•课题：对数——对数的运算性质 二.教学目标：1.要求学生掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程;2 •能较熟练地运用这些法则和联系的观点解决问题； 1 •证明对数运算性质；2 •证明方法与对数定义的联系。
对数的定义 logN =b ，掌握其中 指数式与对数式的互化，及几个重要公式; 指数运算法则(积、商、幕、方根) 2、对数的换底公式:log a b 二 __________ (成立的条件 ________________ )变形： ________________________2 .例题分析:例 1 .用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式：(1) log axy；z(2) log a 手-四•教学过程：(一) 复习：(1)(2)(3)(二) 新课讲解：1•对数的运算性质： 如果 a > ° , alog a (MN ) =log a M log a N ；log a log a M Nlog a M n =nlog a(1)(2) (3)证明：(性质1)设 log a M 二 p , 由对数的定义可得• MN =a pa q•- log a (MN )二 即证得log a MN 练习：证明性质 说明：(1) (2) (3) (4) 1 , M > ° , N > °, 那么-lOg a N ； M (n R).二q ， M =a p, N =a q, P F=a, p q ，= log a M log a N . 2.log a N (性质3) 设 log a M = p ，由对数的定义可得M =a p ，n np--M =a ,••• log a M n = np ,即证得 log a M n = nlog a M .语言表达：“积的对数 =对数的和”注意有时必须逆向运算：如 注意定义域：当心记忆错误: (简易表达以帮助记忆) ； log io 5 log® 2 = log® 1° = 1；log 2(* )( -5 ) = log 2 ( _3) log 2( _5 )是不成立的， log i°( T°)2 = 2log i°( -1°)是不成立的；log a (MN ) = log a M log a N ,log a ( M - N p-- log a M -log a试举反例，N ，试举反三.教学重、难点:a 与N 的取值范围;(3)lg 27 Ig8 -3lg 10lg1.2lg(33)2lg23-3lg102lg3 22 102(lg3 2lg2-1) lg3 2lg 2-1(4) log 152.25 +lg—+ln2亦)+log 5125 1000(5) lg 4 ■ lg5lg 20 (lg5)解：(1)原式=log 247 log 2 25= 7log 2 4 5log 22 =7 2 5 1 =19 ；1 2 2 2(2)原式=—|g10 lg10 =-5 55例3.计算：Ig243 _lg35 _5lg3_5 .(2)2lg9 lg3 2lg3 2 解：(1 )解法一： lg14 _2lg 7lg7 _lg1832= lg(2 7)-2(lg7-lg3) lg7-lg(3 2)= lg2 lg7 -2lg7 2lg3 lg7 -2lg3 -lg2=0 ；解法二： Ig14 -2lg 7lg7 —lg1837 2Wgq) Ig7-lg18,14 7 =lglg1 = 0 ；(7)2 18 3(1) Ig14 -21g7lg 7 -lg18 ；( 2)3lg9⑶ lg .27 Ig8-3lg .10 lg1.2说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。
第六节对数与对数函数学习要求:1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数,了解对数在化简运算中的作用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a>0,且a≠1).1.对数的概念(1)对数的定义:一般地,如果①a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作②x=logN ,其中③ a 叫做对数的底数,④N 叫做真数.a(2)几种常见的对数:对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0,且a≠1) ⑤log a N常用对数底数为10 ⑥lg N自然对数底数为e ⑦ln N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质:a log a N=⑧N ;log a a N=⑨N .(a>0,且a≠1)(2)对数的重要公式:换底公式:⑩log b N =log a N(a,b均大于0且不等于1);log a b,log a b·log b c·log c d=log a d (a,b,c均大于0且不等于1,d大于相关结论:log a b=1log b a0).