高中数学选修2-3 北师大版 二项式系数的性质 基础检测(含答案)

一、选择题1．重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A ．50B ．40C ．35D ．302．高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（ ） A ．15种B ．90种C ．120种D ．180种3．4(12)x -的展开式中2x 的系数为（ ） A ．6B ．24C ．32D ．484．下列四个组合数公式:对,n k N ∈，约定0001C ==！,有（1）(0)!k k n nP C k n k =≤≤（2）(0)k n kn n C C k n -=≤≤ （3）11(1)k k n n k C C k n n--=≤≤ （4）111(1)kkk n n n C C C k n ---=+≤≤ 其中正确公式的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，则不同方法共有几种（ ）A ．12B ．16C ．24D ．366．若(2)n x -的展开式中二项式系数最大的项只有第6项，则展开式的各项系数的绝对值．．．之和为( ) A ．111B ．102C ．103D ．1137．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机都要取到，则不同的取法种数为（ ） A ．40B ．50C ．60D ．708．在12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中, 2x 项的系数为( )A ．10B ．25C ．35D ．669．若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一人站在自己原来的位置上的概率为（ ） A ．34B ．14C ．18D ．3810．如图,,,A B C D 四个海上小岛，现在各岛间共建三座桥将四个小岛连通，则不同的方法有（ ）A ．8B ．12C ．16D ．2011．2101()x x+的展开式中含5x 项的系数为（ ） A ．160 B ．210 C ．120 D ．25212．将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A ．192181020C C CB ．1921810202C C C C ．1921910202C C C D ．192191020C C C二、填空题13．从编号为1，2，3，4，…，10的10个大小、形状都相同的小球中任取5个球．如果某两个球的编号相邻，那么称这两个球为一组“好球”，则任取的5个球中恰有两组“好球”的取法有_______种．（用数字作答）14．若将五本不同的书全部分给三个同学，每人至少一本，则有________种不同的分法.15．若62b ax ⎛ ⎝⎭的展开式中常数项为150，则22a b +的最小值为______． 16．()621x x +-的展开式中，含10x项的系数是________17．将编号为1，2，3，4，5，6，7的七个小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______.18．由0，1，2，3，4，5这六个数字，组成无重复数字的四位数中比3042大的数有________个.19．若多项式()()()10112110110112111x x a a x a x a x +=+++++++，则10a =______.20．已知2⎛+ ⎝nx x 的展开式的二项式系数之和为32，则其展开式中常数等于________.三、解答题21．某大学师范学院的两名教授带领四名实习学生外出实习，实习前在学院门口合影留念，实习结束后四名实习生就被安排在三所中学任教，请回答以下问题.(用数字作答) （1）若站成两排合影，两名教授站在前排，四名实习学生站在后排，则共有多少种不同的排法？（2）若站成一排合影，两名教授必须相邻，则共有多少种不同的排法？（3）实习结束后，四名实习生被安排在三所中学任教，若每个中学至少一人去，则共有多少种不同的安排方法？22．某工厂生产的10件产品中，有8件合格品、2件不合格品，合格品与不合格品在外观上没有区别.从这10件产品中任意抽检2件，计算： （1）抽出的2件产品恰好都是合格品的抽法有多少种？ （2）抽出的2件产品至多有1件不合格品的抽法有多少种？（3）如果抽检的2件产品都是不合格品，那么这批产品将被退货，求这批产品被退货的概率.23．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数的和比()732a b +展开式的二项式系数的和大128.（1）求n 的值.（2）求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项24．设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个小球放入5个盒子中.（1）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ （2）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？25．7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？()1其中甲不站排头，乙不站排尾； ()2其中甲、乙、丙3人两两不相邻； ()3其中甲、乙中间有且只有1人； ()4其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列．26．已知n 为给定的正整数，t 为给定的实数，设(t ＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n . （1）当n =8时.①若t =1，求a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8的值； ②若t =23，求数列{a n }中的最大值； （2）若t=23，当13x =时，求()0nkk k n k a x =-∑的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先把6人分成两组，再安排到两所敬老院，由此可得． 【详解】先分组再安排：6人可按3,3分组或2,4分组，然后再安排到敬老院，方法为32266222()50C C A A +⨯=．故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查分组分配问题，涉及到平均分组和不平均分组，平均分组时要除以组数的阶乘．n 个不同元素按12,,,k m m m 分成k 组，若12,,,k m m m 两两不等，则分组数为312112kkmm m m n n m n m m m C C C C ---，若12,,,k m m m 中仅有i 个数相等，则分组数为312112kkm m m m n n m n m m mi iC C C C A---．2．B解析：B 【分析】根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，再将3组分配的3个服务小组即可. 【详解】解：根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，共有2215312215C C C A =种，再将三组分配到3个服务小组，共有221353132290C C C A A ⋅=种， 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合的部分平均分组分配问题，解题的关键是将5名同学以“2，2，1”形式参加三个服务小组，其中2，2是部分平均分组问题，需除以22A ，故有2215312215C C C A =种，再分配进而解决，是中档题.3．B解析：B 【分析】利用二项展开式的通项可得14(2),0,1,2,3,4r rr T C x r +=-=，令2r 可求得结果.【详解】因为4(12)x -的第1r +项展开式14(2),0,1,2,3,4rrr T C x r +=-=， 令2r，则含2x 项系数为224(2)24C -=， 故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式通项的应用，项的系数，属于简单题目.4．A解析：A 【分析】分别将组合数和排列数写成阶乘的形式，计算每个等式的两边并判断等式是否成立. 【详解】A ．()0!k kk n n nk k P P C k n P k ==≤≤，等式成立；B ．()()!0!!!k k n nP n C k n k n k k ==≤≤-⨯，()()()()()()!!0!!!!!n k n k n nP n n Ck n n k k n k n n k n k --===≤≤-⨯---⨯-， 所以(0)kn kn n C C k n -=≤≤成立；C ．()()()()1!!(1)!!!!1!k k n n n P k k k n C k n n n k n n k k n k k -=⋅=⋅=≤≤-⨯-⨯-， ()()()()1111(1!1!!1)!1k n k n n P k n k k Ck n -----==-≤-≤⨯-，所以11(1)k k n n k C C k n n --=≤≤成立；D ．()()()()()()1111111!1!!1!1!!!1!kk k k n n n n n n P P k k n k k Cn k k C--------=+=+=---⨯-⨯-+ ()()()()1!(1!!!)!!k n n n n k k C n k k n k k n k ⎡⎤-⎡⎤=-+==⎢⎥⎣⎦-⨯-⨯⎢≤⎥≤⎣⎦，所以111(1)k k k n n n C C C k n ---=+≤≤成立.故选A. 【点睛】本题考查排列数、组合数公式的运算化简，难度一般.注意排列组合中两个计算公式的使用：()()()!!,!!!!!n m mmn n nn P P n n P C n m n m m n m m ====---⨯. 5．D解析：D 【分析】直接利用乘法原理计算得到答案. 【详解】第一颗棋子有339⨯=种排法，第二颗棋子有224⨯=种排法，第三颗棋子有1种排法， 故共有94136⨯⨯=种排法. 故选：D. 【点睛】本题考查了乘法原理，意在考查学生的应用能力.6．C解析：C 【分析】根据二项展开式中只有第6项的二项式系数最大知10n =，再令1x =-即可求得可得展开式的各项系数的绝对值之和. 【详解】根据题意知(2)n x -的展开式共有11项，10n ∴=，1001001919910101010101022(2)2C x C x C x x x C =-+-+-，令1x =-可得展开式的各项系数的绝对值之和为103. 故选：C 【点睛】本题考查二项展开式各项的系数和，属于中档题.7．D解析：D 【分析】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，结合组合数的公式，即可求解. 【详解】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，共有124540C C =种不同的取法； ②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，共有214530C C =种不同的取法， 由分类计数原理，可得不同的取法共有403070+=种. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及组合数公式的应用，其中解答中合理分类，结合组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8．D解析：D 【分析】分析12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的本质就是考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，利用组合知识即可得解.【详解】12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，要得到2x 项，就是在12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中，两个括号取x ，10个括号取1， 所以其系数为21266C =. 故选：D 【点睛】此题考查求多项式的展开式指定项的系数，关键在于弄清二项式定理展开式的本质问题，将问题转化为计数原理组合问题.9．D解析：D 【分析】分两步分析：①先从5个人中选1人，其位置不变，有155C =种，②对于剩下的四个人，因为每个人都不能站在自己原来的位置上，有9种，恰有一人站在自己原来的位置上包含的基本事件数为45，再求出事件总数，按照古典概型概率公式即可求解. 【详解】5个人站成一排的基本事件的总数为55A ， 5个人按原来站的位置重新站成一排， 恰有一人站在自己原来的位置， 先从5个人中选1人，其位置不变， 有155C =种，对于剩下的四个人， 因为每个人都不能站在自己原来的位置上， 因此第一个人有3种站法， 被站位置的那个人也有3种站法， 最后两人只有1种站法，故不同的调换方法有53345⨯⨯=， 所以所求事件的概率为4531208=. 故选：D. 【点睛】本题考查古典概型的概率，利用分步乘法原理和排列是解题的关键，属于中档题.10．C解析：C 【分析】先明确四个小岛连通的方法数，再从中选3个，然后减去首尾相接的即可. 【详解】岛的连接分式共有246C =种，从种中任意选出3个作为一种方案，有3620C =种，20种包含3岛首尾相接的情况有4种，不符合题意， 所以一共有20-4=16种 故选：C 【点睛】本题主要考查分类计数原理，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.11．D解析：D 【分析】由二项式定理及其二项展开式通项得：210203110101()()rrr r rr T C x C x x--+==，令2035r -=，解得r 的值，进而求得其系数.【详解】()102203110101rrrr rr T C xC xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 当=5r 时，555610252T C x x ==. 故选：D. 【点睛】本题考查了二项式定理及其二项式展开式的通项，属于基础题.12．A解析：A 【分析】由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果. 【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有1020C种结果，而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有19218C C中结果，根据古典概型的概率公式得192181020 =C CPC.故选：A.【点睛】本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.二、填空题13．120【分析】假定5个球排成一排5个小球之间有6个空位取空位的情况来达到使小球的编号连续的目的有两种情况：（1）有3个号码是连续；（2）分别有2组号码连续但这2组号码与另一个球的号码不相邻分别求组合解析：120【分析】假定5个球排成一排，5个小球之间有6个空位，取空位的情况来达到使小球的编号连续的目的，有两种情况：（1）有3个号码是连续；（2）分别有2组号码连续，但这2组号码与另一个球的号码不相邻，分别求组合数，可得答案.【详解】将5个小球排成一排，在5个小球中间有6个空位，5个小球的编号恰好有两组“好球”，分两种情况：（1）这5个球中有3个球的号码是连续的，另两个小球的号码的是间断的，3个小球的号码与另2个球的号码也不是连续的，有216460C C=，（2）这5个球中有2组球的号码分别连接，但这两组球的号码与另一个球的号码是不连续的，有126560C C=，故任取的5个球中恰有两组“好球”的取法有60+60120=种取法，故答案为：120.【点睛】本题考查组合知识，对于相邻问题和相间问题，常采用分析空位的方法，属于中档题. 14．150【分析】先将五本书分成三堆有和种不同的分法再把三堆分给三个同学即得解【详解】由题意先将五本书分成三堆有和种不同的分法故有种分堆方式再分给三个同学有种不同方法故答案为：150【点睛】本题考查了排解析：150【分析】先将五本书分成三堆，有1,1,3和2,2,1种不同的分法，再把三堆分给三个同学即得解【详解】由题意，先将五本书分成三堆，有1,1,3和2,2,1种不同的分法故有1132215435312222C C C C C CA A+种分堆方式再分给三个同学，有113221354353132222()150C C C C C CAA A+=种不同方法故答案为：150【点睛】本题考查了排列组合综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题15．【分析】由题意在二项式定理的通项公式中令x的幂指数等于零求得r的值可得展开式的常数项再根据展开式的常数项为150求得ab的值再利用基本不等式求得a2+b2的最小值【详解】的展开式中通项公式为Tr+1解析：【分析】由题意在二项式定理的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项，再根据展开式的常数项为150，求得ab的值，再利用基本不等式求得a2+b2的最小值．【详解】62ax⎛+⎝⎭的展开式中通项公式为T r+1=()62612366r rrr r r r rC ax x C a x----=令12﹣3r＝0，求得r＝4，则展开式的常数项为T5=422226=15C a b a b根据展开式中的常数项为150，得15a2b2＝150，∴a2b2＝10，ab∴=∴a2+b2≥2ab=当且仅当|a|＝b＝1410时，取等号．故答案为：．【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式、基本不等式的应用，确定常数项是关键，属于基础题．16．9【分析】将看成整体利用二项式定理展开讨论和两种情况计算得到答案【详解】展开式通项为当时的展开式的通项为取得到项的系数为；当时的展开式的通项为取得到项的系数为综上所述：项的系数是故答案为：【点睛】本解析：9【分析】将2x x-看成整体，利用二项式定理展开，讨论6r=和=5r两种情况，计算得到答案.【详解】()()()662211x x x x =+-+-，展开式通项为()216rrr T C x x +=-，当6r =时，()62x x -的展开式的通项为()()6261661aaa a a aa T C xx C x -++=⋅-=⋅-， 取4a =得到10x 项的系数为()46466115C C ⋅⋅-=；当=5r 时，()52x x -的展开式的通项为()()5251551bbb bb bb T C x x C x -++=⋅-=⋅-，取5b =得到10x 项的系数为()5556516C C ⋅⋅-=-.综上所述：10x 项的系数是1569-=. 故答案为：9. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力，分两步计算是解题的关键.17．315【分析】根据题意有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同再由排列组台及计数原理即可求解【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同共种不同取法；第二步：再将剩下的个小球放入到解析：315 【分析】根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，再由排列组台及计数原理，即可求解. 