（Ⅰ）x x x x f ln 164)(2--=，xx x x x x f )4)(2(21642)('-+=--= 2分由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ，解得4>x 或2-<x 注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递增区间是（4，+∞） 由0)('<x f 得0)4)(2(<-+x x ，解得-2＜x ＜4，注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(. 综上所述，函数)(x f 的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0( 6分 （Ⅱ）在],[2e e x ∈时，x a x x x f ln )2(4)(2-+-= 所以xax x x a x x f -+-=-+-=242242)('2， 设a x x x g -+-=242)(2当0<a 时，有△=16+4×208)2(<=-a a ，此时0)(>x g ，所以0)('>x f ，)(x f 在],[2e e 上单调递增， 所以a e e e f x f -+-==24)()(2min 8分当0>a 时，△=08)2(2416>=-⨯-a a ， 令0)('>x f ，即02422>-+-a x x ，解得221a x +>或221a x -<； 令0)('<x f ，即02422<-+-a x x ， 解得221a -221ax +<<. ①若221a+≥2e ，即a ≥22)1(2-e 时， )(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==.②若2221e ae <+<，即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间， )(x f 在区间]221,[a e +上单调递减，在区间],221[2e a +上单调递增， 所以min )(xf )221(a f +=)221ln()2(322a a a a +-+--=. ③若221a+≤e ，即a <0≤22)1(-e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2min综上所述，当a ≥222)1(-e 时，a e a x f 244)(24min -+-=；当222)1(2)1(2-<<-e a e 时，)221ln()2(322)(min aa a a x f +-+--=； 当a ≤2)1(2-e 时，a e e x f -+-=24)(2min14分 8．（本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立．解：（I ）226()26a x x af x x x x-+'=-+=， ………………（2分）∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性，∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0， 即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………（4分） ∵226y x x a =-+是对称轴是32x =，开口向上的抛物线，∴222620y a =⋅-⋅+<的实数a 的取值范围(,4)-∞ ………………（6分）（II ）由（I ）22()2a g x x xx =+-，方法1：2222()()62(0)a g x f x x x x x x '=-+=+->， ∵4a <，∴323233444244()22a x x g x x x x x x -+'=-+>-+=，…………（8分）设2344()2h x x x =-+，3448124(23)()x h x x x x -'=-=()h x 在3(0,)2是减函数，在3(,)2+∞增函数，当32x =时，()h x 取最小值3827∴从而()g x '3827>，∴38(())027g x x '->，函数38()27y g x x =-是增函数，12x x 、是两个不相等正数，不妨设12x x <，则22113838()()2727g x x g x x ->-∴212138()()()27g x g x x x ->-，∵210x x ->，∴1212()()3827g x g x x x ->-∴1212()()g x g x x x --3827>，即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分）方法2：11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点，121222121212()()2()2g x g x x x ax x x x x x -+=+--，12122x x x x +>，4a <12223121212122()422()x x a a x x x x x x x x +∴+->+-31212442()x x x x >+- ………（8分）设121,0t t x x =>，令32()244MN k u t t t ==+-，()4(32)u t t t '=-， 由()0u t '>，得2,3t >由()0u t '<得20,3t <<()u t ∴在)32,0(上是减函数，在),32(+∞上是增函数，)(t u ∴在32=t 处取极小值2738，38()27u t ∴≥，∴所以1212()()g x g x x x --3827>即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分） 9．（本小题满分12分）已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意（1）)(x f 的定义域为),0(+∞，xa x x x a ax x x a a x x f )1)(1(11)('2-+-=-+-=-+-= 2分（i ）若2,11==-a a 即，则 .)1()('2xx x f -=故)(x f 在),0(+∞单调增加． （ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(+∞单调增加．（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即 单调增加．（II ）考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212x x a ax x +-+-= 由 .)11(1)1(121)1()('2---=---⋅≥-+--=a a xa x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞><x g x g a a ，从而当021>>x x 时有 ,0)()(,0)()(212121>-+->-x x x f x f x g x g 即 故1)()(2121->--x x x f x f ，当210x x <<时，有1)()()()(12122121->--=--x x x f x f x x x f x f10．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．解：（I ）(),()1a f x x g x a x''=+=+， ……………（2分）∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当[1,3]x ∈时，2(1)()()()0a x a f x g x x++''⋅=≥恒成立， ……………（4分） 即2(1)()0a x a ++≥恒成立， ∴21a a x >-⎧⎨≥-⎩在[1,3]x ∈时恒成立，或21a a x<-⎧⎨≤-⎩在[1,3]x ∈时恒成立， ∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- ………………（6分）（II ）21()ln ,(1)2F x x a x a x =+-+，()(1)()(1)a x a x F x x a xx--'=+-+=∵()F x 定义域是(0,)+∞，(1,]a e ∈，即1a >∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a +∞是增函数 ∴当1x =时，()F x 取极大值1(1)2M F a ==--，当x a =时，()F x 取极小值21()ln 2m F a a a a a ==--， ………………（8分）∵12,[1,]x x a ∈，∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=- ………………（10分）设211()ln 22G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--，∴1[()]1G a a''=-，∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''>∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>=∴211()ln 22G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数 ………………（12分）∴()()G a G e ≤，即2211(1)()1222e G a e e -≤--=-， 而22211(1)(31)1112222e e e ----=-<-=，∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． ………………（14分） 11．（本小题满分12分）设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 解：（I ）11()0ex f x e xx -'=-==，得1x e= 当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表：x1(0,)e1e1(,)e+∞ ()f x '＋ 0 － ()f x单调递增极大值 单调递减∴当1x e=时，()f x 取得极大值1()2f e=-，没有极小值； …………（4分）（II ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201ln 0x x xx x --= 即20211ln ()0x x x x x --=，设2211()ln ()xg x x x x x =--211211()ln ()x g x x x x x =--，1/211()ln 10x x g x x =->，1()g x 是1x 的增函数， ∵12x x <，∴2122222()()ln ()0xg x g x x x x x <=--=；222211()ln ()x g x x x x x =--，2/221()ln 10x x g x x =->，2()g x 是2x 的增函数， ∵12x x <，∴1211111()()ln ()0xg x g x x x x x >=--=，∴函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ， …………（10分）又∵22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 是增函数， ∴函数2121()ln x x xg x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立…………（12分）（方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-， 即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-， 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x >∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………（10分）∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数 ∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（12分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分．12．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >． 解：（I ）22log (24)0x x -+>，即2241x x -+> ……………………（2分）得函数()f x 的定义域是(1,3)-， ……………………（4分） （II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为－8的切线， 又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ++='>+++∴存在实数b 使得⎪⎩⎪⎨⎧>+++-<<--=++1114823020300020bx ax x x b ax x 有解， ……………………（6分）由①得,238020ax x b ---=代入③得082020<---ax x ，200028041x ax x ⎧++>⎪∴⎨-<<-⎪⎩由有解， ……………………（8分） 方法1：0082()()a x x <-+-，因为041x -<<-，所以0082()[8,10)()x x -+∈-， 当10a <时，存在实数b ，使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线………………（10分）方法2：得08)1()1(208)4()4(222>+-⨯+-⨯>+-⨯+-⨯a a 或，1010,10.a a a ∴<<∴<或 ………………（10分） 方法3：是222(4)(4)802(1)(1)80a a ⎧⨯-+⨯-+≤⎪⎨⨯-+⨯-+≤⎪⎩的补集，即10a < ………………（10分）（III ）令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xx x xx h x x x x h +-+='≥+=由 又令,0),1ln(1)(>+-+=x x xxx p 0)1(11)1(1)(22<+-=+-+='∴x x x x x p ， ),0[)(+∞∴在x p 单调递减. ……………………（12）分①②③0()(0)0,1()0,x p x p x h x '∴><=∴≥<当时有当时有),1[)(+∞∴在x h 单调递减，x y y x y x x y y y x x y x )1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时，).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当 ………………（14分）。