(3)对数的运算法则:如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么 log a (MN )= log a M +log aN; log a MN = log a M -log a N ; log a M n = n log a M (n ∈R); lo g a m M n =nm log a M (m ,n ∈R,且m ≠0). 3.对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质定义域:(0,+∞) 值域:R图象恒过点(1,0),即x =1时,y =0 当x >1时,y >0; 当0<x <1时,y <0 当x >1时,y <0; 当0<x <1时,y >0 是(0,+∞)上的增函数 是(0,+∞)上的减函数4.反函数指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)与对数函数 y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y =x 对称. 知识拓展对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y =1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c <d <1<a <b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)log a (MN )=log a M +log a N. ( ) (2)log a x ·log a y =log a (x +y ). ( )(3)log 2x 2=2log 2x. ( ) (4)若log a m <log a n ,则m <n. ( )(5)函数y =ln 1+x1-x 与函数y =ln(1+x )-ln(1-x )的定义域相同.( )(6)对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a ,1),(1a ,-1),其图象经过第一,四象限.( )答案 (1)✕ (2)✕ (3)✕ (4)✕ (5)√ (6)√ 2.log 525+1612=( )A.94 B.6 C.214 D.9答案 B log 525+1612=log 552+(42)12=2log 55+4=6.故选B . 3.下列各式中正确的是( )A.log a 6log a3=log a 2 B.lg 2+lg 5=lg 7 C.(ln x )2=2ln x D.lg √x 35=35lg x答案 D 对于A 选项,由换底公式得log a 6log a3=log 36=1+log 32,故A 错;对于B 选项,lg 2+lg 5=lg(2×5)=1,故B 错; 对于C 选项,(ln x )2=ln x ×ln x ≠2ln x ,故C 错;对于D选项,lg √x 35=lg x 35=35lg x ,故D 正确.故选D.4.(2020安徽月考)已知a =log 23,b =(12)12,c =(13)13,则a ,b ,c 的大小关系是 ( )A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.c <b <a 答案 D 因为a =log 23>log 22=1,0<b =(12)12<(12)0=1,0<c =(13)13<(13)0=1, 又b 6=(12)3=18,c 6=(13)2=19,所以b 6>c 6,所以b >c ,即c <b <a.故选D.5.(2020河北唐山第十一中学期末)函数f (x )=lg(x -2)的定义域为 ( )A.(-∞,+∞)B.(-2,2)C.[2,+∞)D.(2,+∞)答案 D 函数f (x )=lg(x -2)的定义域为x -2>0,即x >2,所以函数f (x )=lg(x -2)的定义域为(2,+∞),故选D .6.(易错题)已知a >0,且a ≠1,则函数f (x )=a x 与函数g (x )=log a x 的图象可能是( )答案 B 由函数f (x )=a x 与函数g (x )=log a x 互为反函数,得图象关于y =x 对称,从而排除A,C,D.易知当a >1时,两函数图象与B 选项中的图象相同.故选B. 易错分析 忽视反函数的定义.对数的概念、性质与运算角度一 对数的概念与性质典例1 (1)若log a 2=m ,log a 5=n (a >0,且a ≠1),则a 3m +n = ( )A.11B.13C.30D.40 (2)已知2a =5b =10,则a+bab = . (3)设52log 5(2x -1)=9,则x = . 答案 (1)D (2)1 (3)2 角度二 对数的运算典例2 计算:(1)(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25; (2)log 3√2743+lg 5+7log 72+log 23·log 94+lg 2; (3)(log 32+log 92)·(log 43+log 83).