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2022年第5期 福建中学数学 5 圆和双曲线存在结论1的类似情形． 而且结论2中的焦点可以替换为x轴上任意一点（不同于O），此时12kk仍然为定值（定值不再是4−）．所以结论1可以得到如下推广： 结论3 在平面直角坐标系xOy中，已知AB是抛物线的22(0)ypxx=>过x轴上定点E（不同于O）的弦，OAB∆的外接圆M交抛物线于点P（不同于OAB ，，），则M到AB，OP的距离之比为定值． 考虑到当点E不在x轴上时，“12kk为定值”不再成立，因此结论3必然不再成立．椭圆和双曲线类似的结论如下： 结论4 在平面直角坐标系xOy中，已知AB是椭圆的22221(0)xyabab+= >，过x轴上定点E（不同于O）的弦，T是椭圆x轴上顶点，TAB∆的外接圆M交椭圆于点P（不同于TAB ，，），则M到ABTP，的距离之比为定值． 结论5 在平面直角坐标系xOy中，已知AB是
双曲线的22221(0)xyabab−= >，过x轴上定点E（不同
于O）的弦，T是双曲线x轴上顶点，TAB∆的外
接圆M交双曲线于点P（不同于TAB ，，），则M到
ABTP，的距离之比为定值．
参考文献 [1]储炳南．由一道全国高中数学联赛试题所想到的[J]．数学通讯，2019（12）：61-63
[2]许书华．圆锥曲线顶点定值子弦性质的一般情形[J]．数学通讯，2013（12）：42-44
（本文系安徽省教育科学研究项目“基于学科核心素养的高中数学深度学习的教学策略研究”（JK20036）、“基于UBD的初中生逻辑推理素养培育的研究”（JK19081）阶段性成果之一）
2020年全国I卷理科数学第20题解法探究与推广 许素娜 云南省曲靖市麒麟区第九中学（655000） 1试题呈现 已知AB ，分别为椭圆22
2:1(1)xEyaa+=>的左、
右顶点，G为E的上顶点，8AGGB⋅=
，P为直线
6x=上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E
2023年高考数学试卷全国一卷22题解法探究模拟试卷一、选择题（每题1分，共5分）A.图解法B.公式法C.猜测法D.实证法2.全国一卷22题主要考察的是哪方面的数学知识？A.几何B.代数C.微积分D.概率论3.在解这类题目时，最重要的是什么？A.熟练掌握公式B.快速计算能力C.逻辑思维能力D.耐心和细心A.阅读题目B.确定解题方法C.检查计算结果A.独立思考B.参考多个解法C.盲目模仿他人解法D.与同学讨论二、判断题（每题1分，共5分）6.2023年高考数学试卷全国一卷22题的解法只有一种。
（）7.在解题过程中，可以完全依赖计算器。
（）8.探究解题方法时，理解题目背后的数学原理是必要的。
（）9.解题时，一旦确定了一种方法，就不需要考虑其他可能的方法。
（）10.全国一卷22题的难度高于其他题目。
（）三、填空题（每题1分，共5分）11.2023年高考数学试卷全国一卷22题主要考察的是______方面的知识。
12.在解题过程中，逻辑思维能力和______同样重要。
13.探究解题方法时，可以参考______、______和______等多种资源。
14.解题时，应该______，然后______，______。
15.全国一卷22题的解法探究有助于提高学生的______和______能力。
四、简答题（每题2分，共10分）16.请简述探究2023年高考数学试卷全国一卷22题解法的重要性。
17.在解题过程中，如何平衡逻辑思维能力和计算能力？18.为什么在探究解题方法时不应该盲目模仿他人解法？19.请列举三种有效的解题方法。
20.探究解题方法对于学生的数学学习有何影响？五、应用题（每题2分，共10分）21.假设你遇到了一个类似全国一卷22题的数学问题，请描述你的解题步骤。
22.请举例说明如何将逻辑思维能力应用于解题过程中。
23.如果你遇到了一个看似无解的问题，你会如何处理？24.请设计一个解题策略，以解决一个复杂的数学问题。
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对一道高考试题解法的探究
作者：江保兵
来源：《新智慧·下旬刊》2018年第01期
【摘 要】2017年普通高等学校招生全国统一卷1理科第17题是一道三角函数试题，试题
风格简洁朴素，平易近人。但它和往年的三角函数又迥然不同，它看似简单，却暗藏凶机，一
不小心，解题者就会无路可走，不了了之。本文展现的是笔者在解题时的一点感想，供大家参
考。
【关键词】高考试题 三角函数 解法 探究
一、试题再现
ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ΔABC的面积为a23sinA。（1）求
sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ΔABC的周长。
解：（1）SΔABC=12cbsinA=a23sinA，32cbsin2A=a2；由正弦定理：32（2RsinC）
（2RsinB）sin2A=（2RsinA）2，得到：sinBsinC=23
（2）cosBcosC=16，sinBsinC=23，cos（B+C）=cosBcosC-sinBsinC=-12.