导数的综合应用专题训练一．选择题：共10小题.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数x x x f ln 2)(2-=的单调递减区间是A ．）1,0(B ．),1[+∞C ．]1,(--∞和)1,0(D ．)0,1[-和]1,0(2. 函数xe xf =)(的图象在点1-=x 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为A ．e21B ． e 1C ． e 2D ． e 43. 若a a bx ax x x f 7)(223--++=在1=x 处取得极大值10，则ab 的值为A ．23-或21-B ． 23-或21C ． 23- D ． 214. 已知)2sin(41)(2x x x f ++=π， )(x f '为)(x f 的导函数，则)(x f '的图象是A ．B ．C ．D ．5. 已知函数742)(23---=x x x x f ，其导函数为)(x f '．①)(x f 的单调减区间是)2,32(； ②)(x f 的极小值是15-；③函数)(x f 有且只有一个零点．其中真命题的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 若存在两个正实数x 、y ，使得等式033=-ay e x xy 成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为A ． ),27[3+∞eB ． ]27,0(3e C ． ),8[2+∞e D ．]8,0(2e7. 已知函数x b x x x f 2)(ln )(-+=（R b ∈）．若存在]2,21[∈x ，使得0)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值范围是A ．)23,(-∞ B ．)3,(-∞ C ．)49,(-∞ D ．)2,(-∞ 8. 下列不等式对任意的),0(+∞∈x 恒成立的是A ．02≥-x x B ． 1sin +->x x C ．ex e x≥ D ．x x >ln 9. 设函数)(x f y ''=是)(x f y '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数d cx bx ax x f +++=23)()0(≠a 都有对称中心))(,(00x f x ，其中0x 满足0)(0=''x f ．已知函数12532131)(23-+-=x x x x f ，则)20172016()20172()20171(f f f +++Λ等于 A ． 2013 B ．2014 C ． 2015 D ．201610. 函数)(x f 的定义域是R ，2)0(=f ，对任意R x ∈，1)()(>'+x f x f ，则不等式1)(+>⋅x x e x f e 的解集为A ．}0{>x xB ．}0{<x xC ．}11{>-<x x x 或D ．}101{<<-<x x x 或 二．填空题：本大题共3小题.11. 已知函数bx ax x x f 33)(23++=在2=x 处有极值，其图像在1=x 处的切线平行于直线0526=++y x ，则)(x f 的极大值与极小值之差为_______．12. 当]1,2[-∈x 时，不等式03423≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 13. 设函数bx ax x x f --=221ln )(，若1=x 是)(x f 的极大值点，则a 的取值范围为 .三．解答题：本大题共4小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14.已知函数x a x x f ln )(2+=．（Ⅰ）当2-=a 时，求函数)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）若函数xx f x g 2)()(+=在]2,1[上是减函数，求实数a 的取值范围．15．已知函数)1(ln )1()(2+-+-=x x a x x f ,（其中R a ∈，且a 为常数）． （Ⅰ）当4=a 时，求函数)(x f y =的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的),1(+∞∈x ，都有0)(>x f 成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）若方程01)(=++a x f 在)2,1(∈x 上有且只有一个实根，求a 的取值范围.16．已知函数11ln )(+-+=bx xx a x f . （Ⅰ）若42=-b a ，则当2>a 时，讨论)(x f 单调性； （Ⅱ）若1-=b ，xx f x F 5)()(-=且当4-≥a 时，不等式2)(≥x F 在区间]4,1[上有解，求实数a 的取值范围.17．已知函数x x x ax x f ln )(2-+= )(R a ∈．（Ⅰ）若函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数)(x f 有两个极值点1x ，2x 且21x x ≠，证明221e x x >.导数的综合应用专题训练参考答案11．4 12．]2,6[-- 13．),1(+∞-1．A 【解析】∵x x x f ln 2)(2-=，∴xx x x x x f )1)(1(222)(-+=-='， 令0)(<'x f ，得：10<<x ，∴函数的单调减区间是）1,0(．2．C 【解析】因为xe xf =')( ，所以函数在1-=x 处的切线斜率为ee k 11==-， 当1-=x 时，e ef 1)1(1==- ，所以切点的坐标为)1,1(e -， 所以切线方程为ex e e x e y 211)1(1+=++=，切线与x 轴交点为)0,2(-，与y 轴交点为)2,0(e，所以围成的三角形面积为ee S 22221=⨯⨯=.3．C 【解析】∵a a bx ax x x f 7)(223--++=，∴b ax x x f ++='23)(2，又a a bx ax x x f 7)(223--++=在1=x 处取得极大值10，∴⎩⎨⎧=='10)1(0)1(f f ，即⎩⎨⎧=--++=++10710232a ab a b a ，解得：⎩⎨⎧=-=12b a 或⎩⎨⎧=-=96b a ， ① 当⎩⎨⎧=-=12b a 时，)1)(13(143)(2--=+-='x x x x x f ，当131<<x 时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f ， ∴)(x f 在1=x 处取得极小值，与题意不符；② 当⎩⎨⎧=-=96b a 时，)3)(1(39123)(2--=+-='x x x x x f ，当1<x 时，0)(>'x f ；当31<<x 时，0)(<'x f ， ∴)(x f 在1=x 处取得极大值，此时23-=a b . 4．A 【解析】因为x x x x x f cos 41)2sin(41)(22+=++=π， ∴x x x f sin 21)(-='，它是一个奇函数， 其图象关于原点对称，故排除B ，D ． 又x x f cos 21)(-=''，当33ππ<<-x 时，21cos >x ，∴0cos 21)(<-=''x x f ，故函数)(x f y '=在区间)3,3(ππ-上单调递减，故排除C .5．B 【解析】因为742)(23---=x x x x f ，所以443)(2--='x x x f ，令0443)(2=--='x x x f ，得32-=x ，2=x ， 当0)(>'x f 时，得32-<x 或2>x 时，函数单调递增， 当0)(<'x f 时，即232<<-x 时，函数单调递减； 故当2=x 时，函数有极小值，极小值为15)2(-=f ， 当32-=x 时，函数有极大值，极大值为0)32(<-f ，故函数只有一个零点， 则①错误，②③正确.6．A 【解析】由题意知3)(x y e a xy=，设x yt = )0(>t ，则3t e a t =，令3)(t e t f t =，4)3()(t t e t f t -='，当3>t 时，0)(>'t f ，当30<<t 时，0)(<'t f ，所以27)3()(3mine f t f ==，所以273e a ≥.7．C 【解析】因为0)()(>'+x f x x f ，即0])([>'x xf ，设)()(x xf x g =，所以0)(>'x g ，所以存在]2,21[∈x 满足函数)()(x xf x g =单调递增，因为222ln )()(b bx x x x xf x g +-+==，所以0221)(>-+='b x xx g ， 即x x b 212+<，即存在]2,21[∈x ，满足x x b 212+<，max )21(2x x b +<，设x x x h 21)(+=，21)(2+-='xx h ，所以当2=x 时)(x h 取得最大值且29)(max =x h ，即292<b ，49<b ．8．C 【解析】对选项A ，当2=x 时，不成立，故A 不正确．对选项B ，当π=x 时，0sin =π，01<+-π，所以1sin +->x x 不成立，故B 不正确．对于C ，令ex e x f x-=)(，则e e x f x-=')(，则当10<<x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减；当1>x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增，所以0)1()(min ==f x f ，故0)(≥-=ex e x f x ，即ex e x ≥．故C 正确．对于D ，当1=x 时，01ln =，所以x x >ln 不成立，故D 不正确． 综上可得选C .9．D 【解析】3)(2+-='x x x f ，12)(-=''x x f ，令012)(=-=''x x f ，解得21=x ， 且1125213)21(21)21(31)21(23=-⨯+⨯-⨯=f ，所以函数)(x f 的对称中心为)1,21(M ，设Q P ，是函数)(x f 的图象上关于)1,21(M 中心对称的两点，则2)1()(=-+x f x f ，所以)20172016()20172()20171(f f f +++Λ=))20171()20172016(())20172015()20172(())20172016()20171([(21f f f f f f ++++++Λ =2016)20162(21=⨯⨯． 10．A 【解析】令)1)(()(-=x f e x g x,则0))(1)(()(>'+-='x f x f e x g x,所以函数)(x g 在R 上单调递增，而1)(+>⋅x x e x f e 等价于)0()(g x g >，因此0>x .11．4【解析】因为b ax x x f 363)(2++='，又)(x f 在2=x 处有极值，所以0)2(='f ，由图像在1=x 处的切线平行于直线0526=++y x 知3)1(-='f ，联立方程⎩⎨⎧-=++='=++='3363)1(031212)2(b a f b a f ，解得：1-=a ，0=b ，则)2(363)(2-=-='x x x x x f ，)(x f 极大值为0)0(=f ，极小值为4)2(-=f ， 即)(x f 的极大值与极小值之差为4．12．]2,6[--【解析】(Ⅰ)显然0=x 时，对任意实数a ，已知不等式恒成立；令xt 1=， (Ⅱ)若10≤<x ，则原不等式等价于t t t x xx a +--=+--≥232343143,),1[+∞∈t ， 令t t t t g +--=2343)(，则)1)(19(189)(2+--=+--='t t t t t g ，由于),1[+∞∈t ， 故0)(≤'t g ，即函数)(t g 在),1[+∞上单调递减，最大值为6)1(-=g ，故只要6-≥a ； (Ⅲ)若02<≤-x ，则t t t x xx a +--=+--≤232343143,]21,(--∞∈t ， 令t t t t g +--=2343)(，则)1)(19(189)(2+--=+--='t t t t t g ，在区间]21,(--∞上的极值点为1-=t ，且为极小值点，故函数)(t g 在]21,(--∞上有唯一的极小值点，也是最小值点，故只要2)1(-=-≤g a ． 综上可知：若在]1,2[-上已知不等式恒成立，]2,6[--∈a . 13．),1(+∞-【解析】)(x f 的定义域为),0(+∞，b ax xx f --='1)(， 依题意可得01)1(=--='b a f ，解得a b -=1，∴xx a ax a ax x x f 1)1(11)(2+-+-=-+-='，(Ⅰ)若0≥a ，当10<<x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增；当1>x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减，所以1=x 是)(x f 的极大值点．(Ⅱ)若0<a ，由0)(='x f ，得1=x 或ax 1-=， 因为1=x 是)(x f 的极大值点，所以11>-a，解得01<<-a . 综合(Ⅰ)(Ⅱ)得a 的取值范围是),1(+∞-. 14．【解析】（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞， 当2-=a ，x x x f ln 2)(2-=，xx x x x x f )1)(1(222)(-+=-='， 当10<<x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减， 当1>x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增， 所以)(x f 的递减区间是)1,0(,递增区间是),1(+∞,1)1()(==f x f 极小值，无极大值；（Ⅱ）由x x a x x g 2ln )(2++=，得222)(xx a x x g -+='， 又函数xx a x x g 2ln )(2++=为]2,1[上的单调减函数， 则0)(≤'x g 在]2,1[上恒成立，即不等式0222≤-+xx a x 在]2,1[上恒成立，即x x a 222+-≤在]2,1[上恒成立，令x x x h 22)(2+-=，则02-4)(2<-='x x x h ，所以xx x h 22)(2+-=在]2,1[为减函数，所以7)2()(min -==h x h ,7-≤a ．15．【解析】（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞由x a x x x a x x f )2)(1()11()1(2)(--=-+-='知, 当4=a 时，xx x x f )2)(1(2)(--=',所以函数)(x f 在)1,0(上单调递增，在)2,1(上单调递减，在),2(+∞上单调递增；（Ⅱ）由xa x x x a x x f )2)(1()11()1(2)(--=-+-='得， 当2≤a 时,因为0)(>'x f 对于),1(+∞∈x 恒成立,所以)(x f 在),1(+∞上单调递增， 所以0)1()(=>f x f ,此时命题成立；当2>a 时,因为)(x f 在)2,1(a 上单调递减,在),2(+∞a 上单调递增, 所以当)2,1(a x ∈时,有0)1()(=<f x f ，这与题设矛盾,不符. 故a 的取值范围是]2,(-∞；（Ⅲ）依题意,设1)()(++=a x f x g ,原题即为若)(x g 在)2,1(上有且只有一个零点,求a 的取值范围.显然函数)(x g 与)(x f 的单调性是一致的. 当0≤a 时,因为函数)(x g 在)2,1(上递增,由题意可知⎩⎨⎧>++=<+=01)2()2(01)1(a f g a g ，解得12ln 2-<<-a ； 当0>a 时,因为1)2(ln )1()(2+-++-=a x x a x x g , 当)2,1(∈x 时,总有0)(>x g ,此时方程没有实根。