解析 (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)·lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)·lg 2+2lg 5=(1+1)·lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.(2)原式=log 3334-1+lg 5+2+lg3lg2·2lg22lg3+lg 2=34-1+(lg 5+lg 2)+2+1=-14+1+3=154.(3)原式=log 32·log 43+log 32·log 83+log 92·log 43+log 92·log 83 =lg2lg3·lg32lg2+lg2lg3·lg33lg2+lg22lg3·lg32lg2+lg22lg3·lg33lg2=12+13+14+16=54. 规律总结对数运算的求解思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数的运算性质求解.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,将其转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.1.(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 20-log 23·log 38+2(1+log 25)= . 答案 9解析 原式=lg 5·(lg 5+lg 2)+lg 2+lg 10-log 23·log 28log 23+2·2log 25=1+1-3+10=9.2.如果45x =3,45y =5,那么2x +y = . 答案 1解析 ∵45x =3,45y =5,∴x =log 453,y =log 455,∴2x +y =2log 453+log 455=log 459+log 455=log 45(9×5)=1.对数函数的图象及应用典例3 (1)函数f (x )=ln|x -1|的大致图象是( )(2)当0<x ≤12时,4x <log a x (a >0,且a ≠1),则a 的取值范围是 ( )A.(0,√22) B.(√22,1) C.(1,√2) D.(√2,2)(3)已知函数f (x )=4+log a (x -1)(a >0,且a ≠1)的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是 .答案 (1)B (2)B (3)(2,4)解析 (1)当x >1时, f (x )=ln(x -1),又f (x )的图象关于直线x =1对称,所以选B .(2)易知0<a <1,函数y =4x与y =log a x 的大致图象如图所示,则由题意可知只需满足log a 12>412,解得a >√22,∴√22<a <1,故选B .方法技巧对数函数图象的应用方法一些对数型方程、不等式的问题常转化为相应函数的图象问题,利用数形结合求解.1.(2020黑龙江齐齐哈尔第六中学模拟)函数f(x)=|log a(x+1)|(a>0,且a≠1)的大致图象是()答案C函数f(x)=|log a(x+1)|的定义域为{x|x>-1},且对任意的x∈(-1,+∞),均有f(x)≥0,结合对数函数的图象可知选C.2.函数y=x-a与函数y=log a x(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象可能是()答案C当a>1时,对数函数y=log a x为增函数,当x=1时,函数y=x-a的值为负,故A、D错误; 当0<a<1时,对数函数y=log a x为减函数,当x=1时,函数y=x-a的值为正,故B错误,C正确.故选C.对数函数的性质及应用角度一比较对数值的大小典例4(1)(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo g1213,则a,b,c的大小关系为()A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2)已知f (x )满足f (x )-f (-x )=0,且在(0,+∞)上单调递减,若a =(79)-14,b =(97)15,c =log 219,则f (a ), f (b ), f (c )的大小关系为 ( )A.f (b )<f (a )<f (c )B.f (c )<f (b )<f (a )C.f (c )<f (a )<f (b )D.f (b )<f (c )<f (a ) 答案 (1)D (2)C解析 (1)由已知得c =log 23,∵log 23>log 2e>1,b =ln 2<1,∴c >a >b ,故选D . (2)∵f (x )-f (-x )=0,∴f (x )=f (-x ), ∴f (x )为偶函数.∵c =log 219<0,∴f (c )=f (-log 219) =f (-log 219)=f (log 29),∵log 29>log 24=2,2>(97)1>a =(79)-14=(97)14>(97)15=b >0,∴log 29>a >b.