第七章 不可压缩流体动力学基础

m y 2 2 2 x y
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28
A W ( z) z
Ax 2 2 x y
Ax 2 2 x y
Ay 流线 2 C1 2 x y
c2 c2 x y 2 2
2 2 2
Ax 等势线 2 C3 2 x y
u ,v y x
(M ) (M 0 )
M
M0
vdx udy y
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11
流函数的性质
1） 流函数可以差一任意常数，而不影响流体的 运动。 运动 2） 流函数与流线 数 线
x, y C
3） 流函数与体积流量
——流线
0
( div v 0 )
C11 C22 Cnn
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2
0 2 p ~ V V f t t 2
t t 0 : v v r , p p r
dW u iv i U dz
W ( z) U z
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2 点源与点汇
z x iy y re
i
W ( z ) a ln z
W ( z ) i a ln l r ia
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a ln r , a
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7
速度势函数性质
1） 速度势函数可允许相差一任意常数，而不影响 流体运动 流体运动。 2） 速度势的方向导数。
v m vm m
3）等势线。
( x, y ) C

Q
7.7 复位势及复速度
对于平面运动, 不可压无旋时流函数和势函数同时存在.且
u x y , v y x
所以, 和 满足柯西-黎曼条件,可用复变函数求解问题
和 满足柯西-黎曼条件, 则 w i 是复变量
z x i y 的解析函数
任一解析函数的实部和虚部都满足拉氏方程 不可压平面无旋运动
dw i u iv dz x x
解析函数 w(z)
7.7 复位势及复速度
引入复速度
V u iv V ei
V u iv V ei
共轭复速度
复位势 w( z ) i 的性质
W ( z) ln z 2 i
已知原点以外流动为无旋运动，无旋流动速度环量应 为0。在原点附近流动必是有旋流，原点以外无旋的圆周 运动是由于原点附近有旋运动诱导的结果，因此称为点涡 或自由涡。
当原点附近有旋流区为有限大时，则称该旋转核心与 周围无旋流的结合为兰金涡，旋转核心称为涡核。
7.9 基本流动
Vr r V 1 r Vz z
不可压连续方程
2
V 0
u v w 0 x y z
2 2 2 2 2 2 0 x y z
在理想、不可压缩、重力场、无旋运动时，运动方程为
7.1 引言、方程组
物体C上
无穷远 处
dw V dz
属于复变函数中求解析函数的范畴
7.9 基本流动
复变函数方法 解析函数
奇点法
保角映射方法 平面不可压无旋流动
解决实际不可压平面势流问题时：根据经验选用2个或 更多简单解析函数进行叠加。只要结果与给定的边界 条件相符，即为所求解

在节点4与大气(相当于另一节点)间,存在1— 4管段、3—4管段两根并联的支管。通常以管段 最长,局部构件最多的一支参加阻力叠加。而另外 一支则不应加入,只按并联管路的规律,在满足流 量要求下,与第一支管路进行阻力平衡。
图7-16 枝状管网
管网计算基础
管网计算基础
（7-49）
求出管径d,并定出局部构件型式及尺寸。 最后进行校核计算，计算出总阻力与已知水头核对。
图7-2 孔口收缩与位置关系
2.孔口淹没出流
，求解得 ，则出流流量为
孔口淹没出流
2—2断面比C—C 断面大得多，所以
图7-5 孔板流量计 μ值
孔口淹没出流
【例7-3】 房间顶部设置夹层，把处理过的清洁空 气用风机送入夹层中，并使层中保持300Pa的压强。 清洁空气在此压强作用下，通过孔板的孔口向房间流 出，这就是孔板送风 (见图7-6)。求每个孔口出流的 流量及速度。孔的直径为1cm。
图7-1 孔口自由出流
孔口自由出流
由于水在容器中流动的沿程损失甚微，故仅在孔口处发生能量损失。图7-1所示 具有锐缘的孔口，出流与孔口壁接触仅是一条周线，这种条件的孔口称为薄壁孔口。 若孔壁厚度和形状促使流股收缩后又扩开，与孔壁接触形成面而不是线，这种孔口称 为厚壁孔口或管嘴。
无论薄壁、厚壁孔口或管嘴，能量损失都发生在孔与嘴的局部，称其为局部损失， 对比管路流动而言，这正是该流动的特点。
(7-39)
管路的串联与并联
将式(7-40)和式(7-38)代入式(7-37)中得到
（7-41）
（7-43）
管路的串联与并联
以上两式即为并联管路流量分配规律。 式(7-43)的意义在于,各分支管路的管段几何尺寸、局部构件确定后,按 照节间各分支管路的阻力损失相等的原理来分配各支管的流量,阻抗S大的支 管流量小,S小的支管流量大。

