高二精选题库 数学9-2北师大版

高二数学(北师大版)《立几＊解几》练习题1. 等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).2. 如图:正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为A 、2VB 、3VC 、4VD 、5V 3.矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B－AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．π12125B ．π9125C ．π3125D ．π6125 体的8个顶点都在球的表面上， 4.棱长为1的正方分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）A ．B ．C ．D ．5.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．6.球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45° 角，则这个平面截球的截面面积为 。

7.如图，两个正方形ABCD 和ADEF 所在平面互相垂直，设M 、N 分别是BD 和AE 的中点，那么① AD MN ⊥；② //MN 面CDE ；③ //MN CE ；④ MN 、CE 异面其中正确结论的序号是____________.8.若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） Q P C'B'A'C BA EA ．0≠mB ．23-≠mC ．1≠mD ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 9.已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥B ．324k ≤≤C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 10.点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.11.点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.12.下列命题中正确的是： （ ）A.经过点P 0（x 0, y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k(x －x 0)表示B.经过定点A （0, b ）的直线都可以用方程y=kx+b 表示C.经过任意两个不同点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)的直线都可用方程（x 2－x 1）(y－y 1)=(y 2－y 1)(x －x 1)表示D.不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示 13.方程012)1(=++--a y x a )(R a ∈表示的直线( )A.恒过(－2, 3)B. 恒过(2, 3)C. 恒过(－2, 3)或(2, 3)D.都是平行直线14.直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（ ）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定15.已知直线l 1的方程为y=x ，直线l 2的方程为ax －y=0（a 为实数）．当直线l 1与直线l 2的夹角在（0，12π）之间变动时，a 的取值范围是（ ）, 1)∪(1,) B.） C.（0，1） D.（1 16.一直线过点（－3，4），并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程___．17.已知直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），则直线l 的方程为___________________.18.直线y=x 33绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆(x －2)2+y 2=3的位置关系是（ ）（A ）直线过圆心 （B ）直线与圆相交，但不过圆心（C ）直线与圆相切 （D ）直线与圆没有公共点19.圆x 2+y 2－4x+2y+c=0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=90°，则c的值为（ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）8 （D ）－2220.动点在圆x 2+y 2=1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点轨迹方程是（ ）（A ）(x ＋3)2＋y 2=4 （B ）(x －3)2＋y 2=1（C ）(2x －3)2＋4y 2=1 （D ）(x ＋23)2＋y 2=21 21.过点P(1,2)的直线l 把圆x 2+y 2－4x －5=0分成两个弓形，当其中较小弓形面积最小时，直线l 的方程是 。