∵f (x )在(0,+∞)单调递减, ∴f (log 29)<f (a )<f (b ), 即f (c )<f (a )<f (b ). 故选C .角度二 解简单的对数不等式典例5 (1)函数f (x )=√(log 2x )-1的定义域为 ( )A.(0,12)B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞) D.(0,12]∪[2,+∞) (2)函数y =√log 3(2x -1)+1的定义域是 ( )A.[1,2]B.[1,2)C.[23,+∞)D.(23,+∞) 答案 (1)C (2)C角度三 对数函数性质的综合应用典例6 已知函数f (x )=log a (ax 2-x +1)(a >0,且a ≠1). (1)若a =12,求函数f (x )的值域;(2)当f (x )在[14,32]上为增函数时,求a 的取值范围. 解析 (1)当a =12时,ax 2-x +1=12x 2-x +1=12[(x -1)2+1]>0恒成立, 故函数f (x )的定义域为R,∵12x 2-x +1=12[(x -1)2+1]≥12,且函数y =lo g 12x 在(0,+∞)上单调递减,∴lo g 12(12x 2-x +1)≤lo g 1212=1,即函数f (x )的值域为(-∞,1]. (2)由题意可知,①当a >1时,由复合函数的单调性可知,必有y =ax 2-x +1在[14,32]上单调递增,且ax 2-x +1>0对任意的x ∈[14,32]恒成立,所以{x =12a ≤14,a ·(14)2-14+1>0,解得a ≥2;②当0<a <1时,同理可得必有y =ax 2-x +1在[14,32]上单调递减,且ax 2-x +1>0对任意的x ∈[14,32]恒成立,所以{x =12a ≥32,a ·(32)2-32+1>0,解得29<a ≤13.综上,a 的取值范围是(29,13]∪[2,+∞).规律总结1.比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间值进行比较.2.对数不等式的类型及解法(1)形如log a x >log a b (a >0,且a ≠1)的不等式,需借助y =log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,那么需要分为a >1与0<a <1两种情况讨论.(2)形如log a x >b (a >0,且a ≠1)的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式,再求解.1.设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则 ( )A.c >b >aB.b >c >aC.a >c >bD.a >b >c答案 D ∵a =log 36=1+log 32=1+1log 23,b =log 510=1+log 52=1+1log 25,c =log 714=1+log 72=1+1log 27,且log 27>log 25>log 23>0,∴a >b >c.2.(2019山东高考模拟)已知f (x )=e x -1+4x -4,若正实数a 满足f (log a 34)<1,则a 的取值范围是( )A.a >34 B.0<a <34或a >43 C.0<a <34或a >1 D.a >1答案 C 因为y =e x -1与y =4x -4都是在R 上的增函数,所以f (x )=e x -1+4x -4是在R 上的增函数,又因为f (1)=e 1-1+4-4=1,所以f (log a 34)<1等价于log a 34<1,所以log a 34<log a a ,当0<a <1时,y =log a x 在(0,+∞)上单调递减,所以a <34,故0<a <34; 当a >1时,y =log a x 在(0,+∞)上单调递增,所以a >34,故a >1, 综上所述,a 的取值范围是0<a <34或a >1.故选C.3.(2020上海高三专题练习)函数y=√log0.5(4x2-3x)的定义域为.答案[-14,0)∪(34,1]解析由题意可知0<4x2-3x≤1,解得x∈[-14,0)∪(34,1].4.函数f(x)=lo g13(-x2+2x+3)的单调递增区间是.答案[1,3)解析令u=-x2+2x+3,由u>0,解得-1<x<3,即函数f(x)的定义域为(-1,3),根据二次函数的图象与性质可知函数u=-x2+2x+3在(-1,1)上单调递增,在[1,3)上单调递减, 因为函数f(x)=lo g13u为单调递减函数,所以根据复合函数的单调性可得函数f(x)的单调递增区间为[1,3).5.已知函数f(x)=ln(√1+9x2-3x)+1,求f(lg 2)+f(lg12)的值.解析由√1+9x2-3x>0恒成立知函数f(x)的定义域为R,因为f(-x)+f(x)=[ln(√1+9x2+3x)+1]+[ln(√1+9x2-3x)+1]=ln [(√1+9x2+3x)·(√1+9x2-3x)]+2=ln 1+2=2,所以f(lg 2)+f(lg12)=f(lg 2)+f(-lg 2)=2.A组基础达标1.