【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，共3735C =种不同取法； 第二步：再将剩下的4个小球放入到4个盒子中,且小球编号与放入的小球的编号不相同，共()113219C C +=种不同放法；因而有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同的不同放法种数为359315⨯=种. 故答案为：315 【点睛】本题考查了排列组合及计数原理，考查理解辨析能力与运算求解能力，属中档题.18．【分析】首先计算出当千位为4或5时的情况再求出当千位为3时的情况最后根据分类加法计算原理计算可得【详解】解：①当千位为4时其他位从剩下的数字选3个排列即可有（种）②当千位为5时其他位从剩下的数字选3 解析：172【分析】首先计算出当千位为4或5时的情况，再求出当千位为3时的情况，最后根据分类加法计算原理计算可得． 【详解】解：①当千位为4时，其他位从剩下的数字选3个排列即可，有3560A =（种），②当千位为5时，其他位从剩下的数字选3个排列即可，有3560A =（种），③当千位为3时，百位在1、2、4、5中任选一个均满足，有124448C A =（种），④当千位为3且百位为0时，若十位为5，则有3种，若十位为4，则只有1种； 根据分类加法计算原理可得一个有60604831172++++=（种） 故答案为：172 【点睛】本题考查排列数、组合数的求法，考查排列数、组合数公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．19．【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得展开式的通项为令解得则得解【详解】由展开式的通项为令解得则故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：22-【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为111112(1)(1)r r r r T C x -+=+-，令1110r -=，解得1r =，则110112(1)22a C =⨯-=-，得解．【详解】由111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为111112(1)(1)rr r r T C x -+=+-， 令1110r -=，解得1r =，则110112(1)22a C =⨯-=-， 故答案为：22-． 【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．20．【分析】根据二项式系数和可求得根据二项展开式通项公式可求得的值代入可求得结果【详解】展开式二项式系数和为解得：展开式通项公式为：令解得：展开式中常数为故答案为：【点睛】本题考查二项展开式中指定项的求 解析：80【分析】根据二项式系数和可求得n ，根据二项展开式通项公式可求得r 的值，代入可求得结果. 【详解】22nx x ⎛+ ⎝展开式二项式系数和为32，232n∴=，解得：5n =，522nx x⎛⎛∴+= ⎝⎝展开式通项公式为：51010221552rr r r r r r T C x C x--+=⋅=. 令51002r -=，解得：4r =，∴展开式中常数为445216580C =⨯=. 故答案为：80.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的求解问题，关键是熟练掌握二项式系数和的性质和二项展开式通项公式的形式.三、解答题21．(1) 48 (2) 240 (3) 36【分析】(1)先排教授，再排学生由分步乘法计数原理可得答案.（2）将2名教授看作是一个整体，和4名实习学生一起排列，再将两名教授进行排列，由分步乘法计数原理可得答案.（3）把4名实习学生按1 , 1 , 2分成3组, 再将三组分别分配到三所中学任教可得答案.【详解】(1 )先排2名教授,有222A=(种)不同的排法,再排4名实习学生,有4424A=(种)不同的排法,故由分步乘法计数原理可得，共有22448⨯= (种)不同的排法(2) 将2名教授看作是一个整体，和4名实习学生一起排列有55120A= (种)不同的排法又2名教授,有222A=(种)不同的排法,所以共有2120240⨯= (种)不同的排法(3 )把4名实习学生按1 , 1 , 2分成3组,有214222C CA种分组方法.再将三组分别分配到三所中学任教故共有2134232236C CAA⨯= (种)不同的排法.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.22．（1）28种；（2）44种；（3）1 45【分析】（1）根据题意，利用组合数的公式，即可求得抽出的2件都是合格品的抽法种数；（2）由（1）得抽出的2件产品都是合格品的抽法，再求得恰好1件合格品1件不合格品的抽法种数，利用分类计数原理，即可求解.（3）求得基本事件的总数，得出其中抽检的2件产品都是不合格品的事件数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）由题意，某工厂生产的10件产品中，有8件合格品、2件不合格品，所以抽出的2件都是合格品的抽法，共有20828712821C C ⨯=⨯=⨯种. （2）由（1）得抽出的2件产品都是合格品的抽法，共有2082872821C C ⨯==⨯种； 恰好1件合格品1件不合格品的抽法，共有11828216C C =⨯=种， 所以抽到的2件产品中至多有1件不合格品的抽法，共有281644+=种.（3）从10件产品中任意抽取2件产品的抽法，共有2101094521C ⨯==⨯种， 其中抽检的2件产品都是不合格品的事件数有221C =种， 得抽检的2件产品都是不合格品的概率145P =， 即这批产品被退货的概率为145. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理、排列组合的应用，以及古典概型的概率计算，其中解答中认真审题，合理分类，结合分类计数原理和古典概型的概率计算公式准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.23．（1）8；（2）系数最大项，4570T x =，系数最小项656T x =-和7456T x =-【分析】（1）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为2n ，()732a b +展开式的二项式系数和为72，根据条件可得到关于n 的等式求解出n 的值；（2）根据二项式系数的性质求得当r 为何值时，展开式的系数最大或最小，从而求解出对应的系数最大和最小的项. 【详解】（1）由条件可知：722128n -=，所以822n =，所以8n =；（2）因为21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为：()163181r r rr T C x -+=⋅-⋅，由二项式系数的性质可知：当4r =时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最大，所以系数最大的项为4445870T C x x =⋅=， 当3r =或5时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最小，所以系数最小的项为3774856T C x x =-⋅=-和56856T C x x =-⋅=-. 【点睛】本题考查二项式定理的综合运用，难度一般.对于二项式系数kn C ，若n 为偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项1122,n n nnC C-+同时取得最大值.24．（1）119种（2）31种 【分析】(1)利用间接法可得满足题意的方法数.(2)由分类加法计数原理结合分步乘法计数原理可得满足题意的方法数. 【详解】（1）利用间接法可知满足题意的投放方法为：551119A -=种.（2）分为三类：第一类，五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种；第二类，三个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与盒子的编号相同的投放方法有35C 种，球的编号与盒子的编号不同的投放方法有1种，所以投放方法有35110C ⨯=种； 第三类，两个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与盒子的编号相同的投放方法有25C 种，球的编号与盒子的编号不同的投放方法有2种，所以投放方法有35220C ⨯=种. 根据分类加法计数原理得，所有的投放方法有1102031++=种. 【点睛】本题主要考查间接法的应用，分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.25．(1) 3720种; (2)1?440种 (3)1?200种 (4) 840种 【分析】（1）分别计算甲站在排尾和甲不站在排尾排列数，求和即可；（2）将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，在5个空位种任选3个，利用插空法计算即可；（3）先将甲、乙全排列，在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，利用捆绑法计算即可；（4）在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，再将这三人按顺序安排剩下三个位置即可. 【详解】() 1根据题意，分2种情况讨论：①、甲站在排尾，剩余6人进行全排列，安排在其他6个位置，有66A 种排法， ②、甲不站在排尾，则甲有5个位置可选，有15A 种排法，乙不能在排尾，也有5个位置可选，有15A 种排法， 剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有55A 种排法， 则此时有115555A A A 种排法；故甲不站排头，乙不站排尾的排法有61156555A A A A 3720+=种;()2根据题意，分2步进行分析，①、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，有44A 种情况，排好后，有5个空位，②、在5个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有35A 种情况，则共有4345A A 1440=种排法;()3根据题意，①、先将甲、乙全排列，有22A 种情况，②、在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，有15A 种选法， ③、将三人看成一个整体，与其他四人进行全排列，有55A 种排法，则甲、乙中间有且只有1人共有215255A A A 1200=种排法;()4根据题意，分2步进行分析：①、在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有47A 种排法，②、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有1种排法，则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有47A 840=种． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不能相邻用插空法，其次要注意分类、分步计数原理的熟练运用． 26．（1）①128，②44827；（2）23n【分析】（1）①设f （x ）=(1＋x )8=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，f （1）=28=a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8，f （-1）=0=a 0-a 1＋a 2-…＋a 8，a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8= [f （1）+ f （-1）] ÷2即可得解；②8823rr n a C -⎛⎫= ⎪⎝⎭，通过不等式组891888718822332233r rr r r rr r C C C C -----+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩即可得解； （2）处理()()002133n kkn nkkk nk k n k a x n k C -==⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑0021213333n kk n kknnk k n n k k nC kC --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑1110021*******n kkn kk nn k k n n k k n nC C -----==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑，利用二项式定理逆用即可得解.【详解】（1）设f （x ）=(t ＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 当n =8时.①若t =1，f （x ）=(1＋x )8=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， f （1）=28=a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8，f （-1）=0=a 0-a 1＋a 2-…＋a 8， a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8= [f （1）+ f （-1）]÷2=128 ②若t =23，(23＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 所以8823rr n a C -⎛⎫= ⎪⎝⎭，设第r 项最大，则891888718822332233rrr r r rr r C C C C -----+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， ()()123921381r r r r ⎧≥⎪-⎪⎨⎪≥⎪-+⎩解得222755r ≤≤，所以=5r 数列{a n }中的最大值35582448327a C ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）若t=23，当13x =时，求()0nkk k n k a x =-∑的值.(23＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 当2n ≥时，()()002133n kknnkk k n k k n k a x n k C -==⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 0021213333n kk n kknnk k nn k k nC kC --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 1110021*******n kk n kk nn k k n n k k n nC C -----==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑121333n n n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23n =， 当n =1时也满足，所以()0nk k k n k a x =-∑23n =. 【点睛】此题考查二项式定理的应用，根据展开式求解系数关系，涉及组合数计算公式，二项式定理的逆用，综合性强.。

一、选择题1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（ ）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50002．某班级8位同学分成A ，B ，C 三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（ ） A ．140B ．160C ．80D ．1003．从4名优秀学生中选拔参加池州一中数学、物理、化学三学科培优研讨会，要求每名学生至多被一学科选中，则每学科至少要选用一名学生的情况有（ ）种 A ．24B ．36C ．48D ．604．二项式51(2)x x-的展开式中含3x 项的系数是A ．80B ．48C ．−40D ．−805．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（ ） A ．40B ．36C ．32D ．206．10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法A ．5457A A 种 B ．1010A －7474A A 种 C ．6467A A 种D ．6466A A 种7．5250125(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，则2a =（ ）A ．40B ．40-C ．80D ．80- 8．有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数为（ ）A ．120B ．150C ．240D ．3009．有5位同学参加青少年科技创新大赛的3个不同项目，要求每位同学参加一个项目且每个项目至少有一位同学，则不同的参加方法种数为（ ）A ．80B ．120C ．150D ．36010．如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四个区域，现有5种不同的花供选种，要求在每个区域里种1种花，且相邻的2个区域种不同的花，则不同的种法种数为（ ）A ．96B ．84C ．260D ．32011．用6个字母,,,,,A B C a b c 编拟某种信号程序（大小写有区别），把这6个字母全部排列如图所示的表格中，每个字母必须使用且只使用一次，不同的排列方式表示不同的信号，如果恰有一对字母（同一个字母的大小写）排到同一列的上下格位置，那么称此信号为“微错号”，则不同的“微错号”的总数为( )A ．144B ．288C ．432D ．57612．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ） A ．2280B ．2120C ．1440D ．720二、填空题13．()83x y z +-展开式中，52x y z 项的系数为__________. 14．83被5除所得的余数是_____________．15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法. 16．已知数列{}n a 共有21项，且11a =， 2115a =，11(1,2,3,,20)k k a a k +-==，则满足条件的不同数列{}n a 有______个.17．将编号为1，2，3，4，5，6，7的七个小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______. 18．多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的系数是________. 19．从0，1，2，3，4，5这6个数字中任取3个组成一个无重复数字的三位数，其中奇数的个数是__________.20．甲、乙、丙等7人排成一排，甲站最中间，乙丙相邻，且乙、丙与丁均不相邻，共有______种不同排法．（用数字作答）三、解答题21．