【精编】2017-2018年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一(上)数学期中试卷带解析答案

2018学年“七彩阳光”联盟第二学期期中卷高一数学一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分1.化简：=--CB DC AB A.ADB.ACC.DAD.DB2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1264=+a a ，则9S 的值是A.36B.48C.54D.643.向量)5,4(-=a ，)1,(λ=b ，若b b a //)(-，则λ的值是A.45-B.34-C.54-D.2-4.已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g ，则A.)()(x g x f +是奇函数 B.)()(x g x f ⋅是奇函数C.)()(x g x f ⋅是偶函数D.)()(x g x f ⋅是偶函数5.函数)2(log )(23x x x f -=的单调递增区间是A.),1(+∞ B.),2(+∞ C.)1,(-∞ D.)0,(-∞6.函数1tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域是A.2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B.4,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D.,8x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭7.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,c a b ，已知ABC ∆的面积为1sin sin sin 2S A B C =，则ABC ∆外接圆半径的大小是A.14B.12C.1D.28.将函数2sin y x =的图象经过何种变换可得到1sin cos 2y x x =+的图象A.向右平移2π个单位长度 B.向左平移2π个单位长度C.向右平移4π个单位长度 D.向左平移4π个单位长度9.已知,a b 是两个单位向量，与,a b 共面的向量c满足()20c a b c a b -+⋅+⋅= ，则c 的最大值为A.22B.2C.2D.110.如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为75︒的扇形，点,,A B C 分别是半径,OP OQ 及扇形弧上的三个动点（不同于,,O P Q 三点）.则ABC ∆周长的最小值是A.612+ B.622+C.2614+ D.2624+二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知数列{}n a 的首项()1+1=1=1+nn na a a n N a *∈，，4a =，猜想其通项公式为n a =.12.已知函数已知函数32,1()log ,1x x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则((2))f f =，若()27f a =-则实数a =.13.已知正方形ABCD 的边长为2，点,M N 分别是,BC CD 的中点,若MN x AB y AD =+，则xy =，AM MN =14.知正如图，在ABC ∆中，90C ∠= ,内角平分线77,sinB 18AD ==,则cos CAD ∠=,15.已知向量,a b 的夹角为3π，(4,3),10a a b =-∙=- 则b =.16.实数,x y 满足2cos 21x y +=，则cos x y +的取值范围是.17.数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且[0,4],12019i a i ∈≤≤，设函数()3sin()42f x x ππ=-，若1232019()()()()0f a f a f a f a ++++= ，则1232019a a a a ++++=.三、解答题：本大题共5小题，共计74分18.（本小题满分14分）已知4cos 5α=-，且α为第二象限角.（1）求cos(2)2πα-的值；（2）求tan(2)4πα+的值.19.（本小题满分15分）已知向量(sin ,1),cos ),0a x b x ωωω==->，设函数()f x a b =⋅，且()f x 的最小正周期是π.（1）求ω的值；（2）求()f x 在区间[0,]π上的单调增区间.20.设函数()42,x a xf x a a R+=--∈（1）当2a =时，解不等式:()30f x >；（2）当(1,1)x ∈-时，()f x 存在最小值2-，求a 的值.21.已知等差数列{}n a 的前n 项和为3,7n S a =，且74a +是1S 与5S 的等差中项.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足sin2n n n a b a π=，求{}n b 的前n 项和n T .22.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos cos a c Cb B-=.（1）求角B 的值；（2）记cos()2sin sin A C z A C-+=+，求z 的取值范围.。

2016学年第二学期浙江“七彩联盟”新高考研究联盟期初联考高三年级数学学科试题命题：温岭市第二中学考生须知：1．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，请在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸。

参考公式：第I卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数z的对应点为(1,1)，则z2= ( )A. 2B.2iC.2D. 2+2i2. 命题p:x∈R且满足sin2x=1.命题q:x∈R且满足tanx=1.则p是q的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知实数x,y满足不等式组33030x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则2x−y的取值范围为（）A.[−1,3]B.[−3,−1]C.[−1,6]D. [−6,1]4.右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）A.34+65B.44+125C.34+63D.32+655.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0+∞, )单调递减，若实数 a 满足f(log 3a)+f(13log a )≥2f(1), 则a 的取值范围是（ ）A.(0,3]B.(0, ]C.[,3] D.[1,3]6.过双曲线的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的两条切线，切点分别为A,B ，双曲线左顶点为M ，若∠AMB=1200，则该双曲线的离心率为（ ） A.2 B.3 C. 3 D.27.在∆ABC 中，BC=7,AC=6,cosC=267.若动点P 满足，(λ∈R)，则点P 的轨迹与直线BC,AC 所围成的封闭区域的面积为（ ） A. 5 B. 10 C.26 D.46 8.已知f(x)=，且g(x)= f(x)+2x有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,+∞) B. [1,+∞) C. (0, ) D.(0,1]9.已知数列{a }满足a =43，a n+1−1=a n 2−a n (n ∈N*)，则m= 的整数部分是（ ）A. 1B. 2C. 3D.4 10.已知函数 f(x)=x+2bx+a,x ∈[a,+∞)，其中a>0，b ∈R ，记m(a,b)为 f(x)的最小值，则当m(a,b)=2时，b 的取值范围为（ ） A. b> B.b< C.b> D.b<第II 卷二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11.已知全集为R ，集合A={y|y=3x ,x ≤1}，B={x|x 2−6x+8≤0}，则A ∪B=__________ A ∩C R B=_________.12.已知数列{}n a 的前n 项和Sn=n 2 +2n−1(n ∈N* )，则a 1= ；数列{}n a 的通项公式为a n = .13.有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分.已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为.假设每题答对与否相互独立，记ξ为该考生答对的题数，η为该考生的得分，则P(ξ=9)=__________,Eη=__________（用数字作答）.14.若sin(π+x)+cos(π+x)=，则sin2x= ，= .15.已知直线2x+my−8=0与圆C:(x−m)2+y2=4相交于A、B两点，且∆ABC为等腰直角三角形，则m= ．16.若正数a,b,c满足，则的最小值是.17.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=3，将∆ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在[]内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为.三、解答题：本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.（本题满分14分）已知函数f(x)=2sinxcosx+23cos2x−3.（I）求函数f(x)的单调减区间；（II）已知∆ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c，其中b=2,若锐角A满足f()= 3，且，求边c的取值范围.19.（本题满分15分）等腰∆ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使二面角P−AE−C的大小为120°，设点P在面ABE上的射影为H.（I）证明：点H为BE的中点；（II）若AB=AC=22,AB⊥AC，求直线BE与平面ABP所成角的正切值.20．（本题满分15分）已知f(x)=|x|(x2−3t)(t∈R).（I）当t=1时，求f(x)的单调递增区间；（II）设g(x)=|f(x)|(x∈[0,2]),求g(x)的最大值F(t).21.（本题满分15分）椭圆C1 : =1(a>b>0)的右焦点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合， 曲线C 1与C 2相交于点().（I ）求椭圆C 1的方程；（II ）过右焦点F 2的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 1交于A 、C 两点，线段AC 的中点为G ，连接OG 并延长交椭圆C1于B 点（O 为坐标原点），求四边形OABC 的面积S 的最小值.22.（本题满分15分）已知数列{}n a 满足a 1=3，a n+1=a n 2+2a n ，n ∈N* ， 设b n =log 2(a n +1). （I ）求{a n }的通项公式； （II ）求证：1+<n(n ≥2)；（III ）若2n c=b n ，求证：2≤1()nn nc c +<3. 2016学年第二学期浙江“七彩联盟”新高考研究联盟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.B2.C3.C4.A5.C6.D7.A8.A9.B 10.D二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11.]4,0(、 )2,0( 12.2、⎩⎨⎧≥+=2,121,2n n n 13. 92, 32 14.43-、328-15. 142或 16.2171+ 17.π123三、解答题：本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18.（本题满分14分）解：（1）3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f )32sin(22cos 32sin )(π+=+=∴x x x x f 3分时，解得当Z k k x k ∈+≤+≤+∴,2233222πππππ Z k k x k ∈+≤≤+,12712ππππ 6分因此，函数)(x f 的单调减区间为)](127,12[Z k k k ∈++ππππ 7分（2）由3)62(=-πA f 且角A 为锐角得：3π=A 9分又由正弦定理CcB b sin sin =及2=b 得 BB B B B B A BC c tan 31sin cos 3sin sin )sin 2sin sin 2+=+=+==（ 12分34ππ≤≤B 312+≤≤∴c 14分19．（本题满分15分）解：（Ⅰ）依题意，AE BC ⊥，则AE EB ⊥，AE EP ⊥，EB EP E ⋂=. ∴AE ⊥面EPB .故CEP ∠为二面角C AE P --的平面角，则点P 在面ABE 上的射影H 在EB 上.由120CEP ∠=︒得60PEB ∠=︒.………………………………………………………………3分 ∴1122EH EP EB ==. ∴H 为EB 的中点. ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）（法一：）过H 作HM AB ⊥于M ，连PM ，过H 作HN PM ⊥于N ，连BN ， 则得AB ⊥面PHM .即面PHM ⊥面PAB ， ∴HN ⊥面PAB .故HB 在面PAB 上的射影为NB .∴HBN ∠为直线BE 与面ABP 所成的角.………………………………9分 依题意，122BE BC ==.112BH BE ==. 在HMB △中，2HM =, 在EPB △中，3PH =, ∴在PHM Rt △中，21HN =. ∴21217sin HN HBN HB ∠==.…………………………………………………………13分 23tan =∠HBN .23所成角的正切值为与平面直线ABP BE ∴………………………………15分 （法二：）分分，中，在的距离，到平面为其中15 (2)3tan 13 (721)sin 72123222131722131222,sin =∴=∴=∴⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯∴===∆=--αααh h V V BP AP ABP ABP E h BEhABE P ABP E.23所成角的正切值为与平面直线ABP BE ∴ （法三：）如图，分别以EA,EB 所在直线为x,y 轴，以过E 点且平行于PH 的直线为Z 轴建立空间直角坐标系。

绝密★考试结束前2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟期中联考高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{A x y ==，{}23100B x xx =+-≥，则A B = （）A.[)1,+∞ B.[]1,2 C.[)2,+∞ D.(][),52,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为集合{{}1A x y x x ===≥，{}23100B x x x =+-≥={|2x x ≥或}5x ≤-，所以A B = [)2,+∞，故选：C2.已知复数z 满足()1i 12i z +=-，则z 的虚部为（）A.3i 2- B.32-C.12-D.1i2-【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，再判断其虚部即可.【详解】因为()1i 12i z +=-，所以()()()()212i 1i 12i 1i 2i 2i 13i 1i 1i 1i 222z -----+====--++-，所以z 的虚部为32-.故选：B3.下列函数在(),0∞-上单调递增的是（）A.32y x = B.23y x = C.53y x = D.11y x =-+【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数与反比例函数的定义及性质逐一判断即可.【详解】由于函数32y x =的定义域为[0,)+∞，不符合已知条件，故A 不符合题意；根据幂函数的性质得函数23y x =在(,0)-∞单调递减，故B 不符合题意；根据幂函数的性质得函数53y x =在(,0)-∞单调递增，故C 符合题意；由于11y x =-+是1y x=-向左平移1个单位得到，所以11y x =-+在(,1),(1,)-∞--+∞单调递增，故D 不符合题意，故选：C.4.如图是ABC 用斜二测画法得到的直观图A B C ''' ，2,A B A C B C ''''''===，A C x '''∥，其中D ¢是A B ''的中点，则在原图中最长的是（）A.BCB.BAC.CAD.CD【答案】B 【解析】【分析】根据数量关系画出原图，在原图中比较长度即可.【详解】因为在直观图中，2,A B A C B C ''''''===，所以222A B A C B C ''''''+=，所以90B A C '''∠= 且45B C A '''∠= ，所以B C y '''∥.作出原图，如图所示.在原图中，2,4AC BC ==，90BCA ∠=o ，所以AB ==，又因为D 为AB 中点，所以12CD AB ==所以原图中最长的是BA .故选：B.5.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin :sin :sin 2A B C =，且ABC 的最短边与最长边的长度和为6，则ABC 的面积为（）A. B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理得出:::2a b c =，再根据最短边与最长边的长度和为6求出各边长，计算面积即可．【详解】因为sin :sin :sin 2A B C =，所以由正弦定理得:::2a b c =，所以最长边为c ，最短边为a ，设,,2(0)a x b c x x ===>，则36a c x +==，解得2x =，所以2,4a b c ===，由余弦定理22241683cos 02164a cb B ac +-+-===>，故B 为锐角，所以sin 4B ===，所以11sin 24224ABC S ac B =⋅=⨯⨯⨯= 故选：D ．6.已知向量a ，b 满足1a = ，()1,1b =，a b +=a 在b 上的投影向量的坐标为（）A.11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.()1,1D.,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的定义以及向量的坐标运算求解即可.【详解】因为(1,1)=b ，所以222||112b =+= ，又||1,a =把||a b +=两边平方得22||||25a b a b ++⋅= ，即1225a b ++⋅=，解得1a b ⋅=，所以a 在b 的投影向量坐标为2111(1,1),222||a b b b ⋅⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故选：A.7.下列各数中最大的数是（）A.122-B.64log 7C. D.sin 30︒【答案】A 【解析】【分析】首先得到121222-=>，641log 72<，1sin 302︒=，1lg112=，再比较6510与11的大小关系，即可得到122->.【详解】因为1212112222-==>，64641log 7log 82<=，1sin 302︒=，121lg11lg112==，又因为56656551010101000000⨯⎛⎫===⎪⎝⎭，511161051=，所以56551011⎛⎫>⎪⎝⎭，即651011>，所以656lg11lg105<=，61.4145≈>，所以161lg112252>⨯>，即122->故这个几个数最大的是122-.故选：A8.已知实数a，b，满足310ab+=（1b>），则131ba++的取值范围是（）A.()(),04,-∞⋃+∞ B.()4,+∞ C.(][),04,-∞+∞U D.[)4,+∞【答案】D【解析】【分析】借助已知可变形得1121311b ba b+=++-+-，借助基本不等式可求范围.【详解】根据已知310ab+=，可得13ab=-，则11121131111bb b b ba b bb+=+=+=++-+---，因为1b>，所以10b->，所以上式24≥+，当且仅当111bb=--，即2b=时等号成立，所以131ba++的取值范围是[)4,+∞.