第一章导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为( ) A．v＝2sin t＋2t cos t＋1B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin tD．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )A．4B．5C ．6D ．7 [答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y ＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率就是函数y ＝x 2＋3x 在x ＝2时的导数，y ′|x ＝2＝7，故选D.4．函数y ＝x |x (x －3)|＋1( ) A ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝1 B ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1 C ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝f (3)＝1 D ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1，f (－1)＝－3 [答案] B[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3)∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：极大极小故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是( ) A．y＝2x－1B．y＝xC．y＝3x－2D．y＝－2x＋3[答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4，∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( )A．2B．3C．4D．5[答案] D[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3时取得极值，∴x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根，∴a＝5，故选D.7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ [答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x ＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)⎠⎜⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎜⎛241x dx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2. 10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( )A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图过A ⎝⎛⎭⎪⎫－6，－32得z 最大，最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C[解析] 令F (x )＝f (x )g (x )则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0 f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数∴F (x )在R 上为递减函数，当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13.⎠⎜⎛－2－1d x(11＋5x )3＝________. [答案]772[解析] 取F (x )＝－110(5x ＋11)2，从而F ′(x )＝1(11＋5x )3则⎠⎜⎛－2－1d x(11＋5x )3＝F (－1)－F (－2)＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772.14．若函数f (x )＝ax 2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x 2，由题意得，a ＋1x2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，x ＝nn ＋1，∴a n ＝lgnn ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎜⎛01x d x ＋⎠⎜⎛121x d x ＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎜⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎜⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎜⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎜⎛02(2x 2－4x )d x . 因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ， 所以S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪⎪2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2⎪⎪⎪⎪2＝4.19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． [分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值；(2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1.(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤tan θ≤a 23.②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a－3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，arctan a 23，当a >3时，θ∈[0，arctan(2a －3)]．(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点．。

高中数学人教A选修2-2导数及其应用一测试题《数学选修2-2》导数及其应用(一)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为( )A.0()f x ' B.02()f x ' C.02()f x '- D.0 2、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒 D.8米/秒3、曲线xxy 43-=在点(1,3)-处的切线倾斜角为( )A.34πB.2πC.4π D.6π 4、曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(1,4)--D.(1,0)和(1,4)--5、若()sin cos f x x α=-,则()f α'等于( ) A.cos α B .sin α C.sin cos αα+ D.2sin α6、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( )A.430x y --=B.450x y +-=C.430x y -+=D.430x y ++=7、对正整数n ,设曲线)1(x x y n-=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为na ,则 数列1na n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是( ) A.2nB.22n- C.12n +D.122n +-8、已知32()967,f x ax x x =++-若(1)4f '-=,则a 的值等于( )A.193B.163C.103D.1339、二次函数()y f x =的图象过原点,且它的导函数()y f x '=的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数()y f x =的图象的顶点所在象限是( )A.第一B.第二C.第三D.第四10、已知函数)(x f y =的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是x y 21=+2,则(1)(1)f f '+的值等于( ) A.1 B.52C.3D.011、下列式子不．正确的是( ) A.()23cos 6cos sin xx x x x x x'+=+-B.23112ln x x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C. ()sin 22cos2x x '=D.2sin cos sin x x xx x '-⎛⎫=⎪⎝⎭12、设a ∈R ,函数()ee xxf x a -=+⋅的导函数是()f x ',且()f x '是奇函数.若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为 ( ) A.ln 2 B.ln 2- C.ln 22 D.ln 22-第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy. 14、曲线32242y xx x =--+在点(1,一3)处的切线方程是___________15、在平面直角坐标系xoy 中,点P 在曲线3:103C y x x =-+上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为 .16、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)()(2>-'x x f x f x (0)x >,则不等式()0f x >的解集是 .三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分) 已知函数))(2ln(2)(2R a x axx f ∈-+=,设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线为l ,若l 与圆41:22=+y x C 相切,求a的值.18、(12分) 设函数()cos(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<,且()()f x f x '+为奇函数.(1)求ϕ的值; (2)求()'()f x f x +的最值.19、(12分)已知a ∈R ,函数2()()f x x x a =-,若(1)1f '=.(1)求a 的值并求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程()y g x =;(2)设()()()h x f x g x '=+,求()h x 在[0,1]上的最大值与最小值.20、(12分) 设函数3()f x axbx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线1870x y +-=垂直,导函数'()f x 的最小值为12. (1)求a ,b ,c 的值; (2)设2()()f x g x x =,当0x >时,求()g x 的最小值.21、(12分)设函数()b f x ax x=-,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=.(1)求()f x 的解析式;(2)证明:曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值,并求此定值.22、(14分)已知关于x 的方程sin ((0,1))xk k x=∈在(3,0)(0,3)-ππU 内有且仅有4个根,从小到大依次为1234,,,x x x x .(1)求证:44tan xx =;(2)是否存在常数k ,使得234,,x x x 成等差数列?若存在求出k 的值,否则说明理由.参考答案1.B 000000()()()()lim lim 2[]2h h f xh f x h f x h f x h h h→→+--+--=0000()()2lim2()2h f x h f x h f x h→+--'==.2.C ()21,(3)2315s t t s ''=-=⨯-=.3.A 21334,|1,tan 1,4x y xk y αα=''=-==-=-=π.4.D 设切点为0(,)P a b ,22()31,()314,1f x xk f a a a ''=+==+==±,把1a =-, 代入到3()2f x x x =+-得4b =-;把1a =,代入到3()2f x x x =+-得0b =,所以0(1,0)P 和(1,4)--.5.B ()sin ,()sin f x x f αα''==.6.A 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=. 7.D ()()11222,:222(2)n n n x y n y n x --='=-++=-+-切线方程为,令0x =,求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012ny n =+,所以21nna n =+,则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212nn nS +-==--8.B 2()3186f x axx '=++Q ,由(1)4,f '-=得31864a -+=,即163a =. 9.C 设2(),()2f x axbx f x ax b'=+=+,()f x 'Q 的图象是过第一、二、三象限的一条直线,故20,0a b >>,又22()24b b f x a x a a ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,即项点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限.10.C 由已知切点在切线上,所以f (1)=25221=+,切点处的导数为切线斜率,所以1(1)2f '＝,所以(1)(1)f f '+＝311.D2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭12.A '()xxf x e ae -=-,()f x '是奇函数'(0)10f a =-=,∴1a =,有'()xxf x ee -=-,设切点为00(,)x y ,则0003'()2x x f x e e -=-=,得02x e =或012x e =-(舍去),∴0ln 2x=.13.3x -∆ 22(1)(1)y x x -+∆=--+∆+-+∆Q∴x x x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(214.520x y +-= 易判断点(1,-3)在曲线32242y x x x =--+上,故切线的斜率()211|344|5x x k y x x =='==--=-,∴切线方程为()351y x +=--,即520x y +-=15.(-2,15) 231022y xx '=-=⇒=±,又点P 在第二象限内,∴2x =-,得点P 的坐标为(-2,15) 16.),1()0,1(+∞-Y 可得()'()f x f x x>,由导数的定义得,当01x <<时,()(1)()1f x f f x x x->-,又0)1(=f ,()(1)()xf x x f x <-,∴()0f x <;当1x >时,同理得()0f x <.又)(x f 是奇函数,画出它的图象得()0f x >⇒(1,0)(1,)x ∈-+∞U .17.解:依题意有:)2(222)(,)1(<-+='=x x ax x f a f , l∴的方程为02)1(2=-+--a y x a l Θ与圆相切,811211)1(4|2|2=⇒=+--∴a a a∴a 的值为118. 18.解:(1)()'()f x f x +3)33)x x ϕϕ=+-+52sin(3)6x πϕ=++,又0ϕ<<π,()'()f x f x +是奇函数,∴=ϕ6π. (2)由(1)得()'()f x f x +3)3x x=+π=-.∴()'()f x f x +的最大值为2,最小值为2-.19、解:(1)2()32f x x ax'=-,由(1)1f '=得321a -=,所以1a =;当1a =时,32()f x x x =-,(1)0f =,又(1)1f '=,所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为01(1)y x -=⨯-,即()1g x x =-; (2)由(1)得22113()313()612h x xx x =--=--,又(0)1h =-,(1)1h =,113()612h =-, ∴()h x 在[0,1]上有最大值1,有最小值1312.20.解:(1)∵()f x 为奇函数,∴()()f x f x -=-,即33ax bx c ax bx c--+=---,∴0c =,又∵2'()3f x axb=+的最小值为12,∴12b =;又直线1870x y +-=的斜率为118- ,因此,'(1)318f a b =+=,∴2a =,∴2a =,12b =,0c =为所求. (2)由(1)得3()212f x x x=+,∴当x >时,2()()f x g x x =662()246x x x x =+≥⋅⋅=,∴()g x 的最小值为6.21.解:(1)方程74120x y --=可化为734y x =-. 当2x =时,12y =. 又2()bf x a x'=+, 于是1222744b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得13a b =⎧⎨=⎩,故3()f x x x =-. (2)设0(,)P x y 为曲线上任一点,由231y x '=+知曲线在点0()P x y ，处的切线方程为002031()y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭,即00200331()y xx x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.xyOπ2π3π令0x =得06y x =-,从而得切线与直线0x =的交点坐标为060x⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 令y x =得02y x x ==,从而得切线与直线y x =的交点坐标为0(22)x x ，. 所以点0(,)P x y 处的切线与直线0x =,y x =所围成的三角形面积为016262x x-=.故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线x =,y x =所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.22.解:(1)由原方程得sin (0)x kx x =≠,设函数()sin f x x=,()g x kx =(0)x ≠,它们的图象如图所示:方程得sin (0)x kx x =≠在(3,0)(0,3)-ππU 内有且仅有4个根,4x 必是函数()g x kx =与()sin f x x =在5(2,)2ππ内相切时切点的横坐标,即切点为44(,sin )x x ,()g x kx =是()sin f x x =的切线.由'()cos f x x =,∴4cos k x =,又∵44sin x kx =,于是44tan xx =.(2)由题设知23x x =-,又234,,x x x 成等差数列,得3242x x x =+,∴3413xx =.由33sin xkx =,得4411sin 33xkx =,即441sin 3sin 3xx =.由题设45(2,)2x π∈π,得425(,)336x ππ∈,∴413sin(,322x ∈,有43333sin(,322x ∈,即4333sin (,22x ∈,与4sin 1x <矛盾!故不存在常数k 使得234,,x x x 成等差数列。

