·建立一次函数模型

生活中的一次函数模型在商业领域中，广告投入通常是企业提高销售额的重要手段之一、一个生活中的一次函数模型可以是销售额与广告投入之间的关系。

在这个模型中，广告投入被认为是自变量，销售额被认为是因变量。

我们可以通过建立一次函数来描述这种关系，即销售额=k×广告投入+b，其中k和b是函数中的常数。

以家电商公司为例，公司在一年中分别投入了不同数额的广告费用，并且记录了每个广告费用对应的销售额。

通过统计这些数据，我们可以建立一次函数模型来描述销售额与广告投入之间的关系。

假设该公司的数据如下：广告投入（万元），销售额（万元）-------------，-------------5，108，1210，1412，1615，18根据这些数据，我们可以选择任意两个点（x1，y1）和（x2，y2）来计算斜率k，并且选择任意一个点（x1，y1）来计算常数b。

这里我们选择（5，10）和（15，18）作为计算斜率k的点，选择（5，10）作为计算常数b的点。

首先计算斜率k:k=(y2-y1)/(x2-x1)=(18-10)/(15-5)=8/10=0.8然后计算常数b:b=y1-k*x1=10-0.8*5=10-4=6因此，我们得到的一次函数模型为：销售额=0.8×广告投入+6通过这个模型，我们可以预测不同广告投入对应的销售额。

例如，如果公司投入20万元的广告费用，根据模型，我们可以计算：销售额=0.8×20+6=16+6=22因此，我们预测公司投入20万元的广告费用时，销售额可能达到22万元。

该模型还可以用于分析公司目标销售额需要投入多少广告费用。

假设公司希望达到25万元的销售额，我们可以利用一次函数模型计算：25=0.8×广告投入+6将等式变形为：0.8×广告投入=25-6=19广告投入=19/0.8=23.75因此，公司需要投入大约23.75万元的广告费用才能达到目标销售额25万元。

标题：《一次函数的应用》教育内容：培养学生建立数学模型的习惯新的教学课程标准强调要以学生为主，培养学生的应用能力和创新能力，要形成学生“基本数学活动经验和基本数学思想”“初步形、成模型思想”。

这就要求教师在教学中主动联系生活实际，开发教材，为学生设计适合学生的可操作性强的生活问题，使学生自主通过运用所学的数学知识去解决相应的生活问题，从而形成对数学的学习兴趣，形成应用能力和创新能力。

下面我就谈一下自己在教授初二数学《一次函数的应用》时的一点体会:一，在课前：1、先让学生分成了四个小组，各小组想法统计一下自己小组中一名同学的家里固定电话的上一个月的通话时间并做记录。

2、去离学校不远的电信局查询电话的收费方式有几种，并做记录。

二，在上课时：1、回忆一次函数、方程、不等式的相关知识。

2、各小组排一名学生通报自己小组的调查结果。

3、根据自己的调查，思考使用电话和交电话费是由哪些量决定的。

4、对电话费用和通话时间建立一个关系，并把这种关系用数学关系式表示。

5、根据自己建立的关系结合本组调查的那名同学家里使用的费方式计算这名同学上个月家里的电话费用，并把结果和这名同学家里交的电话费做对比。

6、用另外的付费方式计算那名同学家的电话费，并和之前的计算结果做对比。

7、通过上面的计算你认为是哪些量在决定着电话费用，付费方式对电话费用有影响吗？8、你认为你小组里那名学生家的付费方式选择的得当吗？你是怎么挑选付费方式的。

结合函数图象作答。

9、如果给你家安装一个电话，你能给自己选择出合适的付费方方式吗？设计出你的选择方案。

总结反思：在教学中时常能遇到一些创设有关知识情境的问题，这些问题大多数可以结合数学思想、数学方法联系生活进行教学。

在这个教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决生活问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。

