第一章 解三角形 章末测试题1

必修五 第一章解三角形测试(总分150)一、选择题(每题5分，共50分)1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ． 30°或150°4、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．43 或23 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ）A ．3πB ．6πC ．32πD ． 3π或32π6、在△ABC 中,面积22()Sa b c =--,则sin A 等于（）A ．1517B ．817C ．1315D ．13177、已知△ABC 中三个内角为A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，设向量(,)p a c b =+ ，(,)q b a c a =-- .若//p q，则角C 的大小为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π8、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,109、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 10、在△ABC 中,3,4ABBC AC ===,则AC 上的高为（ ）A ．BC ．32D ．二、填空题（每小题5分，共20分）11、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 12、已知三角形两边长为11，则第三边长为13、若三角形两边长为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 14、在△ABC 中BC=1，3Bπ=，当△ABC tan C =三、解答题（本大题共小题6小题，共80分）15、（本小题14分）在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。

浙教版九年级数学下册第一章解直角三角形单元测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 在正方形网格中，∠如图所示放置，则∠等于（）A. B. C. D.2. 直升飞机在离地面米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是（）A.米B.米C.米D.米3. 已知为锐角，且，那么的余弦值为（）A. B. C. D.4. 在中，∠，，，且，则∠的度数为（）A. B. C.′ D.′5. 如图，在中，∠，，，则等于（）A. B. C. D.6. 在中，∠，若，则∠的度数是（）A. B. C. D.7. 已知为锐角，下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么；④，正确的有（）A.个B.个C.个D.个 8. 下列式子正确的是（）A. B.C. D.9. 一段斜坡公路的坡度为，这段公路长为，则从坡底到坡顶这段公路升高（）A. B.C. D.10. 如图，某天小明发现阳光下电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量的米，米，斜坡的坡度比为，且此时测得米杆的影长为米，则电线杆的高度为（）A.米B.米C.米D.米二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）11. 在中，∠，当已知∠和时，求，则________．12. 如图，在中，∠，，，则的长是________．13. 如图，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船向正东方向航行了海里到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是________．14. 如图，为了使电线杆稳固的垂直于地面，两侧常用拉紧的钢丝绳索固定，由于钢丝绳的交点在电线杆的上三分之一处，所以知道的高度就可以知道电线杆的高度了．要想得到的高度，需要测量出一些数据，然后通过计算得出．请你设计出要测量的对象：________；请你写出计算高度的思路：________．15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，则∠等于________．16. 已知一斜坡的坡度，坡角为，那么________．17. 若，∠为锐角，则的值是________．18. 小芳为了测量旗杆高度，在距棋杆底部米处测得顶端的仰角是，小芳的身高不计，则旗杆高________米．19. 如图，为测量一棵与地面垂直的树的高度，在距离树的底端米的处，测得树顶的仰角∠为，则树的高度为________米（用三角函数表示）20. 在一次夏令营活动中，小明同学从营地出发，要到地的北偏东方向的处，他先沿正东方向走到地，再沿北偏东方向走，恰能到达目的地，已知，两地相距，由此可知，，两地相距________．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分，）三、解答题（本题共计 6 小题，每题分，共计60分，）21. 计算：．22. 在中，∠，若．求，，的值．23. 如图，一海伦位于灯塔的西南方向，距离灯塔海里的处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求航程的值（结果保留根号）．24. 一艘轮船自西向东航行，在处测得北偏东方向有一座小岛，继续向东航行海里到达处，测得小岛此时在轮船的北偏东方向上，而小岛方圆海里的范围内有暗礁，轮船继续向东航行有无触礁的危险呢？请说明理由．（参考数据：，，，）25. 如图，学校的保管室里，有一架米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成的角为，如果梯子的底端固定不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子与地面所成的角为，求此保管室的宽度的长．26. 为推进多城同创，打造宜业宜居家园，温岭市交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并进一步完善各类监测系统，如图，在泽太一级公路某直线路段内限速千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点，从观测点测得一小车从点到达点行驶了秒钟，已知∠，∠，米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）答案1. D2. C3. D4. B5. D6. A7. C8. B9. B10. A11.12.13. 海里14. ∠和线段①在中，由∠，求出∠，②由，可求，求得∠．15.16.17.18.19.20.21. 解：原式．22. 解：∵，∴设，，由勾股定理得：，∴，，．23. 解：过作于点，在中，海里，∠，∠，∠，∴（海里），（海里），在中，∠，∠，∴（海里），则海里．24. 解：轮船继续向东航行无触礁的危险．理由：过点作于点，由题意得：，∠，∠，在中，∠，即，∴，在中，∠，即，解得：，∴轮船继续向东航行无触礁的危险．25. 解：由于两边的墙都和地面垂直，所以构成了两个直角三角形．∵，∴；∵，∴，∴米．26. 解：此车没有超速．理由如下：过作，垂足为，∵∠，米，∴（米），（米），∵∠，∴米，∴，∴车速为．∵千米/小时，又∵，∴此车没有超速．。

三角形的证明一、填空题(每小题4分，共20分)1. 写出命题“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命题______．【答案】如果3a＝3b，那么a＝b【解析】试题分析：命题“如果a=b”，那么“3a=3b”的逆命题是：如果3a=3b，那么a=b，故答案为：如果3a=3b，那么a=b．考点：命题与定理．2. 在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，若∠B＝50°，则∠DAC的度数是______．【答案】40°【解析】分析：根据等腰三角形的性质可得到AD是顶角的角平分线，再根据三角形内角和定理不难求得顶角的度数，最后根据角平分线的定义即可求解．详解：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∵∠B=50°，∴∠BAC=80°，∴∠DAC=40°．故答案为：40°．点睛：此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．3. 如果三角形三边长分别为6 cm，8 cm，10 cm，那么它最短边上的高为______cm.【答案】8【解析】分析：根据三边为6cm、8cm、10cm，根据勾股定理的逆定理知道三角形为直角三角形，最短边长为6cm,最短边上的高为另一直角边，故可得最短边上的高．详解：∵62+82=102，∴由边长6，8，10构成的三角形为直角三角形，最短边长为6cm，∴最短边上的高为8cm．故答案为8．点睛：本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理先求出为直角三角形，再求出最短边上的高．4. 如图，在锐角三角形ABC中，直线PL为BC的垂直平分线，射线BM为∠ABC的平分线，PL与BM相交于P点．若∠PBC＝30°，∠ACP＝20°，则∠A的度数为______．【答案】70°【解析】分析：根据角平分线得出∠ABC=60°，再根据线段垂直平分线得出∠PCB=30°，利用三角形的内角和解答即可．详解：∵射线BM为∠ABC的平分线，∠PBC=30°，∴∠ABC=60°，∵直线PL为BC的垂直平分线，∴∠PCB=30°，∴∠A的度数=180°-60°-30°-20°=70°，故答案为：70°．点睛：此题考查线段垂直平分线性质，关键是根据角平分线得出∠ABC=60°，再根据线段垂直平分线得出∠PCB=30°进行分析．5. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，直线m经过点C，分别过点A，B作直线m的垂线，垂足分别为点E，F，若AE＝3，AC＝5，则线段EF的长为_______．【答案】1或7【解析】分析：分两种情况：①如图1所示：先证出∠1=∠3，由勾股定理求出CE，再证明△BCF≌△CAE，得出对应边相等CF=AE=3，得出EF=CE-CF即可；②如图2所示：先证出∠1=∠3，由勾股定理求出CE，再证明△BCF≌△CAE，得出对应边相等CF=AE=3，得出EF=CE+CF即可．详解：分两种情况：①如图1所示：∵∠ACB=90°，∴∠1+∠2=90°，∵BF⊥m，∴∠BFC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵AE⊥m，∴∠AEC=90°，∴CE==4，在△BCF和△CAE中，，∴△BCF≌△CAE（AAS），∴CF=AE=3，∴EF=CE-CF=4-3=1；②如图2所示：∵∠ACB=90°，∴∠1+∠2=90°，∵BF⊥m，∴∠BFC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵AE⊥m，∴∠AEC=90°，∴CE==4，在△BCF和△CAE中，，∴△BCF≌△CAE（AAS），∴CF=AE=3，∴EF=CE+CF=4+3=7；综上所述：线段EF的长为：1或7．故答案为：1或7．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、互余两角的关系；本题有一定难度，需要进行分类讨论，作出图形才能求解．