已知()22nn N x +⎫∈⎪⎭的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36. （1）求n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项.22．某工厂生产的10件产品中，有8件合格品、2件不合格品，合格品与不合格品在外观上没有区别.从这10件产品中任意抽检2件，计算： （1）抽出的2件产品恰好都是合格品的抽法有多少种？ （2）抽出的2件产品至多有1件不合格品的抽法有多少种？（3）如果抽检的2件产品都是不合格品，那么这批产品将被退货，求这批产品被退货的概率.23．已知2nm x ⎛ ⎝（m 是正实数）的展开式中前3项的二项式系数之和等于37． （1）求n 的值；（2）若展开式中含1x项的系数等于112，求m 的值．24．某毕业班级中有6人要拍毕业照留念.（1）若分成两排合影，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法? （2）若排成一排合影，甲乙相邻但乙丙不相邻，有多少种不同的排法?25．7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？()1其中甲不站排头，乙不站排尾；()2其中甲、乙、丙3人两两不相邻； ()3其中甲、乙中间有且只有1人； ()4其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列．26．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数.问 （1）能够组成多少个六位偶数.（2）能够组成多少个大于201345的正整数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --， 故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．A解析：A 【分析】分两种情况讨论即甲､乙两位同学在A 组或B 组和甲､乙两位同学在C 组； 【详解】甲､乙两位同学在A 组或B 组的情况有13652120C C ⨯=种， 甲､乙两位同学在C 组的情况有336320C C =种，共计140种. 故选：A. 【点睛】本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.3．D解析：D 【分析】首先，根据题意，分析得出应该分两类情况，共选3人参加研讨会和4名学生都参加，之后各自应用分步计数原理求得结果，之后应用分类加法计数原理求得结果. 【详解】依题意，分两类情况：（1）每个学科选1人，共选3人参加研讨会， 从4名学生中选3名进行排列即可，有3424A =种情况； （2）4名学生都参加，则必然有2名学生参加同一学科的研讨会，先从4名学生中选2名看作一个整体，有246C =选法， 将这个整体与其他学生全排列即可，有336A =种排法， 根据分步计数原理，共有6636⨯=种情况，综上所述，根据分类计数原理可得，每学科至少 一名学生的情况有263460+=种，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于简单题目.4．D解析：D 【解析】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()()55521551C 212C rr r r r rr r T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令523r -=，1r =，所求系数为145C 280-=-，故选D .5．A解析：A 【分析】根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中6个空位符合条件，将3人插入6个空位中，注意甲必须在三人中间，然后再排乙，丙，最后用分步计数原理求解. 【详解】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空， 三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法， 又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C 2240A ⋅=种. 故选：A . 【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，还考查了分析问题的能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】不相邻问题采用“插空法”. 【详解】解：∵10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排， ∴采用插空法来解，另外六人，有66A 种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁， 有47A 种结果，根据分步计数原理知共有66A •47A ， 故选C ． 【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素．7．A解析：A 【分析】易得[]55(21)2(1)1x x --=+，求出展开式通项后可得55152(1)rrr r T C x --+=⋅⋅-，令3r =可得出2a 的值. 【详解】由于[]55(21)2(1)1x x --=+，所以展开式的通项为：[]5551552(1)12(1)rrr r r r r T C x C x ---+=⋅-⋅=⋅⋅-，令3r =可得：322352(1)T C x =⋅⋅-，则3225240a C =⋅=. 故选：A . 【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是得出[]55(21)2(1)1x x --=+进而进行计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.8．B解析：B 【分析】由题意，分“其中1人3本，另2人每人一本”、“其中1人一本，另2人每人2本”两种情况讨论，由分类计数原理结合排列、组合的知识即可得解. 【详解】有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，分两种情况：①其中1人3本，另2人每人一本，有311352132260C C C A A ⋅=种； ②其中1人一本，另2人每人2本，有122354232290C C C A A ⋅=种． 所以不同的分法有6090150+=种. 故选：B ． 【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.9．C解析：C 【分析】根据题意，分清楚有两种情况，利用公式求得结果. 【详解】根据题意，可知有两种情况，一种是有三位同学去参加同一个项目，一种是有两个项目是两位同学参加，所以不同的参加方法种数为22333535332210310661502C CC A AA⋅⨯⋅+⋅=⨯+⨯=种，故选：C.【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类计数加法计数原理，排列组合综合题，属于中档题目.10．C解析：C【分析】按照A-B-C-D的顺序种花，分A，C同色与不同色两种情况求解.【详解】按照A-B-C-D的顺序种花，当A，C同色时，541480⨯⨯⨯=种，当A，C不同色时，5433180⨯⨯⨯=种，所以共有260种.故选：C【点睛】本题主要考查涂色问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 11．B解析：B【分析】根据题意，分三步进行分析：（1）先确定排到同一列的上下各位置的一对字母，由分步计数原理可得其放法数目；（2）确定好第一组数据，剩下两组数据对应四个表格，分析方法（1），则可确定第二组字母的放法数目；（3）剩最后一组字母放入最后两个位置，由排列公式即可得其放法数目.最后由分步计数原理计算即可得出答案.【详解】根据题意分析，分三步进行：（1）先选定排列到同一列上下格位置的一对字母，有3种情况，再将其放入表格中，有3种情况，再考虑这一对字母的顺序有2种不同的顺序；（2）再分析第二对字母，假设（1）中选定的为,A a，则剩下的两组字母中选一组有2种情况，再将其放入表格中有2种不同结果，再考虑这一对字母的顺序有2种不同的顺序；（3）最后一对字母放入最后两个位置有2种不同的排法.所以共有3322222288⨯⨯⨯⨯⨯⨯=个“微错号”.故选：B.【点睛】本题主要考查计数原理，解题的关键是弄清题目中排列的方法.12．A解析：A【分析】整体上用间接法求解，先算出1，4，1，5，9，2，6这7位数字随机排列的种数，注意里面有两个1，多了22A 倍，要除去，再减去小于3.14的种数，小于3.14的数只有小数点前两位为11或12，其他全排列. 【详解】由于1，4，1，5，9，2，6这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有7722A A ， 而只有小数点前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有552A ，故得到的数字大于3.14的不同情况有75752222280A A A -=. 故选：A 【点睛】本题主要考查数字的排列问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】由的指数是1得到然后由的指数是2得到然后即可算出答案【详解】因为的指数是1所以得到又因为的指数是2得到所以项的系数为故答案为：【点睛】在解决本类问题时应将其中两项看成一个整体来处理 解析：1512-【分析】()()8833x y z x y z +-=+-⎡⎤⎣⎦，由z 的指数是1，得到()()7183C x y z +-，然后由y 的指数是2，得到()22573C xy ，然后即可算出答案.【详解】()()8833x y z x y z +-=+-⎡⎤⎣⎦因为z 的指数是1，所以得到()()7183C x y z +-又因为y 的指数是2，得到()22573C xy所以52x y z 项的系数为()12287131512C C -=-故答案为：1512- 【点睛】在解决本类问题时应将其中两项看成一个整体来处理.14．1【分析】变形利用二项式定理展开即可求出被除所得的余数【详解】因为所以转化为求被除所得的余数因为所以被除所得的余数是1故答案为：1【点睛】本题主要考查了利用二项式定理研究整除问题考查了推理运算能力属解析：1 【分析】变形883(52)=-，利用二项式定理展开即可求出被5除所得的余数. 【详解】 因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-，所以转化为求8885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数， 因为2565151=⨯+， 所以83被5除所得的余数是1， 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理研究整除问题，考查了推理运算能力，属于中档题.15．150【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分别计算可得分成113与分成221时的分组情况种数相加可得答案【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分成1解析：150 【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案． 【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有3353C A 种分法，分成2、2、1时，有22353322C C A A 种分法，所以共有223335353322150C C C A A A +=种分法， 故答案为：150． 【点睛】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．16．【分析】转化条件得或求出满足的个数再利用组合的知识即可得解【详解】或设满足的个数为解得结合组合的应用满足要求的数列有个故答案为：【点睛】本题考查了数列递推公式的应用考查了组合的应用与转化化归思想属于解析：1140【分析】转化条件得11k k a a +-=或11k k a a +-=-，求出满足11k k a a +-=的个数，再利用组合的知识即可得解.【详解】11k k a a +-=， ∴11k k a a +-=或11k k a a +-=-，设满足11k k a a +-=的个数为x ，()()()211212*********a a a a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅+-=， ∴()()20114x x +-⋅-=，解得17x =，结合组合的应用，满足要求的数列有20217301140C C ==个. 故答案为：1140. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了组合的应用与转化化归思想，属于中档题.17．315【分析】根据题意有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同再由排列组台及计数原理即可求解【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同共种不同取法；第二步：再将剩下的个小球放入到解析：315 【分析】根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，再由排列组台及计数原理，即可求解. 【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，共3735C =种不同取法； 第二步：再将剩下的4个小球放入到4个盒子中,且小球编号与放入的小球的编号不相同，共()113219C C +=种不同放法；因而有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同的不同放法种数为359315⨯=种. 故答案为：315 【点睛】本题考查了排列组合及计数原理，考查理解辨析能力与运算求解能力，属中档题.18．200【分析】根据题意由二项式定理可得的通项公式为令求出对应的值即可求解【详解】根据题意由二项式定理可得的通项公式为当时可得当时可得所以多项式的展开式中含的项为故多项式的展开式中含项的系数为故答案为解析：200 【分析】根据题意，由二项式定理可得，()52x +的通项公式为5152rrr r T C x -+=，令2,3r r ==，求出对应1r T +的值即可求解. 【详解】根据题意，由二项式定理可得，()52x +的通项公式为5152rrr r T C x -+=，当2r时，可得232235280T C x x ==，当3r =时，可得323345240T C x x ==，所以多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项为232128040200x x x x⨯+⋅=， 故多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的系数为200. 故答案为：200 【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数；考查运算求解能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.19．48【分析】根据题意分3步进行分析：①从135三个数中取一个排个位；②0不能在百位则百位的安排方法有4种；③在剩下的4个数中任选1个安排在十位由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意分3步进行解析：48 【分析】根据题意，分3步进行分析：①从1、3、5三个数中取一个排个位；②0不能在百位，则百位的安排方法有4种；③在剩下的4个数中任选1个，安排在十位，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①从1、3、5三个数中取一个排个位，有3种安排方法， ②0不能在百位，则百位的安排方法有4种，③在剩下的4个数中任选1个，安排在十位，有4种情况， 则符合题意的奇数的个数是为34448⨯⨯=个. 故答案为：48. 【点睛】本题考查排列组合及简单的计算原理，采用特殊元素特殊位置优先考虑的方法.20．【分析】根据乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙丙与丁均不相邻且甲站最中间则剩余3人全排列从产生的4个空中选2个将乙丙与丁排列再用分类乘法计数原理求解【详解】因为乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙 解析：144【分析】根据乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，且甲站最中间，则剩余3人全排列，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，再用分类乘法计数原理求解. 【详解】因为乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，因为甲站最中间，则剩余3人全排列有33A 种排法，，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，有24A 种排法，所以共有232234144A A A ⨯⨯=种排法故答案为：144 【点睛】本题主要考查分类乘法计数原理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）8；（2）611120x⋅. 【分析】（1）由条件利用二项式系数的性质求得n 的值；（2）首先求出二项式展开式的通项，进而得到展开式中二项式系数最大的项. 【详解】（1）由题意知，第二项的二项式系数为1n C ，第三项的二项式系数为2n C ，1236n n C C ∴+=，得2720n n +-=，(9)(8)0n n ∴+-=得8n =或9n =-（舍去）.（2）822x ⎫⎪⎭的通项公式为：858218822(1)2kkk k k k kk T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又由8n =知第5项的二项式系数最大，此时5611120T x =⋅. 【点睛】本题第一问考查二项式系数的性质，第二问考查二项式系数最大的项，熟记二项式展开式的通项为解题的关键，属于中档题. 22．（1）28种；（2）44种；（3）145【分析】（1）根据题意，利用组合数的公式，即可求得抽出的2件都是合格品的抽法种数； （2）由（1）得抽出的2件产品都是合格品的抽法，再求得恰好1件合格品1件不合格品的抽法种数，利用分类计数原理，即可求解.（3）求得基本事件的总数，得出其中抽检的2件产品都是不合格品的事件数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，某工厂生产的10件产品中，有8件合格品、2件不合格品，所以抽出的2件都是合格品的抽法，共有20828712821C C ⨯=⨯=⨯种. （2）由（1）得抽出的2件产品都是合格品的抽法，共有2082872821C C ⨯==⨯种；恰好1件合格品1件不合格品的抽法，共有11828216C C =⨯=种， 所以抽到的2件产品中至多有1件不合格品的抽法，共有281644+=种.（3）从10件产品中任意抽取2件产品的抽法，共有2101094521C ⨯==⨯种， 其中抽检的2件产品都是不合格品的事件数有221C =种， 得抽检的2件产品都是不合格品的概率145P =， 即这批产品被退货的概率为145. