第6讲 对数与对数函数(教师版)

对数函数1对数的概念①概念一般地，如果a x=N(a>0 ,且a≠1)，那么数x 叫做以a为底N的对数，记作x=log a N. (a底数， N真数， log a N对数)②两个重要对数常用对数以10为底的对数，log10 N记为lgN；自然对数以无理数e为底的对数的对数，log e N记为ln N．③对数式与指数式的互化x=log a N ⟺a x=N对数式指数式④结论(1)负数和零没有对数(2)log a a=1，log a1=0.特别地，lg 10=1，lg 1=0，lne=1，ln 1=0.2 对数的运算如果a>0， a ≠ 1 , M>0 ,N>0 , 有①log a(MN)=log a M+log a N②log a MN=log a M−log a N③log a M n=n log a M(n∈R)④a log a M=M⑤换底公式log a b=log c blog c a(a>0 ,a≠ 1 ,c>0 ,c≠ 1 ,b>0)利用换底公式推导下面的结论①log a b=1log b a ② log a b⋅ log b c=log a c ③log a m b n=nmlog a b特别注意：log a MN ≠ log a M⋅ log a N，log a(M ±N)≠ log a M± log a N3 对数函数①对数函数的概念函数y=log a x(a>0 ,a ≠1)叫做对数函数，其中x是自变量.②图像与性质【题型一】对数的化简与求值+log38−5log53+(lg5)2+lg2×lg50【典题1】求值2log32−log3329+log38−5log53+(lg5)2+lg2×lg50【解析】2log32−log3329+log38−3+(lg5)2+2lg2∙lg5+(lg2)2=log34−log3329×8)−3+(lg5+lg2)2=log3(4×932=2−3+1=0．∈(n ,n+1)，n∈N，则n的值是.【典题2】若x ,y ,z∈R+，且3x=4y=12z，x+yz【解析】令3x =4y =12z =k >1．则x =log 3k =lgklg3， y =log 4k =lgklg4 ，z =log 12k =lgklg12． (利用换底公式，把数值化为同底，有利于x+y z求值去掉k )∴x+y z=lgk lg3+lgklg4lgk lg12=lg12⋅lg12lg3∙lg4=(lg3+lg4)2lg3∙lg4=lg3lg4+lg4lg3+2，(∵x+y z∈(n ,n +1)，∴要对lg3lg4+lg4lg3+2进行估值，要把其值的整数部分求出)∵0<lg3lg4<1 ∴lg3lg4+lg4lg3>2 (利用对勾函数可得) ∴lg3lg4+lg4lg3+2>4， ∵lg4lg3<2 ,lg3lg4<1 ∴lg3lg4+lg4lg3+2<5,则x =lg3lg4+lg4lg3+2∈(4 ,5)=(n ,n +1)， 则n =4． 巩固练习1 (★) 已知函数f(x)={3x (x ≤0)log 2x ,(x >0)，则f [f (12)]= .【答案】 13【解析】∵f(x)={3x (x ≤0)log 2x(x >0)，∴f(12)=log 212=−1．则f[f(12)]=f(−1)=3−1=13．2 (★) (lg2)2+lg5×lg20+(√2016)0+0.027−23×(13)−2= ．【答案】 102 【解析】(lg2)2+lg5•lg20+(√2016)0+0.027−23×(13)−2 ＝(lg2)2+lg5•(2lg2+lg5)+1+[(0.3)3]−23×9=(lg2+lg5)2+1+10.09×9 =1+1+100 =102．3(★★) 求值:lg √10⋅lg0.1= ．【答案】 −4 【解析】lg √10⋅lg0.1=3lg2+3lg5−lg2−lg512lg10⋅lg 110=2(lg2+lg5)−12=−44(★★) 求值:2log 214−(827)−23+lg 1100+(√2−1)lg1＝ ．【答案】 −3 【解析】2log 214−(827)−23+lg 1100+(√2−1)lg1=14−[(23)3]−23−2+(√2−1)0=14−94−2+1 ＝−3． 故答案为：−3．5(★★) 若a >1，b >1且lg(1+b a)=lgb ，则lg(a −1)+lg(b −1)的值 ． 【答案】 0【解析】∵a >1，b >1且lg(1+b a )=lgb ， ∴1+ba=b ，∴a +b =ab ， ∴lg(a −1)+lg(b −1)=lg[(a −1)(b −1)]=lg(ab −a −b +1)=lg1=0． 故选：C ．6(★★★) 已知2a =7b =m ，1a +12b=12，则m ＝ .【答案】 28【解析】∵2a =7b =m ，∴a =log 2m ，b =log 7m ， ∵1a +12b=12，∴log m 2+12×log m 7=log m (2√7)=12，∴√m =2√7，解得m =28． 故答案为28．7(★★★) 已知a >b >1，若log a b +log b a =52，a b =b a ，则ab ＝ ． 【答案】 8【解析】∵log a b +log b a =52；∴1 log b a +log b a=1+(log b a)2log b a=52；∴2(log b a)2−5log b a+2=0；解得log b a=12或log b a=2；∵a>b>1；∴log b a>1；∴log b a=2；∴a=b2；又a b=b a；∴b2b=b b2；∴b2=2b；∴b=2或b=0(舍去)；∴a=4；∴ab=8．