第9模块 第3节[知能演练]一、选择题1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式解析：两条直线平行，同旁内角互补大前提 ∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角小前提 ∠A ＋∠B ＝180°结论 答案：A2．“所有9的倍数(M )都是3的倍数(P )，某奇数(S )是9的倍数(M )，故此奇数(S )是3的倍数(P )”，上述推理是( )A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错解析：大前提正确，小前提正确，故命题正确． 答案：C3．已知a i ，b i ∈R (i ＝1,2,3，…，n )，a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝1，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为( )A ．1B ．2C ．n 2D ．2n解析：此结论为“若a ，b ，c ，d ∈R ，a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，则ac ＋bd ≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝1”的推广，类比可得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 21＋b 212＋a 22＋b 222＋…＋a 2n ＋b 2n2＝1.答案：A4．如右图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2008次跳后它将停在的点是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：记a n 表示青蛙第n 次跳后所在的点数，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝1，a 5＝2，a 6＝4，…，显然{a n }是一个周期为3的数列，故a 2008＝a 1＝1，答案为A.答案：A 二、填空题5．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是________．解析：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即n 2－n 2个．因此第n 行第3个数是全体正整数中的第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.答案：n 2－n ＋626．有一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：(1)在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1到9这9个数填满整个格子；(2)每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也要有1到9的数字，并且一个数字在每行每列及每个小九宫格里只能出现一次，即不能重复也不能少，那么A 处应填入的数字为__________；B 处应填入的数字为__________．解析：依题意从第二行看，A 处可填入1,2,4,6,8，从第三列看，A 处可填入1,3,5,7,9，所以A 处填入1；同理可推出B 处可填入1,3，而B 的左边应填入1，进而可知B 处应填3.答案：1 3 三、解答题7．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明． 解：一般性的命题为sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32.证明如下：左边＝1－cos(2α－120°)2＋1－cos2α2＋1－cos(2α＋120°)2＝32－12[cos(2α－120°)＋cos2α＋cos(2α＋120°)] ＝32＝右边． ∴结论正确．8．在△ABC 中，射影定理可以表示为a ＝b cos C ＋c cos B ，其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想．解：如右图，在四面体P －ABC 中，S 1、S 2、S 3、S 分别表示△P AB 、△PBC 、△PCA 、△ABC 的面积，α、β、γ依次表示面P AB 、面PBC 、面PCA 与底面ABC 所成角的大小，我们猜想将射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1cosα＋S2cosβ＋S3cosγ.[高考·模拟·预测]1.把正整数按一定的规则排成了如右图所示的三角形数表．设a ij是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若a ij＝2009，则i与j的和为() A．105B．106C．107D．108解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.答案：C2．广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见下表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是()A.20.6C．22 D．23解析：由于“以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次”，并且求“最短路线的距离”，由选项判断，A中20.6在表中只有C和E之间的距离8.6是出现小数部分的，故CE必定是经过的路线，又因为A为起点，E为终点，故如果A正确，那么路线必然是：1.A－B－D－C－E或2.A－D－B－C－E，进行验证：线路1的距离之和为5＋6＋9＋8.6＝28.6，故线路1不符合；线路2的距离之和为5＋6＋7＋8.6＝26.6，线路2也不符合，故排除A；再验证选项B，发现线路A－C－D－B－E的距离之和为4＋9＋6＋2＝21符合，故选B.答案：B3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为__________．解析：由类比推理得，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.下面计算验证．假设两个正四面体的棱长分别为1和2，如右图，正四面体ABCD 的棱长为1，取BC的中点E ，作AO ⊥ED 于O ，则OD ＝23ED ＝23×32＝33，又在Rt △AOD 中，AO ＝1－OD 2＝1－(33)2＝63， 则V 正四面体ABCD ＝13S △BCD ·AO ＝13×34×1×63＝212；同理可算得棱长为2的正四面体的体积V 正四面体A ′B ′C ′D ′＝223.∴V 正四面体ABCD ∶V 正四面体A ′B ′C ′D ′＝212223＝18.答案：1∶84．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，__________，__________，T 16T 12成等比数列．解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12，T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 85．(南通第一次调研)根据下面一组等式：可得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝__________.解析：从已知数表得S 1＝1，S 1＋S 3＝16＝24，S 1＋S 3＋S 5＝81＝34， 从而猜想S 1＋S 3＋…＋S 2n －1＝n 4. 答案：n 46．已知数列{a k }的前k 项和为S k ，且S k ＝12ka k ＋1，其中a 1＝1.(1)求证a k ≠0(k ∈N )； (2)求数列{a k }的通项公式；(3)对任意给定的正整数n (n ≥2)，数列{b n }满足b k ＋1b k ＝k －na k ＋1(k ＝1,2，…，n －1)，b 1＝1，求b 1＋b 2＋…＋b n .解：(1)当k >1时，由a k ＝S k －S k －1＝12ka k ＋1－12(k －1)a k ，得(k ＋1)a k ＝ka k ＋1.若存在a m ＝0(m >1)，由ma m －1＝(m －1)a m ，m >1，得a m －1＝0， 从而有a m －2＝0，…，a 2＝0，a 1＝0，与a 1＝1矛盾，所以a k ≠0.(2)由(1)知，a k ＋1a k ＝k ＋1k ，得a k ＝a k a k －1·a k －1a k －2·…·a 2a 1·a 1＝k .(3)因为a k ＝k ，所以b k ＋1b k ＝－n －k a k ＋1＝－n －kk ＋1.所以b k ＝b k b k －1·b k －1b k －2·…·b 2b 1·b 1＝(－1)k －1·(n －k ＋1)(n －k ＋2)…(n －1)k ·(k －1)·…·2·1·1＝(－1)k －1·1n C k n (k ＝1,2，…，n )，故b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1n [C 1n －C 2n ＋C 3n －…＋(－1)n －1·C n n ]＝1n{1－[C 0n －C 1n ＋C 2n －…＋(－1)n ·C n n ]}＝1n.。