故选：D二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（）A.若A B>，则sin2sin2A B>B.若π6C=，2c=，则ABC外接圆的半径为2C.若2220a b c+-<，则ABC为钝角三角形D.若0OA OB OC ++=，则点O 是ABC 的重心【答案】BCD 【解析】【分析】利用特殊值判断A ，利用正弦定理判断B ，利用余弦定理判断C ，根据重心的定义判断D.【详解】对于A ：若π2A =，π4B =，满足A B >，但是sin 20A =，sin 21B =，故A 错误；对于B ：由正弦定理224πsin sin 6c R C ===，所以2R =，即ABC 外接圆的半径为2，故B 正确；对于C ：由余弦定理222cos 02a b c C ab+-=<，又()0,πC ∈，所以C 为钝角，故ABC 为钝角三角形，故C 正确；对于D ：取BC 中点D ，则2OB OC OD +=，又0OA OB OC ++= ，所以2OA OD =-，所以O 在中线AD 上，且2OA OD =，所以O 为ABC 的重心，故D正确；故选：BCD10.已知函数的定义域为x ∈R ，()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()2221f x x x =+-+，则下列说法正确的是（）A.当(]2,4x ∈时，()42823f x x x =+--B.当(]2,4x ∈时，()42421f x x x =+-+C.若对任意的(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的取值范围是13,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.若()()1244g x x x=-<-，则()()f x g x =有3个互不相等的实数根【答案】AC 【解析】【分析】由已知，可得()()22f x f x =-，从而可得当(]2,4x ∈时，()f x 的解析式，即可判断A ，B 选项；由函数()y f x =在(]0,2上的图象平移变换，结合()y f x =的图象，对任意的(],x m ∞∈-，都有()23f x ≥-，可得m 的取值范围，进而判断C 选项；由()g x 在(),4∞-上的单调性，作出函数()y f x =和()y g x =的图象，可得两函数交点个数，则可判断D 选项.【详解】当(]0,2x ∈时，()221252212212x f x x x x +=+-=+-++，因为(]0,2x ∈，所以(]211,5x +∈，所以2125512221222x x ++-≥-=+，当且仅当212221+=+x x ，即12x =时，等号成立，函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，即()()22f x f x =-，且当(]0,2x ∈时，()()2f x x x =-,当(]2,4x ∈时，2(0,2]x -∈，故()()()()2422222222822123f x f x x x x x =-=-+⨯-⨯=+--+-，故A 正确，B 错误；将函数()y f x =在(]0,2上的图象每次向右平移2个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍即可得函数在()()2,44,6 、，上的图象，同理可得函数()y f x =在(]0,2上的图象每次向左平移2个单位，再将纵坐标缩短为原来的12倍即可得函数在()()2,04,2--- 、，上的图象，作出函数()y f x =的图象，如图所示：由此可令()23f x =-，即有4228233x x +-=--，解得1213,36x x ==，又因为对任意的(],x m ∞∈-，都有()23f x ≥-，由图象可得13,6m ∞⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，故C 正确；因为()()1244g x x x=-<-，易知()g x 在(),4∞-上单调递增，且()()23133g f =-<-=，作出函数()y f x =和()y g x =的图象，如图所示：由此可得两函数只有一个交点，所以()()f x g x =只有1个实数根，故D 错误.故选：AC.11.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．如图在一个棱长为4的正方体中，111111B E B F B G a ===，121212A E A F A G a ===，……，()0,4a ∈，过111E FG 三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面．关于截面之间的位于正方体正中间的这个几何体，下列说法正确的是（）A.当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，边长为2B.当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，表面积是48+C.当此几何体为半正多面体时4a =-，或2a =D.当此几何体是半正多面体时，可能由正方形与正六边形围成【答案】BD 【解析】【分析】根据不同的半正多面体，a 取不同的数值，画出几何图形，并根据半正多面体的概念进行计算求解即可.【详解】由题意得，11E G =，1242E F a =-，对于A ，当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，42a =-，(24a +=，(4242a ===-A 错误；对于B ，当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，12420E F a =-=，所以2a =，表面积为26484⨯⨯=+，正确；对于C ，D ，当3a =时，如下图所示，此半正多面体是由正方形与正六边形围成，此时几何体也是半正多面体，故C 错误，D 正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查半正多面体的几何性质.本题关键点是根据a 取不同的数值，画出对应的几何图形，并根据半正多面体的概念进行计算.非选择题部分三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知z 为复数，且1z =，则i z +的最大值为__________．【答案】2【解析】【分析】设i z x y =+，由复数模的计算公式可解.【详解】设i ,R z x y x y ∈=+，，由于1z =，所以221x y +=，则i z +====由于11y -≤≤2=.故答案为：213.化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭______.【答案】1【解析】【分析】利用换底公式、对数的运算性质计算可得结果.【详解】原式()()()()22221515151515151515log 3log 9log 5log 5log 32log 3log 5log 5=+⋅+=+⋅+()21515log 3log 5=+()215log 151==.故答案为：1.14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（1弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+且3DF AF =，则可推出λμ+=___________.【答案】2021【解析】【分析】设2AB =，根据3DF AF =与120ADB ∠=︒，利用余弦定理求出22121DB =，82121AD =，设出AG =m ，DG =n ，利用勾股定理求出m 与n 的值，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出λ与μ的值，进而求出λμ+的值.【详解】设2AB =，DB AF x ==，则3DF x =，4AD x =，因为ABC 和DEF 是等边三角形，故120ADB ∠=︒，由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD =+-⋅⋅︒，解得：2121x =，故821421AD x ==，2121DB =，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，设AG =m ，DG =n ，则BG =2-m ，由勾股定理得：()2222222121221221m n m n ⎧⎛⎪+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：1274321m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直AB 的直线为y 轴建立直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，1243,721D ⎛ ⎝⎭，(3C ，则123,721AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0AB =uu u r ，(3AC = ，由AD AB AC λμ=+ 得：()(123,2,01,3721λμ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即12273321λμμ⎧+=⎪⎪=，解得：1621421λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2021λμ+=故答案为：2021四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知a 、b为单位向量，且夹角为60︒.（1）若()()a kb a b +⊥-，求k 的值；（2）若()R c a tb t =+∈ ，求c r的最小值.【答案】（1）1（2）32【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义，平面向量数量积的运算性质进行求解即可；（2）由模长公式、数量积公式以及二次函数的性质得出最小值.【小问1详解】由a 、b 为单位向量，且夹角为60︒，则1cos 602a b a b ⋅=︒=由已知()()a kb a b +⊥-，得()()22a kb a b a a b ka b kb +⋅-=-⋅+⋅-= 所以1k =【小问2详解】已知()R c a tb t =+∈，所以()22222c a tba tab t b=+=+⋅+ 221331242t t t ⎛⎫=++=++≥⎪⎝⎭c ∴的最小值为2.16.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()22sin A b c a =+-.（1）求角A 的大小；（2）若2cos a b B =，a =b a <，求BC 边上中线的长.【答案】（1）π3A =（2）2【解析】【分析】（1）直接用余弦定理化简，最后再用辅助角公式即可；（2）先利用正弦定理得到ABC 为直角三角行，在用勾股定理求解即可.【小问1详解】已知()22sin A b c a =+-，得222sin 2A b c a bc =+-+，由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，则sin 2cos 2A bc A bc =+由0bc ≠cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又()0,πA ∈，则ππ5π666A -<-<，ππ66A ∴-=，则π3A =【小问2详解】由2cos a b B =可得sin 2sin cos A B B =，则sin sin2A B =，由b a <，所以π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π6B =，ABC 为直角三角形因为a =1b =，2c =，则BC 2=.17.已知锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()cos m A A =，()2sin cos n C B B =- ，且m 与n共线．（1）求角A 的值；（2）若2b =，求a c -的取值范围．【答案】（1）6A π=（2）,13⎛-- ⎝【解析】【分析】（1）由m 与n共线，得到()sin cos cos sin 2sin sin 0A B A B C A +-=，法一：利用正弦定理和余弦定理求解；法二：利用两角和的正弦公式求解；（2）利用正弦定理得到sin 1sin sin b A a B B ==，cos sin B c B =，从而由1cos tan sin 2B B a c B --=-=-求解.【小问1详解】解：因为m 与n共线，()sin 2sin cos A B A C B --，)sin cos cos sin sin 0A B A B C A =+-=，法一：由正弦定理得cos cos 2sin 0a B b A c A +-=，又由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2b c a A bc+-=，∴2sin 0c c A -=，则1sin 2A =，又ABC 为锐角三角形，故π6A =．法二：由两角和的正弦公式得：()sin 2sin sin sin 2sin sin 0A B C A C C A +-=-=，因为sin 0C ≠，所以1sin 2A =，又ABC 为锐角三角形，故π6A =．【小问2详解】sin 1sin sin b A a B B==，52sin πsin cos cos 6sin sin sin sin B b C B B B c B B BB⎛⎫- ⎪+⎝⎭====，由于ABC 为锐角三角形，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5ππ062C B <=-<，解得ππ,32B ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以22sin 1cos 1cos 2tan sin sin sin 22cos sin22B B B B a c B B B B B -⎫-=-=--⎪⎭而ππ,264B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即tan ,123B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，∴a c -的取值范围为,13⎛-- ⎝．18.已知函数()f x 在R 上有定义，且()1f x +关于()1,0-中心对称，若()e e 1axax bf x -=+．（1）求实数b 的值；（2）若存在[],x m n ∈，使()f x 的值域为e ,e am ana a ⎡⎤⎣⎦，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1b =（2）03a <<-或1a =-【解析】【分析】（1）根据题意可知()f x 关于()0,0中心对称，结合奇函数的性质分析求解；（2）换元令e 0ax t =>，可得()()211f xg t t ==-+，分类讨论，结合函数单调性和最值分析求解.【小问1详解】因为()1f x +关于()1,0-中心对称，可知()f x 关于()0,0中心对称，且()f x 的定义域为R ，则()10011bf -==+，解得1b =，此时()e 1e 1ax ax f x -=+，且()()e 1e 1e 11e 0e 1e 1e 1e 1ax ax ax axax ax ax ax f x f x ------+-=+=+=++++，可知()f x 为奇函数，关于原点对称，即1b =符合题意，综上所述：1b =.【小问2详解】令e 0ax t =>，可得()()11221111t t f x g t t t t -+-====-+++，可知函数()g t 在()0,t ∈+∞单调递增，①当0a >时，e ,e amant ⎡⎤∈⎣⎦，则()e 1e 1,e 1e 1am an an an g t ⎡⎤--∈⎢++⎣⎦，可得e 1e e 1e 1e e 1am amam an anan a a ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可知e am ，e an 均为11t at t -=+的实根，即21at at t +=-有两个不相等的正根，等价于()2110at a t +-+=有两个不相等的正根，可得()20102Δ140a a aa a ⎧>⎪-⎪->⎨⎪⎪=-->⎩，解得03a <<-；②当a<0时，e ,e anamt ⎡⎤∈⎣⎦，则()e 1e 1,e 1e 1an am an am g t ⎡⎤--∈⎢++⎣⎦可得e 1e e 1e 1e e 1am anam an aman a a ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，即e 1e e e e 1e e e am an am an an am an ama a a a ⎧-=+⎨-=+⎩，可得()ee e e aman an am a -=-，则1a =-，可得()()ee 121mn --+=+，此方程能成立，即1a =-；③0a =，则e 1ax =，()0g t =，不合题意；综上所述：03a <<-或1a =-.19.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高.意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图是一个半径为R 的球体，平面ABC 与球相交，截面为圆B ，延长BO ，交球于点D ，则BO 垂直于圆B （BO 垂直于圆B 内的所有直线）.（1）若圆锥DB 的侧面展开图扇形的圆心角为10π5，求圆锥DB 的表面积和体积；（2）如图平面ABC 上方与球体之间的部分叫球冠，若45BO R =，请你利用祖暅原理求球冠的体积.【答案】（1）表面积为2910π25R +，体积为327π125R （2）314π375R 【解析】【分析】（1）利用圆心角等于弧长除以半径来计算，再结合直角三角形中的三角函数定义，即可计算得到35r R =，从而去求圆锥的高和母线长，最后利用表面积和体积公式即可求出结果；（2）利用祖暅原理，利用半球的体积与底面半径和高都等于球的半径的圆柱里面挖掉一个圆锥的体积相等，再利用球冠对应的部分体积转化到圆柱减去圆台的体积计算即可.【小问1详解】设BC r =，则22BO R r =-，由圆锥DB 的侧面展开图扇形的圆心角为105，则102ππ5rCD =，又因为10sin 10r BDC CD ∠==，则210310cos 11010BDC ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭，又因为2∠=∠BOC BDC ，所以103103sin sin 22sin cos 210105BOC BDC BDC BDC ∠=∠=∠⋅∠=⨯⨯，而sin r BOC R ∠=，所以35r R =，35Rr ∴=，则2245OB R r R =-=，即95BD R =，则22229811025255CD r BD R R =+=+所以圆锥DB 表面积：22333109910πππ55525DBS R R R R ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，圆锥DB 体积：2313927ππ355125DB V R R R ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】如右图构造一个与半球同底等高的圆柱，内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥,取同一高度h 的截面.令球冠截面半径为1r ，面积为1S 圆锥截面半径为2r ，面积为2S ，221r R h =-，()221S R hπ=-2222πr hr h S h R R=⇒=⇒=，212πS S R +=所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等.2222323114411161114πππππππ5355553255375V R R R R R R R R R ⎛⎫⎛⎫=⨯-++=-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。