已知函数f(x)=log2(x2-2x+a)的最小值为2,则a= ()A.4B.5C.6D.7答案 B2.log29×log34+2log510+log50.25= ()A.0B.2C.4D.6答案 D 原式=2log 23×(2log 32)+log 5(102×0.25)=4+log 525=4+2=6. 3.(2020河北冀州中学模拟)函数y =√log 3(2x -1)+1的定义域是 ( ) A.[1,2] B.[1,2) C.[23,+∞) D.(23,+∞) 答案 C4.log 6[log 4(log 381)]的值为( )A.-1B.1C.0D.2 答案 C5.(2019河南郑州模拟)设a =log 50.5,b =log 20.3,c =log 0.32,则 ( )A.b <a <cB.b <c <aC.c <b <aD.a <b <c答案 B a =log 50.5>log 50.2=-1,b =log 20.3<log 20.5=-1,c =log 0.32>log 0.3103=-1,log 0.32=lg2lg0.3,log 50.5=lg0.5lg5=lg2-lg5=lg2lg0.2.∵-1<lg 0.2<lg 0.3<0,∴lg2lg0.3<lg2lg0.2,即c <a ,故b <c <a.故选B .6.若lg 2=a ,lg 3=b ,则log 418= ( ) A.a+3b a 2B.a+3b 2aC.a+2b a 2D.a+2b 2a答案 D log 418=lg18lg4=lg2+2lg32lg2.因为lg 2=a ,lg 3=b ,所以log 418=a+2b 2a.故选D .7.已知函数f (x )=lg 1-x1+x ,若f (a )=12,则f (-a )= ( ) A.2 B.-2 C.12 D.-12答案 D ∵f (x )=lg 1-x1+x 的定义域为{x |-1<x <1},且f (-x )=lg 1+x1-x =-lg 1-x1+x =-f (x ), ∴f (x )为奇函数,∴f (-a )=-f (a )=-12.8.设f (x )=lg(10x +1)+ax 是偶函数,则a 的值为 ( ) A.1 B.-1 C.12 D.-12答案 D 函数f (x )=lg(10x+1)+ax 的定义域为R,因为f (x )为偶函数,所以f (x )-f (-x )=0,即lg(10x +1)+ax -[lg(10-x +1)+a (-x )]=(2a +1)x =0,所以2a +1=0,解得a =-12.B 组 能力拔高9.已知f (x )=lo g 12x ,则不等式(f (x ))2>f (x 2)的解集为 ( ) A.(0,14) B.(1,+∞) C.(14,1) D.(0,14)∪(1,+∞)答案 D 由(f (x ))2>f (x 2)得(lo g 12x )2>lo g 12x 2⇒lo g 12x ·(lo g 12x -2)>0,即lo g 12x >2或lo g 12x <0,解得原不等式的解集为(0,14)∪(1,+∞).10.若x 、y 、z 均为正数,且2x =3y =5z ,则 ( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2x D.3y <2x <5z答案 D 令2x =3y =5z =k (k >1),则x =log 2k ,y =log 3k ,z =log 5k ,∴2x 3y =2lgklg2·lg33lgk =lg9lg8>1,则2x >3y ,2x 5z =2lgklg2·lg55lgk =lg25lg32<1,则2x <5z ,故选D . 11.(2020福建莆田第六中学模拟)已知函数f (x )=|log 3x |,实数m ,n 满足0<m <n ,且f (m )=f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则nm = . 答案 9解析 ∵f (x )=|log 3x |,实数m ,n 满足0<m <n ,且f (m )=f (n ),∴0<m <1<n ,-log 3m =log 3n ,∴mn =1. ∵f (x )在区间[m 2,n ]上的最大值为2,且函数f (x )在[m 2,1)上是减函数,在(1,n ]上是增函数, ∴-log 3m 2=2或log 3n =2.若-log 3m 2=2,则m =13(舍负),故n =3, 此时log 3n =1=-log 3m ,符合题意, 即nm =3÷13=9;若log 3n =2,则n =9,故m =19,此时-log 3m 2=4>2,不符合题意.故nm =9.C 组 思维拓展12.(2020四川攀枝花第七中学模拟)设函数f (x )=|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ,n ](m <n ),值域为[0,1],若n -m 的最小值为13,则实数a 的值为 . 答案 23解析 作出y =|log a x |(0<a <1)的大致图象如图所示,令|log a x |=1,得x =a 或x =1a ,又1-a -(1a -1)=1-a -1-a a=(1-a )(a -1)a<0,所以1-a <1a -1,所以n -m 的最小值为1-a =13,即a =23.13.