宿州市十三所重点中学2021—2022学年度第一学期期中质量检测高二数学试卷（北师大版）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．题号123456789101112答案DCBABAABCBCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.1017；14.8；15.)1,36[；16.25-.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解：（Ⅰ）由已知）（1,0,11B ，）（1,1,11C ，）（0,1,0D ，因为E 是棱11C B 的中点，所以），，（1211E ，F 是侧面11C CDD 的中心，所以），（21121F ，2321-11-2121-1222=++=）（）（）（．………………5分（Ⅱ）根据正方体的性质得：向量EF 在1DC 方向上的投影向量为F C 1，因为11,EFC DC EF ∠->=<π，所以，向量EF 在1DC 方向上的投影数量为22)-==∠-EFG π………………10分18.解：（Ⅰ）边AB 的中点坐标为)0,2(，直线AB 的斜率为210411-=---，因此，边AB 的垂直平分线的斜率为2，从而，边AB 的垂直平分线的方程为)2(2-=x y ，即42-=x y .………………6分（Ⅱ）边AC 的垂直平分线的方程为1=x ，由（Ⅰ）联立方程组⎩⎨⎧-==)2(21x y x ，得⎩⎨⎧-==21y x ，即ABC ∆的外接圆圆心为)2,1(-，从而半径为10)12()01(22=--+-，因此，ABC ∆的外接圆的方程为10)2()1(22=++-y x .………………12分19.解：（Ⅰ）由图得），（33-A ，设抛物线的标准方程为）（022>-=p py x .将点A 的坐标代入上式，得p 69=，即32=p .所以该段抛物线OA A 1所在抛物线的方程为y x 32-=.………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：将5.1=x 代入抛物线的标准方程，得75.0-=y ，则5.44.250.755<=-.这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于BD ,所以，此车不能安全通过隧道.………………12分20.解：（Ⅰ）由221=-MF MF ，且322<，知动点M 的轨迹是一个以点1F ，2F 为焦点的双曲线，设其方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，设焦距为c 2，则1=a ，3=c ，2=b ，所以，动点M 的轨迹方程为1222=-y x .………………4分（Ⅱ）（法一）当直线l 斜率不存在时，直线方程为2=x ，显然不符合题意；当直线l 斜率存在时，设直线方程为1)2(+-=x k y ，),(11y x A ，),(22y x B 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=121)2(22y x x k y 消去y 得02)21()21(2)(2222=------k x k k x k ，当022=-k ，即2±=k 时，显然不符合题意；当022≠-k ，即2±≠k 时，2212)21(2k k k x x --=+………………8分因为点()1,2A 为中点，所以42)21(2221=--=+k k k x x ，解得4=k ，所以直线方程为1)2(4+-=x y ，即074=--y x .………………12分（法二）设双曲线与直线交于),(11y x P ，),(22y x Q 两点，则421=+x x ，221=+y y ，因为P ,Q 两点在双曲线上，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-121222222121y x y x ，………………8分两式相减得0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ，即42121=--=x x y y k PQ ，因此)2(41-=-x y PQ ：，即074=--y x ，经检验可知成立.所以，以点()1,2A 为中点的弦所在的直线方程为074=--y x .………………12分21.解：（Ⅰ）两条直线02:1=--m y mx l ，02:2=-+my x l 均恒过定点)02(，M ，因为)02(，M 在圆0626:22=+--+y x y x C 内，所以，直线1l ，2l 均与圆C 相交.………………4分（Ⅱ）易知21l l ⊥，设点)02(，M 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d ，则22221=+d d ，从而21d 42-=AB ，22d 42-=EF ，所以2221-42-42d d EF AB +=+，………………8分222212-42-42）（）（d d EF AB +=+222144824d d -∙-+=)44(4242221d d -+-+≤48=，当且仅当222144d d -=-，即121==d d 时等号成立，所以EF AB +的最大值为34.………………12分22.解：（Ⅰ）由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1431122b a b ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x .………………4分（Ⅱ）易知直线l 斜率存在，设其为k ，则l 的方程为)2(1-=+x k y ，由题意知0<k 且1-≠k .设）（11,y x P ，）（22,y x Q ,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+)2(11422x k y y x ，消去y 整理得)1(16)12(8)41(22=+++-+k k k k x k 所以22141)12(8k k k x x ++=+，22141)1(16k k k x x ++=………………8分所以22112111x y x y k k -+-=+2211112112x k kx x k kx ---+---=212121)22(2)11)(22(2x x xx k k x x k k ++-=++-=)1(16)12(8)22(2+++-=k k k k k k )12(2+-=k k 1-=.即21k k +为定值1-.………………12分（说明：解答题若用其它方法，可酌情给分！）。

2023年最新北师大版高二数学综合练习2023年最新北师大版高二数学综合练习一、第一章函数与方程1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会求函数的定义域和值域。