故答案为：8．【题型二】对数函数的图象及应用【典题1】函数y=log a(|x|+1)(a>1)的图象大致是()A．B．C．D．【解析】方法1y=log a(|x|+1)={log a(x+1),x≥0log a(−x+1),x<0，因a>1，由对数函数的性质易得选B.方法2函数图象变换左移1个单位⇒去掉y轴左侧图象作关于y轴右侧对称⇒故选B．【点拨】涉及对数函数型的函数y=f(x)，往往需要得到其图象，方法有①利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；②利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.【典题2】设a ,b ,c均为正数，且2a=log12a，(12)b=log12b，(12)c=log2c，则()A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c【解析】 分别作出四个函数y =(12)x ,y =log 12x ，y =2x ，y =log 2x 的图象，观察它们的交点情况．由图象知a <b <c ．故选A ．【点拨】① 2a =log 12a 中a 是函数y =2x 与y =log 12x 的交点横坐标；② 函数y =2x 与y =log 2x 互为反函数，图象关于直线y =x 对称. 函数y =(12)x 与y =log 12x 也是.【典题3】 已知f(x)={3|log 3x| ,0<x ≤3(x −4)(x −6) ,x >3，若f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且a <b <c <d ，则abcd 的取值范围是 .思考痕迹 已知条件f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，相当于y =f(x)与一直线y =k 相交于四个点，四点的横坐标是a 、b 、c 、d ，所以想到数形结合.【解析】 先画出f(x)={3|log 3x| ,0<x ≤3(x −4)(x −6) ,x >3的图象，如图∵a ,b ,c ,d 互不相同，不妨设a <b <c <d ． 且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，3<c <4． 由图可知|log 3a |=|log 3b |，c 、d 关于x =5对称, ∴−log 3a =log 3b ，c +d =10，即ab =1 ,c +d =10， 故abcd =c (10−c )=−(c −5)2+25，由图象可知3<c <4， 由二次函数的知识可知21<−c 2+12c <24， ∴abcd 的范围为(21 ,24)．【点拨】 遇到分段函数，经常用数形结合的方法画出函数图象，注意一些关键的临界值，比如x =3处.巩固练习1(★) 已知lga +lgb =0，函数f(x)=a x 与函数g (x )=−log b x 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵lga +lgb =0，∴ab =1则b =1a从而g (x )=－log b x =log a x ，∴函数f(x)与函数g(x)的单调性是在定义域内同增同减 结合选项可知选B ， 故答案为B2(★) 已知图中曲线C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4分别是函数y =log a 1x ，y =log a 2x ，y =log a 3x ，y =log a 4x 的图象，则a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4的大小关系是( )A ．a 4<a 3<a 2<a 1B ．a 3<a 4<a 1<a 2C ．a 2<a 1<a 3<a 4D ．a 3<a 4<a 2<a 1 【答案】B【解析】选B .由已知图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，再利用log a a =1结合图象求解． 3(★★) 已知函数f(x)=|lnx|，若0<a <b ，且f(a)=f(b)，则a +5b 的取值范围是( ) A ．(2√5，+∞) B ．[2√5，+∞) C ．(6 ,+∞) D ．[6 ,+∞)【答案】 C【解析】函数f(x)=|lnx|⇔f(x)={−lnx(0<x <1)lnx(x >1)，又因为0<a <b ，故0<a <1，b >1， 又知道f(a)=f(b)， ∴－lna =lnb ，即1a =b ，∴设t =a +5b =a +5a，∵由对勾函数的性质可知,t 在(0,1)上单调递减，∴t >1+5=6，即a +5b >6， 故选：C ．4(★★) 已知函数f(x)=|log a |x −1||(a >0 ,a ≠1)，若x 1<x 2<x 3<x 4 ,x 1x 2x 3x 4≠0且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，则x 1+x 2+x 3+x 4=( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．