只要充分挖掘教材有关内容的内涵和外延，就可以在教学的过程中渗透数学建模思想的教学。

第九讲函数模型及其应用知识梳理·双基自测知识梳理知识点函数模型及其应用1．几类常见的函数模型(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：归纳拓展(a>0，x>0)在区间(0，a]内单调递减，在区间[a，＋∞)1．函数f(x)＝x＋ax内单调递增．2．直线上升、对数增长、指数爆炸．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)(2)幂函数增长比直线增长更快．(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度．(√)(4)不存在x0，使ax0<x a0<log a x0.(×)[解析](1)当x＝－1时，2－1<(－1)2.(2)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(3)对于在(0，＋∞)上的三个增函数来言，指数函数增长最快，其次是幂函数和对数函数．(4)当a∈(0,1)时存在x0，使ax0<x a0<log a x0.题组二走进教材2．(必修1P140T6改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(D)A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P156T14改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.99 2.01 3.98y－0.990.010.98 2.00则对x，y最适合的拟合函数是(D)A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2x[解析]根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.4．(必修1P161T8改编)2022年北京冬奥会上谷爱凌的表现让国人自豪，她夺得冠军的其中一个项是女子U形场地技巧赛．比赛是在一个形状类似于U形的槽子里进行．运动员一般需要在U形槽内做5到6个动作，得分根据动作的腾空高度、转体角、动作的流畅性及美观性来判定．U形槽的结构由宽阔平坦的底部和两侧的凹面斜坡(四分之一的圆管)组成．宽阔的底部是为了使运动员重新获得平衡并为下一个动作做准备．根据下图数据可得U形槽两侧圆管的半径所在平面与地面的夹角及底部的宽度(米)分别为(C)A．18°，6.7B．18°，10.05C．72°，6.7D．72°，10.05[解析]根据U形槽的结构特征即可求解．由题意，因为U形槽两侧圆管的半径所在平面与斜坡面垂直，而斜坡面与地面夹角为18°，所以U形槽两侧圆管的半径所在平面与地面的夹角为90°－18°＝72°，底部的宽度为20.1－6.7×2＝6.7(米)，故选C.题组三走向高考5．(多选题)(2023·新课标Ⅰ，10,5分)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p＝20×lg pp0，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(ACD)A．p1≥p2B．p2>10p3C．p3＝100P0D．p1≤100p2[解析]对于C，由题意知20×lg p3p0＝40，即lg p3p0＝2，所以p3＝100p0，故C正确；对于A，由题意知Lp1≥Lp2，所以20×lg p1p0≥20×lgp2p0，所以p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2＝20×lg p2p0∈[50,60]，所以52≤lgp2p0≤3，所以p 2∈[1052P 0,103P 0]，即p 2≤103p 0＝10p 3，故B 错误；对于D ，L p 1＝20×lg p 1p 0∈[60,90]，所以3≤lg p 1p 0≤92，所以p 1∈[103p 0,1092p 0]，因为100p 2∈[1092p 0,105P 0]，所以p 1≤100p 2，故D 正确，故选ACD.6．(2022·北京高考卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(D )A ．当T ＝220，P ＝1026时，二氧化碳处于液态B ．当T ＝270，P ＝128时，二氧化碳处于气态C ．当T ＝300，P ＝9987时，二氧化碳处于超临界状态D ．当T ＝360，P ＝729时，二氧化碳处于超临界状态[解析]对于A 选项，当T ＝220，P ＝1026，即lg P ＝lg 1026>lg 103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B 选项，当T ＝270，P ＝128，即lg P ＝lg 128∈(lg 102，lg 103)，即lg P ∈(2,3)时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C 选项，当T ＝300，P ＝9987，即lg P ＝lg 9987<lg 104＝4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D 选项，当T ＝360，P ＝729，即lg P ＝lg 729∈(lg 102，lg 103)，即lg P ＝lg 729∈(2,3)时，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态．故选D.考点突破·互动探究函数模型及应用考向1利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透1.(多选题)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(ABC )A ．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B ．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C ．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D ．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒[解析]从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A 正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B 正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C 正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D 错误．2．(2024·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t (年)与树高y (米)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y ＝2t －a ；②y ＝a ＋log 2t ；③y ＝12t ＋a ；④y ＝t ＋a 中(其中a 为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是_②__(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为103米．[解析]由散点图的走势，知模型①不合适．4，73y ＝13＋log 2t ；③y ＝12t ＋13；④y ＝t ＋13，当t ＝1时，代入④中，得y ＝43，与图不符，易知拟合最好的是②.将t ＝8代入②式，得y ＝13＋log 28＝103(米)．名师点拨：1．用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2已知函数模型的实际问题——师生共研所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用I 表示人类能听到的声强范围，其中能听见的1000Hz 声音的声强(约10－12W/m 2)为标准声强，记作I 0，声强I 与标准声强I 0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L ，即L ＝lg I I 0，声强级L 的单位名称为贝(尔)，符号为B ，取贝(尔)的十倍作为响度的常用单位，称为分贝(尔)．简称分贝(dB)．《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，假设张飞大喝一声的响度为140dB ，一个士兵大喝一声的响度为90dB ，如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声，那么这群士兵的人数为(D )A．1万B．2万C．5万D．10万[解析]∵声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L＝lg II0，且I0＝10－12W/m2，且张飞大喝一声的响度为140dB.∴140＝10lg II0，解得I＝I0×1014＝10－12×1014＝100(W/m2)，又一个士兵大喝一声的响度为90dB，∴90＝10lg I1I0，解得I1＝I0×109＝10－12×109＝10－3(W/m2)，∵II1＝10010－3＝105，∴如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声，那么这群士兵的人数为10万，故选D.名师点拨：求解已给函数模型解决实际问题的关注点1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．3．利用该模型求解实际问题．【变式训练】(2023·海南海口二模)在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量X n(单位：μg/μL)与PCR扩增次数n满足X n＝X0×1.6n，其中X0为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1μg/μL，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10μg/μL，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为(参考数据：lg1.6≈0.20，ln1.6≈0.47)(B)A．5B．10C．15D．20[解析]由题意知X0＝0.1，X n＝10，令10＝0.1×1.6n，得1.6n＝100，取以10为底的对数得n lg1.6＝2，所以n＝2lg1.6≈10.故选B.考向3构建函数模型解决实际问题——多维探究角度1一次函数、二次函数分段函数模型某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(单位：万元)与精加工的蔬菜量x(单位：吨)有如下关系：P0≤x≤8，8<x≤14.设该农业合作社将x(单位：吨)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润(扣除加工费)为y(单位：万元)．(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．[解析](1)由题意知，当0≤x≤8时，y＝0.6x＋0.2(14－x)－120x2＝－120x2＋25x＋145，当8<x≤14时，y＝0.6x＋0.2(14－x)－3x＋810＝110x＋2，即y2＋25x＋145，0≤x≤8，2，8<x≤14.(2)当0≤x≤8时，y＝－120x2＋25x＋145＝－120(x－4)2＋185，所以当x＝4时，y max＝18 5 .当8<x≤14时，y＝110x＋2，所以当x＝14时，y max＝17 5 .因为185>175，所以当x＝4时，y max＝185.所以当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为185万元．名师点拨：1．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．2．构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．角度2指数函数与对数函数模型2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s ，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s ，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)(C )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析]设石片第n 次“打水漂”时的速率为v n ，则v n ＝100×0.90n －1.由100×0.90n －1<60，得0.90n －1<0.6，则(n －1)ln 0.90<ln 0.6，即n －1>ln 0.6ln 0.9≈－0.511－0.105≈4.87，则n >5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6.名师点拨：指数函数与对数函数模型的应用技巧1．与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．2．