自学p172111211112111131322221111gqgpzgvvdsgpzgqvvdsgpzgsvvdsgpzgdsvssss?????????????????????????????????????????????????????????????73总流伯努利方程gdqhgpgvzgdqgpgvzw??????????????????????????22221211224粘性流体的总流伯努利方程22222211121122dsgvhgpgvzdsgvgpgvzw??????????????????????????gvdshgvdsgpgvzgvdsgpgvzswss??????????????????????????????221222273总流伯努利方程???????????????????????222222211121122swvdshggqgpzgvgqgpzgv???????gvdshgvdsgpgvzgvdsgpgvzswss??????????????????????????????2212222lthgvgpzgvgpz??????222222221111????单位重量流体的水利损失上式适用条件
基本概念和运动分类以及推得的稳定流动基本方程，如能量方程、动量方程等均适
用于紊流流动。 应该指出，时间平均化的概念是人为的一种研究模型，其目的仅在于使研究过 程和方法简化。当涉及紊流物理本质问题时，就必须考虑流体质点相互混杂的影响。 例如在研究紊流流动能量损失时就不能应用牛顿内摩擦定律，必须考虑流体质点脉 动、混杂的影响。
层流转变为紊流； 流动状态由紊流转变为层流
V c f d , ,
' c
管中流速达 V c 下临界速度
因此，流动状态可以按管中速度值分为以下三种情况：

第三节 理想流体的旋涡运动
本节主要讲述理想流体有旋运动的理论基础，重点是速度环 量及其表征环量和旋涡强度间关系的斯托克斯定理。
一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度
涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：
2 V 也称为旋度
涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：
x
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：
有旋流动和无旋流动。
当


1

V

0
2
无旋流动
当


1

V

0
2
有旋流动
通常以
V
是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋的
判别条件。
在笛卡儿坐标系中：
V


vz y

v y z
i


vx z
Байду номын сангаас
w x
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
（4）旋转运动 dα dβ 且符号相反
则流体微团只发生旋转，不发生角变形 大多数情况下，流体微团在发生角变形的同时，还 要发生旋转运动。
2020/1/30 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
旋转角速度： dα v dt
还是无旋流动。
【解】：由于
x

1 2

vz y

v y z
0
y

1 vx 2 z
x

vz
x

0
z

1 2

v y x

式的连续性方程

x
vx


y
v y

z
vz



t
0
或
(v) 0
t
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控
制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常
流动。
在定常流动中，由于 0 t
x

0
对于不可压缩流体 vr 1 v vz vr 0
r r z r
式中 r 为极径； 为极角
球坐标系中的表示式为:
1 (vrr 2 ) 1 (v sin ) 1 v 0
t r 2 r
r sin
r sin
在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分： 分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点 引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形） 在A点引起的速度（变形运动）。
第三节 有旋流动和无旋流动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两 类：有旋流动和无旋流动。

vx y





2 x

2 y


2 z
前面在流体微团的分析中，已给出E点的速度为 :
vxE

vx

vx x
dx

vx y
dy

vx z
dz

v yE

vy

vy x
dx
vy y
dy

vy z
dz

vzE

的下标表示发生角变形的所在平面的法线方向。
三、亥姆霍兹速度分解定理 （了解）
设流体微团内某点M0(x,y,z),速度为ux0 、u y0 、uz0 ，
则邻边M0的另一点M (x+dx,y+dy,z+dz)的速度为
ux ux0 dux uy uy0 duy
uz uz0 duz
了。
四、 N-S方程
把（7-5-1）式和（7-5-6）式代入（7-4-1）式，消去应力
ux
对不可压缩流体有 x
uy y