若log a (a 2+1)<log a (2a )<0,则a 的取值范围是 . 答案 (12,1)解析 由题意得a >0且a ≠1,故必有a 2+1>2a ,又log a (a 2+1)<log a (2a )<0,所以0<a <1,又2a >1,所以a >12.综上,实数a 的取值范围为(12,1).14.已知2x ≤16且log 2x ≥12,求函数f (x )=log 2x2·lo g √2√x2的值域. 解析 由2x ≤16得x ≤4,∴log 2x ≤2, 又log 2x ≥12,∴12≤log 2x ≤2,f (x )=log 2x2·lo g √2√x 2=(log 2x -1)·(log 2x -2) =(log 2x )2-3log 2x +2 =(log 2x -32)2-14,∴当log 2x =32时, f (x )min =-14.又当log 2x =12时, f (x )=34; 当log 2x =2时, f (x )=0, ∴当log 2x =12时, f (x )max =34. 故函数f (x )的值域是[-14,34].15.已知函数f (x )=3-2log 2x ,g (x )=log 2x.(1)当x ∈[1,4]时,求函数h (x )=[f (x )+1]·g (x )的值域;(2)如果对任意的x ∈[1,4],不等式f (x 2)·f (√x )>k ·g (x )恒成立,求实数k 的取值范围. 解析 (1)h (x )=(4-2log 2x )·log 2x =-2(log 2x -1)2+2. 因为x ∈[1,4],所以log 2x ∈[0,2], 故函数h (x )的值域为[0,2]. (2)由f (x 2)·f (√x )>k ·g (x )得 (3-4log 2x )·(3-log 2x )>k ·log 2x. 令t =log 2x ,因为x ∈[1,4], 所以t =log 2x ∈[0,2],所以(3-4t )·(3-t )>k ·t 对任意的t ∈[0,2]恒成立. 当t =0时,k ∈R; 当t ∈(0,2]时,k <(3-4t )(3-t )t 恒成立,即k <4t +9t -15恒成立. 因为4t +9t ≥12,当且仅当4t =9t ,即t =32时取等号, 所以(4t +9t -15)min =-3,则k <-3.综上,实数k 的取值范围是(-∞,-3).高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
１．对数的概念如果a x＝N（a＞0且a≠１），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数．２．对数的性质、换底公式与运算性质（１）对数的性质：１a log a N＝N；２log a a b＝b（a＞0，且a≠１）．（２）换底公式：log a b＝错误!（a，c均大于0且不等于１，b＞0）．（３）对数的运算性质：如果a＞0，且a≠１，M＞0，N＞0，那么：１log a（M·N）＝log a M＋log a N；２log a错误!＝log a M—log a N；３log a M n＝n log a M（n∈R）．３．对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝log a x（a＞0且a≠１）叫做对数函数图象a＞１0＜a＜１性质定义域：（0，＋∞）值域：R当x＝１时，y＝0，即过定点（１,0）当0＜x＜１时，y＜0；当x＞１时，y＞0当0＜x＜１时，y＞0；当x＞１时，y＜0在（0，＋∞）上为增函数在（0，＋∞）上为减函数４．反函数指数函数y＝a x（a＞0且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0且a≠１）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．错误!１．换底公式的两个重要结论（１）log a b＝错误!；（２）log am b n＝错误!log a b.其中a＞0且a≠１，b＞0且b≠１，m，n∈R，m≠0．２．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝１，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜１＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝log２（x＋１）是对数函数．（）（２）log２x２＝２log２x. （）（３）函数y＝ln错误!与y＝ln（１＋x）—ln（１—x）的定义域相同．（）（４）对数函数y＝log a x（a＞0且a≠１）的图象过定点（１,0），且过点（a,１），错误!，函数图象不在第二、三象限．（）[答案]（１）×（２）×（３）√（４）√二、教材改编１．（log２9）·（log３４）＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．