在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．【变式训练】1．(角度1)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a A(a 为常数)，广告效应为D＝a A－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为14a2(用常数a表示)．[解析]令t＝A(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2－12a＋14a2.所以当t＝1 2a，即A＝14a2时，D取得最大值．2．(角度2)(2020·新高考Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)(B) A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天[解析]因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝3.28－16＝0.38，所以I(t)＝e rt＝e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln2，所以t1＝ln2 0.38≈0.690.38≈1.8天，故选B.名师讲坛·素养提升函数y＝x＋ax(a>0)模型及应用杭州市2023年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元．每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入G(x)(单位：万元)与年产量x(单位：万台)满足如下关系式：G(x)－2x，0<x≤20，＋2000x－9000x(x＋1)，x>20.(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万台)的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大年利润．[解析](1)由题意知，W(x)＝xG(x)－80x－50，所以W(x)2x2＋100x－50，0<x≤20，10x－9000x＋1＋1950，x>20.(2)由(1)知．W(x)2(x－25)2＋1200，0<x≤20，960－10(x＋1)＋9000x＋1，x>20，所以当0<x≤20时，W(x)单调递增，则W(x)max＝W(20)＝1150；当x>20时，W(x)≤1960－210(x＋1)·9000x＋1＝1360，当且仅当x＝29时等号成立．由于1360>1150，所以当年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大，为1360万元．名师点拨：1．解决此类问题时一定要关注函数的定义域．2．利用模型f(x)＝x＋ax(a>0)求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．【变式训练】(2022·全国高三专题练习)十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x(百辆)需另投入成本y(万元)，且y＝x2＋100x，0<x<40，x＋10000x－4500，x≥40.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．(1)求出2020年的利润S(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润＝销售额－成本)(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．[解析](1)由题意得当0<x<40时，S(x)＝500x－(10x2＋100x)－3000＝－10x2＋400x－3000，当x≥40时，S(x)＝500xx＋10000x－43000＝1500－x－10000x，所以S(x)10x2＋400x－3000，0<x<40，500－x－10000x x≥40.(2)由(1)得当0<x<40时，S(x)＝－10x2＋400x－3000，当x＝20时，S max(x)＝1000，当x≥40时，S(x)＝1500－x－10000x＝1500∵x＋10000x≥2x·10000x＝200，当且仅当x＝10000x，即x＝100时等号成立，∴S(x)≤1500－200＝1300，∴x＝100时，S max(x)＝1300，∵1300>1000，∴x＝100时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元．提能训练练案[14]A组基础巩固一、单选题1．如图所示的是一份统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的有(C)(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；(2)人民生活费收入增长最快的一年是2019年；(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2020年；(4)虽然2021年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．A．1项B．2项C．3项D．4项2．(2024·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是(A)[解析]根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x 上方，结合选项只有A选项能够较好的达到目的．3．“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：天)的河水污染质量指数m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)＝rk＋m0－rR－kv t(m0为初始河水污染质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln10≈2.30)(C)A．1个月B．3个月C．半年D．1年[解析]由题可知，m(t)＝m0e－180t＝0.1m0，∴e－180t＝0.1，∴－180t＝ln0.1≈－2.30，∴t≈184(天)，∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年，故选C.4．(2023·西安市关山中学高三阶段练习)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(D)A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油[解析]对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A 错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确．故选D.5．(2022·全国高三专题练习)2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级每月应纳税所得额x 元(含税)x ≤30003000<x ≤1200012000<x ≤25000税率31020现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为(C )A ．1800元B ．1000元C ．790元D ．560元[解析]李某月应纳税所得额(含税)为：18000－5000－1000－2000＝10000元，不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元，超过3000元至12000元的部分税额为(10000－3000)×10%＝7000×10%＝700元，所以李某月应缴纳的个税金额为90＋700＝790元．故选C.6．成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道．线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公里，预计于2022年12月试运行．西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更小．我们用声强I (单位：W/m 2)表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L (单位：dB)与声强I的函数关系式为：L ＝若提速前列车的声强级是100dB ，提速后列车的声强级是50dB ，则普通列车的声强是高速列车声强的(B )A ．106倍B ．105倍C ．104倍D ．103倍[解析]根据函数模型，列出关系式，进而结合对数与指数的互化运算即可求解．不妨设普通列车的声强是I 1，高速列车声强是I 2，100＝50＝即10，5，则5，即lg I 1I 2＝5，解得I 1I 2＝105.故选B.二、多选题7．某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍．调整前后的各产业利润与总利润的占比如图所示：则下列结论中正确的有(BCD )A ．调整后房地产业的利润有所下降B ．调整后医疗器械的利润增长量最大C ．调整后生物制药的利润增长率最高D ．调整后金融产业的利润占比最低[解析]利用题中扇形图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．假设调整前总利润为100，那么调整后总利润为200，对于A ，调整前房地产业利润占45%，利润为45，调整后利润占比25%，利润为50，应该是有所上升的，故选项A 错误；对于B ，调整前医疗器械利润为20，调整后利润为80，房地产业调整前利润为45，调整后利润为50，金融调整前利润为25，调整后利润为20，生物制药调整前利润为10，调整后利润为50，故选项B 正确；对于C ，医疗器械利润增长率为300%，生物制药利润增长率为400%，故选项C 正确；对于D ，由扇形图可知，金融产业利润占比为10%，所以调整后金融产业的利润占比最低，故选项D 正确．故选BCD.8．某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2022年1月至2022年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据．绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是(CD)A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳[解析]由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C正确；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，D正确．9．(2023·济南质检)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x －1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(CD) A．当x>1时，甲走在最前面B．当x>1时，乙走在最前面C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲[解析]甲、乙、丙、丁的路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．三、填空题10．(2022·北京一模)调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/kg的经济效益．为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg积1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg，则额外奖励x分(x为正整数)．月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换．(1)当x＝10时，若某家庭某月产生120kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_13__元；(2)为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为_36__.[解析](1)若某家庭某月产生120kg生活垃圾，则该家庭月底的积分为120＋10＝130(分)，故该家庭该月积分卡能兑换130×0.1＝13(元)．(2)设每个家庭每月产生的垃圾为t kg，每个家庭月底积分卡能兑换的金额为f(t)元．当0≤t<100时，f(t)＝0.1t<0.34t·0.4＝0.136t恒成立；当t≥100时，f(t)＝0.1t＋0.1x≤0.34t·0.4，可得x≤(0.36t)min＝36.故x的最大值为36.11．一种药在病人血液中的量不少于1500mg才有效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过_2.3__小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，结果精确到0.1h)[解析]设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，则500≤2500×(1－20%)x≤1500，整理可得0.2≤0.8x≤0.6，所以log0.80.6≤x≤log0.80.2.。