2023-2024学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 1．已知空间向量a →=(−2，2，1)，b →=(1，0，m)，若a →⊥b →，则|b →|=（ ） A ．√5B ．3C ．4D ．52．若直线的倾斜角为60°，则该直线的一个方向向量是（ ） A ．(1，−√3)B ．(−√3，1)C ．(√3，1)D ．(1，√3)3．在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ） A ．12B ．23C ．13D ．164．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ．若|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的方程为（ ） A ．x 24+y 23=1 B ．x 23+y 2＝1 C ．x 22+y 2＝1 D ．x 24+y 2＝15．某企业两个分厂生产同一种电子产品，产量之比为3：2，现采用分层随机抽样方法，从两个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，由所得样品的测试结果计算出该产品的平均使用寿命分别为1000小时，1020小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为（ ） A ．1012小时B ．1010小时C ．1008小时D ．1006小时6．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件A ＝“第一次点数为偶数”，事件B ＝“第二次点数为3的倍数”，则（ ） A ．A 与B 是互斥事件B ．A 与B 是互为对立事件C ．P （A ∩B ）＝P （A ）P （B ）D ．P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）7．已知点M 是直线l 1：mx +ny +2n ＝0（m ，n ∈R ，m 2+n 2≠0）与l 2：nx ﹣my +4m ＝0的交点，则M 到直线l 3：√3x −y −1=0距离的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．92D ．68．已知焦点分别在x ，y 轴上的两个椭圆C 1，C 2，且椭圆C 2经过椭圆C 1的两个顶点与两个焦点，设椭圆C 1，C 2的离心率分别是e 1，e 2，则（ ）A ．e 12＜12且e 12+e 22＜1 B ．e 12＜12且e 12+e 22＞1 C ．e 22＜12且e 12+e 22＜1D ．e 22＜12且e 12+e 22＞1二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项9．某市为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100户居民用户某年的月均用水量（单位：t ），将数据按照[1，3），[3，5），[5，7），[7，9），[9，11），[11，13]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．则下列说法正确的是（ ）A ．图中a 的值为0.10B ．月均用水量的第60百分位数为8tC ．已知全市有10万户居民用户，估计月均用水量不足3t 的用户有1万户D ．月均用水量的平均值（精确到0.1）约为6.1t10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点G 为AB 的中点，点E 在BD 上，且BE =13BD ，点F 为BC 1的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．EF ∥平面AB 1D 1B ．DG ⊥GFC ．G ，E ，F ，B 1四点共面D ．三棱锥D ﹣GEF 的体积为11811．已知点P 在曲线C ：x 2+y 2﹣2x +2y ＝0上，点Q ，A （﹣2，0），B （0，2）三点共线，则（ ） A ．当直线PQ 与曲线C 相切时，|PQ |的最小值为2√2B ．满足AP ⊥BP 的点P 有且只有1个C ．当∠P AB 最大时，|PA|=2√2D ．当∠APB 最小时，|PA|=2√512．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，左右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆上的一个动点（异于A ，B 两点），且直线PF 1，PF 2的斜率均存在，则（ ）A ．当∠F 1PF 2的最大角为π2时，椭圆的离心率为√22B ．当∠F 1PF 2=π2时，△P AB 的面积为2√a 2−b2C ．直线PF 1，PF 2的斜率之积一定大于直线P A ，PB 的斜率之积D ．PF 1→⋅PF 2→＞PA →⋅PB →三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．甲、乙两人进行投篮练习，两人之间互不影响，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.8，则至少有一人投中的概率为 ．14．已知某组数据为4，7，8，10，11，则该组数据的方差为 ．15．设A （﹣3，0）和B （3，0），动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程为 ． 16．已知三棱锥P ﹣ABC 与Q ﹣ABC 是两个同底面的正三棱锥，且∠P AQ ＝90°，M 是BC 的中点，记异面直线PM ，QB 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 ．四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，AB ＝2，AA 1＝3，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →． （1）用向量a →，b →，c →表示AC 1→，并求|AC 1→| （2）求直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值． 18．（12分）已知直线l 1过点（1，1）和（﹣1，2）．（1）若直线l 2⊥l 1且在y 轴上的截距为﹣2，求直线l 2的方程；（2）若圆C 的圆心在y 轴上，半径为3，且直线l 1被圆C 截得的弦长为4，求圆C 的方程． 19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，平面PCD ⊥平面ABCD ，CD ＝2，CP =DP =√2，M 为AB 的中点．（1）求证：CP ⊥平面PDM ；（2）求平面PDM 与平面P AB 的夹角的余弦值．20．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）与圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝4有两个不同的交点D ，E ． （1）求r 的取值范围；（2）过直线DE 上的一点P （在线段DE 外的部分上），分别作圆O 与圆C 的一条切线，切点分别为A ，B ，问是否存在常数λ，使得|P A |＝λ|PB |恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过点（2，1），焦距为2√6，A ，B 是椭圆C 上不在坐标轴上的两点，且A ，B 关于坐标原点对称，设点P （0，2），直线P A 交椭圆于另一点M ，直线PB 交椭圆于另一点N ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记直线AB 与MN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．22．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB =AC =√5，BC ＝2，侧面BB 1C 1C 是正方形，二面角A ﹣BC ﹣B 1的大小是2π3．（1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）若点D 是线段AB 1上的一个动点，求直线BD 与平面ACC 1A 1所成角的最大值．2023-2024学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 1．已知空间向量a →=(−2，2，1)，b →=(1，0，m)，若a →⊥b →，则|b →|=（ ） A ．√5B ．3C ．4D ．5解：空间向量a →=(−2，2，1)，b →=(1，0，m)，a →⊥b →， 则﹣2+0+m ＝0，解得m ＝2，故b →=(1，0，2)，|b →|=√1+0+22=√5． 故选：A ．2．若直线的倾斜角为60°，则该直线的一个方向向量是（ ） A ．(1，−√3)B ．(−√3，1)C ．(√3，1)D ．(1，√3)解：直线的倾斜角为60°，则k =tan60°=√3=√31，故该直线的一个方向向量是（1，√3）． 故选：D ．3．在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ） A ．12B ．23C ．13D ．16解：设甲中奖为A 事件，乙中奖为B 事件，则P （B ）＝P （B |A ）P （A ）+P （B |A ）P （A ）=12×23+22×13=23． 故选：B ． 4．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ．若|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的方程为（ ） A ．x 24+y 23=1 B ．x 23+y 2＝1 C ．x 22+y 2＝1 D ．x 24+y 2＝1解：∵|BF 2|＝|F 1F 2|＝2， ∴a ＝2c ＝2， ∴a ＝2，c ＝1， ∴b =√3，∴椭圆的方程为x 24+y 23=1．故选：A ．5．某企业两个分厂生产同一种电子产品，产量之比为3：2，现采用分层随机抽样方法，从两个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，由所得样品的测试结果计算出该产品的平均使用寿命分别为1000小时，1020小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为（ ） A ．1012小时B ．1010小时C ．1008小时D ．1006小时解：由题意可知，该产品的平均寿命为23+2×1020+33+2×1000=1008．故选：C ．6．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件A ＝“第一次点数为偶数”，事件B ＝“第二次点数为3的倍数”，则（ ） A ．A 与B 是互斥事件B ．A 与B 是互为对立事件C ．P （A ∩B ）＝P （A ）P （B ）D ．P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）解：依题意，一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的基本事件有6×6＝36件，事件A 的基本事件有3×6＝18 件，事件B 的基本事件有6×2＝12件，事件A ∩B 的基本事件有3×2＝6件，事件A ∪B 的基本事件有3×6+3×2＝24件，所以 P(A)=1836=12，P(B)=1236=13，P(A ∩B)=618=16，P(A ∪B)=2436=23， 故P （A ∩B ）＝P （A ）P （B ），P （A ∪B ）≠P （A ）+P （B ）， 所以A 与B 不是互斥事件，更不是对立事件， 故ABD 错误，C 正确． 故选：C ．7．已知点M 是直线l 1：mx +ny +2n ＝0（m ，n ∈R ，m 2+n 2≠0）与l 2：nx ﹣my +4m ＝0的交点，则M 到直线l 3：√3x −y −1=0距离的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．92D ．6解：因为l 1：mx +ny +2n =0(m ，n ∈R ，m 2+n 2≠0)与l 2：nx ﹣my +4m ＝0， 所以l 1：mx +n （y +2）＝0与l 2：nx ﹣m （y ﹣4）＝0， 可得l 1，l 2必过点分别为A （0，﹣2），B （0，4）， 由mn +（﹣m ）n ＝0可知l 1，l 2垂直，垂足为M ，则MA ⊥MB ，可得M 在以AB 为直径的圆上，由A （0，﹣2），B （0，4）可知圆心C （0，1），半径r ＝|4﹣（﹣2）|＝3， 则圆心到l 3：√3x −y −1=0的距离d =3+1=1，所以M 到直线l 3：√3x −y −1=0距离的最大值为d +r ＝1+3＝4． 故选：B ．8．已知焦点分别在x ，y 轴上的两个椭圆C 1，C 2，且椭圆C 2经过椭圆C 1的两个顶点与两个焦点，设椭圆C 1，C 2的离心率分别是e 1，e 2，则（ ）A ．e 12＜12且e 12+e 22＜1 B ．e 12＜12且e 12+e 22＞1 C ．e 22＜12且e 12+e 22＜1D ．e 22＜12且e 12+e 22＞1解：因为焦点分别在x ，y 轴上的两个椭圆C 1，C 2，不妨设椭圆C 1对应的参数为a 1，b 1，c 1，椭圆C 2对应的参数为a 2，b 2，c 2， 因为椭圆C 2经过椭圆C 1的两个顶点与两个焦点， 所以a 2＝b 1，b 2＝c 1，此时e 12=1−b 12a 12，e 22=1−b 22a 22=1−c 12b 12=2−a 12b 12， 因为a 2＞b 2， 即b 1＞c 1，所以b 12＞c 12=a 12−b 12， 可得2b 12＞a 12，此时12＜b 12a 12＜1，1＜a 12b 12＜2，解得0＜1−b 12a 12＜12，0＜2−a 12b 12＜1， 即0＜e 12＜12，0＜e 22＜1，不妨令t =b 12a 12∈(12，1)，此时e12+e22=3−(b12a12+a12b12)=3−(t+1t)，易知函数y=t+1t在(12，1)上单调递减，所以e12+e22=3−(t+1t)∈(12，1)．故选：A．二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项9．某市为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100户居民用户某年的月均用水量（单位：t），将数据按照[1，3），[3，5），[5，7），[7，9），[9，11），[11，13]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．则下列说法正确的是（）A．图中a的值为0.10B．月均用水量的第60百分位数为8tC．已知全市有10万户居民用户，估计月均用水量不足3t的用户有1万户D．月均用水量的平均值（精确到0.1）约为6.1t解：对于A，因为（0.05×2+0.075×2+a+0.15）×2＝1，即a＝0.10，故A正确；对于B，[1，7）对应的频率为（0.05+0.075+0.1）×2＝0.45，[1，9）对应的频率为0.45+0.15×2＝0.75，所以第60百分位数在[7，9）内，不妨设为x，则0.45+（x﹣7）×0.15＝0.6，解得x＝8，故B正确；对于C，因为100户中月均用水量不足3t的用户频率为0.05×2＝0.1，所以估计10万户中有1万户，故C正确；对于D，月均用水量的平均值为（0.05×2+0.075×4+0.10×6+0.15×8+0.075×10+0.05×12）×2＝7.1，故D错误．故选：ABC．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G为AB的中点，点E在BD上，且BE=13BD，点F为BC1的中点，则下列结论正确的是（）A ．EF ∥平面AB 1D 1B ．DG ⊥GFC ．G ，E ，F ，B 1四点共面D ．三棱锥D ﹣GEF 的体积为118解：依题意，建立空间直角坐标系，如图，则D （0，0，0），A （1，0，0），C （0，1，0），B （1，1，0），B 1（1，1，1）， D 1（0，0，1），G(1，12，0)，F(12，1，12)，因为BE =13BD ，所以DE →=23DB →=23(1，1，0)=(23，23，0)，即E(23，23，0)，对于A ，EF →=(−16，13，12)，AB 1→=(0，1，1)，AD 1→=(−1，0，1)，设平面AB 1D 1的法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅AB 1→=b +c =0m →⋅AD 1→=−a +c =0，取c ＝1，则a ＝1，b ＝﹣1，故m →=(1，−1，1)， 所以EF →⋅m →=−16×1+13×(−1)+12×1=0，又EF ⊄平面AB 1D 1，所以EF ∥平面AB 1D 1，故A 正确；对于B ，DG →=(1，12，0)，GF →=(−12，12，12)，所以DG →⋅GF →=1×(−12)+12×12+0≠0， 所以DG ⊥GF 不成立，故B 错误；对于C ，GC →=(−1，12，0)，EC →=(−23，13，0)，则EC →=23GC →， 所以G ，E ，C 三点共线，又易知B 1，F ，C 三点也共线， 所以G ，E ，F ，B 1四点共面，故C 正确；对于D ，因为S △DGE =23S △DGB =23×12S △ABD =23×12×12×1×1=16， 又F 为BC 1的中点，所以F 到底面ABCD 的距离为12，所以三棱锥D ﹣GEF 的体积为V =13×16×12=136，故D 错误．故选：AC．11．已知点P在曲线C：x2+y2﹣2x+2y＝0上，点Q，A（﹣2，0），B（0，2）三点共线，则（）A．当直线PQ与曲线C相切时，|PQ|的最小值为2√2B．满足AP⊥BP的点P有且只有1个C．当∠P AB最大时，|PA|=2√2D．当∠APB最小时，|PA|=2√5解：如图，由C：x2+y2﹣2x+2y＝0可得圆心为（1，﹣1），半径为√2，当直线PQ与曲线C相切时，|PQ|最小即切线长最小，直线AB方程x﹣y+2＝0，圆心到直线的距离d=|1+1+2|√2=2√2，所以|PQ|minn=√d2−r2=√6，故A错误；以AB为直径的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2＝2，与圆C外切，如图，所以满足AP ⊥BP 的点P 有且只有1个，故B 正确； 当∠P AB 最大时，直线P A 与圆C 相切，且P 为切点，如图，因为|AC|=√10，所以|PA|=√|AC|2−r 2=2√2，故C 正确； 当∠APB 最小时，△P AB 的外接圆与圆C 内切，如图，此时，P 为切点，所以PC ⊥AB 且PC 平分AB ，故可得P （2，﹣2），故|P A |＝2√5，故D 正确． 故选：BCD ．12．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，左右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆上的一个动点（异于A ，B 两点），且直线PF 1，PF 2的斜率均存在，则（ ） A ．当∠F 1PF 2的最大角为π2时，椭圆的离心率为√22B ．当∠F 1PF 2=π2时，△P AB 的面积为2√a 2−b2C ．直线PF 1，PF 2的斜率之积一定大于直线P A ，PB 的斜率之积D ．PF 1→⋅PF 2→＞PA →⋅PB →解：对于选项A ：当∠F 1PF 2取最大时，顶点P 为上下顶点， 此时e =c a =cos π4=√22，故选项A 正确； 对于选项B ，当∠F 1PF 2=π2时，因为|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，可得2|PF 1|⋅|PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2−|PF 1|2+|PF 2|2=4b 2， 则△F 1PF 2的面积S ′=12|PF 1|⋅|PF 2|=b 2， 因为S △F 1PF 2=12|F 1F 2|⋅|y P |=c|y P |，所以|y P |=b2c，此时△P AB 的面积为S =12×2a ⋅|y P |=ab2√a 2−b，故选项B 正确；对于选项C ：不妨设P （m ，n ），因为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），A （﹣a ，0），B （a ，0）， 所以k PF 1⋅k PF 2=n m+c ⋅n m−c =n 2m 2−c 2，k PA ⋅k PB =n m+a ⋅n m−a =n 2m 2−a2，则k PF 1⋅k PF 2−k PA ⋅k PB =n 2m 2−c 2−n 2m 2−a 2=n 2(c 2−a 2)(m 2−c 2)(m 2−a 2)， 因为m 2＜a ，c 2＜a 2，无法确定m 2与c 2的大小关系，所以不能得到直线PF 1，PF 2的斜率之积一定大于直线P A ，PB 的斜率之积，故选项C 错误； 对于选项D ：易知PF 1→=(−c −m ，−n)，PF 2→=(c −m ，−n)，PA →=(−a −m ，−n)，PB →=(a −m ，−n)，所以PF 1→⋅PF 2→=m 2+n 2−c 2，PA →⋅PB →=m 2+n 2−a 2， 因为c 2＜a 2，所以PF 1→⋅PF 2→＞PA →⋅PB →，故选项D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．