2.了解函数的单调性、奇偶性和周期性，会判断函数的各种性质。

3.掌握常见函数图像的画法及图像变换，理解函数图像的性质及意义。

4.掌握函数与方程的关系，熟悉函数零点与方程根的关系，会用二分法求方程的近似解。

5.了解指数函数、对数函数和幂函数的性质，会解指数不等式、对数不等式和幂不等式。

6.掌握函数与方程在实际问题中的应用，会用所学知识解决实际问题。

二、第二章数列1.理解数列的概念，掌握数列的通项公式和递推公式，会求数列的前n项和。

2.了解等差数列和等比数列的概念、性质和判定方法，会求等差数列和等比数列的通项公式和前n项和。

3.掌握数列的极限概念，理解数列的收敛性和发散性，会求数列的极限。

4.了解数列的应用，会用数列知识解决实际问题。

三、第三章三角函数1.掌握三角函数的概念、性质和图像，会求三角函数的值域和最值。

2.了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式，会进行简单的三角函数运算。

3.理解正弦定理和余弦定理的概念和应用，会解三角形。

4.掌握三角函数在实际问题中的应用，会用三角函数知识解决实际问题。

四、第四章向量与复数1.掌握向量的概念、性质和运算，会用向量表示向量投影和向量的数量积。

2.理解复数的概念、表示方法和运算，会求复数的模和辐角。

3.掌握复数与向量之间的关系，会用复数表示向量并进行向量运算。

4.了解复数在实际问题中的应用，会用复数知识解决实际问题。

五、第五章解析几何1.掌握直线、圆、椭圆、双曲线等常见曲线的方程和性质，会求曲线的交点、距离和面积。

2.理解直线的斜率和截距的概念及求解方法，会求直线的方程。

3.掌握圆的方程和性质，会求圆的标准方程和一般方程。

4.理解椭圆、双曲线和抛物线的方程和性质，会求椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。

5.掌握解析几何在实际问题中的应用，会用解析几何知识解决实际问题。

高二数学选修2- 1质量检测试题(卷)本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分。

第I 卷 1至2页。

第n 卷3至6页。

考试结束后.只将第n 卷和答题卡一并交回。

第I 卷(选择题共60 分)注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2•每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本 大题共12小题，每小题 5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。

1.顶点在原点，且过点(7,4)的抛物线的标准方程是2 ,A. y 二 4x平面〉的法向量不可能是2 ’B. x 4y2 、 2C. y = 4x 或 x = 4y 2 、 2D. y 4x 或 x = 4y 2.以下四组向量中，互相平行的有((1) a =(1,2,1), b ：(1,-2,3)； (3) a =(0,1,-1),b =(0, -3,3)； A. —B.二C. 若平面〉的法向量为£=(3,2,1), 角的余弦是 70 A.143. ))组.(2) a =(8,4, -6), b 匚(4,2,-3)； (4) ： = (-3,2,0) ,b =(4, -3,3) 三D.四平面1的法向量为n^(2,0, -1)，则平面〉与：夹 4. .70 B.10D.70 10“G =k^ +—TL k 乏 Z ” 12 'A.充分不必要条件 C.充要条件“直线l 与平面 是“ C. 141 sin2 ”的2必要不充分条件 既不充分又不必要条件B. D.5. A .充要 C.必要非充分内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面垂直”的( .充分非必要 .既非充分又非必要)条件6.在正方体 ABCD -AB I C 1D 1中,E 是棱AB ,的中点，则 AB 与D 1E 所成角的余弦值为A .10107.已知两定点F 1(5,0), P 到F 1、F 2的距离之差的绝对值是6,则该曲线的方程为2 22 2 2 2 2 2x y ’ A.1x B.--y =1 x C .- y =1 D. y - --19 16 16 925 36 5 36F 2(-5,0)，曲线上的点 8.已知直线I 过点P(1,0,- 1)，平行于向量a =(2,1,1)，平面〉过直线l 与点M(1,2,3)，则1 1 1 1A. (1,-4,2)B. (一，一1,一)C. (-一，1,-一)D. (0,- 1,1)4 2 4 29.命题“若a :: b，则a b c ”的逆否命题是A.若a ：b c，则a bB.若a c b c，贝U a bc.若a・c_b・c，贝U a_b D.若a・c：：：b・c，贝U a_b2 210 .已知椭圆一―1，若其长轴在y轴上•焦距为4，则m等于10 —m m -2A. 4 .B.5.C. 7.D.8.11. 以下有四种说法，其中正确说法的个数为：(1)“ m是实数”是"m是有理数”的充分不必要条件；(2)“ a b ”是“ a2■ b2”的充要条件；(3)“ x = 3 ”是“ x2—'2x—3 = 0 ”的必要不充分条件；(4)“ Ap| B = B ”是“ A = ”的必要不充分条件.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2 212。

学业分层测评(九)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．已知，为非零实数，则使不等式＋≤－成立的一个充分不必要条件是( )．·<．·>．>，>．>，<【解析】∵＋≤－，∴≤－.∵＋>，∴<，则，异号，故选.【答案】．平面内有四边形和点，＋＝＋，则四边形为( )．梯形．菱形．平行四边形．矩形【解析】∵＋＝＋，∴－＝－，∴＝，∴四边形为平行四边形．【答案】．若实数，满足<<，且＋＝，则下列四个数中最大的是( )．＋．．【解析】∵＋＝，＋>，∴<.而＋>＝.又∵<<，且＋＝，∴<，∴＋最大，故选.【答案】．，为△的内角，>是 > 的()．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件【解析】若>，则>，又)＝)，∴> ；若> ，则由正弦定理得>，∴>.【答案】．若，是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()．若β，α⊥β，则⊥α．若α∩γ＝，β∩γ＝，∥，则α∥β．若⊥β，∥α，则α⊥β．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解析】对于，与α不一定垂直，所以不正确；对于，α与β可以为相交平面；对于，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于，β与γ不一定垂直．【答案】二、填空题．设，是两个不共线的向量，＝＋，＝＋，若，，三点共线，则＝.【解析】若，，三点共线，则＝λ，即＋＝λ(＋)＝λ＋λ，∴(\\(λ＝，λ＝，))∴(\\(λ＝，＝.))【答案】．设＝，＝－，＝－，则，，的大小关系为．【解析】∵－＝－(－)＝－>，∴>.又∵＝＝>，∴>，∴>>.【答案】>>．已知三个不等式：①>；②>；③>.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成个正确的命题．。