第九节函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)与指数函数相关的模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与对数函数相关的模型f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与幂函数相关的模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0)2.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调01递增单调02递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与03y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与04x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x <x n <a x3.解答函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x n(n>0)和y＝log a x(a>1)的增长速度．()(3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．()答案(1)×(2)√(3)×2．小题热身(1)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列结论中正确的是()A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)答案B解析在同一平面直角坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．故选B.(2)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A．40万元B．60万元C．80万元D．120万元答案D解析当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)．故该商人共获利40＋80＝120(万元)．故选D.(3)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝a e－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝() A．ln2B．ln3C.ln25D.ln35答案C解析由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝ln25.故选C.(4)某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y 4x，1≤x≤10，2x＋10，10<x<100，1.5x，x≥100，x∈N*，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为160，则该公司拟录用人数为________．答案75解析令y＝160，若4x＝160，则x＝40＞10，不符合题意；若2x＋10＝160，则x＝75，符合题意；若1.5x＝160，则x＝3203∉N*，不符合题意．故拟录用人数为75.考点探究——提素养考点一用函数图象刻画实际问题例1中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律？()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝ma x＋n(m>0，0<a<1)C．y＝ma x＋n(m>0，a>1)D．y＝m log a x＋n(m>0，a>0，a≠1)答案B解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0，0<a<1.故选B.【通性通法】(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案．(2)图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养．【巩固迁移】1.(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的是()A．a＝3B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时答案ACD解析将点M 的坐标代入y ＝kt ，可得k ＝4，将点M 的坐标代入y －a －a＝4，解得a ＝3，所以y 0<t ≤1，3，t >1，A 正确；当0<t ≤1时，由y ＝4t ≥18可得t ≥132，此时132≤t ≤1；当t >1时，由y －3≥18可得t ≤6，此时1<t ≤6.故不等式y ≥18的解为132≤t ≤6，所以注射一次治疗该病的有效时间长度为6－132＝53132小时，B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为4×18＝0.5(微克)，故C 正确．故选ACD.考点二根据给定的函数模型解决实际问题例2(1)某社区超市的某种商品的日利润y (单位：元)与该商品的当日售价x (单位：元)之间的关系为y ＝－x 225＋12x －210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为()A ．100元B ．150元C ．200元D ．250元答案B解析因为y ＝－x 225＋12x －210＝－125(x －150)2＋690，所以当x ＝150时，y 取最大值．故选B.(2)(2024·福建福州高三质量检测)为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P 关于贷款人的年收入x (单位：万元)的Logistic 模型：P (x )＝e －0.9680＋kx1＋e －0.9680＋kx，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为(精确到0.01万元，参考数据：ln 3≈1.0986，ln 2≈0.6931)()A ．4.65万元B ．5.63万元C ．6.40万元D ．10.00万元答案A解析由题意，得P (8)＝e －0.9680＋8k 1＋e－0.9680＋8k＝50%＝12，整理，得e －0.9680＋8k＝1，即－0.9680＋8k ＝0，解得k ＝0.121，所以P (x )＝e －0.9680＋0.121x 1＋e －0.9680＋0.121x .令P (x )＝e －0.9680＋0.121x 1＋e－0.9680＋0.121x＝40%＝25，得5e －0.9680＋0.121x＝2(1＋e－0.9680＋0.121x)，整理，得e－0.9680＋0.121x＝23，两边取自然对数，得－0.9680＋0.121x ＝ln 23，解得x ＝ln 2－ln 3＋0.96800.121≈4.65.故选A.【通性通法】(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．【巩固迁移】2．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p ＝20×lg pp 0，其中常数p 0(p 0>0)是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为p 1，p 2，p 3，则()A ．p 1≥p 2B ．p 2>10p 3C ．p 3＝100p 0D ．p 1≤100p 2答案ACD解析解法一：由题意可知，L p 1∈[60，90]，L p 2∈[50，60]，L p 3＝40，对于A ，L p 1－L p 2＝20×lgp 1p 0－20×lg p 2p 0＝20×lg p 1p 2，因为L p 1≥L p 2，则L p 1－L p 2＝20×lg p 1p 2≥0，即lg p 1p 2≥0，所以p 1p 2≥1且p 1，p 2>0，可得p 1≥p 2，故A 正确；对于B ，L p 2－L p 3＝20×lg p 2p 0－20×lg p 3p 0＝20×lg p2p 3，因为L p 2－L p 3＝L p 2－40≥10，则20×lgp 2p 3≥10，即lg p 2p 3≥12，所以p 2p 3≥10且p 2，p 3>0，可得p 2≥10p 3，当且仅当L p 2＝50时，等号成立，故B 错误；对于C ，因为L p 3＝20×lg p 3p 0＝40，即lgp 3p 0＝2，可得p 3p 0＝100，即p 3＝100p 0，故C 正确；对于D ，由选项A 可知，L p 1－L p 2＝20×lg p 1p 2，且L p 1－L p 2≤90－50＝40，则20×lg p 1p 2≤40，即lg p 1p 2≤2，可得p1p 2≤100且p 1，p 2>0，所以p 1≤100p 2，故D 正确．故选ACD.解法二：因为L p ＝20×lgpp 0随着p 的增大而增大，且L p 1∈[60，90]，L p 2∈[50，60]，所以L p 1≥L p 2，所以p 1≥p 2，故A 正确；由L p ＝20×lg pp 0，得p ＝p 010L p20，因为Lp 3＝40，所以p 3＝p 0102040＝100p 0，故C 正确；假设p 2＞10p 3，则p 010L p 220＞10p 010L p 320，所以10L p 220－L p 320＞10，所以L p 2－L p 3＞20，该式不可能成立，故B 错误；因为100p 2p 1＝＝10L p 220－L p 120＋2≥1，所以p 1≤100p 2，故D 正确．故选ACD.3．某品牌汽车的月产量y (单位：万辆)与月份x (3<x ≤12且x ∈N )满足函数关系式y ＝a－3＋b ，现已知该品牌汽车今年4月、5月的产量分别是1万辆和1.5万辆，则该品牌汽车7月的产量为________万辆．答案1.875解析＋b ＝1，＋b ＝1.5，＝－2，＝2，于是得y ＝－－3＋2，当x ＝7时，y ＝－＋2＝1.875，所以该品牌汽车7月的产量为1.875万辆．考点三通过构建函数模型解决实际问题(多考向探究)考向1构建二次函数模型例3(2024·湖南永州高三摸底)A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x km 处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？解(1)由题意，知x 的取值范围为[10，90]．(2)y ＝0.25×20×x 2＋0.25×10×(100－x )2＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000，∴y ＝152x 2－500x ＋25000(10≤x ≤90)．(3)y ＝152x 2－500x ＋25000＋500003，∴当x ＝1003时，y min ＝500003.∴核电站建在距A 城1003km 处，供电总费用最少．【通性通法】二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错．【巩固迁移】4．(2023·河北张家口高三期末)江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台13500元，到第x 年年末(x ∈N *)每台设备的累计维修保养费用为(300x 2＋3200x )元，每台充电桩每年可给公司收益8000元．(19≈4.36)(1)求每台充电桩第几年年末开始获利；(2)每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大？解(1)设每台充电桩在第x 年年末的利润为f (x )元，则f (x )＝8000x －(300x 2＋3200x )－13500＝－300x 2＋4800x －13500，令f (x )>0，解得8－19<x <8＋19，又19≈4.36，∴3.64<x <12.36，∵x ∈N *，∴每台充电桩从第4年年末开始获利．(2)设g (x )为每台充电桩在第x 年年末的年平均利润，则g (x )＝f (x )x ＝－x 4800.∵y ＝300x ＋13500x在(0，35)上单调递减，在(35，＋∞)上单调递增，∴g (x )在(0，35)上单调递增，在(35，＋∞)上单调递减，又x ∈N *，35≈6.708，g (6)＝750，g (7)≈771，∴g (7)>g (6)，∴每台充电桩在第7年年末时，年平均利润最大．考向2构建指数函数、对数函数模型例4牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛(允许的最大值)调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．(精确到1分钟，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)答案188解析设经过x个周期后细菌含量超标，即3000×2x>2000000，即2x>20003，所以x>log220003＝lg2000－lg3lg2＝lg2＋3－lg3lg2≈9.4，而20×9.4＝188，因此经过188分钟就不宜再饮用．【通性通法】(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．求解时可利用指数运算与对数运算的关系．(2)利用指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化．【巩固迁移】5．一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效；而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过________小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，精确到0.1h)答案 2.3解析设应在病人注射这种药经过x小时后再向病人的血液补充这种药，则2500(1－20%)x＝1500，整理可x＝35，所以x＝log4535，又log4535＝log810610＝lg610lg810＝lg6－1lg8－1＝lg2＋lg3－13lg2－1≈2.3，所以x≈2.3.故从现在起经过2.3小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．考向3构建分段函数模型例5响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x2＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋100x－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)因为每件商品售价6元，则x万件商品销售收入为6x万元．依题意得，当0<x<8时，P(x)＝6x2＋22＝－13x2＋4x－2；当x≥8时，P(x)＝6xx＋100x－2＝35－x－100x.故P(x)－13x2＋4x－2，0<x<8，－x－100x，x≥8.(2)当0<x<8时，P(x)＝－13(x－6)2＋10.此时，当x＝6时，P(x)取得最大值，为10.当x≥8时，P(x)＝3535－2x·100x＝x＝100x，即x＝10此时，当x＝10时，P(x)取得最大值，为15.因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．【通性通法】(1)在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．(2)分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．(3)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．【巩固迁移】6．某企业自主开发出一款新产品A，计划在2025年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件A产品．通过市场分析知，在2025年该企业每生产x千件A产品，需另投入生产成本R(x)千元，且R(x)2＋60x，0<x≤10，x＋1800x－230，10<x≤40.(1)求该企业生产一件A产品的平均成本p(单位：元)关于x的函数关系式，并求平均成本p 的最小值；(总成本＝研发成本＋生产成本)(2)该企业欲使生产一件A产品的平均成本p≤66元，求其年生产值x(单位：千件)的取值区间？