第一章 1.1 1.1.3A 级 基础巩固一、选择题1．(2018·海市校级期末)已知函数y ＝f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y ＝12x ＋2,则f(1)＋f′(1)的值等于( C )A ．1B ．52C ．3D ．0[解析] 由已知点M(1,f(1))在切线上,所以f(1)＝12＋2＝52,切点处的导数为切线斜率,所以f′(x)＝12,即f(1)＋f ′(1)＝3,故选C ．2．曲线y ＝x 3＋x －2在P 点处的切线平行于直线y ＝4x －1,则切线方程为( D ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4 C ．y ＝4x －8 D ．y ＝4x 或y ＝4x －4[解析] y′＝lim Δx→0 ΔyΔx＝lim Δx→0[x ＋Δx3＋x ＋Δx －2]－x 3＋x －2Δx＝lim Δx→0[(Δx)2＋3xΔx＋3x 2＋1] ＝3x 2＋1．由条件知,3x 2＋1＝4,∴x ＝±1,当x ＝1时,切点为(1,0),切线方程为y ＝4(x －1), 即y ＝4x －4．当x ＝－1时,切点为(－1,－4),切线方程为y ＋4＝4(x ＋1), 即y ＝4x ．3．已知曲线y ＝2x 3上一点A(1,2),则点A 处的切线斜率等于( D ) A ．0 B ．2 C ．4D ．6[解析] Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋(Δx)3,lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx→0[(Δx)2＋6Δx＋6]＝6,故选D ．4．(2018·济宁高二检测)设曲线y ＝ax 2在点(1,a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行,则a 等于( A )A ．1B ．12C ．－12D ．－1[解析] ∵y′|x ＝1＝lim Δx→0 a1＋Δx 2－a×12Δx＝lim Δx→02aΔx＋a Δx 2Δx ＝lim Δx→0 (2a ＋aΔx)＝2a,∴2a ＝2,∴a ＝1．5．(2017·汉中高二检测)曲线y ＝13x 3－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－53处切线的倾斜角为( B ) A ．1 B ．π4C ．5π4D ．－π4[解析] ∵y′＝lim Δx→0[13x ＋Δx 3－2]－13x 3－2Δx＝lim Δx→0[x 2＋xΔx＋13(Δx)2]＝x 2,∴切线的斜率k ＝y′|x ＝1＝1． ∴切线的倾斜角为π4,故应选B ．6．设f ′(x 0)＝0,则曲线y ＝f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线( B ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交[解析] 由导数的几何意义知B 正确,故应选B ． 二、填空题7．已知f(x)＝x 2＋3x,则f ′(2)＝7． [解析] f′(x)＝lim Δx→0 x ＋Δx2＋3x ＋Δx －x 2＋3xΔx＝lim Δx→02x ＋Δx＋3＝2x ＋3,∴f′(2)＝7．8．曲线y ＝x 3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为54． [解析] 因为f ′(3)＝lim Δx→0 3＋Δx 3－33Δx ＝27,所以在点(3,27)处的切线方程为y －27＝27(x －3),即y ＝27x －54．此切线与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0),(0,－54)． 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12×2×54＝54． 三、解答题9．求曲线y ＝1x －x 上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程． [解析] ∵y′＝lim Δx→0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋Δx －1x －x ＋Δx－xΔx＝lim Δx→0 －Δx x x ＋Δx －Δx x ＋Δx＋xΔx＝lim Δx→0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x x ＋Δx －1x ＋Δx＋x＝－1x 2－12x．∴y′|x ＝4＝－116－14＝－516,∴曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程为：y ＋74＝－516(x －4)． 即5x ＋16y ＋8＝0．10．已知曲线f(x)＝x ＋1x 上一点A(2,52),用导数定义求函数f(x)：(1)在点A 处的切线的斜率； (2)在点A 处的切线方程．[解析] (1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋12＋Δx －(2＋12)＝－Δx22＋Δx ＋Δx ,Δy Δx ＝－Δx22＋Δx ＋ΔxΔx ＝－122＋Δx＋1,∴lim Δx→0 Δy Δx ＝lim Δx→0[－122＋Δx ＋1]＝34,故点A 处的切线的斜率为34．(2)切线方程为y －52＝34(x －2),即3x －4y ＋4＝0．B 级 素养提升一、选择题1．(2018·开封高二检测)已知y ＝f(x)的图象如图,则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( B )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定[解析] 由图可知,曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小,结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B ),选B ．2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,π4],则点P 横坐标的取值范围为( A )A ．[－1,－12]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[12,1][解析] 考查导数的几何意义．由导数的定义可得y′＝2x ＋2,且切线倾斜角θ∈[0,π4],∴切线的斜率k 满足0≤k≤1,即0≤2x＋2≤1, ∴－1≤x≤－12．二、填空题3．如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则lim Δx→0 f1＋Δx －f 1Δx＝－2．[解析] 由导数的概念和几何意义知,lim Δx→0f 1＋Δx －f 1Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2．4．(2018·全国卷Ⅱ理,13)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ．[解析] ∵ y ＝2ln(x ＋1),∴ y′＝2x ＋1．令x ＝0,得y′＝2,由切线的几何意义得切线斜率为2,又切线过点(0,0),∴ 切线方程为y ＝2x ．三、解答题5．(2016·天津联考)设函数f(x)＝x 3＋ax 2－9x －1(a<0),若曲线y ＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行,求a 的值．[解析] ∵Δy＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝(x 0＋Δx)3＋a(x 0＋Δx)2－9(x 0＋Δx)－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx＋(3x 0＋a)(Δx)2＋(Δx)3, ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a)Δx＋(Δx)2． 当Δx 无限趋近于零时,Δy Δx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9．即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9, ∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a23．当x 0＝－a 3时,f ′(x 0)取最小值－9－a23．∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行, ∴该切线斜率为－12． ∴－9－a23＝－12．解得a ＝±3．又a<0,∴a ＝－3．6．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝f(x)＝x 3－2x 2＋3相切,求a 的值及切点坐标． [解析] 设直线l 与曲线C 相切于点P(x 0,y 0), ∵f′(x)＝lim Δx→0 fx ＋Δx －f xΔx＝lim Δx→0x ＋Δx3－2x ＋Δx 2＋3－x 3－2x 2＋3Δx＝3x 2－4x,∴k ＝f′(x 0)＝3x 20－4x 0． 由题意可知k ＝4,即3x 20－4x 0＝4, 解得x 0＝－23或x 0＝2,∴切点的坐标为(－23,4927)或(2,3)．当切点为(－23,4927)时,有4927＝4×(－23)＋a,解得a ＝12127．当切点为(2,3)时,有3＝4×2＋a,解得a ＝－5． ∴当a ＝12127时,切点坐标为(－23,4927)；当a ＝－5时,切点坐标为(2,3)．C 级 能力拔高已知曲线f(x)＝x 2＋1和g(x)＝x 3＋x 在其交点处两切线的夹角为θ,求cosθ．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y ＝x 3＋x ，得x 3－x 2＋x －1＝0,即(x －1)(x 2＋1)＝0,解得x ＝1, 所以交点P(1,2)．因为f′(1)＝lim Δx→0 1＋Δx 2＋1－2Δx ＝2,所以其切线l 1的方程为y －2＝2(x －1),即y ＝2x ． 因为g′(1)＝lim Δx→01＋Δx3＋1＋Δx－1＋1Δx＝4,所以其切线l 2的方程为y －2＝4(x －1), 即y ＝4x －2．取切线l 1的方向向量为a ＝(1,2),切线l 2的方向向量为b ＝(1,4), 则cosθ＝a·b |a||b|＝95×17＝985＝98585．。