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理、排列组合的应用，以及古典概型的概率计算，其中解答中认真审题，合理分类，结合分类计数原理和古典概型的概率计算公式准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 23．（1）8n =（2）2m = 【分析】（1）由01237n n n C C C ++=，求解即可得出； （2）根据展开式的通项，即可得出m 的值． 【详解】 （1）01237n n n C C C ++=，2720n n ∴+-=，解得9n =-（舍）8n =（2）28m x ⎛+⎝的展开式的通项为()18225168288rrrr r r C C mxx m x -+---⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭= 当6r =时是含1x项，所以268112m C =，解得2m = 【点睛】本题主要考查了已知指定项的系数求参数，属于中档题. 24．（1）720种（2）192种 【分析】（1）将分排的问题采用直排的方式进行全排列即可得到结果；（2）将甲乙捆绑后，当做一人与除丙外的人进行排序，将丙插空放入，根据分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】（1）前后两排相当于一排，共有666!720A ==种排法 （2）第一步：甲乙相邻，共有222A =种排法；第二步：将甲乙看做一个人，与除丙外的其他3人排列，共有：4424A =种排法； 第三步：将丙插空放入，保证与乙不相邻，共有：144A =种排法∴共有：2244192⨯⨯=种排法【点睛】本题考查排列数的应用问题，涉及到分排问题直排法、相邻问题捆绑法、相离问题插空法、分步乘法计数原理的应用.25．(1) 3720种; (2)1?440种 (3)1?200种 (4) 840种 【分析】（1）分别计算甲站在排尾和甲不站在排尾排列数，求和即可；（2）将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，在5个空位种任选3个，利用插空法计算即可；（3）先将甲、乙全排列，在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，利用捆绑法计算即可；（4）在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，再将这三人按顺序安排剩下三个位置即可. 【详解】() 1根据题意，分2种情况讨论：①、甲站在排尾，剩余6人进行全排列，安排在其他6个位置，有66A 种排法， ②、甲不站在排尾，则甲有5个位置可选，有15A 种排法，乙不能在排尾，也有5个位置可选，有15A 种排法， 剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有55A 种排法， 则此时有115555A A A 种排法；故甲不站排头，乙不站排尾的排法有61156555A A A A 3720+=种;()2根据题意，分2步进行分析，①、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，有44A 种情况，排好后，有5个空位，②、在5个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有35A 种情况，则共有4345A A 1440=种排法;()3根据题意，①、先将甲、乙全排列，有22A 种情况，②、在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，有15A 种选法，③、将三人看成一个整体，与其他四人进行全排列，有55A 种排法，则甲、乙中间有且只有1人共有215255A A A 1200=种排法;()4根据题意，分2步进行分析：①、在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有47A 种排法，②、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有1种排法，则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有47A 840=种． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不能相邻用插空法，其次要注意分类、分步计数原理的熟练运用． 26．（1）312（2）497 【分析】（1）对个位数进行分类讨论，若个数为零，其它五个数字全排列；若个位数为2,4，可得其取法数目，其首位数字不能为0，可得其取法数目，其它4个数全排列排在中间，由分步计数和分类计数原理，可得出答案；（2）组成的数大于201345，所以十万位可以是2,3,4,5，再分类计算，即可得出结论. 【详解】（1）依题意，当0在个位时，组成六位偶数个数为55120A ＝， 当2,4在个位时，组成六位偶数个数为114244192C C A ⋅⋅=∴共计组成的六位偶数个数为120192312+＝；（2）20345是以2为首位最小的一个整数，当首位为2时，比201345大的数有551119A -＝， 当首位为3,4,5时，比201345大的数有15353120360C A ⋅⨯＝＝ ∴能够组成479个大于201345的正整数.【点睛】本题考查排列、组合应用，解题时要注意条件对数的限制，以及首位数不能为0，属于中档题.。

一、选择题1．从4名优秀学生中选拔参加池州一中数学、物理、化学三学科培优研讨会，要求每名学生至多被一学科选中，则每学科至少要选用一名学生的情况有（ ）种 A ．24B ．36C ．48D ．602．()()4221x x x -+-的展开式中x 项的系数为（ ）A ．9-B ．5-C ．7D ．83．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（ ） A ．60 B ．48 C ．36 D ．24 4．把4个不同的小球全部放人3个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法总数为（ ）A ．1333C AB ．3242C AC ．132442C C CD ．2343C A5．数列129,,,a a a ⋅⋅⋅中，恰好有6个7，3个4，则不相同的数列的个数( ) A ．69AB ．39AC ．39CD ．36C6．袋中有大小相同的四个白球和三个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（ ） A ．47B ．37C ．27D ．8217．10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ） A ．2263C AB ．2666C AC ．2266C AD ．2265C A8．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10B ．40-C ．200D ．2409．在12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中, 2x 项的系数为( ) A ．10B ．25C ．35D ．6610．现有甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为（ ） A ．14B ．16C ．18D ．2011．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为-1，则a 的值为( ) A ．1 B ．9C ．-1或-9D ．1或912．41(1)x x++的展开式中常数项为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．21二、填空题13．函数()y f x =的定义域D 和值域A 都是集合{12,3}，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有()()x f x xf x ++的值是奇数，则满足条件的函数()y f x =的个数是_____；14．若9m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为84，则m =_________.15．若在83(3)(1)a x x +-关于x 的展开式中，常数项为4，则2x 的系数是______________．16．在二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，该二项展开式中系数最大的项为___________．17．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.18．植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．19．将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个国家馆至少分配一名志愿者且其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有________种．20．,,,,,A B C D E F 六人并排站成一排，,A B 必须站在一起，且,C D 不能相邻，那么不同的排法共有_____种（结果用数字表示）.三、解答题21．若2nx x ⎛+ ⎝展开式的二项式系数之和是64．（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项．22．某校阅览室的一个书架上有6本不同的课外书，有5个学生想阅读这6本书，在同一时间内他们到这个书架上取书.（1）求每个学生只取1本书的不同取法种数；（2）求每个学生最少取1本书，最多取2本书的不同取法种数；（3）求恰有1个学生没取到书的不同取法种数.23．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++ （1）求2a 的值；（2）求2202413()()a a a a a ++-+ 24．已知1(2)4n x +的展开式前三项的三项式系数的和等于37 ，求： （1）展开式中二项式系数最大的项的系数． （2）展开式中系数最大的项．25．（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （2）由0,1,2,3,4,5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？（3）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，其余2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？26．有2名男生、3名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法?（以下各题请用数字作答）（1）甲不在中间也不在两端； （2）甲、乙两人必须排在两端； （3）男、女生分别排在一起； （4）男女相间；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先，根据题意，分析得出应该分两类情况，共选3人参加研讨会和4名学生都参加，之后各自应用分步计数原理求得结果，之后应用分类加法计数原理求得结果. 【详解】依题意，分两类情况：（1）每个学科选1人，共选3人参加研讨会， 从4名学生中选3名进行排列即可，有3424A =种情况； （2）4名学生都参加，则必然有2名学生参加同一学科的研讨会，先从4名学生中选2名看作一个整体，有246C =选法， 将这个整体与其他学生全排列即可，有336A =种排法， 根据分步计数原理，共有6636⨯=种情况，综上所述，根据分类计数原理可得，每学科至少 一名学生的情况有263460+=种， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于简单题目.2．A解析：A 【分析】将()()4221x x x -+-化简为:2444(1)(1)2(1)x x x x x --+--,写出4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)rr r r T C x -+=⋅-,即可求得答案.【详解】 ()()42244421(1)(1)2(1)x x x x x x x x -+---+-=-4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x -+=⋅- 24(1)x x -中不含x 项,无需求解.4(1)x x --中含x 项,即当4r =时(44444)(1)x C xx --⋅⋅=--42(1)x -中含x 项,即当3r =时(43)34328(1)C x x -⋅=-- ∴ ()()4221x x x -+-的展开式中x 项9x -故选:A. 【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.3．D解析：D 【分析】由排列组合中的相邻问题与不相邻问题得：不同的排课方法数为22222324A A A =，得解． 【详解】先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可， 即不同的排课方法数为22222324A A A =， 故选：D ． 【点睛】本题考查了排列组合中的相邻问题与不相邻问题，属中档题．4．D解析：D 【分析】利用捆绑法选择两个球看成整体，再全排列得到答案. 【详解】选择两个球看成整体，共有24C 种取法，再把三个球放入三个盒子中，有33A 种放法，故共有2343C A 种放法. 故选：D. 【点睛】本题考查了排列和组合的应用，意在考查学生的应用能力，利用捆绑法是解题的关键.5．C解析：C 【分析】把129,,,a a a ⋅⋅⋅看成9个位置，从这9个位置中，任取3个位置放4（或任取6个位置放7），即得不相同的数列的个数. 【详解】把129,,,a a a ⋅⋅⋅看成9个位置，从这9个位置中，任取3个位置放4（或任取6个位置放7），其余6个位置放7（或其余3个位置放4），有39C （或69C ）种不同的取法. 每种取法放3个4都有一种方法，剩下的6个位置放6个7有1种方法. 所以不相同的数列共有39C （或69C ）个. 故选：C . 【点睛】本题考查排列组合，属于基础题.6．B解析：B 【分析】根据题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，利用组合计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为22432737C C P C +==. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.7．C解析：C 【分析】分两步：1.首先先从后排6人中选2人出来；2.将这2人与前排4人排列，且前排4人的相对顺序不变，可以看成有6个位置，先选2个位置排这2人，其他4人按原顺序排列，再由乘法原理计算即可. 【详解】首先先从后排6人中选2人出来，共26C 种不同选法，将这2人与前排4人排列，且前排4 人的相对顺序不变，可以看成有6个位置，先选2个位置排这2人有26A 种不同排法，其余 位置按4人原顺序排好只有1种排法，由乘法原理，得不同调整方法的总数是2266C A . 故选：C 【点睛】本题考查排列与组合的应用，涉及到定序排列问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.8．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=， 所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.9．D解析：D 【分析】分析12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的本质就是考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，利用组合知识即可得解.【详解】12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，要得到2x 项，就是在12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中，两个括号取x ，10个括号取1， 所以其系数为21266C =. 故选：D 【点睛】此题考查求多项式的展开式指定项的系数，关键在于弄清二项式定理展开式的本质问题，将问题转化为计数原理组合问题.10．C解析：C 【分析】根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况，一是标号相等时，即所得的等差数列的公差为0，二是所得的等差数列公差为1或-1，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，分别求出其不同的取法，再求和. 【详解】根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况， 一是标号相等时，即全部为1、2、3、4、5、6时，有6种取法，二是所得的等差数列公差为1或-1，即1、2、3；3、2、1；…4、5、6；6、5、4等8种取法，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，即1、3、5；5、3、1；…2、4、6；6、4、2等4种取法，所以共有68418++=种. 故选：C 【点睛】本题主要考查分类加法计算原理，还考查了分类讨论的思想和列举求解的能力，属于中档题.11．D解析：D 【分析】根据题意分析常数项由()2x a +中的某项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的某项项相乘所得,再二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】由题可得,()2x a +中含2x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 项相乘可得常数项； ()2x a +中含x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含1x 项相乘可得常数项； ()2x a +中的常数项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘可得常数项.故()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ()()()2134522122551112111010x C ax C a a a x x ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故22101011090a a a a -+-=-⇒-+=,解得1a =或9a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理,根据常数项求解参数的方法.需要根据题意分析常数项的所有可能组成,属于中档题.12．B解析：B 【分析】 41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x +=+，(0r =，1，⋯，4)．1()r x x+的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，进而得出．【详解】 解：41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x+=+，(0r =，1，⋯，4)． 1()r x x +的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，可得：0k =时，0r =；1k =时，2r ，2k =时，4r =．