二、选择题(每小题3分，共30分)6. 如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°【答案】A【解析】试题分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB=∠B =70°，再由平角的定义得出∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，根据等腰三角形的性质即可得∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°.故选：A．考点：等腰三角形的性质．7. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知△PAB的周长为14，PA＝4，则线段AB的长度为( )A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A【解析】分析：由直线CD是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得PA=PB=4，又由△PAB的周长为14，即可求得线段AB的长．详解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，∴PA=PB=4，∵△PAB的周长为14，∴AB=（AB+PA+PB）-PA-PB=14-4-4=6．即线段AB的长度为6．故选：A．点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．8. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )A. SSSB. ASAC. AASD. 角平分线上的点到角两边距离相等【答案】A..............................连接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC=∠BOC考点：(1)、全等三角形的判定与性质；(2)、作图—基本作图．9. 已知直角三角形中，30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是( )A. 2厘米B. 4厘米C. 6厘米D. 8厘米【答案】B【解析】试题分析：根据直角三角形性质：直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半，所以本题中斜边长等于2×2=4cm．故选B．考点：直角三角形性质．10. 如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为( )A. 12B. 9C. 8D. 6【答案】B【解析】分析：根据∠B=60°，AB=AC，即可判定△ABC为等边三角形，由BC=3，即可求出△ABC的周长．详解：在△ABC中，∵∠B=60°，AB=AC，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=180°-60°-60°=60°，∴△ABC为等边三角形，∵BC=3，∴△ABC的周长为：3BC=9，故选：B．点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，属于基础题，关键是根据已知条件判定三角形为等边三角形．11. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A. 3，4，4B. 1，，C. ，，D. 3，4，7【答案】B【解析】分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．详解：A、32+42≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误；B、12+()2=()2，能组成直角三角形，故此选项正确；C、()2+()2≠()2，不能组成直角三角形，故此选项错误；D、3+4=7，不能组成三角形，更不能组成直角三角形，故此选项错误；故选：B．点睛：此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．12. 如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝( )A. 100°B. 80°C. 70°D. 50°【答案】A【解析】试题分析：如果延长BD交AC于E，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，所以∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD，又DA=DB=DC，根据等腰三角形等边对等角的性质得出∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°，进而得出结果．解：延长BD交AC于E．∵DA=DB=DC，∴∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°．又∵∠BAE=∠BAD+∠DAC=50°，∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，∴∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD=20°+50°+30°=100°．故选A．【点评】本题考查三角形外角的性质及等边对等角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系．13. 如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】要使△ABP与△ABC全等，必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长度，所以点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选C.视频14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为( )A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】分析：过D作DE⊥AB，垂足为E，由角平分线的性质可知CD=DE，根据勾股定理可得出BE的长，再判断出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出AC=AE，根据勾股定理即可解答．详解：过D作DE⊥AB，垂足为E，∵∠1=∠2，又∠C=90°，即DC⊥AC，∴CD=DE=1.5，在Rt△BDE中，BE=，∵CD=DE，AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AB2=AC2+BC2，即（AC+2）2=AC2+（1.5+2.5）2，解得AC=3．故选：C．点睛：本题考查的是角平分线的性质及勾股定理，熟知角平分线的性质是解答此题的关键．15. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF＝BE＋CF；②∠BOC＝90°＋∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn.其中正确的结论是( )A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④【答案】A【解析】分析：由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC=90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn，故④错误．详解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故②正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE•OM+AF•OD=OD•（AE+AF）=mn；故④错误；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．故选：A．点睛：此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．三、解答题(共50分)16. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB于点F.请找出一组相等的线段(AB＝AC除外)并加以证明．【答案】AD＝AF【解析】分析：据图易知∠ADE=90°-∠C，∠BFE=90°-∠B，而AB=AC，可知∠B=∠C，于是∠ADE=∠BFE，又∠AED和∠BFE是对顶角，易得∠D=∠AFD，从而有AD=AF，易证之．详解：AD=AF；∵AB=AC，∴∠B=∠C∵DE⊥BC，∴∠BEF=∠DEC=90°，∴∠BFE=∠D，∵∠BFE=∠DFA，∴∠DFA=∠D，∴AF=AD．点睛：本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明∠D=∠AFD，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：△BED≌△CFD.【答案】证明见解析【解析】试题分析：首先根据AB=AC可得∠B=∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED=∠CFD=90°，然后再利用AAS定理可判定△BED≌△CFD．试题解析：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∵AB=AC，∴∠B=∠C．在△BED和△CFD中，∵BD=CD，∠B=∠C，∠BED=∠CFD，∴△BED≌△CFD（AAS）．考点：全等三角形的判定．18. 如图：已知等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为点M，求证：M是BE的中点．【答案】证明见解析【解析】试题分析：要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．试题解析：连结BD，∵在等边△ABC，且D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．【点睛】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．19. 如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)若AD＝5，BD＝12，求DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】试题分析：（1）先根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，再结合等腰直角三角形的性质即可证得结论；（2）根据全等三角形的性质可得AE=BD，∠EAC=∠B=45°，即可证得△AED是直角三角形，再利用勾股定理即可求出DE的长．（1）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90°∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA∴∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴∠BAC=∠B=45°∵△ACE≌△BCD∴AE=BD=12，∠EAC=∠B=45°∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，∴△EAD是直角三角形考点：本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理点评：解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.