随a 值变化 【答案】B【解析】函数f(x)=|log a |x －1||的图象如下图所示：有图可知，函数f(x)=|log a |x －1||的图象关于直线x =1对称， 又∵x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)， 则x 1+x 2+x 3+x 4=4． 故选：B5 (★★★) 已知函数f(x)=|log 2(x −1)|，g(x)=(12)x，则图象交于A(x 1 ,y 1) ,B(x 2 ,y 2)两点，则( )A ．x 1x 2<1B ．x 1+x 2>5C ．x 1+x 2>x 1x 2D ．x 1+x 2<x 1x 2【答案】C 【解析】不妨设x 1<x 2，作出f(x)和g(x)的图象，由图象知x 1<2，x 2>2，则f(x 1)=|log 2(x 1－1)|=－log 2(x 1－1),f(x 2)=|log 2(x 2－1)|=log 2(x 2－1)， 则f(x 2)－f(x 1)=log 2(x 2－1)+log 2(x 1－1)=log 2(x 1－1)(x 2－1)=(12)x 2−(12)x 1<0， 即(x 1－1)(x 2－1)<1，即x 1x 2－(x 1+x 2)+1<1，即x 1+x 2>x 1•x 2， 故选：C ．6 (★★★) 已知函数f(x)={|log 2x| ,0<x ≤8−14x +5 ,x >8，若a ,b ,c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc 的取值范围是 ． 【答案】(8 ,20)【解析】根据已知画出函数图象： 不妨设a <b <c ，∵f(a)=f(b)=f(c)，∴－log 2a =log 2b =−14c +5， ∴log 2(ab)=0，0<−14c +5<3， 解得ab =1，8<c <20， ∴8<abc <20． 故答案为(8,20)．7 (★★★) 已知函数f(x)=|log 2x |，g(x)=12x ，若对任意x ∈[a ,+∞)，总存在两个x 0∈[12 ,4]，使得g(x)∙f(x 0)=1，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[2 ,+∞) 【解析】f(x 0)=1g(x)=2x，∵x ∈[a,+∞)，∴f(x 0)≤2a，作出f(x)在[12，4]上的函数图象如图：∵对任意x ∈[a,+∞)，总存在两个x 0∈[12,4]，使得g(x)•f(x 0)=1，∴0<2a≤1，解得a≥2．故答案为[2,+∞)．【题型三】对数函数的性质及应用角度1 比较对数式的大小【典题1】已知a=log27 ,b=log38 ,c=0.30.2，则a，b，c的大小关系为() A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 【解析】由题意，可知a=log27>log24=2，c=0.30.2<0.30=1，∵1<log38<log39=2∴1<b<2，∴c<b<a．故选A．【典题2】设a=log23 ,b=43,c=log34，则a ,b ,c的大小关系为()A．b<a<c B．c<a<b C．a<b<c D．c<b<a【解析】∵a=log23>log2243=43=b ,b=43=log3343>log34=c，∴a ,b ,c的大小关系为c<b<a．故选D．【典题3】已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为() A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 【解析】由题意，可知a=log52<1，c=0.50.2<1，b=log0.50.2=log1215=log25>log24=2，(初步估值)∴b最大，a、c都小于1，(b,c还比较不出来，进一步估值)∵a=log52=1log25<12，c=0.50.2=(12)15=√125>12∴a<c，(引入第三数12比较)∴a<c<b，故选：A．【点拨】比较对数的大小，主要是利用对数函数的单调性，具体方法有①把对数化为同底，利用对数函数的单调性比较大小；②若不能化为同底，可对对数进行估值，一般可以与0，1比较大小；③利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.角度2 求解对数型不等式和方程【典题1】方程log2(x−1)=2−log2(x+1)的解集为．【解析】∵log2(x−1)=2−log2(x+1)，∴log2(x−1)=log24x+1，∴x−1=4x+1，解得x=±√5．检验得x=−√5不符合，(注意真数的范围)∴方程log2(x−1)=2−log2(x+1)的解集为{√5}．故答案为{√5}．【典题2】不等式log2(x2−1)<3的解集为.【解析】log2(x2−1)<3⇔log2(x2−1)<log28∴0<x2−1<8 (误解x2−1<8)解得−3<x<−1或1<x<3.【点拨】在处理对数的方程和不等式时不要忘记了“对数log a x中真数x>0”这点.角度3 对数型函数综合问题【典题1】函数y=log12(x2−6x+17)的值域是 .【解析】∵t=x2−6x+17=(x−3)2+8≥8∴内层函数的值域[8 ,+∞),而 y=log12t在[8 ,+∞)是减函数，故y≤log128=−3∴函数y=log12(x2−6x+17)的值域是(−∞ ,−3].