《数学选修2-2》导数及其应用(一)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1.若函数 在区间 内可导,且 则 的值为( ) A.0()f x ' B.02()f x ' C.02()f x '- D.02.一个物体的运动方程为 其中 的单位是米, 的单位是秒,那么物体在 秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒 3.曲线 在点 处的切线倾斜角为( )A.34π B.2π C.4π D.6π 4.曲线 在 处的切线平行于直线 ,则 点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(1,4)--D.(1,0)和(1,4)-- 5.若 ,则 等于( )A.cos αB.sin αC.sin cos αα+D.2sin α 6.若曲线 的一条切线 与直线 垂直,则 的方程为( )A.430x y --=B.450x y +-=C.430x y -+=D.430x y ++= 7、对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则 数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是( ) A.2n B.22n - C.12n + D.122n +-8、已知32()967,f x ax x x =++-若(1)4f '-=,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.103 D.1339、二次函数()y f x =的图象过原点,且它的导函数()y f x '=的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数()y f x =的图象的顶点所在象限是( )A.第一B.第二C.第三D.第四10、已知函数)(x f y =的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是x y 21=+2,则(1)(1)f f '+的值等于( )A.1B.52C.3D.0 11.下列式子不正确的是( )A.()23cos 6cos sin x x x x x x x '+=+- B.23112ln x x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C.............D.12.设 ,函数 的导函数是 ,且 是奇函数.若曲线 的一条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为 ( )A.ln 2B.ln 2-C.ln 22D.ln 22-第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13.已知函数 的图象上的一点 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy. 14.曲线 在点(1,一3)处的切线方程是___________15、在平面直角坐标系 中,点P 在曲线 上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标... .16.已知函数 是定义在R 上的奇函数, , ,则不等式 的解集是 .三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)已知函数))(2ln(2)(2R a x ax x f ∈-+=,设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线为l ,若l 与圆41:22=+y x C 相切,求a 的值.18、(12分)设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<,且()()f x f x '+为奇函数. (1)求ϕ的值;(2)求()'()f x f x +的最值.19、(12分)已知a ∈R ,函数2()()f x x x a =-,若(1)1f '=.(1)求a 的值并求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程()y g x =;(2)设()()()h x f x g x '=+,求()h x 在[0,1]上的最大值与最小值.20、(12分)设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线1870x y +-=垂直,导函数'()f x 的最小值为12.(1)求a ,b ,c 的值; (2)设2()()f x g x x =,当0x >时,求()g x 的最小值.21.(12分)设函数()bf x ax x=-,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=. (1)求()f x 的解析式;(2)证明:曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值,并求此定值.22.(14分)已知关于x 的方程sin ((0,1))xk k x=∈在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,从小到大依次为1234,,,x x x x .(1)求证:44tan x x =;(2)是否存在常数k ,使得234,,x x x 成等差数列?若存在求出k 的值,否则说明理由.参考答案1.B 000000()()()()limlim 2[]2h h f x h f x h f x h f x h h h →→+--+--=0000()()2lim 2()2h f x h f x h f x h→+--'==.2.C ()21,(3)2315s t t s ''=-=⨯-=.3.A 21334,|1,tan 1,4x y x k y αα=''=-==-=-=π. 4.D 设切点为0(,)P a b ,22()31,()314,1f x x k f a a a ''=+==+==±,把1a =-, 代入到3()2f x x x 得4b =-;把1a =,代入到3()2f x x x 得0b =,所以0(1,0)P 和(1,4)--.5.B ()sin ,()sin f x x f αα''==.6.A 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=.7.D ()()11222,:222(2)n n n x y n y n x --='=-++=-+-切线方程为,令0x =,求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012ny n =+,所以21n n a n =+,则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212n n n S +-==--8.B2()3186f x ax x '=++,由(1)4,f '-=得31864a -+=,即163a =. 9.C 设2(),()2f x ax bx f x ax b '=+=+,()f x '的图象是过第一、二、三象限的一条直线,故20,0a b >>,又22()24b b f x a x a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,即项点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限. 10.C 由已知切点在切线上,所以f (1)=25221=+,切点处的导数为切线斜率,所以1(1)2f '＝,所以(1)(1)f f '+＝311.D 2sin cos sin x x x xx x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭12.A '()x xf x e ae-=-,()f x '是奇函数'(0)10f a =-=,∴1a =,有'()x xf x e e-=-,设切点为00(,)x y ,则0003'()2xx f x e e -=-=,得02x e =或012xe =-(舍去),∴0ln 2x =. 13.3x -∆22(1)(1)y x x -+∆=--+∆+-+∆∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 14.520x y +-= 易判断点(1,-3)在曲线32242y x x x =--+上,故切线的斜率()211|344|5x x k y x x =='==--=-,∴切线方程为()351y x +=--,即520x y +-=15.(-2,15) 231022y x x '=-=⇒=±,又点P 在第二象限内,∴2x =-,得点P 的坐标为(-2,15)16.),1()0,1(+∞- 可得()'()f x f x x>,由导数的定义得,当01x <<时, ()(1)()1f x f f x x x->-,又0)1(=f ,()(1)()xf x x f x <-,∴()0f x <;当1x >时, 同理得()0f x <.又)(x f 是奇函数,画出它的图象得()0f x >⇒(1,0)(1,)x ∈-+∞.17.解:依题意有:)2(222)(,)1(<-+='=x x ax x f a f , l ∴的方程为02)1(2=-+--a y x a l 与圆相切,811211)1(4|2|2=⇒=+--∴a a a ∴a 的值为118.18.解:(1)()'()f x f x +))ϕϕ=+-+5)6πϕ=++, 又0ϕ<<π,()'()f x f x +是奇函数,∴=ϕ6π.(2)由(1)得()'()f x f x +)=+π=-. ∴()'()f x f x +的最大值为2,最小值为2-.19、解:(1)2()32f x x ax '=-,由(1)1f '=得321a -=,所以1a =; 当1a =时,32()f x x x =-,(1)0f =,又(1)1f '=,所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为01(1)y x -=⨯-,即()1g x x =-;(2)由(1)得22113()313()612h x x x x =--=--, 又(0)1h =-,(1)1h =,113()612h =-, ∴()h x 在[0,1]上有最大值1,有最小值1312. 20.解:(1)∵()f x 为奇函数,∴()()f x f x -=-,即33ax bx c ax bx c --+=---, ∴0c =,又∵2'()3f x ax b =+的最小值为12,∴12b =;又直线1870x y +-=的斜率为118- ,因此,'(1)318f a b =+=, ∴2a =, ∴2a =,12b =,0c =为所求.(2)由(1)得3()212f x x x =+,∴当0x >时,2()()f x g x x=62()2x x =+≥⋅=,∴()g x的最小值为.21.解:(1)方程74120x y --=可化为734y x =-. 当 时, .又 , 于是 解得.,故 .(2)设00(,)P x y 为曲线上任一点,由231y x'=+知曲线在点00()P x y ，处的切线方程为 002031()y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭,即00200331()y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令0x =得06y x =-,从而得切线与直线0x =的交点坐标为060x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 令y x =得02y x x ==,从而得切线与直线y x =的交点坐标为00(22)x x ，. 所以点00(,)P x y 处的切线与直线0x =,y x =所围成的三角形面积为016262x x-=. 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =,y x =所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.22.解:(1)由原方程得sin (0)x kx x =≠,设函数()sin f x x =,()g x kx =(0)x ≠,它们的图象如图所示:方程得sin (0)x kx x =≠在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,4x 必是函数()g x kx =与()sin f x x =在5(2,)2ππ内相切时切点的横坐标,即切点为44(,sin )x x ,()g x kx =是()sin f x x =的切线. 由 ,∴ ,又∵ ,于是 .(2)由题设知23x x =-,又234,,x x x 成等差数列,得3242x x x =+,∴3413x x =. 由33sin x kx =,得4411sin 33x kx =,即441sin 3sin 3x x =. 由题设45(2,)2x π∈π,得425(,)336x ππ∈,∴41sin(,322x ∈,有433sin (,322x ∈,即43sin (,)22x ∈,与4sin 1x <矛盾! 故不存在常数k 使得234,,x x x 成等差数列。

山东省临沂一中周末自主小练习导数练习二1.若函数f (x )在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f (b )≤0，则函数f(x )在（a ，b ）内有（ ）（A ）()0f x > （B ）()0f x < （C ）()0f x = （D ）无法确定 2.已知()sin f x x =，则()'1f =( )（A ）31+cos1 （B ）31sin1+cos1 （C ）31sin1-cos1 （D ）sin1+cos1 3．已知函数3)1(3)1(3)(23+++-+=x m x m x x f 既有极大值，又有极小值，则m 的取值范围是（ ）（A ）03<>m m 或 （B ）03≤≥m m 或 （C ）3>m （D ）0<m4．设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2005(x )＝（ ）（A ）sin x （B ）－sin x （C ）cos x （D）－5．已知函数ƒ(x )=ax 3＋bx 2＋cx 的图象如右图所示，则有（A ）a >0 ,c <0 （B ）a >0,c >0 （C ）a <0,c <0 （D ）a <0,c 6.函数ey -= （ ） 72+68=t 249.求证：若0x >,则ln(1)1x x x+>+; 10．已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=。

⑴求导数)(x f '；⑵若0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值； ⑶若)(x f 在(－∞，－2]和[2，+∞)上都是递增的，求a 的取值范围。

11．（14分）如图，把边长为a 的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖六棱柱盒子，设高为h 所做成的盒子体积V(不计接缝). （1）写出体积V 与高h 的函数关系式；（2）当h a 为多少时，体积V 最大，最大值是多少？(C) (A) (B) 27．3x －y －11＝0；8．1251610．解：⑴由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--='ax x x f⑵由0)1(=-'f 得21=a ,此时有43)(),21)(4()(22--='--=x x x f x x x f . 由0)1(=-'f 得34=x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(==-=--=f f f f所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.2750-⑶解法一:423)(2--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得,0)2(,0)2(≥'≥-'f f 即{480840aa +≥-≥ ∴－2≤a ≤2. 所以a 的取值范围为[－2,2].解法二:令0)(='x f 即,04232=--ax x 由求根公式得:1,212)3a x x x =<所以.423)(2--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负. 由题意可知,当x ≤-2或x ≥2时, )(x f '≥0, 从而x 1≥-2, x 2≤2,即⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-≤+6122.6122a a a a 解不等式组得－2≤a ≤2.∴a 的取值范围是[－2,2]. 11．解：（1）六棱柱的底边长（h a 332-）cm ， 底面积为（2332436⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅h a ）cm 2 ∴体积V ＝h h a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-233223 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-h a ah h 223433332 （2）V ′＝0433*******=⎪⎭⎫⎝⎛+-a ah h 得a h 63=或a h 23=（舍去）∴当a h 63 cm 时V 有最大值33a cm 3。