(1)求证：△ABD是等腰三角形；(2)若∠A＝40°，求∠DBC的度数；(3)若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．【答案】(1)证明见解析(2) 30 °(3) 32【解析】试题分析：（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；（3）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得．试题解析：（1）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形；（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，∴∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠C=（180°-40°）÷2="70°"∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°；（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，∴AB=2AE=12，∵△CBD的周长为20，∴AC+BC=20，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的判定与性质．21. 已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC.(2)如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC.(3)猜想，若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）不一定成立【解析】分析：（1）首先过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易证得Rt△BOD≌Rt△COE，即可得∠B=∠C，根据等角对等边的性质，即可证得AB=AC；（2）首先过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易证得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根据等边对等角的性质，易证得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边的性质，AB=AC；（3）首先过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延长线于点E，易证得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根据等边对等角的性质，易证得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边的性质，AB=AC．详证明：（1）过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，在Rt△BOD和Rt△COE中，∵，∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，在Rt△BOD和Rt△COE中，∵，∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），∴∠DBO=∠ECO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（3）不一定成立．证明：如图3，过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延长线于点E，则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，在Rt△BOD和Rt△COE中，∵，∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），∴∠DBO=∠ECO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠DBC=∠ECB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．如图4，可知AB≠AC．点睛：此题考查了等腰三角形的判定与性质以及直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．。

篇一：高中数学必修5课后习题答案人教版高中数学必修5课后习题解答第一章解三角形1．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P4） 1、（1）a?14，b?19，B?105?；（2）a?18cm，b?15cm，C?75?. 2、（1）A?65?，C?85?，c?22；或A?115?，C?35?，c?13；（2）B?41?，A?24?，a?24. 练习（P8） 1、（1）A?39.6?,B?58.2?,c?4.2 cm；（2）B?55.8?,C?81.9?,a?10.5 cm. 2、（1）A?43.5?,B?100.3?,C?36.2?；（2）A?24.7?,B?44.9?,C?110.4?. 习题1.1 A组（P10） 1、（1）a?38cm,b?39cm,B?80?；（2）a?38cm,b?56cm,C?90? 2、（1）A?114?,B?43?,a?35cm;A?20?,B?137?,a?13cm（2）B?35?,C?85?,c?17cm；（3）A?97?,B?58?,a?47cm;A?33?,B?122?,a?26cm； 3、（1）A?49?,B?24?,c?62cm；（2）A?59?,C?55?,b?62cm；（3）B?36?,C?38?,a?62cm；4、（1）A?36?,B?40?,C?104?；（2）A?48?,B?93?,C?39?；习题1.1 A组（P10）1、证明：如图1，设?ABC的外接圆的半径是R，①当?ABC时直角三角形时，?C?90?时，?ABC的外接圆的圆心O在Rt?ABC的斜边AB上.BCAC在Rt?ABC中，?sinA，?sinBABABab即?sinA，?sinB 2R2R所以a?2RsinA，b?2RsinB 又c?2R?2R?sin902RsinC （第1题图1）所以a?2RsinA, b?2RsinB, c?2RsinC②当?ABC时锐角三角形时，它的外接圆的圆心O在三角形内（图2），作过O、B的直径A1B，连接AC， 1?90?，?BACBAC则?A1BC直角三角形，?ACB. 11在Rt?A1BC中，即BC?sin?BAC1， A1Ba?sin?BAC?sinA， 12R所以a?2RsinA，同理：b?2RsinB，c?2RsinC③当?ABC时钝角三角形时，不妨假设?A为钝角，它的外接圆的圆心O 在?ABC外（图3）（第1题图2）作过O、B的直径A1B，连接AC.1则?A1BC直角三角形，且?ACB?90?，?BAC?180?11在Rt?A1BC中，BC?2Rsin?BAC， 1即a?2Rsin(180?BAC)即a?2RsinA同理：b?2RsinB，c?2RsinC综上，对任意三角形?ABC，如果它的外接圆半径等于则a?2RsinA,b?2RsinB, c?2RsinC2、因为acosA?bcosB，所以sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B 因为0?2A,2B?2?，（第1题图3）所以2A?2B，或2A?2B，或2A?22B. 即A?B或A?B?所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.在得到sin2A?sin2B后，也可以化为sin2A?sin2B?0 所以cos(A?B)sin(A?B)?0 A?B??2.?2，或A?B?0即A?B??2，或A?B，得到问题的结论.1．2应用举例练习（P13）1、在?ABS中，AB?32.2?0.5?16.1 n mile，?ABS?115?，根据正弦定理，得AS?ASAB?sin?ABSsin(6520?)?AB?sin?ABS16.1?sin115sin(6520?)∴S到直线AB的距离是d?AS?sin2016.1?sin115sin207.06（cm）. ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长1.89 m. 练习（P15）1、在?ABP中，?ABP?180?，?BPA?180(?)ABP?180(?)?(180?)在?ABP中，根据正弦定理，APAB?sin?ABPsin?APBAPa?sin(180?)sin(?)a?sin(?)AP?sin(?)asin?sin(?)所以，山高为h?APsinsin(?)2、在?ABC中，AC?65.3m，?BAC?25?2517?387?47??ABC?909025?2564?35?ACBC?sin?ABCsin?BAC?747AC?sin?BAC65.?3?sinBC?m 9.8?sin?ABCsin?6435井架的高约9.8m.200?sin38?sin29?3、山的高度为?382msin9?练习（P16） 1、约63.77?. 练习（P18） 1、（1）约168.52 cm2；（2）约121.75 cm2；（3）约425.39 cm2. 2、约4476.40 m2a2?b2?c2a2?c2?b2?c?3、右边?bcosC?ccosB?b?2ab2aca2?b2?c2a2?c2?b22a2?a左边? 【类似可以证明另外两个等式】 ?2a2a2a习题1.2 A组（P19）1、在?ABC中，BC?35?0.5?17.5 n mile，?ABC?14812622?根据正弦定理，14?8)?，1BAC?1801102248ACB?78(180ACBC?sin?ABCsin?BACBC?sin?ABC17.?5s?in22AC?8.8 2n milesin?BACsin?48货轮到达C点时与灯塔的距离是约8.82 n mile. 2、70 n mile.3、在?BCD中，?BCD?301040?，?BDC?180?ADB?1804510125?1CD?3010 n mile3CDBD根据正弦定理， ?sin?CBDsin?BCD10BD?sin?(18040125?)sin40?根据正弦定理，10?sin?40sin1?5在?ABD中，?ADB?451055?，?BAD?1806010110??ABD?1801105515?ADBDABADBDAB根据正弦定理，，即sin?ABDsin?BADsin?ADBsin15?sin110?sin55?10?sin?40?sin1?5BD?sin1?5?10s?in40?6.8 4n mile AD?sin1?10si?n110?sin70BD?sin5?5?10sin40?sin55n mile 21.6 5sin1?10sin15?sin70如果一切正常，此船从C开始到B所需要的时间为：AD?AB6.8?421.6520?min ?6?01?0?60 86.983030即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达B岛. 4、约5821.71 m5、在?ABD中，AB?700 km，?ACB?1802135124?700ACBC根据正弦定理，sin124?sin35?sin21?700?sin?35700?sin21?AC?