2019_2020学年高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质第5课时直角三角形的射影定理课件新人教A版选修

四 直角三角形的射影定理主动成长夯基达标1.直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为 6 cm 和 4 cm,则斜边上的高是( )C.26思路解析:直接应用射影定理可求得斜边上的高为答案:C2.在Rt△ABC 中,∠C =90°,CD ⊥AB 于D ,若AD ∶BD =9∶4,则AC ∶BC 的值为(A.9∶4B.9∶2 D.3∶2思路解析:本题的关键是表示出AD 、BD 、AB 的长后,用射影定理求出AC 、BC 的长设AD =9k,BD =4k ,则AB =13k由射影定理得AC =133k ,BC =132k从而AC ∶BC答案:3.如图1-4-8,△ABC 中,∠CAB =90°,AD ⊥BC 于D ,求证:AB 2∶AC 2=BD ∶DC .图1-4-8思路分析:此题直接采用射影定理,答案显而易见 证明:在Rt△ABC 中,∵∠CAB =90°,AD ⊥BC∴AB 2=BD ·BC ,AC 2=CD ·BC∴AB 2∶AC 2=(BD ·BC )∶(CD ·BC )=BD ∶CD .4.如图1-4-9,△ABC 中,∠ABC =90°,BD ⊥AC 于D ,BC =25 cm,BD =4 cm,求S △BDA ∶S △CDB .图1-4-9思路分析:求S △BDA ∶S ,实际上是求AD ∶DC ,显然结合已知条件,应用射影定理,不难求出AD 、DC 的长度解:∵BD ⊥AC , 52=BC cm,BD∴由勾股定理得DC在△ABC 中,∠ABC =90°,BD ⊥AC.∴由射影定理得BD 2=AD ·DC∴DC BD AD 2= =cm 8242=∴S △BDA ∶S △CDB =AD ∶DC =8∶2 =4∶1.5.如图1-4-10,在Rt△ABC 中,∠BAC =90°,AD 是高,且AB =2AC ,求证:5AD =2BC.图1-4-10思路分析:本题关键是把所求结论“5AD =2BC ”与已知条件“AB =2AC ”进行联系,而联系两者的根本是射影定理 证明:设AC =x,则AB由勾股定理得xBC 5=在Rt△ABC 中,∵AD ⊥BC∴AC 2=CD ·CB , CB AC CD 2= =xx 52 =x 55 =x 554∴AD 2=BD ·CD =x x 55554∙∴x AD 552=∴BC AD =xx5552 =52,即5AD =2BC . 6.如图1-4-11,在Rt△ABC 中,∠A =90°,M 为AC 中点,MD ⊥BC 于D.求证:AB 2=BD 2-CD 2.图1-4-11思路分析:看AB 2,结合已知条件想到“射影定理”,构造辅助线——作出斜边上的高AE ,再联系“平行线等分线段定理的推论”可达到证明的目的证明:过点A 作AE ⊥BC 于E在Rt△ABC 中,由射影定理得AB 2=BE ·BC∵MD ⊥BC ,AE ⊥BC ∴AE ∥MD 又∵AM =MC∴ED =DC (经过三角形一边中点平行于一边的直线,必平分第三边 又∵BE =BD -ED =BD -CD ,∴两边同乘以BC 得BE ·BC =BC (BD -CD ).∴AB 2=(BD +DC )(BD -CD )=BD 2-CD 2.7.如图1-4-12,已知CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高线.求证:CD ·AC =BC ·AD .图1-4-12思路分析:分别在三个直角三角形Rt△ABC 、Rt△ADC 、Rt△BDC 中运用射影定理，有CD 2=BD ·AD ,BC 2=BD ·AB ,AC 2=AD ·AB ，将第一个式子和第三个式子相乘，就有CD 2AC 2=BD ·AB ·AD 2，将BD ·AB 换成BC 2，然后两边开方即得 证明：∵CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高线，∴CD 2=BD ·AD ,BC 2=BD ·AB ,AC 2=AD ·AB∴CD 2·AC 2=BD ·AB ·AD 2,BC 2=BD ·AB∴CD 2·AC 2=BC 2·AD 2∴CD ·A C=BC ·AD .8.如图1-4-13，在Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，CD 是AB 上的高.已知BD =4，AB =29，试求出图中其他未知线段的长.图1-4-13思路分析:本题是利用直角三角形的射影定理进行计算，根据条件直接计算可得结论解:由已知，BD =4，AB =29，BC 2=BD ·AB ，∴AB BD BC ∙==294⨯=292.∴AD =AB -BD =29-4=25.∵AC 2=AD ·AB ， ∴AB AD AC ∙==2925⨯=295.∵CD 2=AD ·BD ， ∴BD AD CD ∙==10425=⨯.9.如图1-4-14，已知BC 2=BD ·AB ，能否推出CD ⊥AB ？如果认为不能推出，那么试加一个条件，并推出CD ⊥AB图1-4-14思路分析:根据已知条件，只能得到△BCD 和△BAC 相似，但不能断定CD ⊥AB ,必须再附加其他条件解:根据已知条件，不能推出CD ⊥AB可以添加条件∠BCA 是直角.走近高考10.暑假里，康子帮母亲到鱼店去买鱼，鱼店里有一种“竹夹鱼”，个个都长得非常相似，现有两种大小不同的“竹夹鱼”,价钱也不同，如图1-4-15所示，鱼长10 cm 的每条10日元；鱼长13 cm 的每条15日元.康子不知道买哪种更好些，你看怎么办？图1-4-15思路分析:由相似形可知，两个相似图形大小的比等于相似比，两个相似图形面积的比是相似比的平方，而体积的比则应是相似比的立方.