甲、乙两人进行投篮练习，两人之间互不影响，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.8，则至少有一人投中的概率为0.92．解：因为甲、乙两人进行投篮练习，两人之间互不影响，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.8，所以至少有一人投中的概率为P＝1﹣（1﹣0.6）（1﹣0.8）＝0.92．故答案为：0.92．14．已知某组数据为4，7，8，10，11，则该组数据的方差为6．解：依题意，x=4+7+8+10+115=8，所以s2=15×[（4﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]＝6．故答案为：6．15．设A（﹣3，0）和B（3，0），动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程为（x﹣5）2+y2＝16．解：A（﹣3，0），B（3，0），设M（x，y），由|MA|＝2|MB|，得√(x+3)2+y2=2√(x−3)2+y2，可得：（x+3）2+y2＝4（x﹣3）2+4y2，即x2﹣10x+y2+9＝0故动点M的轨迹方程为（x﹣5）2+y2＝16．故答案为：（x﹣5）2+y2＝16．16．已知三棱锥P﹣ABC与Q﹣ABC是两个同底面的正三棱锥，且∠P AQ＝90°，M是BC的中点，记异面直线PM，QB所成的角为θ，则cosθ的最大值为12．解：设AB＝BC＝AC＝6，△ABC的外心为O，连接PQ，AM，则P，O，Q三点共线，A，O，M三点共线，且AM⊥BC，PQ⊥BC，PQ⊥AM，过点O作ON∥BC，交AC于点N，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，则A(2√3，0，0 ），B （−√3，﹣3，0），C(−√3，3，0)，M(−√3，0，0)， 设P （0，0，b ）（b ＞0），Q （0，0，﹣c ）（c ＞0），则PM →=(−√3，0，−b)，BQ →=（√3，3，﹣c ），PA →=（2√3，0，﹣b ），QA →=（2√3，0，c ）， 由P A ⊥QA ，得PA →⋅QA →=12−bc =0，解得bc ＝12，即b =12c ， 又PM →⋅BQ →=bc −3=9，|PM →|=√3+b 2，|BQ →|=√12+c 2，则cosθ=|cos ＜PM →，BQ →＞|=|PM →⋅BQ →|PM||BQ →|=√3+b 2⋅√12+c 2=√3+12c 2⋅√12+c 2=√180+3c 2+12c 2，又√180+3c 2+123c 2≥√180+2√3c 2⋅123c 2=18，当且仅当3c 2=123c2，即c =2√6时等号成立， 所以√180+3c 2+123c2的最小值为18，所以√180+3c 2+123c2的最大值为12，即当b =√6，c =2√6时，cos θ取到最大值12．故答案为：12．四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，AB ＝2，AA 1＝3，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →． （1）用向量a →，b →，c →表示AC 1→，并求|AC 1→| （2）求直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值．解：（1）如图，AC 1→=a →+b →+c →，所以|AC 1→|＝|a →+b →+c →|=√a →2+b →2+c →2+2a →⋅c →+2b →⋅c →=√29，（2）因为A 1B →=a →−c →，所以|A 1B →|＝|a →−c →|=√a →2+c →2−2a →⋅c →=√7，所以AC 1→•A 1B →=（a →+b →+c →）•（a →−c →）=a →2−b →•c →−c →2＝4﹣2×3×12−9＝﹣8， 设直线AC 1与A 1B 所成角为θ， 所以cos θ＝|AC 1→⋅A 1B→|AC 1→|⋅|A 1B →|||√29⋅√7|8√203203， 所以直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值为8√203203．18．（12分）已知直线l1过点（1，1）和（﹣1，2）．（1）若直线l2⊥l1且在y轴上的截距为﹣2，求直线l2的方程；（2）若圆C的圆心在y轴上，半径为3，且直线l1被圆C截得的弦长为4，求圆C的方程．解：（1）直线l1过点（1，1）和（﹣1，2）．可知直线l1的斜率为：2−1−1−1=−12．直线l1的方程：x+2y﹣3＝0，直线l2⊥l1且在y轴上的截距为﹣2，直线l2的斜率为：2，所以直线方程为：y＝2x﹣2；（2）圆C的圆心在y轴上，设为（0，b），半径为3，且直线l1被圆C截得的弦长为4，直线l1的方程：x+2y﹣3＝0，可得，22＝32−(|2b−3|√1+4)2，即4＝9−(2+b√4+1)2，解得b＝4或b＝﹣1，所以圆C的方程：x2+（y﹣4）2＝9或x2+（y+1）2＝9．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，平面PCD⊥平面ABCD，CD＝2，CP=DP=√2，M为AB的中点．（1）求证：CP⊥平面PDM；（2）求平面PDM与平面P AB的夹角的余弦值．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴△ADB是等边三角形，AD＝2，DM=√3，∵M为AB的中点，∴DM⊥AB，又∵AB∥DC，∴DM⊥DC，又∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，DM⊂平面ABCD，∴DM⊥平面PCD，CP⊂平面PCD，∴DM⊥CP，∵CD =2，CP =DP =√2， ∴CD 2＝CP 2+DP 2，∴CP ⊥DP ， ∵DP ∩DM ＝D ，DP ，DM ⊂平面PDM ， ∴CP ⊥平面PDM ；（2）解：取CD 的中点E ，则由CP =DP =√2，所以PE ⊥DC ，DE ＝EC ＝EP ＝1，由（1）同理可证PE ⊥平面ABCD ，如图，以D 为原点，DM 为x 轴，DC 为y 轴，过D 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则M(√3，0，0)，P （0，1，1），B(√3，1，0)，C （0，2，0）， CP →=(0，−1，1)，MB →=（0，1，0），PB →=(√3，0，−1)， 由CP ⊥平面PDM ，得平面PDM 的法向量CP →=(0，−1，1)， 设平面P AB 的法向量m →=（a ，b ，c ）， 则有{m →⋅MB →=b =0m →⋅PB →=√3a −c =0， 令a ＝1，可得b ＝0，c =√3，则m →=(1，0，√3)， 则|cos ＜m →，CP →＞|=|m →⋅CP →||m →||CP →|=√32×√2=√64，所以平面PDM 与平面P AB 的夹角的余弦值为√64． 20．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）与圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝4有两个不同的交点D ，E ． （1）求r 的取值范围；（2）过直线DE 上的一点P （在线段DE 外的部分上），分别作圆O 与圆C 的一条切线，切点分别为A ，B ，问是否存在常数λ，使得|P A |＝λ|PB |恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：因为圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）与圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝4有两个不同的交点， 所以两圆相交，所以|r ﹣2|＜OC |＜r +2，且|OC |=√42+22=2√5， 即{|r −2|＜2√5r +2＞2√5，解得2√5−2＜r ＜2√5+2，所以r 的取值范围是（2√5−2，2√5+2）．（2）圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）与圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝4相减得： 8x ﹣16+4y ﹣4＝r 2﹣4，化简得直线DE 的方程为：y ＝﹣2x +4−r 24， 设点P （m ，n ），因为P A 与圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）相切， 所以在直角三角形P AO 中，|P A |2＝|PO |2﹣r 2，又点P 在直线DE 上，即n ＝﹣2m +4−r 24，所以|P A |2＝m 2+（﹣2m +4−r 24）﹣r 2＝5m 2+mr 2+16﹣16m ﹣3r 2+r 416， 同理可得，|PB |2＝|PC |2﹣4＝（m ﹣4）2+（n ﹣2）2﹣4＝（m ﹣4）2+（﹣2m +4−r 24−2）2﹣4＝5m 2+mr 2+16﹣16m ﹣3r 2+r 416，所以|P A |2＝|PB |2，即|P A |＝|PB |， 故存在常数λ＝1，使得|P A |＝λ|PB |恒成立 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过点（2，1），焦距为2√6，A ，B 是椭圆C 上不在坐标轴上的两点，且A ，B 关于坐标原点对称，设点P （0，2），直线P A 交椭圆于另一点M ，直线PB 交椭圆于另一点N ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记直线AB与MN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．解：（1）因为焦距为2√6，所以2c=2√6c=√6，因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过点（2，1），所以22a2+12b2=1，又因为a2＝b2+c2，联立可得a=2√2b=√2，所以椭圆C的标准方程为x28+y22=1．（2）证明：因为A，B是椭圆C上不在坐标轴上的两点，且A，B关于坐标原点对称，设A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），且不在坐标轴上，所以−2√2＜x0＜2√2，−√2＜y0＜√2，设直线P A：y＝k P A x+2，与椭圆的另一个交点M（x1，y1），联立椭圆与直线方程可得{x28+y22=1y=k PA x+2，消去y，得(4k PA2+1)x2+16k pA x+8=0，Δ=(16k P4)2−32(4k PA2+1)＞0，所以k PA2＞14，因为k PA=y0−2 x0，由韦达定理可得x0x1=84k PA2+1=84⋅(y0−2x0)2+1=8x02x02+4(y0−2)2，所以x1=8x0x02+4(y0−2)2，代入直线方程可得，y1=k P4x1+2=y0−2x0⋅8x0x02+4(y0−2)2+2=8(y0−2)+2x02+8(y0−2)2x02+4(y0−2)2，同理，设直线PB：y＝k PB x+2，与椭圆的另一个交点N（x2，y2），联立椭圆与直线方程可得{x28+y22=1y=k PB x+2，消去y，得(4k PB2+1)x2+16k PB x+8=0，Δ=(16k PB)2−32(4k PB2+1)＞0，所以k PB2＞14，因为k PB=−y0−2−x0=y0+2x0，由韦达定理可得−x0x2=84k PB2+1=84(y0+2x0)2+1=8x02+4(y0+2)2，所以x2=−8x0x02+4(y0+2)2，代入直线方程可得y2=k PB x2+2=y0+2x0⋅−8x0x02+4(y0+2)2+2=−8(y0+2)+2x02+8(y0+2)2x02+4(y0+2)2，因为直线AB与MN的斜率分别为k1，k2，所以k1=y0x0，k 2=y 2−y1x 2−x 1=−8(y 0+2)+2x 02+8(y 0+2)2x 02+4(y 0+2)2−8(y 0−2)+2x 02+8(y 0−2)2x 02+4(y 0−2)2−8x 0x 02+4(y 0+2)2−8x 0x 02+4(y 0−2)2， 化简可得k 2=y 0x 0⋅x 02+4y 02−16x 02+4y 02+16， 所以k 1k 2=x 02+4y 02+16x 02+4y 02−16，代入x 02=8−4y 02， 化简可得k 1k 2=x 02+4y 02+16x 02+4y 02−16=8−4y 02+4y 02+168−4y 02+4y 02−16=24−8=−3．故得证．22．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB =AC =√5，BC ＝2，侧面BB 1C 1C 是正方形，二面角A ﹣BC ﹣B 1的大小是2π3．（1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）若点D 是线段AB 1上的一个动点，求直线BD 与平面ACC 1A 1所成角的最大值．解：（1）如图，取BC 和B 1C 1的中点M 和M 1，连接MM 1，AM ，取AM 的中点N ，连接A 1N ，因为AB ＝AC ，所以AM ⊥BC ，因为侧面BB 1C 1C 是正方形， 所以BB 1∥MM 1，BB 1⊥BC ，所以MM 1⊥BC ，因为平面ABC ∩平面BCB 1C 1＝BC ，所以∠AMM 1为二面角A ﹣BC ﹣B 1的平面角， 因为二面角A ﹣BC ﹣B 1的大小是2π3，所以∠AMM 1=2π3， 因为AA 1∥BB 1∥MM 1，且AA 1＝BB 1＝MM 1＝2， 所以四边形AMM 1A 1为平行四边形，所以∠A 1AM =π3，因为AB =AC =√5，BC ＝2，所以AM ＝2，所以△AMM 1为等边三角形， 所以A 1N ⊥AM ，且A 1N =√3，因为AM ⊥BC ，MM 1⊥BC ，且AM ⊂平面AMM 1A 1，MM 1⊂平面AMM 1A 1，且两直线相交， 所以BC ⊥平面AMM 1A 1，又A 1N ⊂平面AMM 1A 1，所以BC ⊥A 1N ，因为A 1N ⊥AM ，BC ⊥A 1N ，AM ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，且两直线相交， 所以A 1N ⊥平面ABC ，所以V ABC−A 1B 1C 1=12BC •AM •A 1N =12×2×2×√3=2√3． （2）取A 1M 1中点N 1，连接MN 1，所以MN 1∥A 1N ，分别以MA 1→，MB →，MN 1→为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由题可得A （2，0，0），A 1(1，0，√3)，C （0，﹣1，0），B （0，1，0），B 1(−1，1，√3)， 所以，AC →=(−2，−1，0)，AB 1→=(−3，1，√3)，AB →=(−2，1，0)， 设平面ACC 1A 1的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{AA 1→⋅n →=−x +√3z =0AC →⋅n →=−2x −y =0，令x =√3，则y =−2√3，z ＝1，所以n →=(√3，−2√3，1)，因为点D 在线段AB 1上，则设AD →=λAB 1→=(−3λ，λ，√3λ)(0≤λ≤1)， 所以BD →=AD →−AB →=(−3λ，λ，√3λ)−(−2，1，0)=(2−3λ，λ−1，√3λ)， 设直线BD 与平面ACC 1A 1所成角为α，第21页（共21页） 则sinα=|cos ＜n →，BD →＞|=|n →⋅BD →||n →||BD →|=√3(2−3λ)−2√3(λ−1)+√3λ√3+12+1√(2−3λ)+(λ−1)+3λ =√3|1−λ|√13λ−14λ+5=√3√4(1−λ)2−121−λ+13， 所以当11−λ=32，即λ=13时，√3√4(1−λ)2−121−λ+13有最大值√32， 所以sin α≤√32，所以直线BD 与平面ACC 1A 1所成角的最大值为π3．。

2019-2020学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．设集合{}0A x x =>，{}1B x x =≤-，则R A B =I ð（ ） A ．∅ B ．{}10x x -<<C ．{}0x x > D ．{}1x x >-【答案】C【解析】根据题意直接求出B R ð，进而可得R A B I ð的答案. 【详解】由集合{}|1B x x =≤-，得{}|1R B x x =>-ð，又{}0A x x =>， 所以{}|0R A B x x =>I ð. 故选：C. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题． 2．以下形式中，不能表示“y 是x 的函数”的是（ ）A ．B ．C ．2y x =D ．()()0x y x y +-= 【答案】D【解析】根据函数的定义即可得到结论． 【详解】根据函数的定义可知A 、B 、C 选项都能表示“y 是x 的函数”， D 选项表示两条相交直线不能表示函数. 故选：D. 【点睛】本题考查函数定义的理解和应用，根据函数的定义是解决本题的关键，属于基础题. 3．设函数12()log (1)f x x =-，则（ ）A ．()f x 在(0,)+∞单调递增B ．()f x 在(0,)+∞单调递减C ．()f x 在(1,)+∞单调递增D ．()f x 在(1,)+∞单调递减【答案】D【解析】求出()f x 定义域，根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】12()log (1)f x x =-定义域为(1,)+∞，所以()f x 的递减区间是(1,)+∞. 故选:D. 【点睛】本题考查函数的性质，研究函数要注意定义域优先原则，属于基础题. 4．下列函数中，值域是[)0,+∞的是（ ）A ．2x y =B ．y =C ．()2ln 1y x =+ D ．21y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据基本初等函数的图象与性质，对各项中的函数依次求出值域，即可得到答案. 【详解】对于A ：2x y =，因x ∈R ，所以函数的值域为()0,∞+，故A 不正确； 对于B：y x ∈R ，则211x +≥，所以函数的值域为[)1,+∞，故B 不正确；对于C ：()2ln 1y x =+，因x ∈R ，则211x +≥，所以()2ln 10x +≥，即函数的值域为[)0,+∞，故C 正确；对于D ：21y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因0x ≠，则210x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以函数的值域为()0,∞+，故D 不正确. 故选：C. 【点睛】本题给出几个函数，考查基本初等函数的图象与性质，函数值域的求法，属于基础题. 5．函数()()2ln 1x f x x-=的图象关于（ ）A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y x =对称【答案】B【解析】求出函数的定义域，判断函数为奇函数，即可得到答案. 【详解】由题意得210x x ⎧->⎨≠⎩，解得11x -<<且0x ≠，所以函数()f x 的定义域为()()1,00,1-U ，()()()()()22ln 1ln 1x x f x f x xx---∴-==-=--，即()f x 为奇函数，其图象关于原点对称. 故选：B. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性判断函数图象的问题，属于基础题. 6．函数2x y a a a =-+（0a >且1a ≠）的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分两类，当01a <<时，和1a >进行讨论，即可得到答案. 【详解】当01a <<时，函数2xy a a a =-+为减函数，取0x =时，函数值202155244y a a a a ⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，又01a <<，所以221551244a a a a ⎛⎫<-+=--+≤ ⎪⎝⎭故C 选项符合题意，D 选项不符合题意；当1a >时，函数2x y a a a =-+为增函数，取0x =时，函数值2021524y a a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，又1a >，所以20215124a a a a ⎛⎫-+=--+< ⎪⎝⎭，故A 选项符合题意，B 选项也符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的图象的识别，分类讨论，属于基础题.7．