解(1)由题知生产x千件的总成本为(R(x)＋50)千元，故生产一件的平均成本为R(x)＋50x元，所以p (x )＋60＋50x，0<x ≤10，＋1800x 2－180x，10<x ≤40，当x ∈(0，10]时，p (x )＝12x ＋60＋50x 单调递减，故最小值为p (10)＝70，当x ∈(10，40]时，p (x )＝＋65.5，故最小值为p (20)＝65.5，因为70>65.5，所以生产一件A 产品的平均成本最低为65.5元．(2)由(1)知，要使p (x )≤66，只需考虑x ∈(10，40]，即70＋1800x 2－180x≤66，结合x >0，整理得x 2－45x ＋450≤0，解得15≤x ≤30，所以当x ∈[15，30]时，生产一件A 产品的平均成本不超过66元．课时作业一、单项选择题1．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了()A ．0.33米B ．0.42米C ．0.39米D ．0.43米答案B解析该女生训练前立定跳远距离为1.84－0.03×90－705＝1.72(米)，训练后立定跳远距离为1.84＋0.1×105－905＝2.14(米)，则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.14－1.72＝0.42(米)．故选B.2．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：小数记录x0.10.120.15…11.21.52.0五分记录y 4.0 4.1 4.2…5 5.1 5.2 5.3现有如下函数模型：①y ＝5＋lg x ，②y ＝5＋1101x，x 表示小数记录数据，y 表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附：100.3≈2，5－0.22≈0.7，10－0.1≈0.8)()A ．0.3B ．0.5C ．0.7D ．0.8答案B解析由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y ＝5＋lg x ，令y ＝5＋lg x＝4.7，解得x ＝10－0.3≈0.5.故选B.3．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t (30≤t ≤100)(单位：天)与增加总分数f (t )(单位：分)的函数模型：f (t )＝kP1＋lg (t ＋1)，k 为增分转化系数，P 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f (60)＝16P .已知某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为(lg 61≈1.79)()A ．440分B ．460分C ．480分D ．500分答案B解析由题意得，f (60)＝kP 1＋lg 61＝16P ，∴k ＝1＋lg 616≈2.796＝0.465，∴f (100)≈0.465×4001＋lg 101＝1861＋lg 100＋lg 1.01≈1863＝62，∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462≈460(分)．故选B.4．(2024·云南昆明高三模拟)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系N ＝1000v0.7v ＋0.3v 2＋d 0，其中d 0(单位：m)为安全距离，v (单位：m/s)为车速．当安全距离d 0取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为()A ．135B ．149C ．165D ．195答案B解析由题意得，N＝1000v0.7v＋0.3v2＋30＝10000.7＋0.3v＋30v≤10000.7＋20.3×30≈149，当且仅当0.3v＝30v，即v＝10时取等号，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B.5．(2024·江苏沭阳如东中学高三模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它以神经网络为出发点，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0D GG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg2≈0.3010)()A．72B．74C．76D．78答案B解析由题意，得L＝0.5×D G18，则0.4＝0.5×D1818，解得D＝45，则L＝由L＝，得G>18log4525＝18(lg5－lg2)lg5－2lg2＝18(1－2lg2)1－3lg2≈73.9，所以所需的训练迭代轮数至少为74.故选B.6．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e ax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该果蔬的保鲜时间为()A．72小时B．36小时C．24小时D．16小时答案A解析当x＝6时，e6a＋b＝216；当x＝24时，e24a＋b＝8，则e6a＋be24a＋b＝2168＝27，整理可得e6a＝13，于是e b＝216×3＝648，当x＝12时，y＝e12a＋b＝(e6a)2·e b＝19×648＝72.故选A.7．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(单位：贝尔)，即L＝lg II0.取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(单位：分贝)与喷出的泉水高度x(单位：m)之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70m，60m．若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强，则n的值约为()A．10B．100C．200D．1000答案B解析设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2，则140＝10lgI110－12，120＝10lgI210－12，两式相减即得20＝10lg I1I2，即lgI1I2＝2，从而I1I2＝100，所以n的值约为100.故选B.8．(2024·山东德州高三期末)已知某品牌手机电池充满时的电量为4000(单位：毫安时)，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电400(单位：毫安时)；模式B：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的1 2t倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过2.5%的电量，则x的可能取值为()A．4.6B．5.8C．7.6D．9.9答案C解析模式A在待机t小时后电池内电量为y＝－400t＋4000，设当前电量为Q，模式B在待机t小时后电池内电量为y＝12tQ，则该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，其在待机10小时后的电量为1210－x(－400x＋4000)，由1210－x(－400x＋4000)>4000×2.5%＝100，得4(10－x)>210－x，根据选项，当x＝4.6时，4×(10－4.6)＝21.6<210－4.6＝25.4≈42.2；当x＝5.8时，4×(10－5.8)＝16.8<210－5.8＝24.2≈18.4；当x＝7.6时，4×(10－7.6)＝9.6>210－7.6＝22.4≈5.3；当x＝9.9时，4×(10－9.9)＝0.4<210－9.9＝20.1≈1.1.故x的可能取值为7.6.二、多项选择题9．(2024·江苏常州高三月考)在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位：人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式y＝mx－20－x＋40，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25时，在线购买人数为2015.假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件，下列说法正确的是()A．实数m的值为10000B ．销售单价越低，直播在线购买人数越多C ．当x 的值为30时，利润最大D ．利润的最大值为10000答案ABC解析将x ＝25，y ＝2015代入y ＝m x －20－x ＋40，可得2015＝m25－20－25＋40，解得m ＝10000，故A 正确；易知y ＝10000x －20－x ＋40(20<x <100)单调递减，故B 正确；由题意可得所得利润为f (x )＝(x －x ＋x 2＋60x ＋9200＝－(x －30)2＋10100，所以当x ＝30时，利润最大，最大利润为10100元，故C 正确，D 错误．故选ABC.10.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y (单位：km)与时间x (单位：min)的关系，下列结论正确的是()A ．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB ．甲从家到公园的时间是30minC ．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D ．当0≤x ≤30时，y 与x 的关系式为y ＝115x 答案BD解析甲在公园休息的时间是10min ，所以只走了50min ，A 错误；由题中图象知，B 正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C 错误；当0≤x ≤30时，设y ＝kx (k ≠0)，则2＝30k ，解得k ＝115，D 正确．故选BD.三、填空题11．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：x 2 2.9945 6.002y48.0215.993264.01现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：①y ＝2x ；②y ＝12(x 2－1)；③y＝log 2x ；④y ＝2x ，其中最接近的一个是________(只填序号)．答案④解析x 2 2.9945 6.002y 48.0215.993264.01①y ＝2x 4 5.9881012.004②y ＝12(x2－1)1.5 3.977.51217.51③y ＝log 2x 1 1.5822.32 2.59④y ＝2x47.94163264.09由表格数据可知其中最接近的一个是④y ＝2x .12.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运年数为________时，营运的年平均利润最大．答案5解析根据题意得，抛物线的顶点为(6，11)，过点(4，7)，开口向下，设二次函数的解析式为y ＝a (x －6)2＋11(a <0)，所以7＝a (4－6)2＋11，解得a ＝－1，即y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x ＝－(x －6)2＋11x ＝1212－225＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时取等号．13．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C (单位：A·h)，放电时间t (单位：h)与放电电流I (单位：A)之间关系的经验公式C ＝I n ·t ，其中n＝log 322为Peukert 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I ＝10A 时，放电时间t＝57h ，则当放电电流I ＝15A 时，放电时间为________h.答案28.5解析根据题意可得C ＝57×10n ，则当I ＝15A 时，57×10n ＝15n ×t ，所以t ＝＝log 322＝3212＝28.5h ，即当放电电流I ＝15A 时，放电时间为28.5h.14．为了响应党和国家节能减排的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y (单位：万元)与处理量x (单位：吨)(x ∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为y3－80x 2＋5040x ，x ∈[120，144），2－200x ＋80000，x ∈[144，500]，为使二氧化碳每吨处理成本最低，则处理量x 为________吨．答案400解析由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本S2－80x ＋5040，x ∈[120，144），－200＋80000x，x ∈[144，500]，当x ∈[120，144)时，S ＝13x 2－80x ＋5040，当x ＝120时，S 取得最小值240；当x ∈[144，500]时，S ＝12x －200＋80000x≥212x ·80000x －200＝200，当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时取等号，此时S 取得最小值200.由于200<240，故所求处理量为400吨．四、解答题15．(2023·河北保定高三模拟)某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间x (x ∈N )个月的关系有两个函数模型y ＝k ·a x (k >0，a >1)与y ＝p x ＋q (p >0)可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；(2)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，精确到1月)解(1)∵函数y ＝k ·a x (k >0，a >1)中，y 随x 的增长而增长的速度越来越快，而函数y ＝p x ＋q (p >0)中，y 随x 的增长而增长的速度越来越慢，根据已知条件应选y＝k ·a x (k >0，a >1)更合适．·a 2＝18，·a 3＝27，＝32，＝8.∴该模型的函数解析式为y ＝(x ∈N )．(2)由(1)知，当x ＝0时，y ＝8，∴原先投放的此生物的面积为8平方米．设经过x个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍，∴＝8×1000，解得x＝lg1000lg3－lg2≈30.48－0.30≈17，∴约经过17个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍．16．(多选)(2024·广东东莞入学考试)牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是θ0(单位：℃)，环境温度是θ1(单位：℃)，其中θ0>θ1，则经过t分钟后物体的温度θ将满足θ＝f(t)＝θ1＋(θ0－θ1)·e－kt(k∈R且k>0)．现有一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是(参考数据：ln2≈0.7)() A．若f(3)＝50℃，则f(6)＝35℃B．若k＝110，则红茶下降到50℃所需的时间大约为7分钟C．若f′(3)＝－5，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5℃的速率下降D．红茶温度从80℃下降到60℃所需的时间比从60℃下降到40℃所需的时间多答案ABC解析由题知θ＝f(t)＝20＋60e－kt，若f(3)＝50℃，即50＝20＋60e－3k，所以e－3k＝12，则f(6)＝20＋60e－6k＝20＋60(e－3k)2＝20＋＝35℃，A正确；若k＝110，则20＋60e－110t＝50，则e－110t＝12，两边同时取对数得－110t＝ln12＝－ln2，所以t＝10ln2≈7，所以红茶下降到50℃所需的时间大约为7分钟，B正确；f′(3)表示t＝3处的函数值的变化情况，若f′(3)＝－5<0，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5℃的速率下降，故C正确；f(t)为指数型函数，如图，可得红茶温度从80℃下降到60℃所需的时间(t2－t1)比从60℃下降到40℃所需的时间(t3－t2)少，故D错误．故选ABC.17．(多选)(2024·江苏常州一中期初检测)地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一。