，BC?sin1?24sin124?700?sin?357?00s?in21AC?BC7?86.89 kmsin1?24si?n124所以路程比原来远了约86.89 km.6、飞机离A处探照灯的距离是4801.53 m，飞机离B处探照灯的距离是4704.21 m，飞机的高度是约4574.23 m.1507、飞机在150秒内飞行的距离是d?1000?1000? m3600dx? 根据正弦定理，sin(8118.5?)sin18.5?这里x是飞机看到山顶的俯角为81?时飞机与山顶的距离.d?sin18.5??tan8114721.64 m 飞机与山顶的海拔的差是：x?tan81sin(8118.5?)山顶的海拔是20250?14721.64?5528 m8、在?ABT中，?ATB?21.418.62.8?，?ABT?9018.6?，AB?15 mABAT15?cos18.6?根据正弦定理，，即AT? ?sin2.8?cos18.6?sin2.8?15?cos18.6?塔的高度为AT?sin21.4?sin21.4106.19 msin2.8?326?189、AE97.8 km 60在?ACD中，根据余弦定理：AB?AC??101.235 根据正弦定理，（第9题）?sin?ACDsin?ADCAD?sin?ADC5?7si?n66sin 44?ACD?0.51AC101.2356?ACD?30.9??ACB?13330.9?6?10 2?在?ABC中，根据余弦定理：AB?245.93222AB?AC?B2C245.9?3101?.22352204sBAC?0.58co? 472?AB?AC2?245.?93101.235?BAC?54.21?在?ACE中，根据余弦定理：CE?90.75222AE2?EC?A2C97.8?90.?751012.235sAEC?0.42co? 542?AE?EC2?97?.890.75?AEC?64.82?0AEC?(1?8?0?7?5?)?7564.8?2 18?所以，飞机应该以南偏西10.18?的方向飞行，飞行距离约90.75 km.10、如图，在?ABCAC??37515.44 km222AB?AC?B2C6400?37515?2.44422200?0.692 ?BAC? 42?AB?AC2?640?037515.448，2 ?BAC?9043.?8 ?BAC?133.? 2所以，仰角为43.82?1111、（1）S?acsinB28?33?sin45326.68 cm222aca36（2）根据正弦定理：，c?sinCsin66.5?sinAsinCsinAsin32.8?11sin66.5?S?acsinB362sin(32.866.5?)?1082.58 cm222sin32.8?2（3）约为1597.94 cm122?12、nRsin.2na2?c2?b213、根据余弦定理：cosB?2acaa2所以ma?()2?c2?2c?cosB22a2a2?c2?b22?()?c?a?c? B22ac12212?()2[a2?4c2?2(a?c?2b)]?()[2(b?c2)?a2]222（第13题）篇二：人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案数学必修5试题一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.由a1?1，d?3确定的等差数列?an?，当an?298时，序号n等于（）Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.?ABC中，若a?1,c?2,B?60?，则?ABC的面积为（） A．12B．2 C.1 D.3.在数列{an}中，a1=1，an?1?an?2，则a51的值为（）A．99 B．49 C．102 D． 101 4.已知x?0，函数y?4x?x的最小值是（） A．5 B．4C．8 D．6 5.在等比数列中，a11?2，q?12，a1n?32，则项数n为（） A. 3B. 4C. 5D. 66.不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解集为R，那么（）A. a?0,0B. a?0,0C. a?0,0D. a?0,0?x?y?17.设x,y满足约束条件??y?x,则z?3x?y的最大值为（）y2A． 5B. 3C. 7 D. -88.在?ABC中,a?80,b?100,A?45?,则此三角形解的情况是（）A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解9.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC?2:3:4，那么cosC等于（）A.23 B.-2113 C.-3D.-410.一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（ A、63B、108 C、75 D、83）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11.在?ABC中，B?450,c?b?A＝_____________; 12.已知等差数列?an?的前三项为a?1,a?1,2a?3，则此数列的通项公式为______三、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15(12分) 已知等比数列?an?中，a1?a3?10,a4?a6?16(14分)(1) 求不等式的解集：?x(2)求函数的定义域：y?17 (14分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2?0的两个根，且2cos(A?B)?1。

第一章 解直角三角形（一）班级 姓名 学号一、选择题（每小题3分，共30分。

）1.（2013·天津中考）tan 60︒ 的值等于（ ）A.1B.2C.3D.2 2.（2013·重庆中考）计算6tan 452cos 60︒-︒ 的结果是( ) A.43 B.4C.53D.53.（2013·浙江温州中考）如图，在ABC △中，90,5,3,∠C AB BC =︒== 则sin A 的值是( ) A.34B.34C.35D.454.在ABC △中，90C =︒∠，如果2,1AB BC ==，那么sin A 的值是( ) A.21 B.55C.33 D.23 5.在ABC △中，90C =︒∠，5,3,AB BC ==则sin B = ( )A. 34B. 53 C. 43 D. 456.已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A.43 B.45C.54D.347.如图，一个小球由地面沿着坡度12∶i =的坡面向上前进了10 m ，此时小球距离地面的高度为( )A.5 mB.25 mC.45 mD.310m 8.已知直角三角形两直角边长之和为7，面积为6，则斜边长为（ ）阶段性学业评价试卷九年级(下)数学 第7题图第3题图ACBA. 5B.37C. 7D. 389.如图，已知：45°＜∠A ＜90°，则下列各式成立的是( ) A.sin cos A A = B.sin cos A>A C.sin tan A>AD.sin cos A<A10.如图，在菱形ABCD 中，⊥DE AB ，3cos 5A =，2BE =，则tan ∠DBE 的值是( ) A ．12B ．2C ．52 D ．55二、填空题（每题3分，共24分）11.（2013·广东中考）在Rt △ABC 中， 90,3,4=︒==ABC AB BC ∠，则sin A =______. 12.（2013·陕西中考）比较大小：8cos 31︒35.（填“＞”“=”或“＜”）13.如图，小兰想测量南塔的高度，她在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m 至B 处，测得仰角为60°，那么塔高约为 _________ m.（小兰身高忽略不计，31732.≈）14.已知等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________．15.大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度，则两个坡角的和为 ．16.如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_ ．17.如图，在四边形ABCD 中，609069=︒==︒==A B D BC ,CD ∠,∠∠,,则AB =__________. 18.如图，在△ABC 中，已知324530,∠,∠AB B C ==︒=︒，则AC =________． 三、解答题 （本题共有7小题，共46分）ABC第9题图ACB第18题19．（5分）计算：(1)()42460sin 45cos 22+- ； （2）2330tan 3)2(0-+--.20．（5分）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若12sin 13A =,求cosA, sinB, cosB.21．（6分）等腰梯形的一个底角的余弦值是223，腰长是6，上底是22求下底及面积22．（6分）某工程队修建一条高速公路,在某座山处要打通一条东西走向的隧道AB(如图),为了预算造价,应测出隧道AB 的长,为此,在A 的正南方向1500米的C 处,测得∠ACB=620,求隧道AB 的长.(精确到1米,供选用的数:sin620=0.8829,cos620=0.4695,tan620=1.881,cot620=0.5317)23．（6分）已知tanA=2，求AA AA cos 5sin 4cos sin 2+-的值。

第一章解直角三角形 单元测试题（满分100分；时间：90分钟）一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ， ）1. 如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（ ）A.1，1，√2B.1，1，√3C.1，2，√3D.1，2，32. 如图，△ABC 中，∠B ＝90∘，BC ＝2AB ，则cos A ＝（ ）A.√52B.12C.2√55D.√553. 如图，在△ABC 中，∠C =90∘，sin A =35，则BC AC 等于（ ）A.34B.43C.35D.454. 在△ABC 中，∠C =90∘，如果tan A =34，那么sin B 的值等于（ ） A.53 B.35 C.54 D.455. cot β=√33，则锐角β等于（ ）A.0∘B.30∘C.45∘D.60∘6. 如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO=α，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为55cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（）A.(55+100tanα)cmB.(55+100sinα)cmC.(55+100cosα)cmD.以上答案都不对7. 如果某人沿坡度为1:3的斜坡向上行走a米，那么他上升的高度为（）A.√1010a米 B.√10a米 C.a3米 D.3a米8. 如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图（其中ABCD是矩形）．设∠ADO=α，彩电后背AD与前沿BC的距离为60cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（）A.