【点拨】复合函数的值域先求内层函数值域再求外层函数.【典题2】已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足f(x+2)=−f(x)，当x∈(0 ,1]时，f(x)=2x−1，则方程f(x)=log7|x−2|解的个数是.【解析】函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，由f(x+2)=−f(x)，可得f(x+2)=f(−x)，∴f(x)的有条对称轴x=1，由f(x+2)=−f(x)，可得f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期T=4．(注由以上已知，较容易画出y=f(x)的图象，作图步骤如下①画f(x)=2x－1 ,x∈(0 ,1)②根据奇函数的性质③由对称轴x=1可得④由周期T=4可得)作出在同一坐标系中画y=f(x)和g(x)=log7|x−2|图象，注意到g(9)=1 ,g(−7)>1，(注意一些临界的位置)从图象不难看出，其交点个数7个．【点拨】①遇到函数综合性质问题(有单调性，对称性，周期性等)，一般通过数形结合的方法处理；②f(x+a)=f(x+b)⇒f(x)的周期T=a−b，f(x+a)=f(b−x)⇒f(x)的对称轴x=a+b2f(x+a)=−f(x)⇒f(x)的周期T=2af (x +a )=1f (x )⇒f (x )的周期T =2a .【典题3】设a >0，b >0，则下列叙述正确的是( )A ．若lna −2b >lnb −2a ，则a >bB ．若lna −2b >lnb －2a ，则a <bC ．若lna −2a >lnb −2b ，则a >bD ．若lna −2a >lnb －2b ，则a <b【解析】方法1 构造函数法∵y =lnx 与y =2x 均为增函数，故f(x)=lnx +2x 在(0 ,+∞)上为增函数，故f(a)>f(b)⇔a >b >0，即lna +2a >lnb +2b ⇔a >b >0，即lna −2b >lnb −2a ⇔a >b >0，故选A ．方法2 取特殊值排除法对于A 、B ，令a =1，b =1e ，代入lna −2b >lnb −2a 得−2e >−3显然成立， 而a >b ，此时可排除选项B ；对于选项C 、D ，令a =1，b =e ，代入lna −2a >lnb −2b 得−2>1−2e 显然成立，而a <b 可排除选项C ；令a =1，b =1e 2，代入lna −2a >lnb −2b 得−2>−2−2e 2显然成立，而a >b 可排除选项D ；故选A ．【点拨】① 方法1通过构造函数f(x)=lnx +2x ，利用其单调性进行选项判断.构造函数的方法到了高二还经常见，可以先熟悉先！② 方法2“取特殊值排除法”，在取数时一定要满足题目要求，尽量取容易计算的数值，要大胆尝试，能排除一个是一个.【典题4】已知函数f(x)=log 31−x 1+x ．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)当x ∈[−12 ,12]时，函数g(x)=f(x)，求函数g(x)的值域． 【解析】 (1)要使函数f(x)=log 31−x 1+x 的解析式有意义，自变量x 须满足1−x 1+x >0，解得x ∈(−1 ,1)，故函数f(x)的定义域为(－1 ,1)；(2)由(1)得函数的定义域关于原点对称，且f (−x )=log 31+x 1−x =−log 31−x 1+x =−f (x )，故函数f(x)为奇函数；(3)当x ∈[－12，12]时，令u(x)=1−x 1+x =21+x −1 (分离常数法) (注 函数图象如右图，由y =2x 向左向下平移一个单位得到的)故u(x)=1−x 1+x 在[−12 ,12]上为减函数，则u(x)∈[13 ,3]，又∵g(x)=f(x)=log 3u 为增函数，故g(x)∈[−1 ,1]，故函数g(x)的值域为[−1 ,1]．【点拨】① 遇到形如f (x )=a∙g (x )+b c∙g (x )+d 的函数(比如y =1−2x1+x ，y =2x −32x +4，y =3x 2+4x 2−1等)均可采取“分离常数法”，易求函数的单调性，对称性，最值等性质；② 求复合函数的值域，要分清楚内层函数与外层函数，分别对它们的单调性进行分析再求值域，函数的定义域优先考虑.【典题5】 设D 是函数y =f(x)定义域的一个子集，若存在x 0∈D ，使得f (x 0)=−x 0成立，则称x 0是f(x)的一个“准不动点”，也称f(x)在区间D 上存在准不动点．已知f(x)=log 12(4x +a ⋅2x −1)，x ∈[0 ,1]． (1)若a =1，求函数f(x)的准不动点；(2)若函数f(x)在区间[0 ,1]上存在准不动点，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)当a =1时，可得f (x )=log 12(4x +2x −1)=−x ，x ∈[0 ,1]， 可得4x +2x −1=2x ，即4x =1，∴x =0．当a=1，函数f(x)的准不动点为x0=0．