４D[（log２9）·（log３４）＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝４．故选Ｄ．]Ａ．a＞b＞cＢ．a＞c＞bＣ．c＞b＞aＤ．c＞a＞bD[因为0＜a＜１，b＜0，c＝log错误!错误!＝log２３＞１．所以c＞a＞b.故选Ｄ．]３．函数y＝的定义域是________．[由（２x—１）≥0，,得0＜２x—１≤１．,∴错误!＜x≤１．,∴函数y＝的定义域是.]４．函数y＝log a（４—x）＋１（a＞0，且a≠１）的图象恒过点________．（３,１）[当４—x＝１即x＝３时，y＝log a１＋１＝１．,所以函数的图象恒过点（３,１）．]考点１对数式的化简与求值对数运算的一般思路（１）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．（２）合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．１．设２a＝５b＝m，且错误!＋错误!＝２，则m等于（）Ａ．错误!Ｂ．１0Ｃ．２0 Ｄ．１00A[由已知，得a＝log２m，b＝log５m，,则错误!＋错误!＝错误!＋错误!,＝log m２＋log m５＝log m １0＝２．,解得m＝错误!.]２．计算：错误!÷１00错误!＝________.—２0 [原式＝（lg ２—２—lg ５２）×１00错误!＝lg错误!×１0＝lg １0—２×１0＝—２×１0＝—２0．]３．计算：错误!＝________.１[原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝１．]对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论．在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形．考点２对数函数的图象及应用对数函数图象的识别及应用方法（１）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项．（２）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．（１）（２0１9·浙江高考）在同一直角坐标系中，函数y＝错误!，y＝log a（a ＞0，且a≠１）的图象可能是（）A BC D（２）当0＜x≤错误!时，４x＜log a x，则a的取值范围是（）Ａ．0，错误!Ｂ．错误!，１Ｃ．（１，错误!）Ｄ．（错误!，２）（１）D（２）B[（１）对于函数y＝log a，当y＝0时，有x＋错误!＝１，得x＝错误!，即y＝log a的图象恒过定点错误!，0，排除选项A、C；函数y＝错误!与y＝log a在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选Ｄ．（２）构造函数f（x）＝４x和g（x）＝log a x，当a＞１时不满足条件，当0＜a＜１时，画出两个函数在的图象，可知f＜g，即２＜log a错误!，则a＞错误!，所以a的取值范围为.][母题探究]１．（变条件）若本例（２）变为：若不等式x２—log a x＜0对x∈恒成立，求实数a的取值范围．[解] 由x２—log a x＜0得x２＜log a x，设f１（x）＝x２，f２（x）＝log a x，要使x∈时，不等式x２＜log a x恒成立，只需f１（x）＝x２在上的图象在f２（x）＝log a x图象的下方即可．当a ＞１时，显然不成立；当0＜a＜１时，如图所示．要使x２＜log a x在x∈上恒成立，需f１≤f２，所以有错误!≤log a错误!，解得a≥错误!，所以错误!≤a＜１．即实数a的取值范围是.２．（变条件）若本例（２）变为：当0＜x≤错误!时，错误!＜log a x，求实数a的取值范围．[解] 若错误!＜log a x在x∈成立，则0＜a＜１，且y＝错误!的图象在y＝log a x图象的下方，如图所示，由图象知错误!＜log a错误!，所以解得错误!＜a＜１．即实数a的取值范围是.１．（２0１9·合肥模拟）函数y＝ln（２—|x|）的大致图象为（）,A BC DA[令f（x）＝ln（２—|x|），易知函数f（x）的定义域为{x|—２＜x＜２}，且f（—x）＝ln（２—|—x|）＝ln（２—|x|）＝f（x），,所以函数f（x）为偶函数，排除选项C，Ｄ．,当x＝错误!时，f错误!＝ln 错误!＜0，排除选项B，故选Ａ．]２．已知函数y＝log a（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠１）的图象如图，则下列结论成立的是（）Ａ．a＞１，c＞１Ｂ．a＞１,0＜c＜１Ｃ．0＜a＜１，c＞１Ｄ．0＜a＜１,0＜c＜１D[由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0＜a＜１,0＜c＜１．]３．设方程１0x＝|lg（—x）|的两个根分别为x１，x２，则（）Ａ．x１x２＜0 Ｂ．x１x２＝0Ｃ．x１x２＞１Ｄ．0＜x１x２＜１D[作出y＝１0x与y＝|lg（—x）|的大致图象，如图．显然x１＜0，x２＜0．