单元质量检测(四)一、选择题1．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值是( )A ．1B ．3C ．1或3D ．－1解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋3＝0a －1≠0，解得a ＝3.答案：B2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A.15i B.15 C ．－15iD ．－15解析：∵1－2＋i ＋11－2i＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＋1＋2i(1－2i )(1＋2i )＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i ， ∴虚部为15.答案：B3．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0解析：A 中，a ，b 同向则a ，b 共线；但a ，b 共线则a ，b 不一定同向，因此A 不是充要条件．若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线；但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，如a ＝(1,2)，b ＝(2,4)，从而B 不是充要条件．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线；但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 就不成立，从而C 也不是充要条件．对于D ，假设λ1≠0，则a ＝－λ2λ1b ，因此a ，b 共线；反之，若a ，b 共线，则a ＝nm b ，即m a －n b ＝0.令λ1＝m ，λ2＝－n ，则λ1a ＋λ2b ＝0. 答案：D4．如下图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝3CD ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，设AB →＝e 1，AD →＝e 2，MN →可表示为( )A ．e 2＋16e 1B ．e 2－12e 1C ．e 2－13e 1D ．e 2＋13e 1解析：MN →＝12(MD →＋MC →)＝12(MD →＋MD →＋DC →)＝12[2(MA →＋AD →)＋DC →]＝12[2(－12e 1＋e 2)＋13e 1]＝－12e 1＋e 2＋16e 1＝e 2－13e 1. 答案：C5．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由(a ＋b )⊥(2a －b )得(a ＋b )·(2a －b )＝0， 即2|a |2＋|a |·|b |cos α－|b |2＝0，把|a |＝1，|b |＝2代入得cos α＝0，∴α＝90°(其中α为两向量的夹角)． 答案：C6．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：∵DC →＝2BD →，∴BC →－BD →＝2BD →，∴BD →＝13BC →.∵CE →＝2EA →，∴BE →－BC →＝2BA →－2BE →， ∴BE →＝23BA →＋13BC →.∵AF →＝2FB →，∴BF →－BA →＝－2BF →，∴BF →＝13BA →.∴AD →＋BE →＋CF →＝BD →－BA →＋BE →＋BF →－BC → ＝13BC →－BA →＋23BA →＋13BC →＋13BA →－BC → ＝－13BC →.∴AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行． 答案：A7．已知非零向量a ，b ，若a ·b ＝0，则|a －2b ||a ＋2b |等于( )A.14 B ．2 C.12D ．1解析：|a －2b ||a ＋2b |＝(a －2b )2(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2a 2＋4b 2＝1.答案：D8．在△ABC 中，若BC →2＝AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA →，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：因为AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA → ＝BC →·(AB →－CA →＋BA →)＝BC →·AC →，故BC →2－BC →·AC →＝BC →·(BC →－AC →)＝BC →·BA →＝0， 即∠B ＝π2.答案：B9．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27解析：如图，F 3的大小等于F 1、F 2的合力的大小．由平面向量加法的三角形法则知，在△OAB 中OB 的长就是F 1、F 2的合力的大小，且在△OAB 中，∠OAB ＝120°，OB ＝F 21＋F 22－2F 1·F 2cos120°＝28＝27，即F 3为27.答案：D10．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如下图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )A ．－6B ．－4C ．4D ．6解析：函数y ＝tan(π4x －π2)的图象是由y ＝tan x 的图象向右平移π2个单位，再将图象的横坐标扩大为原来的4π倍得到，所以点A 的坐标为(2,0)，令tan(π4x －π2)＝1得π4x －π2＝π4，故可得B 点坐标为(3,1)，所以(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6.答案：D11．设点P 为△ABC 的外心(三条边垂直平分线的交点)，若AB ＝2，AC ＝4，则AP →·BC →＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：我们可以采用特殊方法解答，设A (－1,0)，B (1,0)，C (－1,4)，则外心P 为(0,2)，故AP →＝(1,2)，BC →＝(－2,4)，故AP →·BC →＝6.答案：B12．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →(其中λ∈R )，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上解析：CB →＝PB →－PC →＝λP A →＋PB →化简即得－PC →＝λP A →，由共线向量的充要条件可知，点P ，A ，C 三点共线，所以答案选B.答案：B 二、填空题13．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝________.解析：∵a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋65＋3－2a5i ，∴⎩⎨⎧a ＋65＝03－2a 5≠0，∴a ＝－6.答案：－614．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________. 解析：|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－4(cos10°cos70°＋sin10°sin70°) ＝5－4cos60°＝ 3. 答案： 315．已知AD 是△ABC 的中线，AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，那么λ＋μ＝________；若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AD →|的最小值是________．解析：若AD 为△ABC 的中线，则有AD →＝12(AB →＋AC →)，∴λ＋μ＝1.|AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－4)，∵|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝2AB →·AC →cos120°＝8，所以|AD →|≥1.答案：1 116．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．解析：以O 为坐标原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则有x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值为2.答案：2 三、解答题17．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.解法一：设AB →＝a ，AD →＝b ， 则a ＝AN →＋NB →＝d ＋(－12b )①b ＝AM →＋MD →＝c ＋(－12a )②将②代入①得a ＝d ＋(－12)[c ＋(－12a )]⇒a ＝43d －23c ，代入②得b ＝c ＋(－12)(43d －23c )＝43c －23d .解法二：设AB →＝a ，AD →＝b . 因M ，N 分别为CD ，BC 中点， 所以BN →＝12b ，DM →＝12a .因而⎩⎨⎧c ＝b ＋12ad ＝a ＋12b ⇒⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．18．设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)，(1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值； (2)求c 在a 方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .解：(1)∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a 与b 不共线． 又a ·b ＝－1×4＋1×3＝－1，|a |＝2，|b |＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－152＝－210.(2)∵a ·c ＝－1×5＋1×(－2)＝－7， ∴c 在a 方向上的投影为a ·c |a |＝－72＝－72 2.(3)∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3)＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ2－λ1＝5λ1＋3λ2＝－2，解得⎩⎨⎧λ1＝－237λ2＝37.19．设△ABC 的外心为O ，则圆O 为△ABC 的外接圆，垂心为H .求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：延长BO 交圆O 于D 点，连AD 、DC ， 则BD 为圆O 的直径，故∠BCD ＝∠BAD ＝90°. 又∵AE ⊥BC ，DC ⊥BC ， 得AH ∥DC ，同理DA ∥CH . ∴四边形AHCD 为平行四边形， ∴AH →＝DC →.又∵DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →， ∴AH →＝OB →＋OC →. 又∵OH →＝OA →＋AH →， ∴OH →＝OA →＋OB →＋OC →.20．(1)如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA →＝a ，OB →＝b ，试用a ，b 表示OP →，OQ →，并判断OP →＋OQ →与OA →＋OB →的关系；(2)受(1)的启示，如果点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是AB 的n (n ≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．解：(1)OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝13OB →＋23OA →＝23a ＋13b .同理OQ →＝13a ＋23b ，∴OP →＋OQ →＝a ＋b ＝OA →＋OB →.(2)OA 1→＋OA n －1 ＝OA 2→＋OA n －2 ＝…＝OA →＋OB →. 证明如下：由(1)可推出OA 1→＝OA →＋AA 1→＝OA →＋1n AB →＝OA →＋1n (OB →－OA →)＝n －1n OA →＋1n OB →，∴OA 1→＝n －1n a ＋1n b ，同理OA n －1＝1n a ＋n －1nb ，OA 2→＝n －2n a ＋2n b ，OA n －2＝2n a ＋n －2n b ，…因此有OA 1→＋OA n －1＝OA 2→＋OA n －2＝…＝OA →＋OB →.21．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为θ. (1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值． 解：(1)由题意知： AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos θ＝6① S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－θ) ＝12|AB →|·|BC →|·sin θ② ②÷①得S 6＝12tan θ，即3tan θ＝S .由3≤S ≤3，得3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. ∵θ为AB →与BC →的夹角，∴θ∈(0，π)，∴θ∈[π6，π4]．(2)f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ ＝1＋sin2θ＋2cos 2θ＝2＋sin2θ＋cos2θ ＝2＋2sin(2θ＋π4)．∵θ∈[π6，π4]，∴2θ＋π4∈[7π12，3π4]．∴当2θ＋π4＝3π4，即θ＝π4时，f (θ)有最小值为3.22．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . 解：(1)因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.(2)由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 |b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .。