设10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则11221log ,log log ,log 2a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭之间的大小关系是（ ）A ．11221log log log log 2aa a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭ B ．11221log log log log 2a aa a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭ C ．11221log log log log 2a a a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．11221log log log log 2a a a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据对数函数的单调性和a 的范围，可判断出12log log 0a a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，10log 12a<<，12log 1a >，从而得选项.【详解】 令112log y x =，则112log y x =在()0,+?上单调递减，因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12121log log 12a >=，即12log 1a >， 因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令2log a y x =，则2log a y x =在()0,+?上单调递减，所以121log log log 10log 2a a aa ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1log log 12a a a <=， 所以12log log 0a a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，10log 12a <<，12log 1a >，所以11221log log log log ,2aa a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】本题考查比较对数值的大小，关键在于根据对数函数的单调得出各对数值的符号，尤其是与中介值“0”和“1”的大小关系，属于中档题.8．设函数()()2ln 1f x x x =++，则使得()()21f x f x >-的x 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UD ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意利用函数的单调性和奇偶性可得21x x >-，由此求得取值范围. 【详解】由函数()()2ln 1f x x x =++知，定义域为R ，又()()()()()22ln 1ln 1f x x x x x f x -=-+-+=++=，即()f x 为R 上的偶函数，当0x >时，()f x 是增函数， 由()()21f x f x >-，即()()21fx f x >-，所以21x x >-，解得113x <<.故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中等题.9．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2y x =，[]1,2x ∈与函数2y x =，[]2,1x ∈--即为“同族函数”.下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A ．y x = B ．1y x x=+C ．22x x y -=-D ．0.5log y x =【答案】B【解析】由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调，由此判断各个函数在其定义域上的单调性即可. 【详解】对A ：y x =在定义域R 上单调递增，不能构造“同族函数”，故A 选项不正确； 对B ：1y x x=+在(),1-∞-递增，在()1,0-递减，在()0,1递减，在()1,+∞递增，能构造“同族函数”，故B 选项正确；对C ：22xxy -=-在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C 选项不正确； 对D ：0.5log y x =在定义域上递减，不能构造“同族函数”，故D 选项不正确. 故选：B. 【点睛】本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题. 10．已知函数()41f x t x =--在区间[]2,5的最大值为2，则t 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．2或3D ．1-或6【答案】C【解析】根据绝对值函数的特性对t 进行讨论即可得到答案. 【详解】 由函数()41f x t x =--，令()0f x =，得41x t=+， 当412t+≤，即4t ≥时，()f x 去绝对值后的函数在区间[]2,5上为单调递增函数，∴函数()f x 的最大值()45251f t =-=-，解得3t =（舍）或1t =-（舍）， 当415t+≥，即1t ≤，()f x 去绝对值后的函数在区间[]2,5上为单调递减函数， ∴函数()f x 的最大值()42221f t =-=-，解得6t =（舍）或2t =（舍）， 当4215t<+<，即14t <<， ()f x 在区间[]2,5上的最大值为()42221f t =-=-或()45251f t =-=-， 解得3t =或2t =.综上：t 的值为3t =或2t =. 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值函数的最值，利用单调性是关键，属于中档题.二、填空题11．已知()f x 为幂函数，且图象过⎛ ⎝⎭，则()4f =________【答案】12【解析】根据幂函数的概念设()af x x =（a 为常数），将点的坐标代入即可求得a 值，从而求得函数解析式，即可得到答案. 【详解】由题意，设()af x x =（a 为常数），则12333a-==，所以12a =-，即()12f x x -=，所以()121442f -==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题.12+=________；22log 32-=________【答案】13-43【解析】化根式利用有理数指数幂，指数运算，对数运算即可得到答案. 【详解】2211333=+==-，22224log 2log 3log 4log 3342223⎛⎫⎪--⎝⎭===. 故答案为：13-；43. 【点睛】本题考查有理指数幂的化简求值及对数的运算性质，属于基础题．13．函数()f x =________，值域为________【答案】(],3-∞ 0,⎡⎣【解析】由根式内部的代数式大于等于0求解x 的取值集合得函数的定义域从而可得函数的值域. 【详解】由820x -≥，得3x ≤，所以()f x 的定义域为(],3-∞，因3x ≤，则30228x <≤=，所以0828x ≤-<，即0≤<所以()f x 的值域为0,⎡⎣.故答案为：(],3-∞；0,⎡⎣. 【点睛】本题考查函数的定义域和值域的求法，属于基础题．14．函数()13,03,0x xa x f xbc x +-⎧+≥=⎨⋅+<⎩为奇函数，则a =________，9b c +=________ 【答案】3- 24-【解析】直接利用奇函数的定义可求得a 的值，观察知9b c +为()2f -的函数值，即可得到答案. 【详解】由()f x 为R 奇函数，则()00f =，即()1030f a =+=，所以3a =-，所以()323324f =-=，当2x =-时，()29f b c -=+，又()f x 为R 奇函数，则()()22f f -=-， 所以924b c +=-. 故答案为：3-；24-. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，利用()00f =为关键，属于基础题.15．已知函数()lg 1,0132,1x x x f x a a x -+<≤⎧=⎨+->⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)1,+∞，则实数a 的取值范围是________【答案】()(]0,11,2U【解析】利用分段函数的表达式，结合函数的值域，列出不等式求解即可. 【详解】当01x <≤时，()lg 1f x x =-+，()[)1,f x ∈+∞， 当1x >时，()32xf x a a =+-，若01a <<，则()f x 为减函数，又1x >，()f x 的值域为()32,3a a --， 所以321a -≥，解得1a ≤，故01a <<，若1a >，则()f x 为增函数，由()f x 的值域为[)1,+∞，当1x >时，()323xf x a a a =+->-，即函数()f x 在区间()1,+∞上的值域为()3,a -+∞.所以31a -≥，解得2a ≤，故12a <≤. 综上所述：实数a 的取值范围为()(]0,11,2U . 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题.16．已知二次函数()()22,f x x ax b a b R =++∈，,M m 分别是函数()f x 在区间[]0,2的最大值和最小值，则M m -的最小值是________【答案】2【解析】求出函数的对称轴，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出M m -的最小值即可. 【详解】由题意，二次函数()2222248a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，其对称轴为4a x =-， 当04a-≤，即0a ≥时，()f x 在区间[]0,2上为增函数， ∴()228M f a b ==++，()0m f b ==，∴288M m a -=+≥，当24a-≥，即8a ≤-时，()f x 在区间[]0,2上为减函数， ∴()0M f b ==，()282m f a b ==++，∴828M m a -=--≥，当014a <-≤，即40a -≤<时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()228M f a b ==++，248a a m f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴()21828M m a -=+≥；当124a <-<，即84a -<<-时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()0M f b ==，248a a m f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴228a M m -=>. 综上所述：M m -的最小值是2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数的单调性，最值问题，分类讨论思想，转化思想，属于中档题．三、解答题17．已知集合{3A x x =≤-或}4x ≥，{}43B x a x a =≤≤+. （1）若1a =-，求A B I ，A B U （2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）(][),61,-∞-+∞U【解析】（1）由题意和交集、并集运算求出A B I ，A B U ；（2）若B A ⊆，则集合B 为集合A 的子集，对集合B 讨论即可得到答案. 【详解】（1）若1a =-，则{}{}43|42B x a x a x x =≤≤+=-≤≤， 所以{}|43A B x x =-≤≤-I ，{|2A B x x ⋃=≤或}4x ≥ （2）若B A ⊆，则集合B 为集合A 的子集， 当B =∅时，即43a a >+，解得1a >； 当B ≠∅时，即43a a ≤+，解得1a ≤，又{3A x x =≤-或}4x ≥，由B A ⊆，则33a +≤-或44a ≥， 解得6a ≤-或1a =.综上所述：实数a 的取值范围为(][),61,-∞-+∞U . 【点睛】本题考查交集，并集的运算，集合与集合的包含关系，属于基础题. 18．已知函数()24xf x x =-. （1）判断函数()f x 在()2,+∞上的单调性并证明；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并求()f x 在区间[]6,3--上的最大值与最小值. 【答案】（1）()f x 在()2,+∞上为减函数，理由见解析；（2）见解析. 【解析】（1）利用单调性的定义判断函数()f x 在()2,+∞上的单调性； （2）利用奇函数的定义判断()f x 为奇函数，由单调性即可得最值. 【详解】（1）()f x 在()2,+∞上为减函数，证明如下： 任取122x x >>，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444=444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x ----+-=-=------， 122x x >>Q ，2212211240,40,0,0x x x x x x ∴->->-<>，()()()()()()21121222124=044x x x x f x f x x x -+∴-<--，即()()12f x f x <，∴()f x 在()2,+∞上为减函数.（2）由题意得()f x 的定义域为()(),22,-∞-+∞U ，()()()2244xxf x f x x x -∴-==-=----， ∴()f x 为奇函数，由（1）知，函数()f x 在[]6,3--为减函数， 故当6x =-时，函数()f x 取得最大值为()()24663166f ---==--， 当3x =-时，函数()f x 取得最小值为()()2335343f -==----. 【点睛】本题考查函数的单调性的判断和证明，函数的奇偶性，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题．19．已知函数()2121x xa f x ⋅+=-. （1）当1a =时，解方程()() lg 2lg 1lg18f x f x -=-.（2）当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1x =；（2）52a ≤-或12a ≥. 【解析】（1）根据对数运算法则化简原方程得()()22215921x x+=+，再令2x t =，则原方程化为()221591t t +=+整理得22520t t -+=求解可得原方程的解，注意对数函数的定义域；（2）由()()21f x f x -≥化简不等式为()222121x xx a --⋅≥-，令2x t =，当(]0,1x ∈时，得(]1,2t ∈，所以当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，等价于211t a t-+≥在(]1,2t ∈时恒成立，再令()211t g t t t t-==-，证明函数()g t 在(]1,2上单调递增，并得出在(]1,2上的最值，建立关于a 的不等式312a +≥，可得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()21212121xxx x a f x ⋅++==--，()()()2222212122121x xx x f x ++==--， 所以方程()() lg 2lg 1lg18f x f x -=-化为()()210lglg 18f x f x =且()()20,0f x f x >>，即()()25 9f x f x =且()()2221021xx +>-，21021x x+>-， 所以()()222121521921x x x x +-=+-，即()()22215921x x +=+， 令2xt =，则原方程化为()221591t t +=+整理得22520t t -+=， 解得2t =或12t =，即22x =或122x=，解得1x =或1x =-，当1x =-时，()()2221021x x+<-，21021x x +<-，故舍去， 故原方程的解为：1x =；（2）由()()21f x f x -≥得()()22212112121x x x x a a ⋅+⋅+-≥--，即()222 121x xx a --⋅≥-， 令2x t =，当(]0,1x ∈时，(]1,2t ∈，所以210t ->，所以当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，等价于当(]1,2t ∈时，()2111a tt +⋅≥-恒成立，即211t a t-+≥在(]1,2t ∈时恒成立，令()211t g t t t t-==-，设112112220,10,012,t t t t t t t t <<<-><->，()()()()121212********* 0t t t t g t g t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫-=---=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()12 g t g t <，所以()g t 在(]1,2上单调递增，所以()()()13322 ,1110 ,0<222g g g t =-==-=≤，所以()30<2g t ≤，所以3 12a +≥， 解得52a ≤-或12a ≥；所以实数a 的取值范围是52a ≤-或12a ≥. 【点睛】本题考查指数、对数运算法则，参变分离的思想，证明函数的单调性，以及不等式恒成立的条件，属于难度题。

2020-2021学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一上学期期中联考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)满分：120分； 考试世界100分钟；一、单选题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.已知全集},4,3{},3,2,1{},5,4,3,2,1{===N M U 则N M C U )(= ( )A.}4{B.}54{，C.}543{，，D.}54321{，，，，2.已知函数，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<+=1,210,21)(2x x x x x x f 则=）（)21(f f ( ) A.9 B.7 C.319 D.41 3.三个数553.0)51(,3.0,5===c b a 大小的顺序是 ( ) A.c b a >> B.b c a >> C.c a b >> D.b a c >>4.幂函数a x a a x f )22()(2--=在),0(+∞上单调递增,则)1(1)(>+=+b b x g a x 过定点 ( )A.)1,1(B.)2,1(C.)1,3(-D.)2,3(-5.已知函数)(x f 的图象如图所示,则)(x f 的解析式可能是 ( ) A.212)(x x f x -⋅= B.||2)(x x f x ⋅=C.)1|(|)(-=x x x fD.212)(x x x f -⋅=6.已知,11c b a >->>>则下列不等式恒成立的是 ( )A.b c a 2<-B.bc ab >C.b bc a ac -<-D.cb a b > 7.若,4)4)(1(,0,0=-->>y x y x 则y x +的最小值为 ( )A.1B.9C.10D.168.已知)(),(x g x f 分别为定义在R 上的偶函数和奇函数,且满足x x g x f 2)()(=+,若对于任意的 ]2,1[∈x ,都有0])([])(2[≤-•-a a g a x f 恒成立,则实数a 的取值范围是 ( ) A.]417,43[ B.]25,815[ C.]2,815[ D.]417,2[二、多选题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.9.下列各组函数中是同一函数的是 ( ) A.2)(,2)(33+=+=x x g x x f B.3)()(,39)(22+=--=x x g x x x f C.2)(,)1(2)(202+=-+=x x g x x x f D.tt x g x x x f 1)(,1)(+=+= 10.命题“函数12)(2++=ax ax x f 的定义域为R ”为真命题的一个必要不充分条件是 ( )A.10≤<aB.10≤≤aC.1≤aD.21<≤-a11.若函数)(x f 同时满足：①对于定义域上的任意x ,恒有0)()(=-+x f x f ；②对于定义域上的任意21,x x ,当21x x ≠时,恒有0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x ,则称该函数为“七彩函数”. 下列函数中是“七彩函数”的有 ( )A.⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=0,20,2)(22x x x x x f B.51)(x x f -= C.x x x f -=1)( D.||)(2x x x f +=12.函数)|(|2)(c b x x f x +-=,若1)(≥x f 在),0[+∞上恒成立,则c b ,满足的条件可能是 ( )A.⎩⎨⎧≤-≤10b c bB.⎩⎨⎧≥-≤10b c bC.⎩⎨⎧≤>120c b bD.⎩⎨⎧≥≤120b b c。