(60+100sinα)cmB.(60+100cosα)cmC.(60+100tanα)cmD.(60−100sinα)cm9. 某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45∘，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60∘．问摩天轮的高度AB约是（）米（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）A.120B.117C.118D.119二、填空题（本题共计11 小题，每题3 分，共计33分，）10. 如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα>tanβ；②sinα>sinβ；③cosα>cosβ，正确的结论为________（填序号）．11. 如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A观测放置于B，C两处的标志物，数据显示点B在点A南偏东75∘方向20米处，点C在点A南偏西15∘方向20米处，则点B与点C的距离为________米．．AC上有一点E，满足AE:CE= 12. 如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan B=342:3．那么tan∠ADE的值是________．13. 如果在某建筑物的A处测得目标B的俯角为37∘，那么从目标B可以测得这个建筑物的A 处的仰角为________．14. 计算：sin60∘⋅cos30∘−tan45∘=________.15. 如图，要在宽AB为20米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD与灯柱BC成120∘角，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线（即O为AB的中点）时照明效果最佳，若CD=√3米，则路灯的灯柱BC高度应该设计为________米．（计算结果保留根号）．16. 茗茗在坡度为1:√3的坡面上走了100m，则茗茗上升了________m．17. 如图，我国一渔政船在A处，发现正东方向B处有一可疑船只，正以16海里/小时速度向西北方向航行，我渔政船立即往北偏东60∘方向航行，1.5小时后，在C处截获可疑船只，则我渔政船的航行路程AC=________海里(结果保留根号)．18. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，sin A=1，那么cos A＝________．219. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则sin A=________．20. 动手操作：今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三角形a的30∘角的那一头插入三角板b的圆洞内（如图2），则三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为________cm2（不计三角板的厚度）．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）−√3⋅tan30∘．21. 计算：cos245∘+cos302sin60+122. 已知电线杆AB直立于地面，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上．如果CD与地面成45∘，∠A=60∘，CD=4√2米，BC=(4√3−4)米，求电线杆AB的长．23. 某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45∘，底端D点的仰角为30∘，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为60∘（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度为多少米？24. 在旧城改造中，要拆除一烟囱AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在从离B点21米远的建筑物CD顶端C测得A点的仰角为45∘，到B点的俯角为30∘，问离B点30米远的保护文物是否在危险区内？(√3约等于1.732)25. 如图，已知“中国渔政310”船(A)在南海执行护渔任务，接到陆地指挥中心(P)命令，得知出事渔船(B)位于陆地指挥中心西南方向，位于“中国渔政310”船正南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心北偏西60∘方向，距离为80海里的地方．而“中国渔政310”船最大航速为20海里/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船接到命令后赶往渔船出事地点最少需要多少时间（结果保留根号）？26. 我区在修筑渭河堤防工程时，欲拆除河岸边的一根电线杆AB．如图，已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD=14米，该河岸的坡面CD的坡度为1:0.5，岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30∘，D、E之间的宽是2米，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将DE段封止？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）参考答案一、选择题（本题共计9 小题，每题 3 分，共计27分）1.【答案】B【解答】解：A、若三边为1，1，√2，由于12+12=(√2)2，则此三边构成一个等腰直角三角形，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以A选项错误；B、由1，1，√3能构成，此三边构成一个等腰三角形，通过作底边上的高可得到底角为30∘，顶角为120∘，所以这个三角形是“实验三角形”，所以B选项正确；C、若三边为1，2，√3，由于12+(√3)2=22，则此三边构成直角三角形，最小角为30∘，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以C选项错误；D、由1，2，3不能构成三角形，所以D选项错误．故选B．2.【答案】D【解答】∵∠B＝90∘，BC＝2AB，∴AC=√AB2+BC2=√AB2+(2AB)2=√5AB，∴cos A=ABAC =√5AB=√55．3.【答案】A【解答】解：∵sin A=35，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x；∴tan A=BCAC =ab=3x4x=34，故选A．4.【答案】D【解答】解：由tan A=34，可设∠A的对边是3k，∠A的邻边是4k．则根据勾股定理，斜边是5k．∴sin B=4．故选D．5.【答案】D【解答】解：∵cotβ=√33，β为锐角，∴β=60∘．故选D．6.【答案】B【解答】解：设OE、AD相交于F，则EF=55，在直角三角形AFO中，∵∠DAO=α，AO=100cm，∴OF=100sinα，∵EF=55，∴OE=55+100sinαOE=55+100sinα．故选B．7.【答案】A【解答】解：如图：根据题意得：AC=a，i=1:3，∴i=AECE =13．设AE=x米，则CE=3x米，∴AC=√AE2+CE2=√10x（米），∴√10x=a，解得：x=√1010a，∴AE=√1010a米．即他上升的高度为√1010a米．故选A．8.【答案】B【解答】解：∵△AOD是直角三角形，∴∠OAD+∠ODA=90∘，∵△AOF是直角三角形，∴∠OAD+∠AOF=90∘，∴∠AOF=∠ADO=α，在Rt△AOF中，OF=AO⋅cosα=100cosα，∵EF=CD=60cm，∴OE=EF+OF=(60+100cosα)cm．故选B．9.【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，由∠C=45∘，得AB=BC，在Rt△ABD中，∵tan∠ADB=tan60∘=ABBD，∴BD=ABtan60∘=√3=√33AB，又∵CD=50m，∴BC−BD=50，即AB−√33AB=50，解得：AB≈118．即摩天轮的高度AB约是118米．故选：C．二、填空题（本题共计11 小题，每题 3 分，共计33分）10.【答案】①②【解答】解：根据图形得：∠α>∠β，∴tanα>tanβ，sinα>sinβ，cosα<cosβ．∴①②正确．故答案为①②．11.【答案】20√2【解答】解：根据题意得：∠BAC=90∘，AB=AC=20米，在R t△ABC中，BC=√AC2+AB2=√202+202=20√2，故答案是：20√2．12.【答案】89【解答】解：作EF⊥AD于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，AD为高，∴∠B=∠C，∴tan C=34=ADDC设AD=3t，DC=4t，∴AC=√AD2+CD2=5t，而AE:CE=2:3，∴AE=2t，∵EF // CD，∴△AEF∽△ACD，∴EFCD =AFAD=AEAC，即EF4t=AF3t=2t5t，∴AF=65t，EF=85t，∴FD=AD−AF=95t，在Rt△DEF中，tan∠FDE=EFFD =85t95t=89∴tan∠ADE=89．故答案为89．13.【答案】37∘【解答】解：如图，∵某建筑物的A处测得目标B的俯角为37∘，∴目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37∘，故答案为：37∘14.【答案】−1 4【解答】解：sin60∘⋅cos30∘−tan45∘=√32⋅√32−1=−14.故答案为：−14.15.8√3【解答】解：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠ODC=∠B=90∘，∠P=30∘，OB=10米，CD=√3米，∴在直角△CPD中，DP=DC⋅tan60∘=3米，PC=CD÷sin30∘=2√3（米），∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90∘，∴△PDC∽△PBO，∴PDPB =CDOB，∴PB=PD⋅OBCD =3×10√3=10√3（米），∴BC=PB−PC=10√3−2√3=8√3（米）．故答案为：8√3．16.【答案】50【解答】解：根据题意画图：AB=100，tan B=ACBC =1√3，设AC=x，BC=√3x，则x2+(√3x)2=1002，解得x=50，答：茗茗上升了50m．故答案为：50．17.24√2【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D，垂足为D，∵在直角三角形BCD中，BC=16×1.5=24海里，∠CBD=45∘，∴CD=BC⋅sin45∘=24×√22=12√2海里，∴在直角三角形ACD中，AC=CDsin30∘=12√2×2=24√2海里，故答案为：24√2．18.【答案】√32【解答】∵在Rt△ABC中，∠C＝90∘，sin A=12，∴∠A＝30∘，∴cos A=√32．19.【答案】35【解答】解：如图所示：作CD⊥AB，则DC=3，AC=5，故sin A=DCAC =35．故答案为：35．20.