(2)方法1 由定义可得方程log12(4x+a⋅2x−1)=−x在x∈[0 ,1]上有解，即方程4x+a⋅2x−1=2x在x∈[0 ,1]上有解, 且4x+a∙2x−1>0(∗)令2x=t，x∈[0 ,1]，则t∈[1 ,2]，那问题(∗)转化为方程t2+(a−1)t−1=0在[1 ,2]有解，且t2+at−1>0，令g(t)=t2+(a−1)t−1，开口向上且g(0)<0，所以y=g(t)在[1 ,2]上与x轴只有一个交点，则只需要g(1)g(2)≤0，解得−12≤a≤1，(一元二次方程根的分布问题，注意数形结合分析)要使t2+at−1>0(1≤t≤2)恒成立．其对称轴x=−a2，在1≤t≤2上是递增的，当t=1时最小值，可得a>0．综上可得实数a的取值范围是(0，1]．方法2与方法1同样得到方程t2+(a−1)t−1=0在[1 ,2]有解，且t2+at−1>0，即a=1−t+1t 在t∈[1 ,2]上有解，且a>1t−t在t∈[1 ,2]上恒成立(分离参数法)由ℎ(t)=1−t+1t 在t∈[1 ,2]上显然是减函数，其值域为[−12,1]，则−12≤a≤1；由d(t)=1t−t在t∈[1 ,2]上显然是减函数，最大值为d(1)=0，则a>0,综上可得实数a的取值范围是(0,1]．【点拨】①在第二问中不要漏了4x+a∙2x−1>0，求解过程中谨记等价转化，做到严谨；②第二问的方法1是采取了“二次方程根的分布问题”的处理技巧，注意结合二次函数图象进行思考；方法2是采取分离参数法转而求最值,巩固练习1(★)若a=log21.5 ,b=log20.1 ,c=20.2，则()A．c<b<a B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c【答案】D【解析】log 20.1<log 21.5<log 22=1，20.2>20=1；∴b <a <c ．故选：D ．2(★★) 设a =log 126,b =log 1412,c =log 1515，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．b <a <c D ．c <a <b【答案】 A【解析】a =log 126=−1−log 23=−1−1log 32，b =log 1412=−1−log 43=−1−1log 34，c =log 1515=−1−log 53=−1−1log 35；∵0<log 32<log 34<log 35；∴1log 32>1log 34>1log 35；∴a <b <c ．故选：A ．3(★★) f(x)是定义在R 上的函数，且f(2−x)=f(x)，当x ≥1时，f(x)=log 2x ，则有( )A ．f(13)<f(2)<f(12)B ．f(12)<f(2)<f(13)C ．f(12)<f(13)<f(2)D ．f(2)<f(12)<f(13)【答案】 C【解析】∵x ≥1时f(x)=log 2x ，∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，∵f(2－x)=f(x)，∴f(12)=f(2−12)=f(32)，f(13)=f(2−13)=f(53)，又1<32<53<2，∴f(32)<f(53)<f(2)，即f(12)<f(13)<f(2)，故选：C ．4(★★) 不等式log 2(2x −1)∙log 2(2x+1−2)<2的解集为 ．【答案】 (log 254 ,log 23)【解析】设t =log 2(2x －1)，则不等式可化为t(t +1)<2，所以t 2+t －2<0，所以－2<t <1．所以－2<log 2(2x －1)<1，所以2－2<2x －1<2所以54<2x <3所以解集为(log 254,log 23) 故选B ．5(★★) 函数f(x)=log 13(x 2−3x +2)的单调递增区间为 ． 【答案】 (−∞ ,1)6(★★) 方程log 2(4x −3)=x +1的解集为 ．【答案】 {log 23}【解析】∵log 2(4x －3)=x +1，∴2x+1=4x －3， ∴(2x )2－2•2x －3=0，解得2x =3，或2x =－1(舍)， ∴x =log 23．∴方程log 2(4x －3)=x +1的解集为{log 23}．故答案为：{log 23}．7(★★★) 已知函数f(x)=log a (x +1)，g(x)=2log a (2x +t)(t ∈R)，a >0，且a ≠1．(1)若1是关于x 的方程f (x )−g(x)=0的一个解，求t 的值；(2)当0<a <1且t =−1时，解不等式f(x)≤g(x)；(3)若函数F (x )=a f (x )+tx 2−2t +1在区间(−1 ,2]上有零点，求t 的取值范围．【答案】(1)t =√2−2 (2)12<x ≤54 (3)t ≤−2或t ≥2+√24．【解析】 (1)∵1是关于x 的方程f(x)－g(x)=0的一个解， ∴log a 2－2log a (2+t)=0，∴2=(2+t )2，∴t =√2−2；(2)当0<a <1且t =－1时，不等式f(x)≤g(x)可化为log a (x +1)≤2log a (2x －1)，故{x +1≥(2x −1)22x −1>0， 解得12<x ≤54； (3)F(x)=a f (x )+tx 2－2t +1=x +1+tx 2－2t +1=tx 2+x －2t +2， 令tx 2+x －2t +2=0，即t(x 2－2)=－(x +2)，∵x∈(－1,2]，∴x+2∈(1,4]，∴t≠0，x2－2≠0；∴1t =−x2−2x+2=−[(x+2)+2x+2]+4，∵2√2≤(x+2)+2x+2≤92，∴−12≤−[(x+2)+2x+2]+4≤4－2√2，∴−12≤1t≤4－2√2，∴t≤－2或t≥2+√24．。