41(1)x x∴++展开式中常数项21424244119C C C C =+⨯+⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】化简得因此中至少一个为奇数再分两种情况讨论得解【详解】因为所以中至少一个为奇数定义域为的都可以有种；定义域为的函数所以有种；所以共种故答案为：29【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是解析：29【分析】化简得()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++-因此(),f x x 中至少一个为奇数，再分两种情况讨论得解. 【详解】因为()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++- 所以(),f x x 中至少一个为奇数，定义域为{1},{3},{1,3}的都可以，有3333=15++⨯种； 定义域为{}{}{}2,1,2,2,3的函数(2){1,3}f ∈， 所以有23223=14+⨯+⨯种； 所以共29种. 故答案为：29 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是分析出(),f x x 中至少一个为奇数，其二是合理分类讨论.14．【分析】由题意二项式展开式的通项为结合题意求得进而得到关于的方程即可求解【详解】求得二项式的展开式的通项为当解得此时所以解得故答案为：【点睛】求二项展开式的特定项问题实质时考查通项的特点一般需要建立解析：1-. 【分析】由题意，二项式展开式的通项为9219(1)r r r rr T m C x -+=-⋅⋅，结合题意，求得3r =，进而得到关于m 的方程，即可求解. 【详解】求得二项式9m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为992199()(1)r r r r r r rr m T C x m C x x --+=-=-⋅⋅，当923r -=，解得3r =，此时333349(1)T m C x =-⋅⋅，所以3339(1)84m C -⋅⋅=，解得1m =-. 故答案为：1-. 【点睛】求二项展开式的特定项问题，实质时考查通项1C rn r rr n T ab -+=的特点，一般需要建立方程求得r 的值，再将r 的值代入通项求解，同时注意r 的取值范围（0,1,2,,r n =）.15．【分析】将式子转化为两个式子相加的形式再利用二项式定理计算得到答案【详解】展开式的通项为：取得到常数项为故分别取和得到的系数是：故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理意在考查学生的计算能力和应用能力 解析：56-【分析】将式子转化为两个式子相加的形式，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】888(3)(1(13(1a a x x +=+，8(1展开式的通项为：(()88831881r rrr r r T C C x---+==⋅-⋅，取8r =得到常数项为1，故4a =. 分别取2r和=5r 得到2x 的系数是：()2588413156C C ⨯⨯+⨯⨯-=-.故答案为：56-. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.16．【分析】先求出展开式通项得出系数要使展开式中系数最大只需该项系数不小于前一项系数也不小于后一项系数建立关于项数的不等式求解即可【详解】二项式的展开式通项为若第系数最大需满足即整理得解得所以该二项展开 解析：20126720x【分析】先求出展开式通项，得出系数，要使展开式中系数最大，只需该项系数不小于前一项系数，也不小于后一项系数，建立关于项数r 的不等式，求解即可. 【详解】二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为31212364112121(2)()2r r r r r r r T C x C x x ---+==，0,1,2,12r =，若第1r +系数最大，需满足1213112121211112122222r r r r r r r r C C C C -----+⎧≥⎨≥⎩，即12!212!!(12)!(1)!(13)!212!12!!(12)!(1)!(11)!r r r r r r r r ⨯⎧≥⎪---⎪⎨⨯⎪≥⎪-+-⎩， 整理得121321121r rr r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得1013,,433r r N r ≤≤∈∴=， 8420205122126720T C x x ==,所以该二项展开式中系数最大的项为20126720x . 故答案为：20126720x . 【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，熟记通项是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.17．150【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分别计算可得分成113与分成221时的分组情况种数相加可得答案【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分成1解析：150 【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案． 【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有3353C A 种分法，分成2、2、1时，有22353322C C A A 种分法，所以共有223335353322150C C C A A A +=种分法， 故答案为：150． 【点睛】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．18．36【分析】先选四个位置上的重复树苗有种方法再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种四个位置有且仅有一种树苗重复有种选法；在四个位置上种植有种方法则由乘法解析：36 【分析】先选四个位置上的重复树苗有13C 种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题． 【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种A ，B ，C ，D 四个位置，有且仅有一种树苗重复，有13C种选法；在四个位置上种植有442212A A =种方法， 则由乘法原理得131236C ⨯=种方法． 故答案为：36． 【点睛】本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算．属于中档题．19．114【分析】本题是一个分类计数问题每个国家馆至少分配一名志愿者则有两种不同的情况当按照221安排时共有当按照113安排时有其中包括甲和乙在一个馆里的情况减去不合题意的结果即可【详解】由题意知本题是解析：114 【分析】本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况，当按照2，2，1安排时，共有223533902C C A=，当按照1，1，3安排时，有335360C A=，其中包括甲和乙在一个馆里的情况，减去不合题意的结果即可．【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况，每一个馆的人数分别是2，2，1；1，1，3当按照2，2，1安排时，共有223 533902C C A=，当按照1，1，3安排时，有335360C A=，其中包括甲和乙在一个馆里的情况，当甲和乙在同一个馆里时，共有234336C A=，∴满足条件的排列法共有906036114+-=，故答案为：114.【点睛】本题考查计数原理的应用，解题的关键是先分组再做分配，考查加法原理和乘法原理的实际应用，属于中等题.20．144【分析】根据题意分2步进行分析：①将两人看成一个元素与人进行全排列易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个安排由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意分2步进行分析：①将两人看成一个解析：144【分析】根据题意，分2步进行分析：①将AB两人看成一个元素，与2EF人进行全排列，易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个，安排C、D，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①将AB两人看成一个元素，与2EF人进行全排列，有232312A A=种排法，排好后有4个空位，②在4个空位中任选2个，安排C、D，有2412A=种情况，则有1212144⨯=种不同的排法.故答案为：144.【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意常见的相邻和不相邻问题的处理方法有捆绑法和插空法．三、解答题21．（1）6；（2）60 【分析】由二项式系数和求出指数n ，再写出展开式通项后可得常数项. 【详解】（1）由题意得，二项式系数之和为012264n n n n n n C C C C ++++==，6n ∴=；（2）通项公式为366622166(2)2r r rrrr r T C x xC x----+==，令3602r-=，得4r = ∴展开式中的常数项为4464256(2)60T C x x--==．【点睛】该题主要考查二项式定理，在()na b +展开式中二项式系数为2n ，只与指数n 有关，求特定项时要注意通项的正确应用. 22．（1）720（2）2520（3）7800 【分析】（1）直接利用排列公式得到答案.（2）将情况分为：每个学生只取1本书；一个学生取2本书，其余学生每人取一本书这两种情况，分别计算相加得到答案.（3）将情况分为：1个学生取3本书，3个学生每人取1本书，1个学生取0本书； 2个学生每人取2本书，2个学生每人取1本书，1个学生取0本书，计算得到答案. 【详解】（1）每个学生只取1本书的不同取法种数为56720A =种. （2）每个学生最少取1本书，最多取2本书分两种情况： 第一种，每个学生只取1本书，取法为56A ；第二种，一个学生取2本书，其余学生每人取一本书.确定取2本书的学生有15C 种方法，这个学生取哪2本书有26C 种方法，其余4个学生取剩下的4本书且每人一本有44A 种方法，故一个学生取2本书，其余学生每人取一本书取法为124564C C A . 所以，每个学生最少取1本书，最多取2本书的不同取法为5124656472018002520A C C A +=+=种.（3）恰有1个学生没取到书分两种情况：第一种，1个学生取3本书，3个学生每人取1本书，1个学生取0本书，取法种数为3565C A .第二种，2个学生每人取2本书，2个学生每人取1本书，1个学生取0本书，取法种数为22564522C C A A .所以恰有1个学生没取到书的不同取法种数为2222355356464655652222(2045)1207800C C C C C A A C A A A ⎛⎫+=+=+⨯= ⎪⎝⎭种.【点睛】 本题考查了排列组合公式的应用，意在考查学生的应用能力和理解能力. 23．(1) 72 ；(2) 1 【分析】（1）求2a 时，可通过二项展开式的通项去求解；（2）先观察式子特征，注意到可进行平方差变形；然后根据1x =±时的值来计算最终结果. 【详解】（1）因为222224C (2)a x x =，所以22224C (2)72a ==； （2）22024130123401234()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++-+-+当1x =时，401234(2a a a a a ++++=；当1x =-时，401234(2a a a a a --+-+=；所以2244402413()()2)2)(34)1a a a a a ++-+==-=. 【点睛】对于230123()...nn f x a a x a x a x a x =+++++形式的展开式，奇次项系数和：(1)(1)2f f +-，偶次项系数和：(1)(1)2f f --，所有项系数和：(1)f .24．(1)358(2) 8782T x =,8892T x =. 【分析】（1）由题设条件，求得8n =，得到二项式81(2)4x +展开式中第5项的二项式系数最大，利用二项式的通项，即可求解；（2）设二项展开式的第r 项的系数最大，列出不等式组，求得78r ≤≤，得到展开式中系数最大的项为第8项及第9项，即可求解． 【详解】 （1）由1(2)4n x +的展开式前三项的三项式系数的和等于37， 即01237n n n C C C ++=，解得8n =，即二项式81(2)4x +，所以展开式中第5项的二项式系数最大，因此由444444581703524168T C x x x ⎛⎫=⋅⋅== ⎪⎝⎭可知此项的系数为358.（2）设二项展开式的第r 项的系数最大，则891188871188112244112244r rr rr r r rr r r r C C C C ------++⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得78r ≤≤，所以展开式中系数最大的项为第8项及第9项，即177787881224T C x x ⎛⎫=⋅= ⎪⋅⎝⎭，088888981224T C x x ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查二项式定理的通项的应用，属于中档试题，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．25．（1）1560；（2）156；（3）92. 【解析】 【分析】（1）分为3,1,1,1和2,2,1,1两类分别计算，加和得到结果；（2）分为个位是0和个位不是0两类分别计算，加和得到结果；（3）分为只会英语的人中选了3人作英语导游、选了2人作英语导游和选了1人作英语导游三类分别计算，加和得到结果. 【详解】（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有3,1,1,1和2,2,1,1两类分配方式为3,1,1,1时，共有：3114632433480C C C A A ⋅=种分法 分配方式为2,2,1,1时，共有：2214642422221080C C C A A A ⋅=种分法 由分类加法计数原理可得，共有：48010801560+=种分法 （2）若个位是0，共有：3560A =个 若个位不是0，共有：11224496C C A =个由分类加法计数原理可得，共有：6096156+=个（3）若只会英语的人中选了3人作英语导游，共有：3620C =种选法 若只会英语的人中选了2人作英语导游，共有：12323560C C C =种选法 若只会英语的人中选了1人作英语导游，共有：133412C C =种选法由分类加法计数原理可得，共有：20601292++=种选法 【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果.26．（1）48；（2）12；（3）24；（4）12. 【分析】（1）特殊元素优先安排，甲不在中间也不在两端，先将甲排好，其余全排列即可； （2）特殊元素优先安排，先排甲、乙，其余人全排列； （3）相邻问题用捆绑； （4）不相邻问题用插空； 【详解】解：（1）依题意甲不在中间也不在两端，首先安排甲有12A 种排法，其余人全排列有44A ，按照分步乘法计数原理可得一共有142448A A =（种）（2）先排甲、乙有22A 种排法，其余人全排列有33A ，按照分步乘法计数原理可得一共有232312A A =（种）（3）将男女分别捆绑再排列有22322324A A A =（种）（4）男女相间用插空法，先排女生有33A 种排法，再将男生插入女生所形成的2个空档里有22A 种排法，故共有323212A A =（种） 【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，常见的排列问题的处理方法的应用，属于中档题．。

04课后课时精练1. 在吸烟与患肺病是否相关的研究中，有下面的说法：①若χ2＝6.635，我们有99%的把握判定吸烟与患肺病有关联，那么在100个吸烟的人中必有99个人患肺病；②从独立性检验可知有99%的把握判定吸烟与患肺病有关联时，若某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中求出有95%的把握判定吸烟与患肺病有关联，是指有5%的可能性使得推断出现错误．其中说法正确的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3解析：χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是一种相关关系，而不是确定关系，只能反映有关和无关的概率．故①②错误，③正确．答案：B2. 下列关于χ2的说法中正确的是()A. χ2越大，“变量A，B有关联”的可信度越小B. χ2越大，“变量A，B无关”的可信度越大C. χ2越小，“变量A，B有关联”的可信度越小D. χ2越小，“变量A，B无关”的可信度越小解析：χ2越大，“变量A，B有关联”的可信度越大，“变量A，B无关”的可信度越小；相反，χ2越小，“变量A，B有关联”的可信度越小，“变量A，B无关”的可信度越大．答案：C岳阳高二检测]为了评价某个电视栏目的改革效果，在改3. [2014·革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是()A．有99%的人认为该栏目优秀B．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为电视栏目是否优秀与改革有关系D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系解析：结合χ2的含义及实际意义可知，D正确．答案：D4. 某高校《统计》课程的教师随机给出了选该课程的一些情况，具体数据如下：非统计专业统计专业男1310女720为了判断选修统计专业是否与性别有关，根据表中数据，得χ2≈4.844，因为χ2>3.841，所以可以判定选修统计专业与性别有关．那么这种判断出错的可能性为()A．5%B．95%C．1% D．99%解析：若χ2>3.841，说明有95%的把握认为选修统计专业与性别有关，即有5%的把握认为选修统计专业与性别无关，也就是“选修统计课程与性别有关”出错的可能性为5%.答案：A5. 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得出下面的数据表出生时间晚上白天合计性别男婴203050女婴92130合计295180据表分析婴儿的性别与出生时间()A. 密切相关B. 没有必然的关系C. 有关系的概率为50%D. 有关系的概率为95%解析：由公式得χ2＝80×20×21－30×9229×51×30×50≈0.811.因为0.811<3.841，所以婴儿的性别与出生时间没有关系．答案：B6. 在一个2×2的列联表中，由其数据计算得χ2＝13.097，则其两个变量间有关系的可能性为()A. 99%B. 95%C. 90%D. 无关系解析：χ2的估计值χ2>6.635，就有99%的把握认为“x与y有关系”，故选项A最适合．答案：A7. [2014·广东高二检测]某电视台在一次对收看文艺节目的新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20至40岁401858大于40152742。