此题是判断两种鱼的体积之比，再看价格之比，决定买哪种鱼好解：设两条相似的鱼A 、B 的长分别为10 cm 和13 cm ，即B 与A 的长度之比为1013，则体积之比为321013=10002197 =2.197；又B 与A 的价格之比为1015=1.5，这里B 种鱼的体积是A 种鱼的体积的2.197倍，而价格只是1.5倍，显然，买B 种鱼比买A 种鱼更划算.11.如图1-4-16，在△ABC 中,D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC .图1-4-16思路分析:由数形结合易知，△ABC 是直角三角形，AF 为斜边上的高线，CF 是直角边AC 在斜边上的射影，AC 为所求，已知的另外两边都在△BDC 中，且BD ＝DC ＝1，即△BDC 是等腰三角形.因此，可以过D 作DE ⊥BC ，拓开思路.由于DE 、AF 同垂直于BC ，又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC 解:在△ABC 中，设AC 为x ，∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，又FC ＝1，根据射影定理,得AC 2=FC ·BC ，即B C ＝x 2再由射影定理,得AF 2=BF ·FC =(BC -FC )·FC ，即122-=x AF .∴AF =x 2-在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E ， ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC 又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ∴AF DE =ACDC∴ACAFDC DE ∙= =x x 12-在Rt△DEC 中，∵DE 2+ EC 2= DC 2，即22)1(x x -+22)2(x =12,∴221x x -+44x由AF DE =AC DC , ACAF DC DE ∙= =x x 12-,整理得x 6=4.∴33=x∴23=AC .12.如图1-4-17,在正方形ABCD 的边BC 和CD 上取点H 和M ,且HC BH =MD CM =21,AH 和BM 相交于点P ,求证:AP =9PH .图1-4-17思路分析:由HC BH =MD CM =21,容易证明△ABH ∽△BCM,从而不难推出BP ⊥AH ,在△ABH 中,由AB BH =31,考虑射影定理确定答案 证明:在正方形ABCD 中,∵HC BH =MD CM =21∴BC BH =CD CM =31∴AB BH =BC CM =31又∠ABH =∠C =90°,∴△ABH ∽△BCM ,∠PBH =∠BAH又∵∠BAH +∠BHA∴∠PBH +∠BHP =90°,即BP ⊥AH在Rt△ABH 中,设BH =k ,则AB =3k, k AH 10=∴AB 2=AP ·AH ,BH 2=PH ·AH∴22BH AB =AH PH AH AB ∙∙ =PH AP =22)3(k k∴AP =9PH .。

AA ′ M N NA A ′B ′ M 直角三角形的射影定理教学目标（一） 知识与技能1．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；2．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．（二）过程与方法借助相似三角形的判定定理及性质定理，推导出射影定理．教学重点 射影定理的证明．教学难点 建立三角形以外的和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系． 教学过程设计一 复习引入在前面的学习中，大家已经知道了射影，请作出点A 及线段AB 在直线MN 上的射影．如图，⊿ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．则 AC 、CD 在斜边AD二 新知探究如图，⊿ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．提出问题：1．在这个图形中,有哪几组相似三角形？2．结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系： ⊿ACD 与⊿CBD 中，CD 2= ,⊿BDC 与⊿BCA 中，BC 2= , ⊿CDA 与⊿BCA 中，AC 2= ．这三个关系式形式完全一样，可结合射影定义及图像，观察三个关系式的特点记忆。

射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．三 例题分析例1 如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ．AD=2，DB=8,求 CD 、AC 和BC 的长．B A DC AD O B C B例2 如图，⊿ABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且CD 2=AD ·BD ．求 证：⊿ABC 是直角三角形．（该例题表明，射影定理的逆定理也是成立的．在这个命题的证明中，可能对如何建立条件与结论之间的关系有些困难．可从如下两方面来思考：①“射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形”相联系；②我们往往将等式CD 2=AD ·BD 变形为DBCD CD AD ,这个比例式启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形” ．明确了上述思路就容易得出本例的证明了．）四 课堂练习1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，则AD 的长为________．