一次函数与行程问题解题技巧
一次函数是初中数学中比较基础的概念，也是高中数学中不可避免的内容。

在解题过程中，我们可以通过对一次函数的特征和性质的掌握，来应用到实际问题中，例如行程问题。

行程问题是一类常见的实际问题，在解题中需要运用一次函数的知识和技巧。

具体来说，我们可以通过以下步骤来解决一般的行程问题：
1.明确问题：明确问题中的已知条件和未知量，确定问题的求解目标。

2.建立模型：通过观察题目，找出行程问题中的关键因素，建立与之相应的一次函数模型。

3.求解问题：根据模型，使用一次函数的性质和运算法则，求出未知量的值。

举个例子，如果一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，那么在2小时内能行驶多少公里？这个问题中，已知条件是汽车的速度和行驶时间，未知量是行驶的距离。

我们可以建立以下的一次函数模型：
行驶距离 = 速度×时间
行驶距离 = 60 × 2 = 120 公里
通过这个模型，我们可以很快地求出汽车在2小时内能行驶的距离。

除了这种基本的行程问题，还有一些更为复杂的行程问题，例如两车相向而行问题、两车追及问题等。

这些问题需要我们进一步掌握一次函数的性质和运算法则，才能解决。

总之，掌握一次函数和行程问题的基本知识和技巧，将有助于我们解决更多实际问题，提高数学应用能力。

期末备考压轴题培优：一次函数1．【模型建立】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．【模型迁移】如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P 为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．证明：【模型建立】（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，且CA＝BC，∠D＝∠E＝90°∴△CDA≌△BEC（AAS）【模型运用】（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，由（1）得△BOA≌△AED，∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，∴OE＝7，∴D（﹣7，3）设l2的解析式为y＝kx+b，得解得∴直线l2的函数表达式为：【模型迁移】（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC∴BC＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，∴AP＝BP，∠APB＝30°，∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4，∴点P（4，0）若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC∴BC＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，∴AP＝BP，∠APB＝30°，∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，∴∠APE＝∠PBC，∵∠AOE＝∠BCO＝30°，∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，P A＝PB ∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4，∴点P（﹣4，0）综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）2．如图在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动．（1）求直线AB的函数关系式；（2）求△OAB的面积；（3）是否存在点M，使△OMC的面积与△OAB的面积相等？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：．则直线的解析式是：y＝﹣x+6；（2）∵y＝﹣x+6，当y＝0时，x＝6，∴B（0，6），∴OB＝6，∴△OAB的面积＝×6×2＝6；（3）存在点M，使△OMC的面积与△OAB的面积相等，理由如下：如图所示：设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，解得：m＝．则直线的解析式是：y＝x，∵点C（0，6），∴OC＝6，∴OB＝OC＝6，∵△OMC的面积与△OAB的面积相等，∴M到y轴的距离＝点A的纵坐标2，∴点M的横坐标为2或﹣2；当M的横坐标为2时，在y＝x中，当x＝2时，y＝1，则M的坐标是（2，1）；在y＝﹣x+6中，当x＝2则y＝4，则M的坐标是（2，4）．则M的坐标为（2，1）或（2，4）．当M的横坐标为﹣2时，在y＝﹣x+6中，当x＝﹣2时，y＝8，则M的坐标是（﹣2，8）．综上所述：点M的坐标为：（2，1）或（2，4）或（﹣2，8）．3．如图，直线MN与x轴、y轴分别交于A、C两点，分别过A、C两点作x轴、y轴的垂线相交于B点，且OA、OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根．（1）求A、C两点的坐标．（2）求直线MN的表达式．（3）在直线MN上存在点P，使以点P、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．解：（1）∵x2﹣14x+48＝0，解得：x1＝6，x2＝8．∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根，∴OC＝6，OA＝8．∴A（8，0），C（0，6）；（2）设直线MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．由（1）知，A（8，0），C（0，6），∵点A、C都在直线MN上，∴，解得：，∴直线MN的解析式为y＝﹣x+6；（3）∵A（8，0），C（0，6），过A、C两点作x轴、y轴的垂线相交于B点，∴B（8，6）．∵点P在直线MNy＝﹣x+6上，∴设P（a，﹣a+6），当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况讨论：如图所示：①当PC＝PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P（4，3）；②当PC＝BC时，a2+（﹣a+6﹣6）2＝82，解得：a＝±，则P（﹣，）或（，）；③当PB＝BC时，（a﹣8）2+（a﹣6+6）2＝64，解得：a＝，则﹣a+6＝﹣，∴P（，﹣）．综上所述，P点的坐标为（4，3）或（﹣，）或（，）或（，﹣）．4．如图，直线y＝2x+4分别与x轴，y轴交于B，A两点（1）求△ABO 的面积；（2）如果在第三象限内有一点P （﹣1，m ），请用含m 的式子表示四边形AOPB 的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使四边形AOPB 的面积是△ABO 面积的2倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当x ＝0时，y ＝4，∴OA ＝4，当y ＝0时，2x +4＝0，x ＝﹣2，∴OB ＝2，∴△ABO 的面积＝＝＝4；（2）四边形AOPB 的面积＝S △AOB +S △BOP ＝4+＝4﹣m ；（3）存在满足条件的点P ．∵S 四边形AOPB ＝2S △ABO ，∴4﹣m ＝8，∴m ＝﹣4，∴存在点P （﹣1，﹣4），使得S 四边形ABOP ＝2S △ABO ．5．如图，直线y ＝kx +6与x 轴、y 轴分别相交于点E 、F ，点E 的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0），点P是直线EF上的一个动点．（1）求k的值；（2）点P在第二象限内的直线EF上的运动过程中，写出△OP A的面积S与x的函整表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究，当点P在直线EF上运动到时，△OP A的面积可能是15吗，若能，请求出点P的坐标；若不能，说明理由．解：（1）点E的坐标为（﹣8，0），且在直线y＝kx+6上，则﹣8k+6＝0，解得，；（2）∵点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，∴，∴；（3）当点P在x轴的上方时，由题意得，＝15，整理，得，解得，，则．此时点P的坐标是；当点P在x轴的下方时，y＝﹣5，此时综上所述，△OP A的面积是15时，点P的坐标为或．6．如图，A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b过点B，与x轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）点D是折线A﹣B﹣C上一动点．①当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，用直尺和圆规画出点E的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E点的坐标．②是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）在y＝x+4中，令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．把B（0，4）代入y＝﹣2x+b，得b＝4∴直线BC为：y＝﹣2x+4．在y＝﹣2x+4中，令y＝0，得x＝2，∴C点的坐标为（2，0）；（2）①如图∵点D是AB的中点，A（﹣4，0），B（0，4）．∴D（﹣2，2）．点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，﹣4）．设直线D B1的解析式为y＝kx+b．把D（﹣2，2），B1（0，﹣4）代入，得．解得k＝﹣3，b＝﹣4．故该直线方程为：y＝﹣3x﹣4．令y＝0，得E点的坐标为（，0）．②存在，D点的坐标为（﹣1，3）或（，）．附：当点D在AB上时，由OA＝OB＝4得到：∠BAC＝45°，由等腰直角三角形求得D 点的坐标为（﹣1，3）；当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．在△AOF与△BOC中，∴△AOF≌△BOC（ASA）．∴OF＝OC＝2，∴点F的坐标为（0，2），易得直线AD的解析式为，与y＝﹣2x+4组成方程组，解得．∴交点D的坐标为（，）．7．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，其坐标为（0，4），x轴上的一动点P从原点O出发，沿x轴正半轴方向运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）填空：当t＝2时，点B的坐标为（6，2）．（2）在P点的运动过程中，当AB∥x轴时，求t的值；（3）通过探索，发现无论P点运动到何处，点B始终在一直线上，试求出该直线的函数解析式．解：（1）将点P的坐标向右平移2个单位到达点O，此时，点A的坐标为：（﹣2，4），将点A围绕点O顺时针旋转90°，此时点B的坐标为：（4，2），将点B的坐标向右平移2个单位，即为此时的点B（6，2），故答案为：（6，2）；（2）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为长方形，∴AO＝BC＝4．∵△APB为等腰直角三角形，∴AP＝BP，∠P AB＝∠PBA＝45°，∴∠OAP＝90°﹣∠P AB＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA＝OP＝4，t＝4÷1＝4（秒）；（3）∵△APB为等腰直角三角形，∴∠APO+∠BPC＝180°﹣90°＝90°．又∵∠P AO+∠APO＝90°，∴∠P AO＝∠BPC．∠P AO＝∠BPC，在△P AO和△BPC中，∠AOP＝∠PCB＝90°，∴△P AO≌△BPC（AAS）．AP＝BP，∴AO＝PC，BC＝PO．∵点A（0，4），点P（t，0），点B（x，y），∴PC＝AO＝4，BC＝PO＝t＝y，CO＝PC+PO＝4+y＝x，∴y＝x﹣4．8．【模型建立】（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A 作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；【模型应用】（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A 逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y 轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．