○…………外…………○…………装…学校:___________姓名：○…………内…………○…………装…绝密★启用前浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合{}0A x x =>，{}1B x x =≤-，则R A B =I ð（ ） A ．∅ B ．{}10x x -<<C ．{}0x x >D ．{}1x x >-2．以下形式中，不能表示“y 是x 的函数”的是（ ）A ．B ．…………○…………装…………※※请※※不※※要※※在※※装※…………○…………装…………C ．2y x =D ．()()0x y x y +-=3．设函数12()log (1)f x x =-，则（ ）A ．()f x 在(0,)+∞单调递增B ．()f x 在(0,)+∞单调递减C ．()f x 在(1,)+∞单调递增D ．()f x 在(1,)+∞单调递减4．下列函数中，值域是[)0,+∞的是（ ） A ．2x y = B ．y =C ．()2ln 1y x =+D ．21y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭5．函数()()2ln 1x f x x-=的图象关于（ ）A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y x =对称6．函数2x y a a a =-+（0a >且1a ≠）的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则11221log ,log log ,log 2a aa a ⎛⎫ ⎪⎝⎭之间的大小关系是（ ） A ．11221log log log log 2aa a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．11221log log log log 2a aa a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭C ．111log log log log a a a a ⎛⎫>> ⎪D ．111log log log log a a a a ⎛⎫>> ⎪8．设函数()()2ln 1f x x x =++，则使得()()21f x f x >-的x 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UD ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭9．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2y x =，[]1,2x ∈与函数2y x =，[]2,1x ∈--即为“同族函数”.下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A ．y x =B ．1y x x=+C ．22x x y -=-D ．0.5log y x =10．已知函数()41f x t x =--在区间[]2,5的最大值为2，则t 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．2或3D ．1-或6第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．已知()f x 为幂函数，且图象过⎛ ⎝⎭，则()4f =________ 12+=________；22log 32-=________13．函数()f x =________，值域为________14．函数()13,03,0x xa x f xbc x +-⎧+≥=⎨⋅+<⎩为奇函数，则a =________，9b c +=________ 15．已知函数()lg 1,0132,1x x x f x a a x -+<≤⎧=⎨+->⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)1,+∞，则实数a 的取值范围是________16．已知二次函数()()22,f x x ax b a b R =++∈，,M m 分别是函数()f x 在区间[]0,2的最大值和最小值，则M m -的最小值是________三、解答题17．已知集合{3A x x =≤-或}4x ≥，{}43B x a x a =≤≤+. （1）若1a =-，求A B I ，A B U （2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围. 18．已知函数()24xf x x =-. （1）判断函数()f x 在()2,+∞上的单调性并证明；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并求()f x 在区间[]6,3--上的最大值与最小值.19．已知函数()2121x xa f x ⋅+=-. （1）当1a =时，解方程()() lg 2lg 1lg18f x f x -=-.（2）当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围. 20．设函数()22f x ax x a =--.（1）当12a =时，求函数()f x 的值域； （2）若对任意[]1,2x ∈，恒有()1f x ≥-，求实数a 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】根据题意直接求出B R ð，进而可得R A B I ð的答案. 【详解】由集合{}|1B x x =≤-，得{}|1R B x x =>-ð，又{}0A x x =>， 所以{}|0R A B x x =>I ð. 故选：C. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题． 2．D 【解析】 【分析】根据函数的定义即可得到结论． 【详解】根据函数的定义可知A 、B 、C 选项都能表示“y 是x 的函数”， D 选项表示两条相交直线不能表示函数. 故选：D. 【点睛】本题考查函数定义的理解和应用，根据函数的定义是解决本题的关键，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】求出()f x 定义域，根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】12()log (1)f x x =-定义域为(1,)+∞，所以()f x 的递减区间是(1,)+∞.【点睛】本题考查函数的性质，研究函数要注意定义域优先原则，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的图象与性质，对各项中的函数依次求出值域，即可得到答案. 【详解】对于A ：2xy =，因x ∈R ，所以函数的值域为()0,∞+，故A 不正确；对于B：y 因x ∈R ，则211x +≥，所以函数的值域为[)1,+∞，故B 不正确；对于C ：()2ln 1y x =+，因x ∈R ，则211x +≥，所以()2ln 10x +≥，即函数的值域为[)0,+∞，故C 正确；对于D ：21y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因0x ≠，则210x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以函数的值域为()0,∞+，故D 不正确.故选：C. 【点睛】本题给出几个函数，考查基本初等函数的图象与性质，函数值域的求法，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】求出函数的定义域，判断函数为奇函数，即可得到答案. 【详解】由题意得210x x ⎧->⎨≠⎩，解得11x -<<且0x ≠，所以函数()f x 的定义域为()()1,00,1-U ，()()()()()22ln 1ln 1x x f x f x xx---∴-==-=--，即()f x 为奇函数，其图象关于原点对称.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性判断函数图象的问题，属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】分两类，当01a <<时，和1a >进行讨论，即可得到答案. 【详解】当01a <<时，函数2xy a a a =-+为减函数，取0x =时，函数值202155244y a a a a ⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，又01a <<，所以221551244a a a a ⎛⎫<-+=--+≤ ⎪⎝⎭故C 选项符合题意，D 选项不符合题意；当1a >时，函数2x y a a a =-+为增函数，取0x =时，函数值2021524y a a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，又1a >，所以20215124a a a a ⎛⎫-+=--+< ⎪⎝⎭，故A 选项符合题意，B 选项也符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的图象的识别，分类讨论，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性和a 的范围，可判断出12log log 0a a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，10log 12a <<，12log 1a >，从而得选项. 【详解】 令112log y x =，则112log y x =在()0,+?上单调递减，因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12121log log 12a >=，即12log 1a >， 因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令2log a y x =，则2log a y x =在()0,+?上单调递减，所以121log log log 10log 2a a a a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1log log 12a a a <=，所以12log log 0a a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，10log 12a<<，12log 1a >，所以11221log log log log ,2a a a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】本题考查比较对数值的大小，关键在于根据对数函数的单调得出各对数值的符号，尤其是与中介值“0”和“1”的大小关系，属于中档题. 8．D 【解析】 【分析】由题意利用函数的单调性和奇偶性可得21x x >-，由此求得取值范围. 【详解】由函数()()2ln 1f x x x =++知，定义域为R ，又()()()()()22ln 1ln 1f x x x x x f x -=-+-+=++=，即()f x 为R 上的偶函数，当0x >时，()f x 是增函数， 由()()21f x f x >-，即()()21f x f x >-，所以21x x >-，解得113x <<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中等题. 9．B 【解析】【分析】由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调，由此判断各个函数在其定义域上的单调性即可. 【详解】对A ：y x =在定义域R 上单调递增，不能构造“同族函数”，故A 选项不正确； 对B ：1y x x=+在(),1-∞-递增，在()1,0-递减，在()0,1递减，在()1,+∞递增，能构造“同族函数”，故B 选项正确；对C ：22xxy -=-在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C 选项不正确； 对D ：0.5log y x =在定义域上递减，不能构造“同族函数”，故D 选项不正确. 故选：B. 【点睛】本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】根据绝对值函数的特性对t 进行讨论即可得到答案. 【详解】 由函数()41f x t x =--，令()0f x =，得41x t=+， 当412t+≤，即4t ≥时，()f x 去绝对值后的函数在区间[]2,5上为单调递增函数， ∴函数()f x 的最大值()45251f t =-=-，解得3t =（舍）或1t =-（舍）， 当415t+≥，即1t ≤，()f x 去绝对值后的函数在区间[]2,5上为单调递减函数， ∴函数()f x 的最大值()42221f t =-=-，解得6t =（舍）或2t =（舍）， 当4215t<+<，即14t <<，()f x 在区间[]2,5上的最大值为()42221f t =-=-或()45251f t =-=-， 解得3t =或2t =.综上：t 的值为3t =或2t =. 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值函数的最值，利用单调性是关键，属于中档题. 11．12【解析】 【分析】根据幂函数的概念设()af x x =（a 为常数），将点的坐标代入即可求得a 值，从而求得函数解析式，即可得到答案. 【详解】由题意，设()af x x =（a 为常数），则1233a-==，所以12a =-，即()12f x x -=，所以()121442f -==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题. 12．13- 43【解析】 【分析】化根式利用有理数指数幂，指数运算，对数运算即可得到答案. 【详解】221133333=+==-，22224log 2log 3log 4log 3342223⎛⎫ ⎪--⎝⎭===. 故答案为：13-；43. 【点睛】本题考查有理指数幂的化简求值及对数的运算性质，属于基础题．13．(],3-∞ 0,⎡⎣【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解x 的取值集合得函数的定义域从而可得函数的值域. 【详解】由820x -≥，得3x ≤，所以()f x 的定义域为(],3-∞，因3x ≤，则30228x <≤=，所以0828x ≤-<，即0<所以()f x 的值域为0,⎡⎣.故答案为：(],3-∞；0,⎡⎣. 【点睛】本题考查函数的定义域和值域的求法，属于基础题． 14．3- 24- 【解析】 【分析】直接利用奇函数的定义可求得a 的值，观察知9b c +为()2f -的函数值，即可得到答案.【详解】由()f x 为R 奇函数，则()00f =，即()1030f a =+=，所以3a =-，所以()323324f =-=，当2x =-时，()29f b c -=+，又()f x 为R 奇函数，则()()22f f -=-， 所以924b c +=-. 故答案为：3-；24-.【点睛】本题考查函数的奇偶性，利用()00f =为关键，属于基础题. 15．()(]0,11,2U 【解析】 【分析】利用分段函数的表达式，结合函数的值域，列出不等式求解即可. 【详解】当01x <≤时，()lg 1f x x =-+，()[)1,f x ∈+∞， 当1x >时，()32xf x a a =+-，若01a <<，则()f x 为减函数，又1x >，()f x 的值域为()32,3a a --， 所以321a -≥，解得1a ≤，故01a <<，若1a >，则()f x 为增函数，由()f x 的值域为[)1,+∞，当1x >时，()323xf x a a a =+->-，即函数()f x 在区间()1,+∞上的值域为()3,a -+∞.所以31a -≥，解得2a ≤，故12a <≤. 综上所述：实数a 的取值范围为()(]0,11,2U . 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题. 16．2 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出M m -的最小值即可. 【详解】由题意，二次函数()2222248a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，其对称轴为4a x =-， 当04a-≤，即0a ≥时，()f x 在区间[]0,2上为增函数，∴()228M f a b ==++，()0m f b ==，∴288M m a -=+≥，当24a-≥，即8a ≤-时，()f x 在区间[]0,2上为减函数， ∴()0M f b ==，()282m f a b ==++，∴828M m a -=--≥，当014a <-≤，即40a -≤<时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()228M f a b ==++，248a a m f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴()21828M m a -=+≥；当124a <-<，即84a -<<-时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()0M f b ==，248a a m f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴228a M m -=>. 综上所述：M m -的最小值是2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数的单调性，最值问题，分类讨论思想，转化思想，属于中档题．17．（1）见解析（2）(][),61,-∞-+∞U 【解析】 【分析】（1）由题意和交集、并集运算求出A B I ，A B U ；（2）若B A ⊆，则集合B 为集合A 的子集，对集合B 讨论即可得到答案. 【详解】（1）若1a =-，则{}{}43|42B x a x a x x =≤≤+=-≤≤， 所以{}|43A B x x =-≤≤-I ，{|2A B x x ⋃=≤或}4x ≥（2）若B A ⊆，则集合B 为集合A 的子集， 当B =∅时，即43a a >+，解得1a >； 当B ≠∅时，即43a a ≤+，解得1a ≤，又{3A x x =≤-或}4x ≥，由B A ⊆，则33a +≤-或44a ≥， 解得6a ≤-或1a =.综上所述：实数a 的取值范围为(][),61,-∞-+∞U . 【点睛】本题考查交集，并集的运算，集合与集合的包含关系，属于基础题. 18．（1）()f x 在()2,+∞上为减函数，理由见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义判断函数()f x 在()2,+∞上的单调性； （2）利用奇函数的定义判断()f x 为奇函数，由单调性即可得最值. 【详解】（1）()f x 在()2,+∞上为减函数，证明如下： 任取122x x >>，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444=444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x ----+-=-=------， 122x x >>Q ，2212211240,40,0,0x x x x x x ∴->->-<>，()()()()()()21121222124=44x x x x f x f x x x -+∴-<--，即()()12f x f x <，∴()f x 在()2,+∞上为减函数.