高二数学（必修5）命题人:宝鸡铁一中数学组 周粉粉(全卷满分120分，考试时间100分钟)一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，则数列的第5项为（ ） （A ）110 （B ）16 （C ）15 （D ）122.在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于( )A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B3.不等式0322≥-+x x 的解集为（ ）A 、{|13}x x x ≤-≥或B 、}31|{≤≤-x xC 、{|31}x x x ≤-≥或D 、}13|{≤≤-x x 4.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是( ) A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解5.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂二个）经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（ ） 个个个个6.数列{n a }的通项公式是n a ＝122+n n (n ∈*N )，那么n a 与1+n a 的大小关系是（ ）（A ）n a ＞1+n a （B ）n a ＜1+n a （C ）n a ＝ 1+n a （D ）不能确定 7.关于x 的不等式)1,(0-∞>+的解集为b ax ，则关于x 的不等式02>+-x abx 的解集为( ) A ．（－2，1） B ．),1()2,(+∞-⋃--∞C ．（－2，－1）D ．),1()2,(+∞⋃--∞8. 两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于 A.49 B. 837 C. 1479 D. 241499.已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是（ ）A ．[－2，－1]B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．[1，2]10. 等差数列}{n a 中,,0,0,020042003200420031<⋅>+>a a a a a 则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 为A. 4005B. 4006C. 4007D. 4008 二.填空题. （本大题共6小题，每小题5分，共30分）) 11、数列 121, 241, 381, 4161, 5321, …, 的前n 项之和等于 ． 12、已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为=n a ________ 13、在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为 . 14、已知232a b +=，则48ab+的最小值是 ．15．某人向银行贷款A 万元用于购房。