【答案】 14.9【解答】解：如图，BC =4，∠BAC =30∘，作AD ⊥BC 于点D ，当点D 是BC 的中点时，△ABC 的面积最大，此时由中垂线的性质知，AB =AC ，∠B =75∘，S △ABC =12BC ⋅BD tan 75∘=12×4×2×3.732≈14.9cm 2．-----------------------故答案为：14.9三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）21.【答案】原式＝(√22)2+√322×√32+1−√3×√33=12+3−√34−1 =1−√34．【解答】原式＝(√22)2+√322×√32+1−√3×√33=12+3−√34−1 =1−√34．22.【答案】解：如图，延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥BE于F．∵在Rt△DCF中，∠CFD=90∘，∠DCF=45∘，CD=4√2，∴CF=DF=4．∵在Rt△DEF中，∠EFD=90∘，∠E=30∘，∴EF=DFtan∠E =4√33=4√3，∴BE=BC+CF+FE=4√3−4+4+4√3=8√3．∵在Rt△ABE中，∠B=90∘，∠E=30∘，∴AB=BE tan30∘=8√3×√33=8．故电线杆AB的长为8米．【解答】解：如图，延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥BE于F．∵在Rt△DCF中，∠CFD=90∘，∠DCF=45∘，CD=4√2，∴CF=DF=4．∵在Rt△DEF中，∠EFD=90∘，∠E=30∘，∴EF=DFtan∠E =4√33=4√3，∴BE=BC+CF+FE=4√3−4+4+4√3=8√3．∵在Rt△ABE中，∠B=90∘，∠E=30∘，∴AB=BE tan30∘=8√3×√33=8．故电线杆AB的长为8米．23.【答案】解：设楼高CE为x米，∵ 在Rt△AEC中，∠CAE=45∘，∴ AE=CE=x.∵ AB=20，∴ BE=x−20.在Rt△CEB中，CE=BE⋅tan60∘=√3(x−20)，∴√3(x−20)=x，解得：x=30+10√3（米）.=10√3+10，在Rt△DAE中，DE=AE⋅tan30∘=(30+10√3)×√33∴ CD=CE−DE=30+10√3−(10√3+10)=20(米)．答：大楼部分楼体CD的高度为20米．【解答】解：设楼高CE为x米，∵ 在Rt△AEC中，∠CAE=45∘，∴ AE=CE=x.∵ AB=20，∴ BE=x−20.在Rt△CEB中，CE=BE⋅tan60∘=√3(x−20)，∴√3(x−20)=x，解得：x=30+10√3（米）.=10√3+10，在Rt△DAE中，DE=AE⋅tan30∘=(30+10√3)×√33∴ CD=CE−DE=30+10√3−(10√3+10)=20(米)．答：大楼部分楼体CD的高度为20米．24.【答案】文物在危险区内．解：在Rt△AEC中，∠ACE=45∘，则CE=EA，∵DB=CE=21m，∴DB=EA=21m，在Rt△CEB中，∠BCE=30∘，则tan30∘=BE，即BE=EC tan30∘，EC=7√3m，∴BE=21×√33∴AB=AE+EB=(21+7√3)m，∵AB=(21+7√3)>30，∴文物在危险区内．【解答】此题暂无解答25.【答案】“中国渔政310”船接到命令后赶往渔船出事地点最少需要(2+2√3)小时．【解答】解：过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△APD中，∵AP=80海里，∠APD=90∘−60∘=30∘，AP=40海里，PD=√3AD=40√3海里．∴AD=12在Rt△BDP中，PD=40√3海里，∠B=45∘，∴BD=PD=40√3海里，∴AB=AD+BD=(40+40√3)海里，=2+2√3（小“中国渔政310”船接到命令后赶往渔船出事地点最少需要的时间为40+40√320时）．26.【答案】解：∵i=1:0.5，CF=2米=2，∴tan∠CDF=CFDF∴DF=1米，BG=2米，∵BD=14米，∴BF=GC=15米．=5√3≈8.66（米），在Rt△AGC中，AG=15tan30∘=15×√33∴AB=AG+BG=8.66+2=10.66米，BE=BD−DE=14−2=12（米），∵10.66<12，∴没有必要封止DE．【解答】解：∵i=1:0.5，CF=2米=2，∴tan∠CDF=CFDF∴DF=1米，BG=2米，∵BD=14米，∴BF=GC=15米．=5√3≈8.66（米），在Rt△AGC中，AG=15tan30∘=15×√33∴AB=AG+BG=8.66+2=10.66米，BE=BD−DE=14−2=12（米），∵10.66<12，∴没有必要封止DE．。

第一章 解三角形章末检测（B ）新人教A 版必修5(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π32．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π33.在△ABC 中，已知||＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →²AC →等于( )A ．－2B ．2C ．±4D ．±24．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 25．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( )A.85B.58C.53D.356．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x < 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5 D ．23<x <2 57．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )A ．－223 B.223C ．－63 D.638．下列判断中正确的是( )A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解B ．△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解 9．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是( )A.34B.32C.3或32D.32或3410．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C为( )A. 3 B ．1 C.33 D.3211．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 12．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( ) A ．60° B ．45°或135°13．在△ABC 中，若sin A a＝cos Bb，则B ＝________.14．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________．15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，H 、G 、B 三点在同一条直线上，在G 、H 两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB.18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sin A.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.19．(12分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．20．(12分)为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．21．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．22．(12分) 如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．第一章 解三角形 章末检测 答案 (B)1．B [∵a >b >c ，∴C 最小．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋32－122³2³3＝32，又∵0<C <π，∴C ＝π6.]2．B [∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0. ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝12，又∵0<C <π，∴C ＝π3.]∴||²|AC →|²sin A ＝12³4³1³sin A ＝ 3. ∴sin A ＝32.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°或120°.²AC →＝|AB →|²|AC →|cos A＝4³1³cos A ＝±2.] 4．D [由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin C ＝c ²sin B b ＝2sin 120°6＝12，∵c <b ，∴C 为锐角．∴C ＝30°，∴A ＝180°－120°－30°＝30°. ∴a ＝c ＝ 2.]5．D [由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC ²cos A ， 即72＝52＋AC 2－10AC ²cos 120°，∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.]6．D [由题意，x 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧22＋42－x 2>022＋x 2－42>0解得：23<x <2 5.]7．D [由正弦定理得15sin 60°＝10sin B.∴sin B ＝10²sin 60°15＝33.∵a >b ，A ＝60°，∴B <60°. ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－332＝63.]8．B [A ：a ＝b sin A ，有一解； B ：A >90°，a >b ，有一解； C ：a <b sin A ，无解；D ：c >b >c sin B ，有两解．]9．D [由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos B ，∴12＝(3)2＋BC 2－2³3³BC ³32.整理得：BC 2－3BC ＋2＝0. ∴BC ＝1或2.当BC ＝1时，S △ABC ＝12AB ²BC sin B ＝12³3³1³12＝34.当BC ＝2时，S △ABC ＝12AB ²BC sin B ＝12³3³2³12＝32.]10．C [由S △ABC ＝12BC ²BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos B ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形， 其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.]11．