（2）由题意得()f x 的定义域为()(),22,-∞-+∞U ，()()()2244xxf x f x x x -∴-==-=----，∴()f x 为奇函数，由（1）知，函数()f x 在[]6,3--为减函数， 故当6x =-时，函数()f x 取得最大值为()()24663166f ---==--， 当3x =-时，函数()f x 取得最小值为()()2335343f -==----. 【点睛】本题考查函数的单调性的判断和证明，函数的奇偶性，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题．19．（1）1x =；（2）52a ≤-或12a ≥. 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则化简原方程得()()22215921x x+=+，再令2xt =，则原方程化为()221591t t +=+整理得22520t t -+=求解可得原方程的解，注意对数函数的定义域；（2）由()()21f x f x -≥化简不等式为()222121x xx a --⋅≥-，令2x t =，当(]0,1x ∈时，得(]1,2t ∈，所以当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，等价于211t a t-+≥在(]1,2t ∈时恒成立，再令()211t g t t t t-==-，证明函数()g t 在(]1,2上单调递增，并得出在(]1,2上的最值，建立关于a 的不等式312a +≥，可得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()21212121xxxx a f x ⋅++==--，()()()2222212122121x xx x f x ++==--， 所以方程()() lg 2lg 1lg18f x f x -=-化为()()210lglg 18f x f x =且()()20,0f x f x >>，即()()25 9f x f x =且()()2221021x x +>-，21021x x +>-，所以()()2221215 21921x x xx +-=+-，即()()22215 921x x+=+， 令2x t =，则原方程化为()221591t t +=+整理得22520t t -+=， 解得2t =或12t =，即22x =或122x =，解得1x =或1x =-，当1x =-时，()()2221021x x +<-，21021x x+<-，故舍去， 故原方程的解为：1x =；（2）由()()21f x f x -≥得()()222121 12121x x x x a a ⋅+⋅+-≥--，即()222 121x xxa --⋅≥-， 令2x t =，当(]0,1x ∈时，(]1,2t ∈，所以210t ->，所以当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，等价于当(]1,2t ∈时，()2111a tt +⋅≥-恒成立，即211t a t-+≥在(]1,2t ∈时恒成立，令()211t g t t t t-==-，设112112220,10,012,t t t t t t t t <<<-><->，()()()()121212********* 0t t t t g t g t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫-=---=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()12 g t g t <，所以()g t 在(]1,2上单调递增，所以()()()13322 ,1110 ,0<222g g g t =-==-=≤，所以()30<2g t ≤，所以3 12a +≥， 解得52a ≤-或12a ≥；所以实数a 的取值范围是52a ≤-或12a ≥.【点睛】本题考查指数、对数运算法则，参变分离的思想，证明函数的单调性，以及不等式恒成立的条件，属于难度题。

2019-2020学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知角α终边上有一点P （3，﹣4），则sin α的值是（ ） A ．45-B ．35C ．35±D ．45±2．AB PC BA QC ++-u u u r u u u r u u u r u u u r的化简结果是（ ）A ．PQ uuu rB ．QP uuu rC ．BQ uuu rD ．CQ u u u r3．在△ABC 中，AC =BC ＝2，B ＝60°，则角A 的值为（ ）A ．75°B ．45°C ．45°或135°D ．135°4．已知函数()sin 2f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，下列结论错误的是（ ） A ．函数f （x ）最小正周期为2πB ．函数f （x ）在区间（0，π）上是减函数C ．函数f （x ）的图象关于（kπ，0）（k ∈Z ）对称D ．函数f （x ）是偶函数5．等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则2462020+++a a a a L 的值为（ ）A ．()20203318- B ．()20201318- C ．()20203312- D ．()10103312- 6．对于实数a ，b ，c ，有下列命题：①若a b >，则ac bc >；②若a b >，且a c b d +>+，则c d >；③若a b >，且11a b>，则0a >，0b <； ④若0c a b >>>，则a bc a c b>--. 其中真命题的是（ ） A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④7．已知tan α，tan β是方程2340x x ++=的两根，且,(0,)αβπ∈，则αβ+的值为（ ）A ．4π B ．34π C ．54π D ．74π 8．在等差数列{}n a 中，45m n a a a a ++＝，则14m n+的最小值为（ ） A ．23 B ．79 C ．89D ．19．已知向量a r ，b r满足a =r |，1=r b ，且对任意的实数x ，不等式a xb a b+≥+r r r r 恒成立，设a r，b r的夹角为θ，则tan θ的值为（ ） A ．﹣B ．C．D10．数列{a n }为递增的等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n +1a n +2（n ∈N ），设S n 为数列{b n }的前n 项和，若a 2795a =，则当S n 取得最小值时n 的值为（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．11二、双空题11．已知向量a =r （1，2），b =r （2，﹣2），|2a b +r r |＝_____，a r 在b r 方向上的投影为_____.12．求值：251534cos tan ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭_____，cos 275°+cos 215°+cos 75°cos 15°＝_____. 13．在△ABC 中，三边长分别为a ﹣2，a ，a +2，最大角的余弦值为12-，则a ＝_____，S △ABC ＝_____. .14．已知357cos 4544x x πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，＜＜，则sin 2x ＝_____，2sin 22sin 1tan x xx+=- _____.三、填空题15．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项之积为T n ，若满足条件：a 1＞1，a 99•a 100﹣1＞0，99100101a a --＜，当T n 取得最大时，n ＝_____. 16．已知函数()224f x x mx =--+，若对于任意[],2x m m ∈+，都有()0f x >成立，则实数m 的取值范围为_____.17．不共线的向量a r，b r的夹角为θ，若向量2a b -rr与a b -rr的夹角也为θ，则cos θ的最小值为_____.四、解答题18．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+(0ϕπ<<)，它的图象的一条对称轴是直线x 12=π. (1)求ϕ的值及函数()f x 的递增区间；(2)若3()5f α=，且,123ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α.19．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，4BC =，60DAB ∠=o ，点E 是线段BC 的中点.(1)求AC AE ⋅uuu r uu u r的值；(2)若AF AE AD λ=+u u u r u u u r u u u r，且BD AF ⊥，求λ的值.20．数列{}n a 前n 项和为n S ，满足23nn S =-，数列{}n b 为等差数列且23b S =，4224b b S -=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)若1231n nc b b b b =++++L ，求数列{}n c 的前n 项和T n .21．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,若cos (cos )cos 0C A A B +=.(1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD =，求2a c +的取值范围.22．已知数列{a n}满足a1＝3，a232=，且2a n+1＝3a n﹣a n-1.（1）求证：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求数列{a n}通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和为T n，若12n kTn>-对任意的正整数n恒成立，求k的取值范围.2019-2020学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高一下学期期中数学试题解析一、单选题1．已知角α终边上有一点P （3，﹣4），则sin α的值是（ ） A ．45-B ．35C ．35±D ．45±【答案】A【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义求出sin α的值即可. 【详解】解：由角α终边上有一点P （3，﹣4）， 可得x ＝3、y ＝﹣4、r ＝|OP |＝5，sin α45y r ==-， 故选：A . 【点睛】本题考查三角函数的定义，是基础题. 2．AB PC BA QC ++-u u u r u u u r u u u r u u u r的化简结果是（ ）A ．PQ uuu rB ．QP uuu rC ．BQ uuu rD ．CQ u u u r【答案】A【解析】利用向量加减的几何意义，直接计算即可. 【详解】解：∵AB PC BA QC AB PC ++-=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()AB -u u u r CQ PC CQ PQ +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r ；故选：A . 【点睛】本题考查向量加减混合运算的应用，是基础题.3．在△ABC 中，AC =BC ＝2，B ＝60°，则角A 的值为（ ）A ．75°B ．45°C ．45°或135°D ．135°【答案】B【解析】由已知及正弦定理可得sin sin BC BA AC=，结合AC ＞BC ，由大边对大角可得：B ＞A ，A 为锐角，从而解得A. 【详解】解：∵在△ABC 中AC =BC ＝2，B ＝60°，∴由正弦定理可得：2sin sin 2BC BA AC⨯===，∵AC ＞BC ，可得：B ＞A ，A 为锐角， ∴解得A ＝45°. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，属于基础题. 4．已知函数()sin 2f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，下列结论错误的是（ ） A ．函数f （x ）最小正周期为2πB ．函数f （x ）在区间（0，π）上是减函数C ．函数f （x ）的图象关于（kπ，0）（k ∈Z ）对称D ．函数f （x ）是偶函数 【答案】C 【解析】变形可得()sin cos 2f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，再根据余弦函数的性质逐一判断每个选项即可【详解】解：()sin cos 2f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由余弦函数的性质可知， 函数的最小正周期221T ππ==，即A 正确； 在区间（0，π）上是减函数，即B 正确； 关于（2k ππ+，0）（k ∈Z ）对称，即C 错误；是偶函数，即D 正确. 故选：C . 【点睛】本题考查余弦函数的性质，是基础题.5．等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则2462020+++a a a a L 的值为（ ）A ．()20203318- B ．()20201318- C ．()20203312- D ．()10103312- 【答案】A【解析】由11a =，427a =求出首项和公比，进一步求出1239n n a -=⋅，最后求新等比数列的前1010项和即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵11a =，427a =，∴327q =，解得11a =，3q =.∴13-=n n a ，23a =，29q =，1239n n a -=⋅()()202010102462020319+++193318a a a a -==--L故选：A. 【点睛】从等比数列中抽取某些特定的项组成新的等比数列然后求和，考查求等比数列的通项公式的方法以及求和的方法，同时考查运算求解能力；基础题. 6．对于实数a ，b ，c ，有下列命题： ①若a b >，则ac bc >；②若a b >，且a c b d +>+，则c d >；③若a b >，且11a b>，则0a >，0b <； ④若0c a b >>>，则a bc a c b>--. 其中真命题的是（ ） A ．①③ B ．②③C ．②④D ．③④【答案】D【解析】①取0c =即可作出判断；②举反例，如1a =，1b =-，2c =，3d =；③④均结合作差法和不等式的性质即可判断. 【详解】对①，若0c =，则ac bc =，故①错误；对②，例如1,1,2,3a b c d ==-==，则有1213+>-+， 即满足a c b d +>+，但c d <，故②错误；对③，Q11a b>， ∴110b a a b ab--=>， Q a b >，∴0b a -<， ∴0ab <，由于a b >，∴0a >，0b <，故③正确；对④，()()()()()()()a c b b c a c a b a bc a c b c a c b c a c b -----==------， Q 0c a b >>>，∴0,0,0a b c a c b ->->->， ∴a b c a c b >--.即a b c a c b>--，故④正确. ∴真命题有③和④，故选：D . 【点睛】本题解题关键是掌握不等式的基本性质和特殊值法判断不等式方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7．已知tan α，tan β是方程2340x x ++=的两根，且,(0,)αβπ∈，则αβ+的值为（ ） A ．4π B ．34π C ．54π D ．74π 【答案】C【解析】由tan α，tan β是方程2340x x ++=的两根，可得tan tan 3tan tan 4αβαβ+=-⎧⎨=⎩，然后结合两角和的正切公式及角的范围可求.【详解】Q tan α，tan β是方程2340x x ++=的两根可得tan tan 3tan tan 4αβαβ+=-⎧⎨=⎩故tan 0,tan 0αβ<<Q ,(0,)αβπ∈故,,,22παβππαβπ⎛⎫∈<+<⎪⎝⎭故tan tan 3tan()11tan tan 14αβαβαβ+-+===--∴54παβ+=故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据正切两角和公式求两角和，解题关键是掌握正切两角和公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 8．在等差数列{}n a 中，45m n a a a a ++＝，则14m n +的最小值为（ ） A ．23B ．79C ．89D ．1【答案】D【解析】等差数列{}n a 中，由45m n a a a a ++＝，根据等差性质可得：459m n +=+=，再利用“乘1法”、基本不等式的性质，即可求得答案. 【详解】等差数列{a n }中，由45m n a a a a ++＝， 根据等差性质可得：459m n +=+=则14114141()5(51999n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2n m =，解得3,6m n ==故选：D . 【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值问题，解题关键是掌握均值不等式公式，注意使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9．已知向量a r ，b r满足a =r |，1=r b ，且对任意的实数x ，不等式a xb a b+≥+r r r r 恒成立，设a r，b r的夹角为θ，则tan θ的值为（ ）A ．﹣B ．C ．D【答案】C【解析】因为对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+r r rr 恒成立，所以22210x a bx a b +⋅-⋅-≥r rr r 对任意实数x 恒成立，0∆≤，即()224(21)0a ba b r rr r ⋅+⋅+≤，结合已知可得cos θ的值，解可得sin θ的值，进而计算可得答案. 【详解】Q 对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+r r rr 恒成立∴22210x a bx a b +⋅-⋅-≥r rr r 对任意实数x 恒成立∴0∆≤，即()224(21)0a ba b rrr r ⋅+⋅+≤又Q cos a b a b θθ⋅=⋅=r r r r∴212cos 1)0θθ++≤，即23cos 10θθ++≤21)0θ+≤，解得cos θ=又Q 0θπ≤≤，∴sin θ=， ∴tan θ=故选：C . 【点睛】本题主要考查了求三角函数值，解题关键是掌握向量数量积公式和同名三角函数关系，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10．数列{a n }为递增的等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n +1a n +2（n ∈N ），设S n 为数列{b n }的前n 项和，若a 2795a =，则当S n 取得最小值时n 的值为（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．11【答案】B【解析】先根据条件求得数列{a n }的通项，得到何时值为正，何时为负，进而得到数列{b n }正负的分界线，即可求得结论. 【详解】解：因为数列{a n }为递增的等差数列，设其公差为d ，则d ＞0；因为a 2795a =， ∴a 1+d 95=（a 1+6d ）⇒a 1494=-d ； ∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝（n 534-）d ；当14n ≥时，a n ＞0； 当13n ≤时，a n ＜0；∵数列{b n }满足b n ＝a n a n +1a n +2（n ∈N ），设S n 为数列{b n }的前n 项和， 故数列{b n }前13项为负值； 故当n ＝13时，S n 取得最小值； 故选：B . 