高二数学选修1－2质量检测试题（卷）2010.04本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至6页.考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共10个小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有个小偷在警察面前作了如下辩解：是我的录像机，我就一定能把它打开.看，我把它打开了.所以它是我的录像机.请问这一推理错在哪里？ A ．大前提 B ．小前提 C ．结论 D ．以上都不是 2．复数534i -的共轭复数是： A ．3455i - B ．3455i + C ．34i - D ．34i +3．下列有关样本相关系数的说法不正确的是Ａ．相关系数用来衡量 两个随机变量x 与y 的之间的线性相关程度 Ｂ． 1r ≤，且r 越接近0，相关程度越小 Ｃ． 1r ≤，且r 越接近1，相关程度越大 Ｄ． 1r ≥，且r 越接近1，相关程度越大4. 下面几种推理是合情推理的是（1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质；（2）由平行四边形、梯形内角和是360︒，归纳出所有四边形的内角和都是360︒； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分； （4）三角形内角和是180︒，四边形内角和是360︒，五边形内角和是540︒，由此得凸多边形内角和是()2180n -︒A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）5．用反证法证明命题“如果a b >>是A ．=B ．<C ．=<D ．=6．已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则||z 的取值范围是A ．(1,5)B ．(1,3)C ．(1,D ．(1,7A ．（0.5，3）B ．（1.5，0）C ．（1，2）D ．（1.5，4） 8．复数2211(1)(1)i ii i -++=+-A ．iB ．－ｉC ．—１D ．１ 9．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为A ．62n -B ．82n -C ．62n +D ．82n +10．设两个相互独立的事件,A B 都不发生的概率为19，若A 发生B 不发生的概率等于B 发生A 不发生的概率，则事件A 发生的概率()P A 是A ．29B ．23C ．13 D ． 118二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.把本大题答案填在第Ⅱ卷题中横线上.11．1×9＋2=11，12×9＋3=111，123×9＋4=1111，1234×9＋5=11111，猜测123456×9＋7=12．若复数z (1)(2)m m i =-++对应的点在直线220x y --=上，则实数m 的值是13．一个袋中有12个除颜色外完全相同的球，2个红球，5个绿球，5个黄球，从中任取一球，放回后再取一球，则第一次取出红球且第二次取出黄球的概率为14．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是15．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.则正确结论的序号是 16．在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 对应的复数分别是1+3i ,- i ,2+ i ,则点D 对应的复数为_________… ① ② ③高二数学选修1－2质量检测试题（卷）2010.4二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分. 把答案填在题中横线上.11．；12. ；13. ；14. ;15._______ _______；16. __________________.三、解答题：本大题共4小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．( 本小题满分14分)已知复数2245(215)3m mz m m im--=+--+，m R∈.（1）若复数z是纯虚数，求m的值；（2）若复数z是实数，求m的值.18.（本小题满分12分）阅读下文，然后画出该章的知识结构图.推理与证明这一章介绍了推理与证明这两个知识点.推理这节包括合情推理和演绎推理；证明这节包括直接证明和间接证明.合情推理中有两种常用推理：归纳推理和类比推理.直接证明有综合法和分析法；间接证明通常用反证法.19．（本小题满分14分）在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人．（1）根据以上数据建立一个22⨯列联表；（2）试判断是否晕机与性别有关？(参考数据：2 2.706χ>时，有90%的把握判定变量A，B有关联；2 3.841χ>时，有95%的把握判定变量A，B有关联；2 6.635χ>时，有99%的把握判定变量A，B有关联.参考公式：22()()()()()n ad bca b c d a c b d χ-=++++)20．（本小题满分14分）已知：a,b,c,d都是实数，且221+=，c da b+=，221求证：1+≤ac bd。