C [由已知，得cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2， 又|cos(A －B )|≤1，|sin(A ＋B )|≤1， 故cos(A －B )＝1且sin(A ＋B )＝1， 即A ＝B 且A ＋B ＝90°，故选C.] 12．B [由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2a 2＋2b 2c 2，得cos 2C ＝a 2＋b 2－c 22ab2＝a 4＋b 4＋c 4＋2a 2b 2－2c 2a 2－2b 2c 24a 2b 2＝12⇒cos C ＝±22.∴角C 为45°或135°.]13．45°解析 由正弦定理，sin A a ＝sin Bb.∴sin B b ＝cos Bb.∴sin B ＝cos B .∴B ＝45°.14．10 3解析 设AC ＝x ，则由余弦定理得： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC cos A ，∴49＝25＋x 2－5x ，∴x 2－5x －24＝0. ∴x ＝8或x ＝－3(舍去)．∴S △ABC ＝12³5³8³sin 60°＝10 3.15．8 6解析 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝64³32＝326，∴v ＝MN4＝86(海里/小时)．16.33解析 由(3b －c )cos A ＝a cos C ，得(3b －c )²b 2＋c 2－a 22bc＝a ²a 2＋b 2－c 22ab，即b 2＋c 2－a 22bc ＝33，由余弦定理得cos A ＝33.17．解 在△ACD 中，∠DAC ＝α－β， 由正弦定理，得AC sin β＝DCα－β，∴AC ＝a sin βα－β∴AB ＝AE ＋EB ＝AC sin α＋h ＝a sin βsin αα－β＋h .18．解 (1)∵a ＝2b sin A ，∴sin A ＝2sin B ²sin A ，∴sin B ＝12.∵0<B <π2，∴B ＝30°.(2)∵a ＝33，c ＝5，B ＝30°. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(33)2＋52－2³33³5³cos 30°＝7. ∴b ＝7.19．解 (1)在△POC 中，由余弦定理， 得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ²OC ²cos θ ＝5－4cos θ， 所以y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12³1³2sin θ＋34³(5－4cos θ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋534.(2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.答 四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.20．解 ①需要测量的数据有：A 点到M 、N 点的俯角α1、β1；B 点到M 、N 点的俯角α2、β2；A 、B 的距离d (如图所示)．②第一步：计算AM ，由正弦定理AM ＝d sin α2α1＋α2；第二步：计算AN .由正弦定理AN ＝d sin β2β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ³AN α1－β1. 21．解 (1)由余弦定理及已知条件得 a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，由此得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理及已知条件得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.22．解 ∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ， ∠OCP ＝120°.在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CPsin θ，∴2sin 120°＝CP sin θ，∴CP ＝43sin θ.又OC －θ＝2sin 120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．因此△POC 的面积为S (θ)＝12CP ²OC sin 120°＝12²43sin θ²43sin(60°－θ)³32 ＝43sin θsin(60°－θ)＝43sin θ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32cos θ－12sin θ ＝2sin θ²cos θ－23sin 2θ＝sin 2θ＋33cos 2θ－33＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－33∴θ＝π6时，S (θ)取得最大值为33.。

第1章 解三角形§1.1正弦定理、余弦定理重难点：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题．考纲要求：①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．经典例题：半径为R 的圆外接于△ABC ，且2R(sin 2A-sin 2C)＝(3a-b)sinB ．(1)求角C ；(2)求△ABC 面积的最大值．当堂练习：1．在△ABC 中，已知a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= ( )(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15° 2．在△ABC 中，若a=2, b=2 2 , c= 6 + 2 ,则∠A 的度数是 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 3．在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a+b+c)·(a+b －c)=3ab, 则∠C=( )(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° 4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )(A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150° 5．在△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )(A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定 6．在平行四边形ABCD 中，AC= 3 BD, 那么锐角A 的最大值为 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 7. 在△ABC 中，若cos2a A =cos2b B =cos2c C ，则△ABC 的形状是 ( )(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形 8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定 9．在△ABC 中，若a=50，b=25 6 , A=45°则B= .10．若平行四边形两条邻边的长度分别是4 6 cm 和4 3 cm ，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 .11.在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。

解三角形章末检测卷 (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.在△ABC 中，a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，则△ABC 的形状是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形2.在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.(152，＋∞) B.(10，＋∞) C.(0,10)D.(0，403]3.在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.53B.54C.55 D.564.已知△ABC 的外接圆的半径是3，a ＝3，则A 等于( ) A.30°或150° B.30°或60° C.60°或120° D.60°或150°答案 A5.在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形 6.在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A.2 5 B. 5 C.25或 5D.以上都不对7.已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A.(2，＋∞) B.(－∞，0) C .(－12，0)D.(12，＋∞) 8.△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )A.92B.92C.92D.9 2 9.在△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin C cos B ＋cos C ，则△ABC 为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形10.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形11.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A.a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B.b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C.a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D.a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解12.在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21B.106C.69D.154二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C ＝________.14.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.15.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边.若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.16.太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b 、c 的值.18.