课时作业(十)1．在3双皮鞋中任意抽取两只，恰为一双鞋的概率为( ) A.15 B.16 C.115 D.13答案 A解析 3×C 22C 62＝315＝15. 2．某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有( ) A ．84种 B ．98种 C ．112种 D ．140种答案 D解析 由题意分析不同的邀请方法有： C 21C 85＋C 86＝112＋28＝140(种)．3．(2013·某某)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lga －lgb 的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．20答案 C解析 从1，3，5，7，9这5个数中依次选出两个数的选法有A 52种，lga －lgb ＝lg a b ，又∵13＝39，31＝93，∴选法有A 52－2＝18种，故选C. 4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( ) A ．A 88A 92B ．A 88C 92C ．A 88A 72 D ．A 88C 72答案 A解析 不相邻问题用插空法，先排学生有A 88种排法，老师插空有A 92种方法，所以共有A 88A 92种排法．5．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( ) A ．30种 B ．36种 C ．42种 D ．48种答案 C解析 所有的安排方法为C 62·C 42·C 22＝90， 甲值14日的安排方法为C 51·C 42＝30， 乙值16日的安排方法为C 51·C 42＝30，甲值14日，乙值16日的安排方法为C 41·C 31＝12， ∴共有90－30－30＋12＝42.6．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( ) A ．60 B ．120 C ．240 D ．480答案 A解析 先将4个熟悉道路的人平均分成两组有C 42·C 22A 22种．再将余下的6人平均分成两组有C 63·C 33A 22种．然后这四个组自由搭配还有A 22种，故最终分配方法有12C 42·C 63＝60(种)． 7．(2015·某某一中期末)在“神舟十号”确定航天员的过程中，后期有6名航天员(5男1女)入围，其中女航天员必选，其他5名男航天员中有2名老航天员和3名新航天员，航天员用“以老带新”和“两男一女”模式选定，即要求至少有1名老航天员入选，则本次从6名航天员中选3名航天员的方法有________种． 答案 7解析 因为女航天员必选，所以只需再选2名男航天员即可．分两类： ①两男航天员1新1老，则有C 21C 31＝6种方法； ②两男航天员2老，则有C 22＝1种方法． ∴共有6＋1＝7种方法．8．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)． 答案 1 080解析 先将6位志愿者分组，共有C 62·C 42A 22种方法；再把各组分到不同场馆，共有A 44种方法．由分步乘法计数原理知，不同的分配方案共有C 62·C 42A 22·A 44＝1 080(种)． 9.如图所示，有五种不同颜色分别给A 、B 、C 、D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种． 答案 180解析 按区域分四步：第一步A 区域有5种颜色可选； 第二步B 区域有4种颜色可选； 第三步C 区域有3种颜色可选；第四步由于D 区域可重复使用区域A 中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)．10．某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有________种；若进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法有________种． 答案 60 48解析 依题意得，某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有A 53＝60种(注：从六个空展台所形成的五个间隔中任选三个间隔将3件展品进行排列即可)；其中3件展品所选用的展台之间间隔超过两个展位的展出方法有2A 33＝12种，因此要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位的不同的展出方法有60－12＝48种． 11．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？ (1)各组人数分别为2，4，6人； (2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间工作． 答案 (1)C 122C 104C 66＝13 860；(2)C 124C 84C 44A 33＝5 775； (3)C 124C 84C 44A 33·A 33＝C 124·C 84·C 44＝34 650. 解析 (3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有C 124C 84C 44A 33·A 33＝C 124·C 84·C 44＝34 650种不同的分法． 12．学校组织甲、乙、丙、丁4名同学去A ，B ，C 3个工厂进行社会实践活动，每名同学只能去1个工厂．(1)问有多少种不同的分配方案？(2)若每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？(3)若同学甲、乙不能去工厂A ，且每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？(结果全部用数字作答)解析 (1)每名同学都有3种分配方法，则不同的分配方案有34＝81(种)．(2)先把4个同学分3组，有C 42种方法；再把这3组同学分到A ，B ，C3个工厂，有A 33种方法，则不同的分配方案有C 42A 33＝36(种)．(3)同学甲、乙不能去工厂A ，分配方案分两类：①另外2名同学都去工厂A ，甲、乙去工厂B ，C ，有A 22＝2(种)情况；②另外2名同学中有一名去工厂A ，有C 21C 32A 22＝12(种)情况．所以不同的分配方案共有2＋12＝14(种)．13．有编号分别为1，2，3，4的4个盒子和4个不同的小球，把小球全部放入盒子．问： (1)共有多少种放法？(2)恰有1个空盒，有多少种放法？ (3)恰有2个空盒，有多少种放法？解析 (1)1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2，3，4号小球也各有4种放法，故共有44＝256种放法．(2)恰有1个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1，1，2.先从4个小球中任选2个放在一起，有C 42种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个中，有A 43种放法．由分步乘法计数原理，知共有C 42A 43＝144种不同的放法． (3)恰有2个空盒，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：第一类，一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，其中一组1个，另一组3个，有C 41种分法，再放到2个盒子内，有A 42种放法，共有C 41A 42种方法．第二类，2个盒子内各放2个小球．先从4个盒子中选出2个盒子，有C 42种选法，然后把4个小球平均分成2组，每组2个，有C 42A 22种分法，共有C 42C 42A 22·A 22＝C 42C 42种方法．由分类加法计数原理，知共有C 41A 42＋C 42C 42＝84种不同的放法． ►重点班选做题14．从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有________个． 答案 32解析 因1＋10＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6＝11，选出的5个数中任何两个数的和不等于11，所以从{1，10}，{2，9}，{3，8}，{4，7}，{5，6}这五组数每组中选1个数．则这样的子集共有：C 21·C 21·C 21·C 21·C 21＝32.15．某某鲁能、某某申花、某某泰达与某某绿城四家中国足球俱乐部参加了2015年赛季亚洲足球俱乐部冠军联赛，为了打出中国足球的精神面貌，足协想派五名官员给这四支球队做动员工作，每个俱乐部至少派一名官员，且甲、乙两名官名不能到同一家俱乐部，则不同的安排方法共有多少种(用数字作答)? 答案 216解析 法一：根据题意，可根据甲、乙两人所去俱乐部的情况进行分类：(1)甲乙两人都单独去一个俱乐部，剩余三人中必有两人去同一家俱乐部，先从三人中选取两个组成一组，与其他三人组成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有C 32A 44＝3×24＝72(种)；(2)甲、乙两人去的俱乐部中有一个是两个人，从其剩余三人中选取一人与甲或乙组成一组，和其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有C 21C 31A 44＝2×3×24＝144(种)．所以不同的安排方法一共有72＋144＝216种．法二：若甲、乙两人可以去同一家俱乐部，则先从五人中选取两人组成一组，与其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法共有C 52A 44＝10×24＝240种；而甲、乙两人去同一家俱乐部的安排方法有C 22A 44＝24种．所以甲、乙两人不能去同一家俱乐部的安排方法共有240－24＝216种．隔板法例1 求方程x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝12的正整数解的组数．【解析】 将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选3个插入3块隔板，把球分为四组(如下图1)．每一种分法所得球的数目依次为x 1，x 2，x 3，x 4.显然x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝12，故(x 1，x 2，x 3，x 4)是方程的一组解．反之，方程的任何一组解(y 1，y 2，y 3，y 4)，对应着唯一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如下图2)．⎪⎪⎪···y 1⎪⎪⎪···y 2⎪⎪⎪····y 3··y 4图1⎪⎪⎪··x 1⎪⎪⎪····x 2⎪⎪⎪···x 3···x 4图2故方程的解和插入隔板的方法一一对应，即方程的解的组数等于插隔板的方法数C 113. 探究 (1)用“隔板法”来建立组合模型是求不定方程的正整数解的有效途径，如果将本例的“正整数解”改为“自然数解”，情形又如何呢？事实上只要令y i ＝x i ＋1(i ＝1，2，3，4)，就将“自然解”转化为方程y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝16的正整数解，故有C 153组解． (2)不定方程就是未知数的个数大于方程的个数，像方程x 1＋x 2＋…＋x n ＝m 就是一个最简单的不定方程，这类问题的解法常用“隔板法”．例2 把7个大小完全相同的小球，放置在三个盒子中，允许有的盒子一个也不放． (1)如果三个盒子完全相同，有多少种放置方法？ (2)如果三个盒子各不相同，有多少种放置方法？【解析】 (1)∵小球的大小完全相同，三个盒子也完全相同，∴把7个小球分成三份，比如分成3个、2个、2个这样三份放入三个盒子中，不论哪一份小球放入哪一个盒子均是同一种放法，因此，只需将7个小球分成如下三份即可，即(7，0，0)、(6，1，0)、(5，2，0)、(5，1，1)、(4，3，0)、(4，2，1)、(3，3，1)、(3，2，2)．共计有8种不同的放置方法．(2)设三个盒子中小球的个数分别为x1，x2，x3，显然有：x1＋x2＋x3＝7，于是，问题就转化为求这个不定方程的非负整数解，若令y i＝x i＋1(i＝1，2，3)由y1＋y2＋y3＝10，问题又成为求不定方程y1＋y2＋y3＝10的正整数解的组数的问题，在10个1中间9个空档中，任取两个空档作记号，即可将10分成三组，∴不定方程的解有C92＝36组．1．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )A．10 B．11C．12 D．15答案 B2．市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有________种不同送法．答案103．设集合I＝{1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有( )A．50种B．49种C．48种D．47种答案 B4．某某臭豆腐名闻天下，一外地学者来某某旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗(如图)．规定：每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃．请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，不同的吃法有( )A．6种B．12种C．20种D．40种答案 C解析方法一(树形图)如图所示，先吃A的情况，共有10种，如果先吃D，情况相同，所以不同的吃法有20种．方法二依题意；本题属定序问题，所以有A66A33·A33＝20种．。

杨辉三角综合测试题(含答案)选修2-31.3.2杨辉三角与二项式系数的性质一、选择题1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为() A．2n－1B．2n－1C．2n＋1－1D．2n答案]C解析]解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋ (2)＝1×(2n＋1－1)2－1＝2n＋1－1.解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C.2．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是()A．第4项B．第4、5两项C．第5项D．第3、4两项答案]B解析](x－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．3．若x3＋1x2n展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于() A．210B．120C．461D．416答案]A解析]由已知得，第6项应为中间项，则n＝10.Tr＋1＝Cr10•(x3)10－r•1x2r＝Cr10•x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.∴T7＝C610＝210.4．(2008•安徽•6)设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为()A．2B．3C．4D．5答案]A解析]∴a0＝a8＝C08＝1，a1＝a7＝C18＝8，a2＝a6＝C28＝28，a3＝a5＝C38＝56，a4＝C48＝70，∴奇数的个数是2，故选A.5．设n为自然数，则C0n2n－C1n2n－1＋…＋(－1)kCkn2n－k＋…＋(－1)nCnn＝()A．2nB．0C．－1D．1答案]D解析]原式＝(2－1)n＝1，故选D.6．设A＝37＋C27•35＋C47•33＋C67•3，B＝C17•36＋C37•34＋C57•32＋1，则A－B＝()A．128B．129C．47D．0答案]A解析]A－B＝37－C1736＋C2735－C3734＋…－1＝(3－1)7＝128.7.x2＋2x8的展开式中x4项的系数是()A．16B．70C．560D．1120答案]D解析]考查二项式定理的展开式．设第r＋1项含有x4，则Tr＋1＝Cr8(x2)8－r(2x－1)r＝Cr8•2r•x16－3r，∴16－3r＝4，即r＝4，所以x4项的系数为C4824＝1120. 8．(2010•广东惠州)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的() A．第9项B．第10项C．第19项D．第20项答案]D解析]∴(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C45•11＋C46•12＋C47•13＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20，故选D. 9．若n为正奇数，则7n＋C1n•7n－1＋C2n•7n－2＋…＋Cn－1n•7被9除所得的余数是()A．0B．2C．7D．8答案]C解析]原式＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n•9n－1＋C2n•9n－2－…＋Cn－1n•9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.10．(2010•江西理，6)(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为() A．－1B．0C．1D．2答案]B解析](2－x)8的通项式为Tr＋1＝Cr828－r(－x)r＝(－1)r•28－rCr8xr2，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B.二、填空题11．若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010＋a2011x2011(x∴R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝________.(用数字作答)答案]2009解析]令x＝0，则a0＝1.令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2010＋a2011＝(1－2)2011＝－1.∴(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝2010a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2011)＝2010－1＝2009.12．(2008•北京•11)若x2＋1x3n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．答案]510解析]令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝Cr5•(x2)5－r•1x3r＝Cr5•x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10. 13．(2010•全国∴理，14)若x－ax9的展开式中x3的系数是－84，则a ＝________.答案]1解析]由Tr＋1＝Cr9x9－r－axr＝(－a)rCr9x9－2r得9－2r＝3，得r＝3，x3的系数为(－a)3C39＝－84，解得a＝1.14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．答案]2n－132解析]用不完全归纳法，猜想得出．三、解答题15．