2．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，则AB 的长为________．3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝6，AD ∶DB ＝2∶3，则AC ＝________.4.如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝4，BD＝8，则圆O 的半径等于________．5．(2012·陕西高考)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.6．在⊿ABC 中，∠C=90°, CD ⊥AB ，垂足为D ，AC=12,BC=5,求CD 的长．五 课堂小结1 知识内容：掌握射影定理及其逆定理，并能熟练运用．2 思想方法：化归． 总结本讲知识要点（结合图像记忆）一、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分另一边。

【2019最新】高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质4直角三角形的射影定理学案11．了解射影定理的推导过程．2．会用射影定理进行相关计算与证明．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 射影的相关概念阅读教材P20“探究”以上部分，完成下列问题．1．点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影.2．线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．3．射影：点和线段的正射影简称为射影．教材整理2 射影定理阅读教材P20～P22“习题”以上部分，完成下列问题．1．文字语言直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．2．图形语言如图1­4­1，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，图1­4­1则有CD2＝AD·BD.AC2＝AD·AB.BC2＝BD·AB.如图1­4­2，在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D且CD＝4，则AD·DB＝( )图1­4­2A．16 B．4C．2 D．不确定【解析】由射影定理AD·DB＝CD2＝42＝16.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]的长度比为AC∶BC＝3∶4.(1)求AD∶BD的值；(2)若AB＝25 cm，求CD的长．【精彩点拨】先根据AC∶BC与AD∶BD之间的关系求出AD∶BD的值；再根据斜边AB 的长及AD∶BD的值分别确定AD与BD的值．最后由射影定理CD2＝AD·BD，求得CD的长．【自主解答】(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴AD·AB BD·AB＝AC2BC2，∴AD BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916， 即AD ∶BD ＝9∶16.(2)∵AB ＝25 cm ，AD ∶BD ＝9∶16，∴AD ＝925×25＝9(cm)，BD ＝1625×25＝16(cm)，∴CD ＝AD ·BD ＝9×16＝12(cm)．1．解答本题(1)时，关键是把ADBD转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BC 2.2．解此类题目的关键是反复利用射影定理求解直角三角形中有关线段的长度．在解题时，要紧抓线段比之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件，紧扣等式结构形式，达到最终目的．[再练一题]1．如图1­4­3，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若AD ＝2 cm ，DB ＝6 cm ，求CD ，AC ，BC 的长. 【导学号：07370019】图1­4­3【解】 ∵CD 2＝AD ·DB ＝2×6＝12， ∴CD ＝12＝23(cm)．∵AC 2＝AD ·AB ＝2×(2＋6)＝16， ∴AC ＝16＝4(cm)．∵BC 2＝BD ·AB ＝6×(2＋6)＝48， ∴BC ＝48＝43(cm)．故CD ，AC ，BC 的长分别为2 3 cm,4 cm ， 4 3 cm. [探究共研型]探究 1吗？【提示】如图，在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴(AD＋BD)2＝AC2＋BC2，∴AD2＋2AD·BD＋BD2＝AC2＋BC2，∴2AD·BD＝AC2－AD2＋BC2－BD2.∵AC2－AD2＝CD2，BC2－BD2＝CD2，∴2AD·BD＝2CD2.∴CD2＝AD·BD.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD·BD＝AD(AD＋BD)＝AD·AB.同理可证BC2＝BD·AB.探究2 直角三角形射影定理的逆定理是什么？如何证明？【提示】直角三角形射影定理的逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．符号表示：如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若CD2＝AD·BD，则△ABC为直角三角形．证明如下：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°.