《导数及其应用》训练题一、选择题（每小题5分,共50分）1．设函数()y f x =可导，则0(1)(1)lim 3x f x f x ∆→+∆-∆等于（）．A ．'(1)fB ．3'(1)fC ．1'(1)3f D ．以上都不对２．已知物体的运动方程是43214164S t t t =-+（t 表示时间，S 表示位移），则瞬时速度为0的时刻是（）．A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒３．若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（）．A．6B．C ．23D ．23或0４．若点P在曲线3233(34y x x x =-++上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）．A ．[0,]πB ．2[0,)[,)23πππU C ．2[,)3ππD ．2[0,)(,)223πππU ５．设'()f x 是函数()f x 的导数，'(y f x =()y f x =的图像最有可 能的是（）．'()f x６．函数3()2fx x ax =+-在区间[1,)+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（）．A ．[3,)+∞B ．[3,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-７．已知函数32()f x x px qx =--的图像与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极大值、极小值分别为（）．A ．427，0B ．0，427C ．427-，0D ．0，427- 8．由直线21=x ，2=x ，曲线xy 1=及x 轴所围图形的面积是（）．A.415B.417C.2ln 21 D.2ln2 9．函数3()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则（）．A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <10．21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a 的值为（）．A ．18B ．14C ．12D ．1 二、填空题（每小题5分，共20分）11．由定积分的几何意义可知⎰--2224x =___________．12．函数)0(ln )(>=x x x x f 的单调递增区间是 ．13．已知函数()ln f x ax x =-，若()1f x >在区间(1,)+∞内恒成立，则实数a 的范围为_______________．14．设函数()mf x x ax =+的导数为'()21f x x =+，则数列*1{}()()n f n ∈N 的前n 项和是______________．三、解答题（共6题，共80分）15.（本题12分） 求经过点(2,0)且与曲线1y x=相切的直线方程. C D16．（本题12分）已知1x >，求证：ln(1)x x >+．17．（本题14分）已知函数32()39f x x x x a =-+++，（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．18．（本题1４分）已知函数432()41f x x x ax =-+-在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减，（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设2()1g x bx =-，若方程()()f x g x =的解集恰有3个元素，求b 的取值范围．19．（本题1４分）某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格。

人教A 版选修2-2 导数的计算 课时作业1.（福建省宁德市一中2018-2019学年期中）函数()()22sin f x ex x =+的导数是（ ） A ．()'4cos f x ex x =+ B ．()'4cos f x ex x =-C ．()2'8cos f x e x x =+D ．()2'8cos f x e x x =-【答案】C【解析】根据题意，()()2222sin 4sin f x ex x e x x =+=+， 其导数()()()222'4'sin '8cos f x e x x e x x =+=+， 故选C 。

2.（甘肃省武威第一中学2018-2019学年月考）函数()ln f x x x =在点1x =处的切线斜率为（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】函数()ln f x x x =，求导得()ln 1f x x ='+.所以()11f '=，即函数()ln f x x x =在点1x =处的切线斜率为1，故选C 。

3.（江西省临川第一中学2018-2019学年月考）直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点()13A ，，则k 的值等于( )A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】A【解析】因为直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点(1,3)A ，所以直线1y kx =+经过点(1,3)A ，312k k ∴=+⇒=，故本题选A 。

4.（贵州省铜仁市第一中学2018-2019学年期中）曲线ln y x =在点A 处的切线与直线10x y -+=平行，则点A 的坐标为（ ）A ．1e （，）B ．10（，）C ．1(,1)e- D ．2(,2)e【答案】B【解析】设A 点的坐标为00(,ln )x x ，0011ln x x y x y k y xx ==⇒='⇒='=，由题意可知，切线与直线10x y -+=平行，所以00111x x =⇒=，所以点A 的坐标为(1,0)，故本题选B 。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作东至三中2007-2008学年度高二数学单元试题（1）（选修2-2）导数及其应用测试题得分一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分)1. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为 A.1 B.2 C.－1 D. 0 【 】2. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 【 】 A ．(x-1)3+3(x-1) B ．2(x-1)2C ．2(x-1)D ．x-1 3. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则(1)(1)3limx f x f x x→--+= 【 】A ．3B ．23-C ． 13D ．32- 4.已知对任意实数x ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时 【 】Ａ．()0f x '>，()0g x '> Ｂ．()0f x '>，()0g x '< Ｃ．()0f x '<，()0g x '> Ｄ．()0f x '<，()0g x '<5．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 【 】A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x6. 设)(,)(3bx a f x x f -=的导数是 【 】 A )(3bx a - B 2)(32bx a b -- C 2)(3bx a b - D 2)(3bx a b -- 7．一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=41t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是 A. 4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 【 】8．函数313y x x =+- 有 【 】A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值29. 点P 在曲线323+-=x x y 上移动时，过点P 的切线的倾斜角的取值范围是 【 】 A ],0[π B ),43[)2,0(πππ⋃ C ]43,2[]2,0[πππ⋃ D ),43[]2,0[πππ⋃10．函数12)(2++=ax ax x f 在[-3，2]上有最大值4。

马鸣风萧萧高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高二选修2-2测试题(导数及其简单应用)一、选择题（本大题共有10小题，每小题5，共50分）2．若函数f(x)=2x 2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)， 则xy∆∆=（ ） A 4 B 4Δx C 4+2Δx D 2Δx 3.若()()()kx f k x f x f k 2lim,20000--='→则的值为（ ）A ．-2 B. 2 C.-1 D. 14、曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4) 5.函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 6.设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为（ ）A ．单调递增，B 、有增有减C 、单调递减，D 、不确定 9. 抛物线y =(1-2x)2在点x =32处的切线方程为（ ） A. y =0 B .8x －y －8=0 C ． x =1 D . y =0或者8x －y －8=010.函数()12ln 2+=x y 的导数是( ) A.1242+x x B. 1212+xC.()10ln 1242+x x D. ()ex x22log 124+二、填空题(每小题5分，共20分)11.若f(x)=x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是_________12.若函数a x x y +-=2323在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是______________三、解答题：本大题6小题，共80分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)。