解：（1）如图1所示：∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC＝180°，∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BEC＝90°，又∵∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△CDA和△BEC中，，∴△CDA≌△BEC（AAS）；（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴于点D，如图2所示：∵CD⊥y轴，x轴⊥y轴，∴∠CDB＝∠BOA＝90°，又∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD＝180°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，又∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠BAO＝∠CBD，又∵∠BAC＝45°，∴∠ACB＝45°，∴AB＝CB，在△ABO和∠BCD中，，∴△ABO≌∠BCD（AAS），∴AO＝BD，BO＝CD，又∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），∴AO＝2，BO＝3，∴BD＝2，CD＝3，∴点C的坐标为（﹣3，5），设l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），点A、C两点在直线l2上，依题意得：，解得：，∴直线l2的函数表达式为y＝﹣5x﹣10；（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，①若点P为直角时，如图3甲所示：设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，∵∠CPD＝90°，CP＝PD，∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，∴∠CPM+∠PDH＝90°，又∵∠CPM+∠DPM＝90°，∴∠PCM＝∠PDH，在△MCP和△HPD中，，∴△MCP≌△HPD（AAS），∴CM＝PH，PM＝PD，∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，解得：m＝﹣，即点D的坐标为（，﹣）；②若点C为直角时，如图3乙所示：设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，CA＝CD，同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），∴PM＝CH，MC＝HD，∴点D的坐标为（4+n，﹣7），又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，解得：n＝0，∴点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（4，﹣7）；③若点D为直角时，如图3丙所示：设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4+k，CD＝PD，同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），∴MD＝PQ，MC＝DQ，∴点D的坐标为（4+K，﹣3+K），又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（4+K）+1＝﹣3+K，解得：k＝﹣，∴点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（，﹣）；综合所述，点D的坐标为（，﹣）或（4，﹣7）或（，﹣）．9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B 的直线交x轴于点C，且AB＝BC．（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，PQ交x轴于N，设点Q横坐标为m，△PBQ的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MP＝MQ，若∠BQM＝45°，求直线PQ的解析式．解：（1）∵直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点B（0，8），点A（﹣4，0）∴AO＝4，BO＝8，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴AO＝CO＝4，∴点C（4，0），设直线BC解析式为：y＝kx+b，由题意可得：解得：∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+8；（2）如图1，过点P作PG⊥AC，PE∥BC交AC于E，过点Q作HQ⊥AC，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，∵点Q横坐标为m，∴点Q（m，﹣2m+8）∴HQ＝2m﹣8，CH＝m﹣4，∵AP＝CQ，∠BAC＝∠BCA＝∠QCH，∠AGP＝∠QHC＝90°，∴△AGP≌△CHQ（AAS），∴AG＝HC＝m﹣4，PG＝HQ＝2m﹣8，∵PE∥BC，∴∠PEA＝∠ACB，∠EPF＝∠CQF，∴∠PEA＝∠P AE，∴AP＝PE，且AP＝CQ，∴PE＝CQ，且∠EPF＝∠CQF，∠PFE＝∠CFQ，∴△PEF≌△QCF（AAS）∴S△PEF ＝S△QCF，∴△PBQ的面积＝四边形BCFP的面积+△CFQ的面积＝四边形BCFP的面积+△PEF的面积＝四边形PECB 的面积，∴S ＝S △ABC ﹣S △P AE ＝×8×8﹣×（2m ﹣8）×（2m ﹣8）＝16m ﹣2m 2； （3）如图2，连接AM ，CM ，过点P 作PE ⊥AC ，∵AB ＝BC ，BO ⊥AC ，∴BO 是AC 的垂直平分线，∴AM ＝CM ，且AP ＝CQ ，PM ＝MQ ，∴△APM ≌△CQM （SSS ）∴∠P AM ＝∠MCQ ，∠BQM ＝∠APM ＝45°，∵AM ＝CM ，AB ＝BC ，BM ＝BM ，∴△ABM ≌△CBM （SSS ）∴∠BAM ＝∠BCM ，∴∠BCM ＝∠MCQ ，且∠BCM +∠MCQ ＝180°，∴∠BCM ＝∠MCQ ＝∠P AM ＝90°，且∠APM ＝45°， ∴∠APM ＝∠AMP ＝45°，∴AP ＝AM ，∵∠P AO +∠MAO ＝90°，∠MAO +∠AMO ＝90°，∴∠P AO ＝∠AMO ，且∠PEA ＝∠AOM ＝90°，AM ＝AP ， ∴△APE ≌△MAO （AAS ）∴AE ＝OM ，PE ＝AO ＝4，∴2m ﹣8＝4，∴m ＝6，∴Q（6，﹣4），P（﹣2，4）设直线PQ的解析式为：y＝ax+c，∴解得：∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x+2．10．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合、直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．（1）点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，4）；（2）在直线AB上是否存在点P使得△APO的面积为12？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）求OC的长度．解：（1）令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），令y＝0，则0＝﹣x+4，∴x＝8，∴A（8，0），故答案为：（8，0），（0，4）；（2）设点P（x，﹣x+4）∵△APO的面积为12，∴12＝×8×|﹣x+4|∴x＝2或14，∴点P（2，3）或（14，3）（3）设点C（a，0），则OC＝a，∴AC＝8﹣a，由折叠知，BC＝AC＝8﹣a，在Rt△BOC中，OB＝4，根据勾股定理得，BC2﹣OC2＝OB2，∴（8﹣a）2﹣a2＝16，∴a＝3，即：OC＝3，11．如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．（1）将△ABC沿B′D对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的关系；（2）若在x轴上存在点P，使△ADP为等腰三角形，求出符合条件的点P坐标．解：（1）令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝2，∴A（2，0），令x＝0，则y＝3，∴C（0，3）；由折叠可知：CD＝AD，设AD＝x，则CD＝x，BD＝3﹣x，由题意得，（3﹣x）2+22＝x2，解得x＝，此时AD＝，∴D（2，），设直线CD为y＝kx+3，把D（2，）代入得＝2k+3，解得k＝﹣，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3；（2）∵A（2，0），D（2，），∴AD＝．∵∠DAP＝90°，∴△ADP是等腰直角三角形，∴当AD＝AP＝时，P点的坐标是（﹣，0）或（，0）．12．如图1，在平画直角坐标系中，直线交x轴于点E，交y轴于点A，将直线y ＝﹣2x﹣7沿x轴向右平移2个单位长度交x轴于D，交y轴于B，交直线AE于C．＝22；（1）直接写出直线BD的解析式为y＝﹣2x﹣3，S△ABC（2）在直线AE上存在点F，使BA是△BCF的中线，求点F的坐标；（3）如图2，在x轴正半轴上存在点P，使∠PBO＝2∠P AO，求点P的坐标．解：（1）直线y＝﹣2x﹣7沿x轴向右平移2个单位长度后，所得直线方程为y＝﹣2（x ﹣2）﹣7＝﹣2x﹣3．则直线BD的解析式为y＝﹣2x﹣3．解方程组，得，∴C（﹣4，5）．在中，令x＝0，得y＝8，∴A（0，8）．在y＝﹣2x﹣3中，令x＝0，得y＝﹣3，∴B（0，﹣3）．∴AB＝11，＝×11×4＝22．∴S△ABC故答案是：y＝﹣2x﹣3，22．（2）如图1，作CG⊥y轴于G，FH⊥y轴于H，∴CG＝4，∠CGA＝∠FHA＝90°，∵BA为△BCF的中线，∴CA＝F A，∵∠CAG＝∠F AH，∴△CAG≌△F AH（AAS），∴FH＝CG＝4，在中，当x＝4时，y＝11，∴F（4，11）．（3）由（1）知A（0，8），B（0，﹣3），∴OA＝8，OB＝3．如图2，在y轴正半轴上取一点Q，使OQ＝OB＝3，∵∠POB＝90°，∴PQ＝PB，∴∠PBO＝∠PQO＝∠P AO+∠APQ，∵∠PBO＝2∠P AO，∴∠P AO＝∠APQ，∴PQ＝AQ＝5，∴OP＝4，∴P（4，0）．13．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积；（2）若直线l2上存在点P（不与B重合），满足S△COP ＝S△COB，请求出点P的坐标；（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B 的坐标分别为（6，0）、（0，3），联立式y＝x，y＝﹣x+3并解得：x＝2，故点C（2，2）；△COB的面积＝×OB×x C＝×3×2＝3；（2）设点P（m，﹣m+3），S△COP ＝S△COB，则BC＝PC，则（m﹣2）2+（﹣m+3﹣2）2＝22+12＝5，解得：m＝4或0（舍去0），故点P（4，1）；（3）设点M、N、Q的坐标分别为（m，m）、（m，3﹣m）、（0，n），①当∠MQN＝90°时，∵∠GNQ+∠GQN＝90°，∠GQN+∠HQM＝90°，∴∠MQH＝∠GNQ，∠NGQ＝∠QHM＝90°，QM＝QN，∴△NGQ≌△QHM（AAS），∴GN＝QH，GQ＝HM，即：m＝3﹣m﹣n，n﹣m＝m，解得：m＝，n＝；②当∠QNM＝90°时，则MN＝QN，即：3﹣m﹣m＝m，解得：m＝，n＝yN＝3﹣＝；③当∠NMQ＝90°时，同理可得：n＝；综上，点Q的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．14．在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b经过点P（2，2）和点Q（0，﹣2），与x轴交于点A，与直线y2＝mx+n交于点P．（1）求出直线y1＝kx+b的解析式；（2）当m＜0时，直接写出y1＜y2时自变量x的取值范围；（3）直线y2＝mx+n绕着点P任意旋转，与x轴交于点B，当△P AB是等腰三角形时，点B有几种位置？请你分别求出点B的坐标．解：（1）把P（2，2）和点Q（0，﹣2）分别代入y1＝kx+b，得．解得．则直线y1＝kx+b的解析式为：y1＝2x﹣2；（2）如图所示，P（2，2）．所以，当x＜2时，y1＜y2．（3）解：过点P作PM⊥x轴，交于点M．由题意可知A（1，0），M（2，0），AP＝，AM＝1当m＞0时，点B有3种位置使得△P AB为等腰三角形①当AP＝AB时，AB＝，∴B（+1，0）②当P A＝PB时，AB＝2AM＝2，∴B（3，0）③当BA＝BP时，设AB＝x，由等面积法可得S△ABP＝2x＝解得x＝2.5，∴B（3.5，0）当m＜0时，点B有1种位置使得△P AB为等腰三角形．当AB＝AP时，OB＝﹣1，∴B（1﹣，0）．综上所述，点B有4种位置使得△P AB为等腰三角形，坐标分别为（+1，0）、（3，0）、（3.5，0）、（1﹣，0）．15．阅读下列两则材料，回答问题，材料一：定义直线y＝ax+b与直线y＝bx+a互为“互助直线”，例如，直线y＝x+4与直y ＝4x+1互为“互助直线”；材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），P1、P2两点间的直角距离d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如：Q1（﹣3，1）、Q2（2，4）两点间的直角距离为d（Q1，Q2）＝|﹣3﹣2|+|1﹣4|＝8；材料三：设P0（x0，y0）为一个定点，Q（x，y）是直线y＝ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y＝ax+b的直角距离．（1）计算S（﹣1，6），T（﹣2，3）两点间的直角距离d（S，T）＝4；（2）直线y＝﹣2x+3上的一点H（a，b）又是它的“互助直线”上的点，求点H的坐标．（3）对于直线y＝ax+b上的任意一点M（m，n），都有点N（3m，2m﹣3n）在它的“互助直线”上，试求点L（5，﹣1）到直线y＝ax+b的直角距离．解：（1）d（S，T）＝|﹣1+2|+|6﹣3|＝4，故答案为4；（2）直线y＝﹣2x+3上的“互助直线”为：y＝3x﹣2，设点H（a，﹣2a+3），将点H坐标代入y＝3x﹣2得：﹣2a+3＝3a﹣2，解得：a＝1，故点H（1，1）；（3）M（m，n）在y＝ax+b上，则n＝am+b…①，点N在“互助直线”y＝bx+a上，则2m﹣3n＝3bm+a…②，联立①②并整理得：m（2﹣3a﹣3b）＝a+3b，对于任意一点M（m，n）都等式均成立，故：a+3b＝0，2﹣3a﹣3b＝0，解得：a＝1，b＝﹣，故函数的表达式为：y＝x﹣，设点P（x，x﹣）是函数上的点d（L，P）＝|5﹣x|+|x﹣+1|＝|x﹣5|+|x+|，则d（L，P）的最小值为5．。