【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算，利用等差数列的基本性质是解题的基本策略，此题借助了求等差数列前n 项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想.二、双空题11．已知向量a =r（1，2），b =r（2，﹣2），|2a b +rr|＝_____，a r在b r方向上的投影为_____.【答案】 2-【解析】先根据线性坐标运算求出2a b +rr ，即可求得其模长；再由平面向量数量积的定义可知，a r 在b r方向上的投影为a b b⋅r r r ，然后结合数量积的坐标运算即可得解.【详解】解：∵a =r （1，2），b =r （2，﹣2），∴2a b +=r r （4，2），∴|2a b +rr|==；a r 在b r方向上的投影为2a b b ⋅==-rr r .故答案为：2-. 【点睛】本题主要考查通过向量的坐标求向量的模，考查求向量的投影，熟记向量数量积的几何意义，以及向量数量积的定义即可，属于常考题型.12．求值：251534cos tan ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭_____，cos 275°+cos 215°+cos 75°cos 15°＝_____. 【答案】32 54【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角恒等式的应用求出结果. 【详解】 解：①cos253π+tan （154π-）2416131334422cos tan ππππ⎛⎫⎛⎫=+--=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②cos 275°+cos 215°+cos 75°cos 15°2211515302sin cos sin =︒+︒+︒=11544+=. 故答案为：35;24. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，三角恒等变换在化简求值的应用，属于基础题.13．在△ABC 中，三边长分别为a ﹣2，a ，a +2，最大角的余弦值为12-，则a ＝_____，S △ABC ＝_____. 【答案】54【解析】直接利用余弦定理的应用求出a 的值，进一步利用三角形的面积公式和三角函数关系式的恒等变换求出结果. 【详解】解：在△ABC 中，三边长分别为a ﹣2，a ，a +2， 所以最大边长为a +2， 最大角的余弦值为12-，则()()()222221cos 222a a a C a a+--+=-=-，解得a ＝5.故sin C =，三角形的三边长为3，5，7.所以1352ABC S =⨯⨯=V 故答案为：5【点睛】此题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题.14．已知357cos 4544x x πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，＜＜，则sin 2x ＝_____，2sin 22sin 1tan x xx+=- _____.【答案】725 2875- 【解析】利用三角函数的恒等变换，化简得2sin 22sin 1tan x xx+=-sin 2tan()4x x π⋅+，依题意，分别求得sin 2x 与tan()4x π+的值，即可求得答案.【详解】 解：()()222sin cos cos sin sin 21tan sin 22sin 2sin cos 2sin sin 1tan cos sin 1tan 1cos x x x x x x x x x x x x x x x x x++++====----sin 2tan()4x x π⋅+. ∵5744x ππ＜＜， ∴324x ππ+＜＜2π， 又∵cos （4π+x ）35=，∴sin （4π+x ）45=-.∴tan （4π+x ）43=-.∴cos x ＝cos[（4π+x ）4π-]＝cos （4π+x ）cos 4π+sin （4π+x ）sin 3452π=⨯+（45-）210⨯=-. ∴sin x ＝sin[（4π+x ）4π-]＝sin （4π+x ）cos 4π-sin 4πcos （4π+x ）＝（45-）35=， 可得sin2x ＝2sin x cos x ＝2×（10-）725=. ∴2sin 22sin 71tan 25x x x +=⨯-（43-）2875=-.故答案为：725；2875-. 此题考查三角函数恒等变换公式，二倍角公式，同角三角函数的关系，属于中档题.三、填空题15．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项之积为T n ，若满足条件：a 1＞1，a 99•a 100﹣1＞0，99100101a a --＜，当T n 取得最大时，n ＝_____.【答案】99【解析】由已知结合等比数列的性质可得a 99＞1＞a 100，进而可求. 【详解】解：由a 1＞1，a 99•a 100﹣1＞0，99100101a a --＜，可得a 99＞1＞a 100， 所以当n ＝99时，T n 最大. 故答案为：99 【点睛】此题考查等比数列的性质的简单应用，属于基础题.16．已知函数()224f x x mx =--+，若对于任意[],2x m m ∈+，都有()0f x >成立，则实数m 的取值范围为_____.【答案】⎛ ⎝⎭【解析】问题转化为()()020f m f m ⎧⎪⎨+⎪⎩＞＞，解一元二次不等式组，即可求出结果.【详解】函数()224f x x mx =--+，若对于任意[],2x m m ∈+，都有()0f x >成立，只需满足：()()020f m f m ⎧⎪⎨+⎪⎩＞＞即可，整理得：()()22224022240m m m m m ⎧--+⎪⎨-+-++⎪⎩＞＞， 解得232333803m m ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＜＜＜＜，即2303m ＜＜. 故m 的取值范围是230,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：230,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于中档题.17．不共线的向量a r ，b r 的夹角为θ，若向量2a b -r r 与a b -r r 的夹角也为θ，则cos θ的最小值为_____. 【答案】22【解析】可根据向量的加减法的几何意义，作出图形，可得三角形相似，利用余弦定理、三角形相似列出方程，表示出cos θ，然后求其最小值. 【详解】如图，不妨令AB BC a ==u u u r u u u r r ，AD b =u u u r r，10a b x ==r r ，＞则DB a b =-u u u r r r ，2DC a b =-u u u r r r ，∴∠A ＝∠BDC ＝θ，∠C 是公共角， ∴△ADC ∽△DBC. 则DC ADBC DB=①. 在△ADC 中，DC 2＝AD 2+AC 2﹣2×AD ×AC ×cos θ＝x 2+4﹣4x cos θ. 在△DBA 中，DB 2＝x 2+1﹣2x cos θ，结合①可得：222244cos 112cos x x x x x θθ+-=+-， 整理得2222()6cos 8cos 0x x xx θθ⎛⎫+-⋅++= ⎪⎝⎭， 即2223cos cos x x θθ⎡⎤⎢⎛⎫+-=⎝⎣ ⎥⎪⎦⎭，所以23cos cos x x θθ+-=或23cos cos x xθθ+-=-，即24cos x x θ+=≥=cos 2θ≥.或22cos x x θ+=，因为2x x+≥2cos θ≤2，故舍去.故cos 2θ≥.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查向量的夹角问题，余弦定理的应用，属于中档题.四、解答题18．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+(0ϕπ<<)，它的图象的一条对称轴是直线x 12=π. (1)求ϕ的值及函数()f x 的递增区间；(2)若3()5f α=，且,123ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α.【答案】(1)3πϕ=；单调增区间为()51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，；(2)310+.【解析】(1)由已知结合正弦函数的对称性可求ϕ，代入已知函数解析式后，结合正弦函数的单调性，即可求解；(2)由已知结合同角三角函数平方关系，求出cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭，再将sin 2α变为sin 233ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角差的正弦公式展开，即可求解.【详解】 (1)直线12x π=是函数图象的一条对称轴，所以2122k ⨯+=+ππϕπ，k Z ∈，所以,3k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， (2)因为3()5f α=，所以3sin 235πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为,123ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以2,32ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以cos 203πα⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以4cos 235⎛⎫+==- ⎪⎝⎭πα， 所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 333333⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππππαααα314525⎛⎫=⨯--=⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查求三角函数的图象性质及给值求值问题，同时考查同角三角函数关系，两角差的正弦公式及角的变换，属于中档题.19．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，4BC =，60DAB ∠=o ，点E 是线段BC 的中点.(1)求AC AE ⋅uuu r uu u r的值；(2)若AF AE AD λ=+u u u r u u u r u u u r，且BD AF ⊥，求λ的值.【答案】(1)18；(2)12λ=-. 【解析】(1)根据条件，可以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，从而可得出AC AE u u u r u u u r，的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可；(2)可以得出(023)，BD =u u u r ，(32323)，AF =++u u u r λλ，然后根据BD AF ⊥，即可得出0BD AF ⋅=u u u r u u u r，进行向量数量积的坐标运算，即可求出λ的值. 【详解】(1)以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(4,23)C ，3)E ，(2,3)D ，所以(43)，AC =u u u r ，(33)，AE =u u u r ，所以4323318AC AE ⋅=⨯+=u u u r u u u r；(2)(023)，BD =u u u r ，(32323)，AF =+u u u r λλ，因为BD AF ⊥，所以333)0BD AF ⋅==u u u r u u u rλ，解得12λ=-. 【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，选择恰当的点作为坐标原点建系及正确的写出各点坐标是关键，属于中档题.本题也可以AB u u u r ,AD u u u r作为基底，利用基底法求解.20．数列{}n a 前n 项和为n S ，满足23nn S =-，数列{}n b 为等差数列且23b S =，4224b b S -=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若1231n nc b b b b =++++L ，求数列{}n c 的前n 项和T n . 【答案】(1)a n 11122n n n --=⎧=⎨≥⎩，，，21n b n =+；(2)13112212n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 【解析】(1)先利用11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，求得a n ，然后根据23b S =，4224b b S -=，列出含d 的和1b 的方程组，求出d 与首项1b ，即可求得n b ；(2)先利用等差数列的求和公式，求123n b b b b ++++L ，再求n c ，然后利用裂项相消法即可求出n T .【详解】(1)当1n =时，11231a S ==-=-，当2n ≥时，11123(23)2n n n n n n a S S ---=-=---=，综上，11,12,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩； 由234224b S b b S =⎧⎨-=⎩，得1524b d d +=⎧⎨=⎩，解得123d b =⎧⎨=⎩， 所以3(1)221n b n n =+-⨯=+.(2)因为数列{}n b 为等差数列，所以123(24)(2)2n n b b b n n n b +==+++++L ， 所以()1111222n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以11111111(1)()()()2324352n T n n ⎡⎤=-+-+-++-⎢⎥+⎣⎦L 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 13112212n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题主要考查知n S 求n a ，求等差数列的通项及裂项相消法求和，属于中档题.21．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,若cos (cos )cos 0C A A B +=.(1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D，且AD =，求2a c +的取值范围. 【答案】(1)23B π=；(2)(2a c ⎤+∈⎦. 【解析】(1)利用三角形内角和定理将C 用()πA B -+代入，再利用诱导公式及两角和的余弦公式展开整理，即可求出角B ；(2)设BAD θ∠=，利用正弦定理将,a c 用θ表示，再利用三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质,即可求出取值范围.【详解】(1)由题意得cos[()](cos )cos 0A B A A B -+++=π，所以()cos cos cos cos 0A B A B A B -++=，所以cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B A B A B -+++=，所以sin sin sin 0A B A B +=，又角A 是三角形的内角，所以sin 0A ≠,所以sin 0B B +=，所以tan B =又(0,)B π∈，所以23B π=. (2)设BAD θ∠=，则ABD △中，由23B π=,可知03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π，由正弦定理及AD =，可得22sin sin sin 33BD AB AD ===⎛⎫- ⎪⎝⎭ππθθ， 所以2sin 2sin 3，BD AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭πθθ，又2a BD =， 所以所以4sin a θ=，2sin 3c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ，所以124sin 4sin 4sin 4sin 32a c ⎫⎛⎫+=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭πθθθθθ14sin 4sin 23⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πθθθ， 由03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π，可知2333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以sin 13⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦πθ，所以(2a c ⎤+∈⎦.【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，两角和的正弦公式的逆用，正弦定理及正弦型函数的值域，属于中档题.22．已知数列{a n }满足a 1＝3，a 232=，且2a n +1＝3a n ﹣a n -1. （1）求证：数列{a n +1﹣a n }是等比数列，并求数列{a n }通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和为T n ，若12n k T n >-对任意的正整数n 恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；113()2n n a -=⋅；（2）12k >.【解析】（1）由2a n +1＝3a n ﹣a n -1得1112n n n n a a a a +--=-，又a 2﹣a 132=-，则数列{a n +1﹣a n }是等比数列，进而求出其通项公式；（2）根据（1）中求得的结果，先求出na n ，再利用错位相减法求前n 项和T n ，然后求出k 的取值范围.【详解】（1）证明：∵2a n +1＝3a n ﹣a n -1，∴1112n n n n a a a a +--=-， 又a 2﹣a 132=-，∴数列{a n +1﹣a n }是首项为32-，公比为12的等比数列. ∴113()2n n n a a +-=-⋅， 即a 2﹣a 1132⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，a 3﹣a 2213()2=-⋅，…，a n ﹣a n -1113()2n -=-⋅（2n ≥）.等式两边同时相加得a n -a 11131122133()1212n n --⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-+⋅-（2n ≥）， 则113(),22n n a n -⋅≥=，又n ＝1也适合上式， ∴113()2n n a -=⋅.（2）∵012111113()6()9()3()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ①， ∴()121111113()6()33()3()22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯L ②， 由①﹣②得12113121111111133()3()3()3()3()66()3(12222222212n n n n n n T n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⨯+⨯++⨯-⨯=-⨯=-⨯-⨯-L∴()1126122nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭， 又12n k T n >-，即()112612122n k n n ⎛⎫-+⨯>- ⎪⎝⎭， ∴()16122n k n n ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭， 令 ()1612()2n n n n c =+⨯， 由()()()()121111618()612()221332n n n n n c c n n n n n ++=++⨯⎛⎫--=⨯- ⎪⎝⎭+⨯， ∴当1n =时，1n n c c +>；当2n ≥时，1n n c c +<.∴()2max 12n c c ==，12k ∴>.【点睛】本题考查等比数列，考查错位相减法求数列的前n 项和，属于中档题.。