17. (本题满分14分)已知函数f(x)=4x 3+ax 2+bx ＋5在x=－1与x=32处有极值。

第一章 1.3 1.3.2A 级 基础巩固一、选择题1．已知函数y ＝f(x)在定义域内可导,则函数y ＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y ＝f(x)在这点处取得极值的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件[解析] 根据导数的性质可知,若函数y ＝f(x)在这点处取得极值,则f ′(x)＝0,即必要性成立；反之不一定成立,如函数f(x)＝x 3在R 上是增函数,f ′(x)＝3x 2,则f ′(0)＝0,但在x ＝0处函数不是极值,即充分性不成立．故函数y ＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y ＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件,故选B ． 2．函数y ＝2x 3－6x 2－18x ＋7( A )A ．在x ＝－1处取得极大值17,在x ＝3处取得极小值－47B ．在x ＝－1处取得极小值17,在x ＝3处取得极大值－47C ．在x ＝－1处取得极小值－17,在x ＝3处取得极大值47D ．以上都不对[解析] y′＝6x 2－12x －18,令y′＝0,解得x 1＝－1,x 2＝3．当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况见下表：x (－∞,－1)－1 (－1,3) 3 (3,＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋f(x)极大值极小值3．函数y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为( B )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] y′＝x 3－x 2＝x 2(x －1),由y′＝0得x 1＝0,x 2＝1． 当x 变化时,y′、y 的变化情况如下表x (－∞,0) 0 (0,1) 1 (1,＋∞) y′ － 0 － 0 ＋y无极值极小值故选B ．4．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列,且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b,c),则ad 等于( A ) A ．2 B ．1 C ．－1D ．－2[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列,∴ad ＝bc, 又(b,c)为函数y ＝3x －x 3的极大值点, ∴c ＝3b －b 3,且0＝3－3b 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.∴ad ＝2．5．已知f(x)＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值,则a 的取值范围是( C ) A ．－1<a<2 B ．－3<a<6 C ．a<－3或a>6D ．a<－1或a>2[解析] f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋a ＋6, ∵f(x)有极大值与极小值, ∴f ′(x)＝0有两不等实根,∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0,∴a<－3或a>6．6．(2018·全国卷Ⅲ理,7)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( D )ABCD[解析] f′(x)＝－4x 3＋2x,则f′(x)>0的解集为－∞,－22∪0,22,f(x)单调递增；f′(x)<0的解集为－22,0∪22,＋∞,f(x)单调递减． 故选D ． 二、填空题7．函数y ＝xe x在其极值点处的切线方程为y ＝－1e．[解析] y ＝f(x)＝xe x ⇒f ′(x)＝(1＋x)e x,令f ′(x)＝0⇒x ＝－1,此时f(－1)＝－1e ,函数y ＝xe x在其极值点处的切线方程为y ＝－1e．8．若函数f(x)＝x 3－2mx 2＋m 2x 在x ＝1处取得极小值,则实数m ＝1． [解析] ∵f ′(x)＝(3x －m)(x －m) 由题意得：f ′(1)＝(3－m)(1－m)＝0 ∴m ＝3或m ＝1．经检验知,当m ＝3时,在x ＝1处取得极大值． 当m ＝1时,在x ＝1处取得极小值．∴m ＝1． 三、解答题9．(2018·天津文,20)设函数f(x)＝(x －t 1)(x －t 2)(x －t 3),其中t 1,t 2,t 3∈R,且t 1,t 2,t 3是公差为d 的等差数列．(1)若t 2＝0,d ＝1,求曲线y ＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (2)若d ＝3,求f(x)的极值．[解析] (1)由已知,可得f(x)＝x(x －1)(x ＋1)＝x 3－x,故f′(x)＝3x 2－1．因此f(0)＝0,f′(0)＝－1．又因为曲线y ＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y －f(0)＝f′(0)(x－0),故所求切线方程为x ＋y ＝0．(2)由已知可得f(x)＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3)＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2． 故f′(x)＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9．令f′(x)＝0,解得x ＝t 2－3或x ＝t 2＋3． 当x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表：函数f(x)的极小值为f(t 2＋3)＝(3)3－9×3＝－63． 10．(2018·北京文,19)设函数f(x)＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x． (1)若曲线y ＝f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a ； (2)若f(x)在x ＝1处取得极小值,求a 的取值范围． [解析] (1)解：因为f(x)＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x, 所以f′(x)＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x , f′(2)＝(2a －1)e 2．由题设知f′(2)＝0,即(2a －1)e 2＝0,解得a ＝12．(2)解：由(1)得f′(x)＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x＝(ax －1)(x －1)e x．若a>1,则当x ∈1a ,1时,f′(x)<0；当x ∈(1,＋∞)时,f′(x)>0． 所以f(x)在x ＝1处取得极小值． 若a≤1,则当x ∈(0,1)时,ax －1≤x－1<0, 所以f′(x)>0．所以1不是f(x)的极小值点． 综上可知,a 的取值范围是(1,＋∞)．B 级 素养提升一、选择题1．(2018·杭州二模)已知a ＞0且a≠1,则函数f(x)＝(x －a)2lnx( C ) A ．有极大值,无极小值 B ．有极小值,无极大值 C ．既有极大值,又有极小值 D ．既无极大值,又无极小值[解析] ∵a ＞0 且 a≠1,函数 f (x)＝(x －a)2lnx,∴f′(x)＝2(x －a)lnx ＋x －a2x＝(x －a)(2lnx ＋1－ax),由f′(x)＝0,得x ＝a 或2lnx ＋1－ax ＝0,由方程2lnx ＋1－ax＝0,作出g(x)＝2lnx ＋1和h(x)＝－ax的图象,结合图象得g(x)＝2lnx ＋1和h(x)＝－ax的图象有交点,∴方程2lnx ＋1－ax＝0有解,由此根据函数的单调性和极值的关系得到： 函数f (x)＝(x －a)2lnx 既有极大值,又有极小值． 故选C ．2．对于三次函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a≠0),给出定义：设f ′(x)是函数y ＝f(x)的导数,f″(x)是f ′(x)的导数,若方程f″(x)＝0有实数解x 0,则称点(x 0,f(x 0))为函数y ＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝13x 3－12x 2＋3x －512,则g(12017)＋g(22017)＋…＋g(20162017)＝( B )A ．2015B ．2016C ．2017D ．2018[解析] 函数的导数g′(x)＝x 2－x ＋3, g″(x)＝2x －1,由g″(x 0)＝0得2x 0－1＝0,解得x 0＝12,而g(12)＝1,故函数g(x)关于点(12,1)对称,∴g(x)＋g(1－x)＝2,故设g(12017)＋g(22017)＋…＋g(20162017)＝m,则g(20162017)＋g(20152017)＋…＋g(12017)＝m,两式相加得2×2016＝2m,则m ＝2016．故选B ． 二、填空题3．(2018·广西二模)若函数f(x)＝x 3－3x 2－a(a≠0)只有2个零点,则a ＝0或－4． [解析] f(x)＝f(x)＝x 3－3x 2－a则f′(x)＝3x 2－6x,令3x 2－6x ＝0,可得x ＝0或x ＝2,即函数有两个极值点, 函数f(x)＝x 3－3x 2－a(a≠0)只有2个零点, 由f(0)＝－a ＝0得a ＝0,由f(2)＝8－12－a ＝0得a ＝－4,综上a ＝0或－4时,f(x)有且只有2个零点． 故答案为0或－4．4．(2018·全国一模)已知函数f(x)＝xlnx ＋12x 2,x 0是函数f(x)的极值点,给出以下几个命题：①0<x 0<1e ；②x 0>1e ；③f(x 0)＋x 0＜0；④f(x 0)＋x 0＞0；其中正确的命题是①③．(填出所有正确命题的序号) [解析] ∵函数f(x)＝xlnx ＋12x 2,(x ＞0)∴f′(x)＝lnx ＋1＋x,易得f′(x)＝lnx ＋1＋x 在(0,＋∞)递增, ∴f′(1e )＝1e ＞0,∵x→0,f′(x)→－∞,∴0＜x 0＜1e ,即①正确,②不正确；∵lnx 0＋1＋x 0＝0∴f(x 0)＋x 0＝x 0lnx 0＋12x 20＋x 0＝x 0(lnx 0＋12x 0＋1)＝－12x 20＜0,即③正确,④不正确．故答案为①③． 三、解答题5．(2018·保定二模)已知函数f(x)＝alnx －bexx (a,b ∈R 且a≠0,e 为自然对数的底数)．若曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线斜率为0,且f(x)有极小值,求实数a 的取值范围．[解析] f(x)＝alnx ＋be xx ,(x ＞0),求导f′(x)＝a1－lnx －bexx －1x2,由f′(e)＝0,则b ＝0,则f′(x)＝a1－lnxx2, 当a ＞0时,f′(x)在(0,e)内大于0,在(e,＋∞)内小于0, ∴f(x)在(0,e)内为增函数,在(e,＋∞)为减函数, ∴f(x)有极大值无极小值；当a ＜0时,f(x)在(0,e)为减函数,在(e,＋∞)为增函数, ∴f(x)有极小值无极大值； ∴实数a 的取值范围(－∞,0)．6．(2018·全国卷Ⅲ理,21)已知函数f(x)＝(2＋x ＋ax 2)ln(1＋x)－2x ． (1)若a ＝0,证明：当－1＜x ＜0时,f(x)＜0；当x ＞0时,f(x)＞0； (2)若x ＝0是f(x)的极大值点,求a ．[解析] (1)证明：当a ＝0时,f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x, f′(x)＝ln(1＋x)－x1＋x． 设函数g(x)＝f′(x)＝ln(1＋x)－x1＋x,则g′(x)＝x 1＋x2．当－1＜x ＜0时,g′(x)＜0；当x ＞0时,g′(x)＞0,故当x ＞－1时,g(x)≥g(0)＝0,且仅当x ＝0时,g(x)＝0,从而f′(x)≥0,且仅当x ＝0时,f′(x)＝0．所以f(x)在(－1,＋∞)单调递增．又f(0)＝0,故当－1＜x ＜0时,f(x)＜0；当x ＞0时,f(x)＞0． (2)解：(ⅰ)若a≥0,由(1)知,当x ＞0时,f(x)≥(2＋x)ln(1＋x)－2x ＞0＝f(0), 这与x ＝0是f(x)的极大值点矛盾． (ⅱ)若a ＜0, 设函数h(x)＝f x 2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x)－2x2＋x ＋ax2．由于当|x|＜min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时,2＋x ＋ax 2＞0, 故h(x)与f(x)符号相同．又h(0)＝f(0)＝0,故x ＝0是f(x)的极大值点, 当且仅当x ＝0是h(x)的极大值点．h′(x)＝11＋x －22＋x ＋ax 2－2x 1＋2ax2＋x ＋ax22＝x2a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1x ＋1ax 2＋x ＋22．若6a ＋1＞0,则当0＜x ＜－6a ＋14a ,且|x|＜min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时,h′(x)＞0,故x ＝0不是h(x)的极大值点．若6a ＋1＜0,则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1＜0, 故当x ∈(x 1,0),且|x|＜min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时,h′(x)＜0, 所以x ＝0不是h(x)的极大值点． 若6a ＋1＝0,则h′(x)＝x3x －24x ＋1x 2－6x －122,则当x ∈(－1,0)时,h′(x)＞0；当x ∈(0,1)时,h′(x)＜0． 所以x ＝0是h(x)的极大值点,从而x ＝0是f(x)的极大值点． 综上,a ＝－16．C 级 能力拔高设函数f(x)＝x 3－92x 2＋6x －a ．(1)对于任意实数x, f′(x)≥m 恒成立,求m 的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根,求a 的取值范围． [解析] (1)f′(x)＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2),由题意可知当x ∈(－∞,＋∞)时,f′(x)≥m 恒成立,即3x 2－9x ＋(6－m)≥0恒成立,所以Δ＝81－12(6－m)≤0,解得m≤－34,即m 的最大值为－34．(2)因为当x<1时,f′(x)>0；当1<x<2时,f′(x)<0； 当x>2时,f′(x)>0,所以当x ＝1时,f(x)取极大值f(1)＝52－a ；当x ＝2时,f(x)取极小值f(2)＝2－a ．故当f(2)>0或f(1)<0时,f(x)＝0仅有一个实根, 解得a<2或a>52．。