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：(1)a8＋a7＋…＋a1；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.解析]令x＝0，得a0＝1.(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，∴a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝12(28＋48)＝32896.16．设(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010(x∴R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2010的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2010|的值．分析]分析题意→令x＝1求(1)式的值→令x＝－1求(2)式的值→令x＝－1求(3)式的值解析](1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2010＝(－1)2010＝1①(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2010＝32010②与①式联立，①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2009)＝1－32010，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2009＝1－320102.(3)∴Tr＋1＝Cr2010•12010－r•(－2x)r＝(－1)r•Cr2010•(2x)r，∴a2k－10(k∴N*)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2010|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010，所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010.17．证明：(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n.证明]∴(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，∴(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)•(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)＝(1＋x)2n，而Cn2n是(1＋x)2n的展开式中xn的系数，由多项式的恒等定理得C0nCnn＋C1nCn－1n＋…＋CnnC0n＝Cn2n.∴Cmn＝Cn－mn(0≤m≤n)，∴(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n.18．求(1＋x－2x2)5展开式中含x4的项．分析]由题目可获取以下主要信息：①n＝5；②三项的和与差．解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解．解析]方法一：(1＋x－2x2)5＝1＋(x－2x2)]5，则Tr＋1＝Cr5•(x－2x2)r•(x－2x2)r展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Ckrxr－k•(－2x2)k＝(－2)k•Ckr•xx＋k.令r＋k＝4，则k＝4－r.∴0≤k≤r,0≤r≤5，且k、r∴N，∴r＝2k＝2或r＝3k＝1或r＝4k＝0.∴展开式中含x4的项为C25•(－2)2•C22＋C35•(－2)•C13＋C45•(－2)0•C04]•x4＝－15x4.方法二：(1＋x－2x2)5＝(1－x)5•(1＋2x)5，则展开式中含x4的项为C05•C45•(2x)4＋C15•(－x)•C35•(2x)3＋C25•(－x)2•C25(2x)2＋C35•(－x)3•C15•(2x)＋C45•(－x)4•C05•(2x)0＝－15x4.。

一、选择题1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（ ）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50002．新冠疫情期间，为支援社区抗疫工作，现将6名医护人员安排到4个社区，每个社区至少安排1名医护人员，则不同的安排方案共有（ ） A ．2640种B ．4800种C ．1560种D ．7200种3．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列： 1,3,3,4,6,5,10,...，记此数列的前n 项之和为n S ，则 21S 的值为（ ）A ．66B ．153C ．295D ．3614．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A ．48种B ．72种C ．96种D ．144种5．数列129,,,a a a ⋅⋅⋅中，恰好有6个7，3个4，则不相同的数列的个数( )A ．69AB ．39AC ．39CD ．36C6．5250125(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，则2a =（ ）A ．40B ．40-C ．80D ．80-7．“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”．自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北，某医院组建了由7位援助专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（ ） A ．105种B ．210种C ．630种D ．1260种8．若将函数5()f x x =表示为250125()1+1+()+(++)1(+)f x a a x a x a x +=⋯，其中0125a a a a ⋯，，，，为实数，则3=a （ ）A ．15B ．5C ．10D ．209．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机都要取到，则不同的取法种数为（ ） A ．40B ．50C ．60D ．7010．甲乙和其他2名同学合影留念，站成两排两列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这4名同学的站队方法有（ ） A ．8种 B ．16种 C ．32种 D ．64种11．将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A ．192181020C C CB ．1921810202C C C C ．1921910202C C C D ．192191020C C C12．设2*012(12),(N )n n n x a a x a x a x n +=+++⋯⋯+∈若12728n a a a ++⋯+=，则展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．3160xB ．260xC ．4240xD ．320x二、填空题13．若在8(3)(1a x +关于x 的展开式中，常数项为4，则2x 的系数是______________．14．高三一班里七名身高不同的女生拍毕业照，摄影师要求她们排成一排, 身高由矮到高,再由高到矮(最高的女生站在正中间).这七位女生的排队姿态有________种.15．某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种.16．若将五本不同的书全部分给三个同学，每人至少一本，则有________种不同的分法. 17．()83x y z +-展开式中，52x y z 项的系数为__________.18．把6张不同的充值卡分给4位同学，每人至少1张，有_________种分法19．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中各数位中有两个奇数的四位数有__________个．20．某中学安排,,,A B C D 四支小队去3所不同的高校参观，上午每支小队各参观一所高校，下午A 小队有事返回学校，其余三支小队继续参观.要求每支小队上下午参观的高校不能相同，且每所高校上午和下午均有小队参观，则不同的安排有_____种.三、解答题21．在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求n 的值；（2）求展开式中系数最大的项.22．现有2位男生和3位女生共5位同学站成一排.(用数字作答) （1）若2位男生相邻且3位女生相邻，则共有多少种不同的排法？ （2）若男女相间，则共有多少种不同的排法？（3）若男生甲不站两端，女生乙不站最中间，则共有多少种不同的排法？ 23．在()*22nn N x ⎫∈⎪⎭的展开式中. （1）若第五项的系数与第三项的系数的比是10:1，求展开式中各项系数的和； （2）若其展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中含x 的项.24．已知二项式12nx ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭()n *∈N 的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128. （1）求1nx ⎫⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项；（2）在 (1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )2n + 的展开式中，求3x 项的系数.(结果用数字作答)25．已知n 为给定的正整数，t 为给定的实数，设(t ＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n . （1）当n =8时.①若t =1，求a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8的值； ②若t =23，求数列{a n }中的最大值； （2）若t=23，当13x =时，求()0nkk k n k a x =-∑的值.26．将4个编号为1、2、3、4的小球放人编号为1、2、3、4的盒子中． （1）恰好有一个空盒，有多少种放法？（2）每个盒子放一个球，且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ （3）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --， 故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】本题首先可以将6名医护人员分为4组，共有65种分组方法，然后将分好的四组全排列，有24种情况，最后两者相乘，即可得出结果. 【详解】先将6名医护人员分为4组，有两种分组方法： 若分为3、1、1、1的四组，则有3620C =种分组方法；若分为2、2、1、1的四组，则有2226422245C C C A 种分组方法，则一共有204565种分组方法，再将分好的四组全排列，对应四个社区，有4424A =种情况， 则有65241560种不同的安排方式， 故选：C. 【点睛】本题考查通过排列组合求出所有的安排方案的数目，可分两步进行，先求出有多少种分组，再求出有多少种排列，考查计算能力，是中档题.3．D解析：D 【解析】试题分析：观察杨辉三角结合其中数的来源，可得到这个数列的通项公式.n a 当n 为偶数时，42n n a +=；当n 为奇数时，0212322233551,3,6,C C C C C C ======,所以()()232138n n n n a C +++==，所以21S =()()()()22221352124620124622224622758a a a a a a a a ⎡⎤+++++++++=++++++++++⎣⎦()122423112475286753618⎡⎤=⨯⨯+⨯+=+=⎣⎦，故选D. 考点：归纳推理与数列求和.4．B解析：B 【分析】A 区域与其他区域都相邻，从A 开始分步进行其它区域填涂可解【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A B C D E 、、、、，分4步分析： ①，对于A 区域，有4种涂法，②，对于B 区域，与A 相邻，有3种涂法， ③，对于C 区域，与A B 、 相邻，有2种涂法，④，对于D 区域，若其与B 区域同色，则E 有2种涂法，若D 区域与B 区域不同色，则E 有1种涂法，则D E 、 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B ．【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．5．C解析：C 【分析】把129,,,a a a ⋅⋅⋅看成9个位置，从这9个位置中，任取3个位置放4（或任取6个位置放7），即得不相同的数列的个数. 【详解】把129,,,a a a ⋅⋅⋅看成9个位置，从这9个位置中，任取3个位置放4（或任取6个位置放7），其余6个位置放7（或其余3个位置放4），有39C （或69C ）种不同的取法. 每种取法放3个4都有一种方法，剩下的6个位置放6个7有1种方法. 所以不相同的数列共有39C （或69C ）个. 故选：C . 【点睛】本题考查排列组合，属于基础题.6．A解析：A 【分析】易得[]55(21)2(1)1x x --=+，求出展开式通项后可得55152(1)rrr r T C x --+=⋅⋅-，令3r =可得出2a 的值. 【详解】由于[]55(21)2(1)1x x --=+，所以展开式的通项为：[]5551552(1)12(1)rrr r r r r T C x C x ---+=⋅-⋅=⋅⋅-，令3r =可得：322352(1)T C x =⋅⋅-，则3225240a C =⋅=. 故选：A . 【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是得出[]55(21)2(1)1x x --=+进而进行计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.7．C解析：C 【分析】先对7名专家进行分组，然后进行全排列即可得解. 【详解】7位援助专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，不同法人安排方法有：3223742322630C C C A A ⋅⋅⋅=（种）. 故选：C. 【点睛】本题考查分堆与分配的问题，考查逻辑思维能力和分析能力，属于常考题.8．C解析：C 【分析】令55[(1)1]x x =+-，展开二项式可得. 【详解】二项展开式的通项是515(1)(1)rrrr T C x -+=-+，令2r，得2235(1)10a C =-= 故选：C ． 【点睛】二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第1k +项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第1k +项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．9．D解析：D 【分析】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，结合组合数的公式，即可求解. 【详解】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，共有124540C C =种不同的取法； ②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，共有214530C C =种不同的取法， 由分类计数原理，可得不同的取法共有403070+=种. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及组合数公式的应用，其中解答中合理分类，结合组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．A解析：A 【分析】根据题意，分3步进行讨论：先在4个位置中任选一个安排甲，再安排乙，最后将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分3步进行讨论：1、先安排甲，在4个位置中任选一个即可，有14C 4=种选法；2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列只有一个位置，安排乙，即1种选法；3、将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，有222A =种安排方法； 则这4名同学的站队方法有4128⨯⨯=种； 故选：A .【点睛】本题主要考查排列、组合的综合应用，注意要优先分析受到限制的元素，属于中档题.11．A解析：A 【分析】由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果. 【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有1020C 种结果， 而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有19218C C 中结果，根据古典概型的概率公式得192181020=C C P C . 故选：A. 【点睛】本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.12．A解析：A 【分析】由题意得，当1x =时，0123nn a a a a +⋯⋯+=++，利用二项展开式的通项公式求出0021n a C =⋅=，结合条件求得6n =，利用二项式系数的性质，得出二项式系数最大的项为 33362C x ⋅，即可求出结果. 【详解】解：由题可知，2012(12)nnn x a a x a x a x +=+++⋯⋯+， 当1x =时，0123nn a a a a +⋯⋯+=++，(12)n x +的展开式中，通项公式为：12r r rr nT C x +=， 则常数项对应的系数为：0a ，即0r =，得00021n a C =⋅=， 所以1231728n na a a =-+⋯=+⋯+，解得：6n =， 则6(12)x +展开式中二项式系数最大为：36C ， 则二项式系数最大的项为： 333362160C x x ⋅=. 故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，组合数的计算公式．二、填空题13．【分析】将式子转化为两个式子相加的形式再利用二项式定理计算得到答案【详解】展开式的通项为：取得到常数项为故分别取和得到的系数是：故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理意在考查学生的计算能力和应用能力 解析：56-【分析】将式子转化为两个式子相加的形式，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】888(3)(1(13(1a a x x +=+，8(1展开式的通项为：(()88831881r rrr r r T C C x---+==⋅-⋅，取8r =得到常数项为1，故4a =. 分别取2r和=5r 得到2x 的系数是：()2588413156C C ⨯⨯+⨯⨯-=-.