(12分)如图，已知A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB 与BC 各等于1 km ，从三点分别遥望塔M ，在A 处看见塔在北偏东45°方向，在B 处看见塔在正东方向，在C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路ABC 的最短距离.19.(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos A ＝45.(1)求sin 2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积S 为3，求a .20.(12分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值.21.(12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2). (1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积.22.(12分)如图所示，一船在海上由西向东航行，测得某岛M 在A 处的北偏东α角，前进4 km 后，测得该岛在B 处的北偏东β角，已知该岛周围3.5 km 范围内有暗礁，现该船继续东行.(1)若α＝2β＝60°，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B 处向东航行多少距离会有触礁危险？ (2)当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？答案1.答案 B解析 原式可化为a sin A ＝b sin B ，由正弦定理知a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形. 2.答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C .∴0<c ≤403. 3.答案 B解析 由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54. 4.答案 A解析 根据正弦定理得a sin A ＝2R ，sin A ＝a 2R ＝12， ∵0°<A <180°，∴A ＝30°或150°. 5. 答案 C解析 由cos A cos B >sin A sin B ， 得cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角. 6. 答案 C解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴5＝15＋c 2－215×c ×32. 化简得c 2－35c ＋10＝0，即(c －25)(c －5)＝0， ∴c ＝25或c ＝ 5. 7. 答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m >0)，∵⎩⎨⎧a ＋b >c ，a ＋c >b ，即⎩⎨⎧m (2k ＋1)>2mk ，3mk >m (k ＋1)， ∴k >12.8. 答案 B解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3. 设cos θ＝13，则sin θ＝1－cos 2θ＝223. ∴2R ＝3sin θ＝3223＝924.9. 答案 C解析 由已知得cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin Csin A，由正弦、余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＋a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋ca ，即a 2(b ＋c )－(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)＝bc (b ＋c ) ⇒a 2＝b 2＋c 2， 故△ABC 是直角三角形. 10. 答案 D解析 △A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0， 则△A 1B 1C 1是锐角三角形， 若△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎨⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin (π2－A 1)，sin B 2＝cos B 1＝sin (π2－B 1)，sin C 2＝cos C 1＝sin (π2－C 1)得⎩⎨⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，那么A 2＋B 2＋C 2＝π2，矛盾，若△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π2，则cos A 1＝sin A 2＝1，A 1＝0，矛盾. 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形. 11. 答案 D 解析 A 中，∵a sin A ＝b sin B， ∴sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解； B 中，∵sin C ＝20sin 60°18＝539，且c >b ， ∴C >B ，故有两解；C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2， ∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解，故A 、B 、C 都不正确，用排除法应选D. 12. 答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ，①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC ， 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ，②①＋②得72＋62＝42＋42＋12a 2，所以a ＝106.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.答案13解析 由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0， 得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab2ab ＝13，所以cos C ＝13.14.答案2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3. 15.答案 1解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B . ∴B ＝π3.由正弦定理知，sin A ＝a sin B b ＝12.又a <b .∴A ＝π6，C ＝π2.∴sin C ＝1.16.答案36解析 如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°， AB ＝1 (km). 由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223(km). 设C 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km).三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.解 (1)∵cos B ＝35>0,0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a b sin B ＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝45c ＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.18.解 由题意∠CMB ＝30°，∠AMB ＝45°， ∵AB ＝BC ＝1，∴S △MAB ＝S △MBC ， 即12MA ·MB ·sin 45°＝12MC ·MB ·sin 30°， ∴MC ＝2MA ，在△MAC 中，由余弦定理得 AC 2＝MA 2＋MC 2－2MA ·MC ·cos 75°， ∴MA 2＝43－22cos 75°，设M 到AB 的距离为h ，则由△MAC 的面积得 12MA ·MC ·sin 75°＝12AC ·h ， ∴h ＝2MA 22·sin 75°＝22·43－22cos 75°·sin 75°＝7＋5313(km). 答 塔到直路ABC 的最短距离为7＋5313km. 19.解 (1)sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos 2A＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1＝5950. (2)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35.由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12×2c ×35，解得c ＝5.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得 a 2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a ＝13.20.解 (1)在△ABC 中，由正弦定理得 a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A ， ∴cos A ＝63. (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63，则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾.∴c ＝3舍去.故c 的值为5. 21.(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ， 由正弦定理得a 2＝b 2，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形.(2)解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0.∴ab ＝4(ab ＝－1舍去)， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.22.解 (1)如图，作MC ⊥AB ，垂足为C ，由已知α＝60°，β＝30°， ∴∠ABM ＝120°，∠AMB ＝30°， ∴BM ＝AB ＝4，∠MBC ＝60°， ∴MC ＝BM ·sin 60°＝23<3.5， ∴该船有触礁的危险.设该船自B 向东航行至点D 有触礁危险，连接MD ， 则MD ＝3.5，BM ＝4，BC ＝2，MC ＝23， 在△MDC 中，CD ＝ 3.52－(23)2＝0.5， ∴BD ＝1.5 (km).∴该船自B 向东航行1.5 km 会有触礁危险. (2)设CM ＝x ，在△MAB 中，AB sin ∠AMB ＝BMsin ∠MAB，即4sin (α－β)＝BM cos α，BM ＝4cos αsin (α－β)， 而x ＝BM ·sin ∠MBC ＝BM ·cos β＝4cos αcos βsin (α－β)，∴当x >3.5，4cos αcos βsin (α－β)>72，即cos αcos βsin (α－β)>78时，该船没有触礁危险.。