所以B+C=2π3，A=π3；
然后呢？我们在解题中的问题出现了。
二、解法探究
（一）不以为然，几度放弃
思路1：sinBsinC=sinBsin2π3-B=sinB32cosB+12sinB=23，
34sin2B+1-cos2B4=23，sin2B-π6=56，
该题中，三角形ΔABC的形状是固定的，所以cos2B-π6的值应该是一个定值吧？在这
里，我们遇到了第一个困难，cos2B-π6的正负判断。暂时忽略这个困难，假定cos2B-
π6=116，沿着这个思路走下去，看看前方的风景。
cos2B=cos2B-π6+π6=cos2B-π6·32-sin2B-π6·12
=116·32-56·12=33-512；
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再来求sinB，这时可利用倍角公式，但这个复杂的结构，使人心生怯意。
sinB=1-cos2B2=1-33-5122=17-3324，
sinC怎么求？第一个想法是利用sinBsinC=23，第二个想法是检查我们的解题思路，由于
B，C的各种形式都是对称的，由sin2B-π6=56，一定可得到sin2C-π6=56，我们已经假定
cos2B-π6=116，所以由于B，C不相等，我们可以得到cos2C-π6=-116，这样我们通过同样的
运算，可以得到
sinC=17+3324.sinB+sinC=17-3324+17+3324。
好复杂，怎么办，是放弃还是继续？继续。
设x=17-3324+17+3324，两边平方，得：
x2=17-3324+17+3324+
217-3324·17+3324=1712+1612=114，x=112。
ΔABC的周长：a+b+c=3+2R（sinB+sinC）=3+3sinA·112=3+33。
思路2：cosBcosC=16，sinBsinC=23两式作比得：tanBtanC=4，又tan（B+C）=-3，得到
tanB+tanC=27，不妨设B
tanB=27-112，tanC=27+112，
到此，又看到繁锁的运算。由同名三角函数的运算，得到：
sinB=27-1133-9，sinC=27+1133+9
sinB+sinC=27-1133-9+27+1133+9=112；
ΔABC的周长：a+b+c=3+2R（sinB+sinC）=3+3sinA·112=3+33。
评析：这两种解题方法思路自然，但运算量太大，且各种关系错综复杂，难以判断，没有
一定的数学功底是无法完成的，它们显然不是解题的好方法。
（二）上下求索，稍见光明
思路3：b+c=2R（sinB+sinC），由题意，2R=asinA=23，
利用和差化积公式：sinB+sinC=2sinB+C2cosB-C2，
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再由倍角公式：cos2B-C2=1+cos（B-C）2=1+cosBcosC+sinBsinC2=1112，
所以：ΔABC的周长：a+b+c=a+2asinA·32·cosB-C2=3+43·32·1112=3+33.
评析：这种解题方法运算量不大，用到了三角函数中的和差化积公式，而这些公式在高考
中并不要求掌握，它也不是解题的好方法。
（三）转变思路，柳暗花明
思路4：cosBcosC=16，sinBsinC=23，
bc=（2RsinB）（2RsinC）=asinA2（sinB·sinC）=8，
由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA，
把a=3，bc=8，cosA=12代入到上式，得到：b+c=33，
ΔABC的周长：a+b+c=3+33。
思路5：cosBcosC=16，sinBsinC=23，
136=cos2Bcos2C=（1+sin2B）（1-sin2C），49=sin2B·sin2C，由此得到：
sinB+sinC=sin2B+sin2C+2sinBsinC=112，
ΔABC的周长：a+b+c=3+2R（sinB+sinC）=3+3sinA·112=3+33
评析：这两种解题方法运算量较小，用到了知识较为基本：正、余弦定理与简单的代数变
形，解题方法也较为基础：主要是消元的方法和解方程的思想，它正是我们所追求那种简洁高
效的解题方法。
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