又∵CD2＝AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD，∴△ACD∽△CBD，∴∠CAD＝∠BCD.又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC 为直角三角形．如图1­4­4所示，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF ⊥BC 于F .图1­4­4求证：CD 3＝AE ·BF ·AB.【精彩点拨】 ∠ACB ＝90°，CD ⊥AB →CD 2＝AD ·DB →CD 3＝AE ·BF ·A B.【自主解答】 ∵∠BCA ＝90°，CD ⊥BA ， ∴CD 2＝AD ·BD . 又∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ， ∴AD 2＝AE ·AC ，BD 2＝BF ·BC ，∴CD 4＝AD 2·BD 2＝AE ·AC ·BF ·BC ＝AE ·BF ·AC ·BC . 而S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴CD 4＝AE ·BF ·AB ·CD ， 即CD 3＝AE ·BF ·AB.1．解答本题的关键是利用S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD 进行转化．2．在证明与直角三角形有关的问题时，常用射影定理来构造比例线段，从而为证明三角形相似创造条件．[再练一题]2．在本例条件不变的情况下，求证：DE 3DF 3＝AEBF.【证明】 根据题意可得，DE ＝CF ，CE ＝DF ，DE 2＝AE ·CE ，DF 2＝BF ·CF ，∴DE 2·BF ·CF ＝DF 2·AE ·CE ，∴DE 3·BF ＝DF 3·AE ，即DE 3DF 3＝AEBF.[构建·体系]射影定理射影的有关概念与射影定理有关的计算与证明射影定理1．如图1­4­5所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，则AC 等于( )图1­4­5A.53 B.213C.2133D.13【解析】 由射影定理知，CD 2＝BD ·AD ，∴AD ＝43，∴AB ＝AD ＋BD ＝133，∴AC 2＝AD ·AB ＝43×133＝529，∴AC ＝2133.【答案】 C2．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，BC ＝15 cm ，BD ＝3 cm ，则AD 的长是( )【导学号：07370020】A ．5 cmB ．2 cmC ．6 cmD ．24 cm【解析】 ∵BC 2＝BD ·AB ， ∴15＝3AB ，即AB ＝5， ∴AD ＝AB －BD ＝5－3＝2(cm)． 【答案】 B3．在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，AC ＝2 cm ，则CD 和BC 的长分别为__________．图1­4­6【解析】 设AD ＝x ， 则由射影定理得x (x ＋3)＝4， 即x ＝1(负值舍去)， 则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)，BC ＝BD ·AB ＝＋＝23(cm)．【答案】3cm,23cm4．如图1­4­7，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CE EO的值为________．图1­4­7【解析】 设圆O 的直径AB ＝2R ，则AD ＝2R 3，DO ＝R 3，DB ＝4R3.由相交弦定理，得CD 2＝AD ·DB ，所以CD ＝223R .在Rt △CDO 中，CO ＝R ，由射影定理可得EO ＝DO 2CO ＝R9，于是CE ＝R －R 9＝8R 9，故CEEO＝8.【答案】 85．如图1­4­8所示，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，求CD 的长．图1­4­8【解】 在△ABD 中，AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8， 满足AB 2＝AD 2＋BD 2，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∵∠CAD ＝∠B ，且∠C ＋∠CAD ＝90°. ∴∠C ＋∠B ＝90°，即∠BAC ＝90°. 故在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，由射影定理知AD 2＝BD ·CD ，即62＝8·CD ， ∴CD ＝92.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(五) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，BD ＝2，则AC ∶BC 的值是( ) A ．3∶2 B ．9∶4 C.3∶ 2D.2∶ 3【解析】 如图，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理知AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，又∵AD ＝3，BD ＝2， ∴AB ＝AD ＋BD ＝5，∴AC 2＝3×5＝15，BC 2＝2×5＝10.∴AC BC＝1510＝32，即AC ∶BC ＝3∶2， 故选C.【答案】 C2.如图1­4­9所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的值是( )图1­4­9A ．6B ．3 2C ．18D ．