导数练习题1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与mx x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值．7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．（本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立． 9．（本小题满分12分）已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意10．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． 11．（本小题满分12分）设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 12．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．导数练习题答案1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与mx x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分）（I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f 得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=0323233c d b a c b a d …………（4分）（II ）依题意3)2('-=f 且5)2(=f⎩⎨⎧=+--+-=--+534648323412b a b a b a b a解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分） （III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点； ()()()42381432--=+-='x x x x x g ，x⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-32,32⎪⎭⎫⎝⎛432， 4()∞+，4()x g ' + 0 - 0 + ()x g增极大值减极小值增()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,276832． …………（10分） 当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点， 故而，276816<<-m 为所求． …………（12分）2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．解：（I ）)0()1()('>-=x xx a x f（2分）当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞<x f a 当a=1时，)(x f 不是单调函数 （5分）（II ）32ln 2)(,22343)4('-+-=-==-=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x mx x g （6分）2)0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间⎩⎨⎧><∴.0)3(',0)1('g g （8分）⎪⎩⎪⎨⎧>-<∴,319,3m m （10分）)3,319(--∈m （12分）3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．解：（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f),323)(1()32(23)(2++-=+-+='∴a x x a ax x x f由33210)(+-==⇒='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值，所以31332-<⇒>+-a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ；…………（4分） （II ）由下表：x)1,(-∞1)332,1(+-a332+-a ),332(+∞+-a)(x f '+ 0 - 0 - )(x f递增极大值2--a递减极小值 2)32(276++a a递增依题意得：9)32()32(27622+-=++a a a ，解得：9-=a所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-=…………（10分）（III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα在区间[-2，2]有： 230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f ,7)1()(=f x f 的最大值是7430368)2()(-=---=-f x f 的最小值是 函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81， 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．…………（14分） 4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分） ∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >． …………（4分）（II ）xa x a x x a x x g )22)(22(22)(-+=-='，由0)(='x g ，得22ax =，列表x)22,0(a 22a ),22(+∞a)(x g ' - 0 +)(x g单调递减 极小值 单调递增当22ax =时，函数)(x g y =取极小值)2ln 1(2)22(aa a g -=，无极大值． …………（6分）由（I ）a e a >，∵⎪⎩⎪⎨⎧>>22a a e e aa ，∴22a e a>，∴22ae a >01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分）（i ）当122≤a，即20≤<a 时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点 （ii ）当122>a ，即2>a 时若0)2ln 1(2>-a a ，即e a 22<<时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点若0)2ln 1(2=-a a ，即e a 2=时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =；若0)2ln 1(2<-a a ，即e a 2>时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点；综上所述，)(x g y =在(1,)a e 上，我们有结论：当02a e <<时，函数()f x 无零点； 当2a e = 时，函数()f x 有一个零点； 当2a e >时，函数()f x 有两个零点．…………（12分） 5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 解：（I ）当1k =时，2()1x f x x -'=-)(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ………………（2分）∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<， ∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)+∞在上是减函数∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f = ………………（4分）（II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点， ∴函数()f x 有零点，不合要求； ………………（8分）②当0k >时，1()11()111kk x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分）令1()0,k f x x k +'==得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1(1,),()0x f x k'∈++∞<时，∴1()(1,1)f x k +在内是增函数，1[1,)k++∞在上是减函数，∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k+=-，∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >，因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞．………………（10分） 6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值．解：（I ）由2()(23)x f x x ax a e =+--可得22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……（4分）∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '=∴2(5)0a e +=，解得5a =- ……………（6分） （II ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f ，得)(x f 在)1,(-∞递增，在),2(+∞递增，由0)(<'x f ，得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f =是()f x 在]3,23[∈x 的最小值； ……………（8分）2347)23(e f =，3)3(e f = ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=-∴()f x 在]3,23[∈x 的最大值是3)3(e f =． ……………（12分）7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值．解：（Ⅰ）x x x x f ln 164)(2--=，xx x x x x f )4)(2(21642)('-+=--= 2分由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ，解得4>x 或2-<x 注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递增区间是（4，+∞） 由0)('<x f 得0)4)(2(<-+x x ，解得-2＜x ＜4，注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(. 综上所述，函数)(x f 的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0( 6分 （Ⅱ）在],[2e e x ∈时，x a x x x f ln )2(4)(2-+-= 所以xax x x a x x f -+-=-+-=242242)('2， 设a x x x g -+-=242)(2当0<a 时，有△=16+4×208)2(<=-a a ，此时0)(>x g ，所以0)('>x f ，)(x f 在],[2e e 上单调递增， 所以a e e e f x f -+-==24)()(2min 8分当0>a 时，△=08)2(2416>=-⨯-a a ， 令0)('>x f ，即02422>-+-a x x ，解得221a x +>或221a x -<； 令0)('<x f ，即02422<-+-a x x ， 解得221a -221ax +<<. ①若221a+≥2e ，即a ≥22)1(2-e 时， )(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==.②若2221e ae <+<，即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间， )(x f 在区间]221,[a e +上单调递减，在区间],221[2e a +上单调递增， 所以min )(xf )221(a f +=)221ln()2(322a a a a +-+--=. ③若221a+≤e ，即a <0≤22)1(-e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2min综上所述，当a ≥222)1(-e 时，a e a x f 244)(24min -+-=；当222)1(2)1(2-<<-e a e 时，)221ln()2(322)(min aa a a x f +-+--=； 当a ≤2)1(2-e 时，a e e x f -+-=24)(2min14分 8．（本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立．解：（I ）226()26a x x af x x x x-+'=-+=， ………………（2分）∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性，∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0， 即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………（4分） ∵226y x x a =-+是对称轴是32x =，开口向上的抛物线，∴222620y a =⋅-⋅+<的实数a 的取值范围(,4)-∞ ………………（6分）（II ）由（I ）22()2a g x x xx =+-，方法1：2222()()62(0)a g x f x x x x x x '=-+=+->， ∵4a <，∴323233444244()22a x x g x x x x x x -+'=-+>-+=，…………（8分）设2344()2h x x x =-+，3448124(23)()x h x x x x -'=-=()h x 在3(0,)2是减函数，在3(,)2+∞增函数，当32x =时，()h x 取最小值3827∴从而()g x '3827>，∴38(())027g x x '->，函数38()27y g x x =-是增函数，12x x 、是两个不相等正数，不妨设12x x <，则22113838()()2727g x x g x x ->-∴212138()()()27g x g x x x ->-，∵210x x ->，∴1212()()3827g x g x x x ->-∴1212()()g x g x x x --3827>，即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分）方法2：11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点，121222121212()()2()2g x g x x x ax x x x x x -+=+--，12122x x x x +>，4a <12223121212122()422()x x a a x x x x x x x x +∴+->+-31212442()x x x x >+- ………（8分）设121,0t t x x =>，令32()244MN k u t t t ==+-，()4(32)u t t t '=-， 由()0u t '>，得2,3t >由()0u t '<得20,3t <<()u t ∴在)32,0(上是减函数，在),32(+∞上是增函数，)(t u ∴在32=t 处取极小值2738，38()27u t ∴≥，∴所以1212()()g x g x x x --3827>即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分） 9．（本小题满分12分）已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意（1）)(x f 的定义域为),0(+∞，xa x x x a ax x x a a x x f )1)(1(11)('2-+-=-+-=-+-= 2分（i ）若2,11==-a a 即，则 .)1()('2xx x f -=故)(x f 在),0(+∞单调增加． （ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(+∞单调增加．（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即 单调增加．（II ）考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212x x a ax x +-+-= 由 .)11(1)1(121)1()('2---=---⋅≥-+--=a a xa x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞><x g x g a a ，从而当021>>x x 时有 ,0)()(,0)()(212121>-+->-x x x f x f x g x g 即 故1)()(2121->--x x x f x f ，当210x x <<时，有1)()()()(12122121->--=--x x x f x f x x x f x f10．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．解：（I ）(),()1a f x x g x a x''=+=+， ……………（2分）∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当[1,3]x ∈时，2(1)()()()0a x a f x g x x++''⋅=≥恒成立， ……………（4分） 即2(1)()0a x a ++≥恒成立， ∴21a a x >-⎧⎨≥-⎩在[1,3]x ∈时恒成立，或21a a x<-⎧⎨≤-⎩在[1,3]x ∈时恒成立， ∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- ………………（6分）（II ）21()ln ,(1)2F x x a x a x =+-+，()(1)()(1)a x a x F x x a xx--'=+-+=∵()F x 定义域是(0,)+∞，(1,]a e ∈，即1a >∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a +∞是增函数 ∴当1x =时，()F x 取极大值1(1)2M F a ==--，当x a =时，()F x 取极小值21()ln 2m F a a a a a ==--， ………………（8分）∵12,[1,]x x a ∈，∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=- ………………（10分）设211()ln 22G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--，∴1[()]1G a a''=-，∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''>∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>=∴211()ln 22G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数 ………………（12分）∴()()G a G e ≤，即2211(1)()1222e G a e e -≤--=-， 而22211(1)(31)1112222e e e ----=-<-=，∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． ………………（14分） 11．（本小题满分12分）设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 解：（I ）11()0ex f x e xx -'=-==，得1x e= 当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表：x1(0,)e1e1(,)e+∞ ()f x '＋ 0 － ()f x单调递增极大值 单调递减∴当1x e=时，()f x 取得极大值1()2f e=-，没有极小值； …………（4分）（II ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201ln 0x x xx x --= 即20211ln ()0x x x x x --=，设2211()ln ()xg x x x x x =--211211()ln ()x g x x x x x =--，1/211()ln 10x x g x x =->，1()g x 是1x 的增函数， ∵12x x <，∴2122222()()ln ()0xg x g x x x x x <=--=；222211()ln ()x g x x x x x =--，2/221()ln 10x x g x x =->，2()g x 是2x 的增函数， ∵12x x <，∴1211111()()ln ()0xg x g x x x x x >=--=，∴函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ， …………（10分）又∵22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 是增函数， ∴函数2121()ln x x xg x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立…………（12分）（方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-， 即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-， 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x >∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………（10分）∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数 ∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（12分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分．12．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >． 解：（I ）22log (24)0x x -+>，即2241x x -+> ……………………（2分）得函数()f x 的定义域是(1,3)-， ……………………（4分） （II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为－8的切线， 又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ++='>+++∴存在实数b 使得⎪⎩⎪⎨⎧>+++-<<--=++1114823020300020bx ax x x b ax x 有解， ……………………（6分）由①得,238020ax x b ---=代入③得082020<---ax x ，200028041x ax x ⎧++>⎪∴⎨-<<-⎪⎩由有解， ……………………（8分） 方法1：0082()()a x x <-+-，因为041x -<<-，所以0082()[8,10)()x x -+∈-， 当10a <时，存在实数b ，使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线………………（10分）方法2：得08)1()1(208)4()4(222>+-⨯+-⨯>+-⨯+-⨯a a 或，1010,10.a a a ∴<<∴<或 ………………（10分） 方法3：是222(4)(4)802(1)(1)80a a ⎧⨯-+⨯-+≤⎪⎨⨯-+⨯-+≤⎪⎩的补集，即10a < ………………（10分）（III ）令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xx x xx h x x x x h +-+='≥+=由 又令,0),1ln(1)(>+-+=x x xxx p 0)1(11)1(1)(22<+-=+-+='∴x x x x x p ， ),0[)(+∞∴在x p 单调递减. ……………………（12）分①②③0()(0)0,1()0,x p x p x h x '∴><=∴≥<当时有当时有),1[)(+∞∴在x h 单调递减，x y y x y x x y y y x x y x )1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时，).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当 ………………（14分）。