不妨令x１＜x２，则x１＜—１＜x２＜0，所以１0x１＝lg（—x１），１0x２＝—lg（—x２），此时１0x１＜１0x２，即lg（—x１）＜—lg（—x２），由此得lg（x１x２）＜0，所以0＜x１x２＜１，故选Ｄ．]考点３对数函数的性质及应用解与对数函数有关的函数性质问题的３个关注点（１）定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．（２）底数与１的大小关系．（３）复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．比较大小（１）（２0１9·天津高考）已知a＝log５２，b＝log0．５0．２，c＝0．５0．２，则a，b，c 的大小关系为（）Ａ．a＜c＜bＢ．a＜b＜cＣ．b＜c＜aＤ．c＜a＜b（２）已知a＝log２e，b＝ln ２，c＝log错误!错误!，则a，b，c的大小关系为（）Ａ．a＞b＞cＢ．b＞a＞cＣ．c＞b＞aＤ．c＞a＞b（１）A（２）D[（１）因为a＝log５２＜log５错误!＝错误!，b＝log0．５0．２＞log0．５0．５＝１，c＝0．５0．２＝错误!错误!＞错误!，0．５0．２＜１，所以a＜c＜b，故选Ａ．（２）因为a＝log２e＞１，b＝ln ２∈（0,１），c＝log错误!错误!＝log２３＞log２e＞１，所以c ＞a＞b，故选Ｄ．]对数值大小比较的主要方法（１）化同底数后利用函数的单调性．（２）化同真数后利用图象比较．（３）借用中间量（0或１等）进行估值比较．解简单对数不等式（１）若log a错误!＜１（a＞0且a≠１），则实数a的取值范围是________．（２）若log a（a２＋１）＜log a２a＜0，则a的取值范围是________．（１）错误!∪（１，＋∞）（２）错误![（１）当0＜a＜１时，log a错误!＜log a a＝１，∴0＜a＜错误!；当a＞１时，log a错误!＜log a a＝１，∴a＞１．∴实数a的取值范围是错误!∪（１，＋∞）．（２）由题意得a＞0且a≠１，故必有a２＋１＞２a，又log a（a２＋１）＜log a２a＜0，所以0＜a＜１，同时２a＞１，所以a＞错误!.综上，a∈错误!.]对于形如log a f（x）＞b的不等式，一般转化为log a f（x）＞log a a b，再根据底数的范围转化为f（x）＞a b或0＜f（x）＜a b.而对于形如log a f（x）＞log b g（x）的不等式，一般要转化为同底的不等式来解．和对数函数有关的复合函数解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤已知函数f（x）＝log a（３—ax）．（１）当x∈[0,２]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；（２）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[１,２]上为减函数，并且最大值为１？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．[解]（１）因为a＞0且a≠１，设t（x）＝３—ax，则t（x）＝３—ax为减函数，x∈[0,２]时，t（x）的最小值为３—２a，当x∈[0,２]时，f（x）恒有意义，即x∈[0,２]时，３—ax＞0恒成立．所以３—２a＞0．所以a＜错误!.又a＞0且a≠１，所以a∈（0,１）∪错误!.（２）t（x）＝３—ax，因为a＞0，所以函数t（x）为减函数．因为f（x）在区间[１,２]上为减函数，所以y＝log a t为增函数，所以a＞１，当x∈[１,２]时，t（x）最小值为３—２a，f（x）最大值为f（１）＝log a（３—a），所以错误!即错误!故不存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[１,２]上为减函数，并且最大值为１．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与１的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．１．已知函数f（x）＝log0．５（x２—ax＋３a）在[２，＋∞）单调递减，则a的取值范围为（）Ａ．（—∞，４] Ｂ．[４，＋∞）Ｃ．[—４,４] Ｄ．（—４,４]D[令g（x）＝x２—ax＋３a，因为f（x）＝log0．５（x２—ax＋３a）在[２，＋∞）单调递减，所以函数g（x）在区间[２，＋∞）内单调递增，且恒大于0，所以错误!a≤２且g（２）＞0，所以a≤４且４＋a＞0，所以—４＜a≤４．故选Ｄ．]２．函数y＝log a x（a＞0且a≠１）在[２,４]上的最大值与最小值的差是１，则a＝________.２或错误![分两种情况讨论：１当a＞１时，有log a４—log a２＝１，解得a＝２；２当0＜a＜１时，有log a２—log a４＝１，解得a＝错误!.所以a＝２或错误!.]３．设函数f（x）＝若f（a）＞f（—a），则实数a的取值范围是________．（—１,0）∪（１，＋∞）[由题意得错误!或解得a＞１或—１＜a＜0．]。