【名师点睛】对数运算的一些结论 (1)logam bn＝mn logab. (2)logab·logba＝1. (3)logab·logbc·logcd＝logad.
3.对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
图象
0<a<1
定义域 值域
(0，＋∞) R
(续表)
y＝logax
a>1
0<a<1
过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0
题组一 走出误区 1.(多选题)下列结论错误的是( )
A.2lg 3≠3lg 2 B.若 MN>0，则 loga(MN)＝logaM＋logaN C.y＝log2x2 不是对数函数，而 y＝log2(－x)是对数函数 D.函数 y＝ln 11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域 相同 答案：ABC
解析：原式＝1－2log63＋log63lo2g＋64log663×log66×3 ＝1－2log63＋lologg63642＋1－log632＝212－lolgo6g263 ＝log6l6o－g6l2og63＝lloogg6622＝1.
答案：1
3.已知 2x＝12，log231＝y，则 x＋y 的值为________. 答案：2 4.设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝________.
[例 4](1)(2020 年新高考Ⅱ)已知函数 f(x)＝lg(x2－4x－
5)在(a，＋∞)单调递增，则 a 的取值范围是( )
A.(－∞，－1]
B.(－∞，2]
C.[2，＋∞)
D.[5，＋∞)
解析：由 x2－4x－5＞0，得 x＜－1 或 x＞5，即函数 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞).令t＝x2－4x－5， 则t＝(x－2)2－9，所以函数t在(－∞，－1)上单调递减， 在(5，＋∞)上单调递增，又函数y＝lg t在(0，＋∞)上 单调递增，从而函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)， 由题意知(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，∴a≥5.