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B ．532C.532D ．132【解析】 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12，3＋02，1＋52，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，32，3－(0,1,0)＝⎝⎛⎭⎪⎫2，12，3，∴|CM →|＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋32＝532.【答案】 C2．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( ) A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1【解析】 由题意知，a ＋2b ＝(2x ＋1,4,4－y )，2a －b ＝(2－x,3，－2y －2)． ∵(a ＋2b )∥(2a －b )，∴存在实数λ，使a ＋2b ＝λ(2a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ2－x 4＝3λ4－y ＝λ－2y －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43x ＝12y ＝－4.【答案】 B3．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 由题意，得λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．因为|λa ＋b |＝29，所以42＋(1－λ)2＋λ2＝29，整理得λ2－λ－6＝0.又λ＞0，所以λ＝3.【答案】 B4．若a ＝(1，λ，－1)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦为19，则|a |＝( )A.94 B ．102C.32D ． 6【解析】 因为a·b ＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，又因为a·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝2＋λ2×9×19＝132＋λ2，所以132＋λ2＝－λ.解得λ2＝14，所以|a |＝1＋14＋1＝32. 【答案】 C5．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°【解析】 AB →＝(－1,0,4)－(1,1,1)＝(－2，－1,3)， CA →＝(1,1,1)－(2，－2,3)＝(－1,3，－2)，∴cos θ＝AB →·CA →|AB →||CA →|＝2－3－64＋1＋9·1＋9＋4＝－12，∴θ＝120°. 【答案】 B 二、填空题6．已知三个力F 1＝(1,2,1)，F 2＝(－1，－2,3)，F 3＝(2,2，－1)，则这三个力的合力为________．【解析】 合力为F 1＋F 2＋F 3＝(1,2,1)＋(－1，－2,3)＋(2,2，－1) ＝(2,2,3)． 【答案】 (2,2,3)7．已知a ＋b ＝(－1，－2,3)，a －b ＝(1,0,1)，则a ＝________，b ＝________.【导学号：32550035】【解析】 a ＝a ＋b ＋a －b2＝(0，－1,2)，b ＝a ＋b －a －b2＝(－1，－1,1)．【答案】 (0，－1,2) (－1，－1,1)8．设向量a ＝(1，－2,2)，b ＝(－3，x,4)，已知a 在b 上的投影为1，则x ＝________. 【解析】 ∵a ＝(1，－2,2)，b ＝(－3，x,4)，a 在b 上的投影为1，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝1.∴a·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉＝|b |. ∴－3－2x ＋8＝9＋x 2＋16， ∴x ＝0或x ＝203(舍去)．【答案】 0 三、解答题9．已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)，求a ＋b ，a －b ，a·b ，(－2a )·b ，(a ＋b )·(a －b )．【解】 a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)；a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)；a·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；(－2a )·b ＝－2(a·b )＝－2×(－7)＝14；(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2＋(－2)×0＋2×(－6)＝－8. 10．直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 是A 1A 的中点． (1)求BN →的长；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．【解】 以C 为原点，以CA →，CB →，CC 1→为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (0,1,0)，N (1,0,1)，BN →＝(1，－1,1)， ∴|BN →|＝ 3.(2)依题意，得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)．∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5.∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010. [能力提升]1．已知A (4,1,3)、B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AB →＝3AC →，则C 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－12，52B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－3，2C.⎝⎛⎭⎪⎫103，－1，73D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－72，32【解析】 设C (x ，y ，z )，则AC →＝(x －4，y －1，z －3)． 又AB →＝(－2，－6，－2)，AB →＝3AC →，∴(－2，－6，－2)＝(3x －12,3y －3,3z －9)．∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －12＝－2，3y －3＝－6，3z －9＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－1，z ＝73.【答案】 C2．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝________. 【解析】 由条件知(a ＋3b )·(7a －5b ) ＝7|a|2＋16a·b －15|b|2＝0，及(a －4b )·(7a －2b )＝7|a|2＋8|b|2－30a·b ＝0. 两式相减，得46a·b ＝23|b|2，∴a·b ＝12|b|2. 代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝|b|.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝12|b|2|b|2＝12. ∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝60°.【答案】 60°3．与a ＝(2，－1,2)共线且满足a·x ＝－18的向量x ＝________.【解析】 设x ＝λa ＝(2λ，－λ，2λ)，a ·x ＝4λ＋λ＋4λ＝9λ＝－18，∴λ＝－2，∴x ＝(－4,2，－4)． 【答案】 (－4,2，－4)4．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1，5)，C (3,2，－5)．【导学号：32550036】(1)求△ABC 的面积． (2)求△ABC 中AB 边上的高．【解】 (1)由已知得AB →＝(1，－3,2)， AC →＝(2,0，－8)，∴|AB →|＝1＋9＋4＝14， |AC →|＝4＋0＋64＝217. AB →·AC →＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14.cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－1414×217＝－14217，sin 〈AB →，AC →〉＝1－1468＝2734. ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin〈AB →，AC →〉＝12×14×217×2734＝321. (2)设AB 边上的高为CD ， 则|CD →|＝2S △ABC |AB →|＝3 6.。