一次函数建模及应用数学的魅力就在于，它能以稳定的模式，驾驭流动的世界。

教学目标：以一次函数为例了解数学建模的含义，数学建模的一般步骤，通过例子理解建模的有关环节。

重点：建模的一般步骤。

难点：怎样建模。

教学过程一. 数学建模的含义数学建模是指：根据实际问题，在一定的假设下把问题归结为数学问题，求出数学问题的解并进行检验的全过程。

注意：数学建模是从实践到理论，再从理论到实践，不断反复修正以使模型与实际相符的过程。

二. 数学建模的一般步骤六个环节：建模准备，作出假设，建立模型，模型求解，讨论验证，模型应用。

各环节的含义：模型准备：了解实际问题的背景、建模的目的，收集数据和相关信息，找寻其变化的客观规律。

作出假设：对各种量及其关系进行分析，对问题作出合理的假设。

建立模型：根据问题的要求和假设，应用适当的数学方法把问题化为一次函数模型。

模型求解：对归结的数学问题利用恰当的方法求解。

讨论验证：根据模型求解的结果，讨论得到的解是否和情况相符。

当数学模型的解和实际情况不符时，必须重新研究实际问题，修改假设并重新建立模型。

模型应用：利用模型对实际问题作预测、分析、解释、决策等。

三、实例分析1、直接给出模型例1.已知弹簧的长度y在一定的限度内是所挂物质重量x的一次函数。

现已测得所挂重物重量为4kg时，弹簧的长度是7.2cm；所挂重物重量为5kg时,弹簧的长度为7.5cm。

求所挂重物重量为6kg时弹簧的长度。

2、猜测建立模型例2.爸爸穿42码的鞋，长度为26cm；妈妈穿39码的鞋，长度为24.5cm。

小明穿41码的鞋子，长度为多少？请大家运用获得的函数模型进行验证妹妹穿36码的鞋，长度为23cm。

3、实际推导模型例3.张老师提着篮子（篮子重0.5斤）去集市买10斤鸡蛋，当张老师往篮子里装称好的鸡蛋时，发觉比过去买10斤鸡蛋的个数少很多，于是她将鸡蛋装进篮子再让摊主一起称，共称得10.55斤，她即刻要求摊主退1斤鸡蛋的钱。