3 6【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧AD DB ＝12，AD ·DB ＝36，∴AD 2＝18， ∴AD ＝3 2. 【答案】 B3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm ，斜边上的高为2.4 cm ，则这个直角三角形的面积为( )【导学号：07370021】A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2【解析】 长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm)，∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．【答案】 B4．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BDCD等于( ) A.34 B.43 C.169D.916【解析】 如图，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC ，∴AC 2AB 2＝CD BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342， 即CD BD ＝916， ∴BD CD ＝169. 【答案】 C5．在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( )【导学号：07370022】A. 14 B.13 C.12D ．2【解析】 如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD .又∵BD ∶AD ＝1∶4， 令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝AD ·BD ＝4x 2，∴CD ＝2x ， 在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 【答案】 C 二、填空题6．如图1­4­10，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，OF ⊥AB.DE ∶EB ＝1∶3，OF ＝a ，则对角线BD 的长为________．图1­4­10【解析】 ∵OF ＝a ， ∴AD ＝2a . ∵AE ⊥BD ，∴AD 2＝DE ·BD .∵DE ∶EB ＝1∶3，∴DE ＝14BD ， ∴AD 2＝14BD ·BD ， ∴BD 2＝4AD 2＝4×4a 2＝16a 2，∴BD ＝4a .【答案】 4a7．如图1­4­11，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝______cm.图1­4­11【解析】 连接CD ，则CD ⊥AB.由AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，得AB ＝5 cm.由射影定理得BC 2＝BD ·BA ，即42＝5BD .所以BD ＝165cm. 【答案】 165 8．已知在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠D ＝90°，AC ⊥BC ，AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，则此梯形的面积为________．【解析】 如图，过C 点作CE ⊥AB 于E .在Rt △ACB 中，∵AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，∴BC ＝8 cm ，∴BE ＝6.4 cm ，AE ＝3.6 cm ，∴CE ＝ 6.4×3.6＝4.8(cm)，∴AD ＝4.8 cm.又∵在梯形ABCD 中，CE ⊥AB ，∴DC ＝AE ＝3.6 cm.∴S 梯形ABCD ＝＋2＝32.64(cm 2)． 【答案】 32.64 cm 2三、解答题9．已知直角三角形周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．【解】 (1)如图，设CD ＝3x ，BD ＝5x ，则BC ＝8x ，过D 作DE ⊥AB ，由题意可得，DE ＝3x ，BE ＝4x ，∴AE ＋AC ＋12x ＝48.又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x ，∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2，∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16，∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm.(2)作CF ⊥AB 于F ，∴AC 2＝AF ·AB ， ∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)． 同理BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)． ∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645cm. 10．如图1­4­12所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，点F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE .图1­4­12【证明】 ∵CD 垂直平分AB ，∴△ACD 和△BDE 均为直角三角形，并且AD ＝BD .