故答案为：56-. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.14．20【分析】因为最高的女生站在正中间因此只需要考虑最高的女生的左边或者右边即可因为当最高女生的左边（或右边）确定好后其右边（或左边）也就确定了由此计算出七位女生排队的方法数【详解】由题意可知当最高的解析：20 【分析】因为最高的女生站在正中间，因此只需要考虑最高的女生的左边或者右边即可，因为当最高女生的左边（或右边）确定好后，其右边（或左边）也就确定了，由此计算出七位女生排队的方法数. 【详解】由题意可知，当最高的女生站在正中间，此时只需要排好左右两边， 第一步：先排左边，有3620C =种排法，第二步：再排右边，此时另外三人按从高到低排列，只有1种排法， 所以总的排法数为：36120C ⨯=种. 故答案为20. 【点睛】本题考查分步乘法原理以及排列组合的简单应用，难度一般.利用排列组合的方法解答计数问题时，要活用分步乘法和分类加法计数原理.15．16【分析】根据正难则反原理可求男生相邻的情况再拿所有情况减去即可【详解】农场主在中间共有种站法农场主在中间两名男生相邻共有种站法故所求站法共有种故答案为：16【点睛】本题考查计数原理考查了正难则反解析：16 【分析】根据正难则反原理，可求男生相邻的情况，再拿所有情况减去即可. 【详解】农场主在中间共有4424A =种站法，农场主在中间，两名男生相邻共有222228A A ⋅=种站法， 故所求站法共有24816-=种. 故答案为：16 【点睛】本题考查计数原理，考查了正难则反原理，考查逻辑推理能力，属于中档题.16．150【分析】先将五本书分成三堆有和种不同的分法再把三堆分给三个同学即得解【详解】由题意先将五本书分成三堆有和种不同的分法故有种分堆方式再分给三个同学有种不同方法故答案为：150【点睛】本题考查了排解析：150 【分析】先将五本书分成三堆，有1,1,3和2,2,1种不同的分法，再把三堆分给三个同学即得解 【详解】由题意，先将五本书分成三堆，有1,1,3和2,2,1种不同的分法故有1132215435312222C C C C C C A A +种分堆方式 再分给三个同学，有113221354353132222()150C C C C C C A A A +=种不同方法 故答案为：150 【点睛】本题考查了排列组合综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题17．【分析】由的指数是1得到然后由的指数是2得到然后即可算出答案【详解】因为的指数是1所以得到又因为的指数是2得到所以项的系数为故答案为：【点睛】在解决本类问题时应将其中两项看成一个整体来处理 解析：1512-【分析】()()8833x y z x y z +-=+-⎡⎤⎣⎦，由z 的指数是1，得到()()7183C x y z +-，然后由y 的指数是2，得到()22573C x y ，然后即可算出答案.【详解】()()8833x y z x y z +-=+-⎡⎤⎣⎦因为z 的指数是1，所以得到()()7183C x y z +-又因为y 的指数是2，得到()22573C xy所以52x y z 项的系数为()12287131512C C -=-故答案为：1512- 【点睛】在解决本类问题时应将其中两项看成一个整体来处理.18．1560【分析】分4位同学分得的卡数为1113和1122两种情况讨论即可【详解】分两类：第一类：当4位同学分得的卡数为1113时共有种；第二类：当4位同学分得的卡数为1122时共有种由加法原理知共有解析：1560 【分析】分4位同学分得的卡数为1，1，1，3和1，1，2，2两种情况讨论即可. 【详解】 分两类：第一类：当4位同学分得的卡数为1，1，1，3时，共有3464480C A =种；第二类：当4位同学分得的卡数为1，1，2，2时，共有221146421422221080C C C C A A A =种， 由加法原理，知共有1560种不同分法. 故答案为：1560 【点睛】本题考查排列与组合中的部分均匀分组问题，考查学生逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.19．378【分析】分类讨论含和不含的情况再相加即可【详解】第一类：含的四位数：第二类：不含的四位数：所以共有个故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合分类讨论是解题的关键属于中档题解析：378 【分析】分类讨论含0和不含0的情况，再相加即可. 【详解】第一类：含0的四位数：12133333162C C C A =，第二类：不含0的四位数：224334216C C A =，所以共有162216378+=个． 故答案为：378 【点睛】本题主要考查排列组合，分类讨论是解题的关键，属于中档题.20．【分析】本题属于分组分配问题可按上午参观时A 是否与其他小队分在一组进行讨论分上下午两步安排参观即可得出答案【详解】若与中的某一支小队分在一组上午有种参观方法下午参观时三支小队不去各自上午参观的高校有解析：【分析】本题属于分组分配问题，可按上午参观时A 是否与其他小队分在一组进行讨论，分上下午两步安排参观，即可得出答案. 【详解】若A 与B 、C 、D 中的某一支小队分在一组，上午有1333C A ⋅种参观方法， 下午参观时B 、C 、D 三支小队不去各自上午参观的高校，有2种方法， 故有1333236C A ⋅⋅=种；若B 、C 、D 中某两支队分在一组，上午有2333C A ⋅种参观方法， 下午再安排时，也有2种方法， 故有2333236C A ⋅⋅=种. 所以一共有363672+=种. 故答案为：72. 【点睛】本题考查考查分组分配问题，注意其中的分类分步，属于中档题.三、解答题21．（1）8n =.（2）4337T x =，2347T x =.【分析】（1）写出展开式通项公式，得前3项系数，由等差数列的性质求出n ；（2）设第k 项系数最大，由第k 项系数不小于第1k -项和第1k +项系数，列不等式组解之可得项数，然后再得项． 【详解】（1）展开式通项公式为2311()2n rrn rrr r r nn T C C x --+==，由题意1022112()22n n n C C C ⨯=+，解得8n =（1n =舍去）． （2）由（1）展开式第1r +项系数为81()2r rC ，设第k 项系数最大，则112288118811()()2211()()22k k k k k k k kC C C C ------⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得34k ≤≤，∴3k =或4， ∴系数最大的项为：82242233381()72T C x x -⨯==，82323333481()72T C x x -⨯==．【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项式展开式通项公式．由通项公式得出前3项系数，从而求得n ，求系数最大的项，一般可设第k 项系数最大，由第k 项系数不小于第1k -项和第1k +项系数，列不等式组解之得项数．22．（1）24（2）12（3）60 【分析】（1）相邻问题利用捆绑法； （2）若男女相间，则用插空法；（3）若男生甲不站两端，女生乙不站最中间，则利用间接法． 【详解】解：（1）利用捆绑法，可得共有22322324A A A =种不同的排法； （2）利用插空法，可得共有232312A A =种不同的排法； （3）利用间接法，可得共有54135423360A A C A -+=种不同的排法. 【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，涉及间接法和捆绑，插空等方法的应用，属于中档题．23．（1）1（2）3264T x = 【分析】（1）由展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1，求得8n =．再令1x =得各项系数的和．（2）依题意可得01279n n n C C C ++=，即可求出n ，得到通项，再令5612r -=，即可得解； 【详解】解：（1）()*22nn N x ⎫∈⎪⎭展开式的通项为()521222rn rn rr rr r nn T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由题意知，第五项系数为()442n C -，第三项的系数为()222n C -，则有4422(2)10(2)1n n C C -=-，化简得25240n n --=， 解得8n =或3n =-（舍去）. 令1x =得各项系数的和为()8121-=.（2）∵01279n n n C C C ++=，∴21560n n +-=. ∴12n =或13n =-（舍去）.通项公式561221121222()(2)r r rr r rr T C C x x--+=-=-， 令5612r -=，则2r ，故展开式中含x 的项为22312(2)264T C x x =-=. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 24．（1）3716T =； （2）330 【分析】二项展开式中所有项的系数和为2n ，奇数项的二项式系数和应为所有项系数和的一半，即21282n= ，可求得8n =. （1）写出该二项式展开式的通项，令x 的指数为零，即可求解； （2）由二项式定理知3x 在3(1)x +，4(1)x +，，10(1)x +中均存在，故3x 的系数为3334341011330C C C C +++==.【详解】 解：所有奇数项的二项式系数之和为128，21282n∴=，解得8n =.（1）81()2x+的第1r +项为8488318811(()()22rr r r r rr T C C x x ---+==，令8403r-=，得2r ，则常数项为238617216T C =⋅=； （2）23410(1)(1)(1)(1)++(1)x x x x x ++++++++展开式中3x 的系数为：33343334104410C C C C C C +++=+++4335510C C C =+++411330C ==.【点睛】本题考查了二项式定理及其应用，组合数的性质，属于中档题. 25．（1）①128，②44827；（2）23n【分析】（1）①设f （x ）=(1＋x )8=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，f （1）=28=a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8，f （-1）=0=a 0-a 1＋a 2-…＋a 8，a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8= [f （1）+ f （-1）] ÷2即可得解；②8823rr n a C -⎛⎫= ⎪⎝⎭，通过不等式组891888718822332233r rr r r rr r C C C C -----+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩即可得解； （2）处理()()002133n kkn nkk k nk k n k a x n k C -==⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑0021213333n kk n kknnk k nn k k nC kC --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑1110021*******n kk n kk nn k k n n k k n nC C -----==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑，利用二项式定理逆用即可得解.【详解】（1）设f （x ）=(t ＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 当n =8时.①若t =1，f （x ）=(1＋x )8=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， f （1）=28=a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8，f （-1）=0=a 0-a 1＋a 2-…＋a 8， a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8= [f （1）+ f （-1）]÷2=128 ②若t =23，(23＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 所以8823rr n a C -⎛⎫= ⎪⎝⎭，设第r 项最大，则891888718822332233rrr r r rr r C C C C -----+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， ()()123921381r r r r ⎧≥⎪-⎪⎨⎪≥⎪-+⎩解得222755r ≤≤，所以=5r 数列{a n }中的最大值35582448327a C ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）若t=23，当13x =时，求()0nkk k n k a x =-∑的值.(23＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 当2n ≥时，()()002133n kknnk k k n k k n k a x n k C -==⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑021213333n kk n kknnk k nn k k nC kC --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 1110021*******n kkn kk nn k k n n k k n nC C -----==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑121333n n n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23n =， 当n =1时也满足，所以()0nkk k n k a x =-∑23n=. 【点睛】此题考查二项式定理的应用，根据展开式求解系数关系，涉及组合数计算公式，二项式定理的逆用，综合性强. 26．（1）144 （2）8 （3）12 【分析】（1）有一个盒子中有两个球，把它们选出作为一个球与其他两个放到三个盒子中即可； （2）分步，第一步1个球的编号与盒子编号相同，第二步其它三个球与盒子编号不相同，由分步乘法原理计算；（3）分步，第一步选三个盒子放球，第二步选一个盒子放2个球，由此可得． 【详解】(1)选取2个球作为一个球与其它两个球分别放到三个盒子中，共有2344144C A =种方法． (2)1个球的编号与盒子的编号相同的选法有14C 种，当1个球与1个盒子编号相同时，其余3个球的投放方法有2种，故共有1428C ⨯=种方法．(3)先从四个盒子中选出三个盒子，有34C 种选法，再从三个盒子中选出一个盒子放两个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同的，即没有顺序，由分步乘法计数原理知，共有314312C C =种方法． 【点睛】本题考查排列组合的应用，解题关键是确定事件完成的方法，是分步还是分类．。

1.5.2二项式系数的性质教学目标：理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用教学重点：理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用教学过程一、复习引入：1．二项式定理01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ，2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=二、讲解新课： 1 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅L ， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C-，12n n C +取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L ， 令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++L L三、例子例1．在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L 中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n n C C C C C -=-+-++-L ，即02130()()n n n n C C C C =++-++L L ，∴0213n n n n C C C C ++=++L L ，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=L L .例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求： （1）127a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L . 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为 0127a a a a ++++L∴0127a a a a ++++L 1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ，（2）令1x =， 0127a a a a ++++L 1=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-. （3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=， ∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数 解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（Λ =xx x )1()1(11+-+， ∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7C例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=， 在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415= ∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为240例5.已知n 2)x2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项 解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒=∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10 设第r+1项为常数项，又 2r 510r 10r r 2r 10r 101r x C )2()x 2()x (C T --+-=-= 令2r 02r 510=⇒=-， .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180课堂小节：本节课学习了二项式系数的性质 课堂练习：课后作业：。