uz z
0
代入得
X

1

p x

(
2u x x 2

2u x y 2

2u x z 2
)

dux dt
Y

1

p y

(
2u y x 2
3 xx
yy
zz
(7-5-4)
（3）
p


1 3
(
pxx

pyy

pzz )

pt

2 3
( ux
x

u y y

uz z
)
(7-5-5)
式中， pxx 、 pyy 、 pzz表示法向应力，
p 表示压强，
pt 表示理想流体压强。
代入（7-5-4）
（4）
p xx


p

2
u x x
（2）
ur

2r
cos 2

1 r
u 2r sin 2
解： ur

二、与时间无关的非牛顿流体
三、与时间有关的非牛顿流体
四、本构方程
xy
1 2
(1
2 )
1 2
( uy x
ux y
)
3、旋转角速度
若偏转角不等 d d 变形前后角分线AC的指向变化，表 示该微团旋转。
旋转角速度：夹角的分角线的旋转角速度定义为绕z轴的旋 转角速度。（相互垂直的两边的旋转角速度的平均值）
z
1 2
(1
2)
1 ( uy 2 x
ux y
)
x y
例题
第七章 理想流体二元 不可压缩流动
主要内容
➢流体微团运动的分析，势流、涡流 ➢平面势流（势函数和流函数；简单不可 压平面有势流动） ➢势流的迭加原理 ➢绕流的升力和阻力
§7-1 流体微团运动的分析，势流和涡流
一、概论
2、由于绕流流场的研究涉及到流体微团的运动状况及变形特点，故 要从一般流体微团运动出发，区别有旋和无旋性质。
2、角变形率 C’
B和A，C和D在y方向的位移量不等， 发生偏移。
y方向的速度差
uBy
uAy
u y x
dx
uCy
uDy
u y y
dx
(ux
ux y
dy)dt
B’ y
d
B
C A’ d D’
A
D
uxdt
AD→A’D’单位时间的转角或旋转角速度为ω1
x
1
d dt
ux y
同理
2Leabharlann d dtuy x角变形率：单位时间的角变形之半。
平动
线变形
角变形
转动
流体微团运动形式
1、线变形率

所以存在流函数ψ
v y dx vx dy v0 y
在极坐标系中
A A ABB来自B流函数的物理意义是：平面流动中 两条流线之间通过的流体流量，等于两 条流线上流函数的差。而且，沿流线全 长两流线之间的流量保持不变。
34
φ与ψ的关系：
由速度与速度势及流函数的关系可得
, x y y x 0 x x y y
15

例：如图一维剪切流动中，流体速度分布为
v x cy, v y 0
其中c为常数。判断流动是否无旋？ v0 y x vx
16
由判断条件
1 v y v x 1 z ( ) c0 2 x y 2
故运动是有旋的。
17
例：图示为流体质点绕某一圆心的旋转运动。已知 流体速度分布为
7不可压缩理想流体的平面运动
基本内容：
掌握有旋运动与无旋运动※
掌握势函数与流函数及其存在的条件※
熟悉势函数和流函数的求法
1
平面运动是指整个流场中流体速度都平行于某一
平面，且流体各物理量在与该平面垂直的方向上没有
变化的流动。例如空气横向绕过塔设备、高楼等的流 动,可视为垂直于柱体的平面流动。在工程实际中， 常见的是不可压缩理想流体的平面运动。 研究不可压缩理想流体的平面流动，首先要建立 运动微分方程，然后结合边界条件求解。
dvx vx x dx
4
经过∆t时间后，AB运动到A‫׳‬B‫，׳‬其长度的改变量为：
A
dvx AB AB (vx x)t vx t dx dvx t B A‫ ׳‬t+∆t B‫׳‬ xt x dx ∆x
vx∆t
(vx+(dvx/dx)∆x)∆t