写教案能帮助教师更好地安排课堂教学时间，教案要结合实际的教学进度和学生的学习能力，才能更好地帮助学生提高学习效果，下面是范文社小编为您分享的对数及对数函数教案8篇，感谢您的参阅。

对数及对数函数教案篇1【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。

2通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想。

3通过对对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。

二、识技能目标1理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，感受研究对数函数的意义。

2掌握对数函数的性质，并能初步应用对数的性质解决简单问题。

三、情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的.学习兴趣。

2在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

教学重点难点：1对数函数的定义、图象和性质。

2对数函数性质的初步应用。

教学工具：多媒体学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。

对数及对数函数教案篇2对数函数及其性质教学设计1.教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。

它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。

高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式”教学方法。

将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。

其理论依据为建构主义学习理论。

它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。

2.学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。

1 题目1
已知log35≈1.465，求log325的值。
3 题目2
已知log23≈1.585，求log63的值。
2 解答1
log325=log3((5)2)=2log35≈2×1.465≈2.93。
4 解答2
log63=log23/log26≈1.585/1.585≈1。
例题: 求解对数方程
1 题目1
求解方程log2(3x-2)=3。
3 题目2
求解方程log2x-14=log2(x-1)。
2 解答1
化为指数形式得：23=3x-2，解得x=7/3。
4 解答2
化为指数形式得：(2x-1)log42=x-1，解得x=3。
例题: 理解对数运算的应用
1 题目1
已知ab=c，则logac=?
2 解答1
根据对数的定义得：logac=b。
定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。

对数函数的图像特征
随着x的增加而变化
当x>1时，y随x的增加而增加；当x=1时，y=0；当 0<x<1时，y随x的减小而增加；当x<0时，对数函数 无意义。
渐近线
对数函数的图像有两条渐近线，即x轴和y轴的反比 例函数。
对数函数的性质
1
单调性
当a>1时，对数函数单调递增；当0<a<1
3 题目2
已知log23≈1.585，log27≈2.807，求log521 的值。
4 解答2
log221=log2(3×7)=log23+log27≈1.585+2.80 7=4.392。利用换底公式得： log521=log221/log25≈4.392/2.322≈1.892。