又∵DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，∴AF ·AC ＝AD 2，BG ·BE ＝DB 2.∵AD 2＝DB 2，∴AF ·AC ＝BG ·BE .[能力提升]1．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为( )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶1【解析】 设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为5，∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45. 【答案】 C2．已知Rt △ABC 中，斜边AB ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于E ，且AD ＝3.2 cm ，则DE ＝( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm 【解析】 如图，∵∠A ＝∠A ，∴Rt △ADE ∽Rt △ABC ，∴AD AB ＝DEBC， DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28. 【答案】 C3．如图1­4­13所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AC ＝6，AD ＝3.6，则BC ＝__________.图1­4­13【解析】 由射影定理得，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AC 2BC 2＝AD BD ，即BC 2＝AC 2·BD AD. 又∵CD 2＝AD ·BD ，∴BD ＝CD 2AD . ∴BC 2＝AC 2·CD 2AD 2＝622－3.623.62＝64.∴BC ＝8.【答案】 84．如图1­4­14，已知BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G，H，交CE于F，且∠H＝∠BCE，求证：GD2＝FG·GH.图1­4­14【证明】∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH，∴△BCE∽△BHG，∴∠BEC＝∠BGH＝90°，∴HG⊥BC.∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，由射影定理得，GD2＝BG·CG. ①∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H，∴△FCG∽△BHG，∴FGBG＝CGGH，∴BG·CG＝GH·FG. ②由①②得，GD2＝GH·FG.。

四 直角三角形的射影定理预习导航1．射影从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正射影．点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理确定成比例的线段 ＝AB 2，AD 2＋CD 2＝AC 2，BD (2)面积关系：AC ·BC ＝AB ·CD ＝2S △ABC ，S △ACD S △CBD ＝AD BD ＝AC 2BC 2. 思考1 在直角三角形中，我们已经学过三边之间的一个重要关系式，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，那么AC 2＋BC 2＝AB 2，这一结论被称为勾股定理，同样是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么联系？如何说明这种联系？提示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是AB 上的高，应用射影定理，可以得到AC 2＋BC2＝AD ·AB ＋BD ·AB ＝(AD ＋BD )·AB ＝AB 2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理．过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明勾股定理，而且这种方法简洁明快，比面积法要方便得多．将两者结合起来，在直角三角形的六条线段中，应用射影定理、勾股定理，就可从任意给出的两条线段中，求出其余四条线段的长度．思考2 射影定理的证明．提示：①利用三角函数证明直角三角形的射影定理在Rt △ACD 和Rt △ABC 中，cos A ＝AD AC ＝AC AB ，∴AC 2＝AD ·AB .在Rt △CBD 和Rt △ABC 中，cos B ＝BD BC ＝BC AB ，∴BC 2＝BD ·AB .在Rt △ACD 和Rt △CBD 中，∠A ＝∠BCD ，∴tan A ＝tan ∠BCD ，即CD AD ＝BD CD ，∴CD 2＝AD ·BD .②利用勾股定理证明直角三角形的射影定理在Rt △ABC 中，∵AB 2＝AC 2＋BC 2，AB ＝AD ＋BD ，∴(AD ＋BD )2＝AC 2＋BC 2，∴AD 2＋2AD ·BD ＋BD 2＝AC 2＋BC 2，即2AD ·BD ＝(AC 2－AD 2)＋(BC 2－BD 2)．∵AC 2－AD 2＝CD 2，BC 2－BD 2＝CD 2，∴2AD ·BD ＝2CD 2，∴CD 2＝AD ·BD .在Rt △ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝AD 2＋AD ·BD ＝AD ·(AD ＋BD )＝AD ·AB ，∴AC 2＝AD ·AB . 同理可证BC 2＝BD ·AB .。