(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数6第6讲对数与对数函数教学案

第五节指数与指数函数[最新考纲][考情分析][核心素养]1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.指数函数中比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用仍是2021年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，分值为5分.1.逻辑推理2.数学抽象3.数学运算‖知识梳理‖1．根式的性质(1)(na)n＝1a(a使na有意义)．(2)当n是奇数时，na n＝2a；当n是偶数时，na n＝3|a|＝⎩⎨⎧a，a≥0，4－a，a<0.2．分数指数幂的意义(1)amn＝5na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)a－mn＝61amn＝71na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．3．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝8a r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝9a rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝10a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．4．指数函数的图象和性质函数y＝a x(a>0且a≠1)图象a>10<a<1(1)画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．(4)指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x 轴有交点，向上(或向下)平移a 个单位长度后，图象都在直线y ＝a (或y ＝－a )的上方．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)4（π－4）4＝π－4.( )(2)n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( ) (3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (4)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数. ( )(5)若a m >a n ，则m >n .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、走进教材2．(必修1P 56例6改编)若函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过⎝⎛⎭⎫2，13，则f (－1)＝( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．3答案：C3．(必修1P 59A 6改编)某种产品的产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使每年的产量比上一年增加p %，则该产品的产量y 随年数x 变化的函数解析式为( )A ．y ＝a (1＋p %)x (0<x <m )B ．y ＝a (1＋p %)x (0<x ≤m ，x ∈N )C ．y ＝a (1＋xp %)(0<x <m )D ．y ＝a (1＋xp %)(0<x ≤m ，x ∈N ) 答案：B 三、易错自纠4．计算[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9解析：选B 原式＝26×12－1＝23－1＝7.故选B ．5．当a >0且a ≠1时，函数f (x )＝a x －2－3的图象必过定点________． 解析：令x －2＝0，则x ＝2， 此时f (x )＝1－3＝－2，故函数f (x )＝a x －2－3的图象必过定点(2，－2)． 答案：(2，－2)6．若指数函数f (x )＝(a －2)x 为减函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵f (x )＝(a －2)x 为减函数， ∴0<a －2<1，即2<a <3. 答案：(2，3)考点 指数幂的运算|题组突破|1．求值：⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5.解：原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. 2．化简：56a 13×b －2×(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12.解：原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a －16b －3÷(a 13b －32)＝－54a －12b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.3．化简：a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)． 解：原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a32+16－1+13b1+13－2－13＝ab －1＝a b.►名师点津考点一 指数函数图象及应用【例1】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)已知f (x )＝|2x －1|，当a <b <c 时，有f (a )>f (c )>f (b )，则必有( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b >0，c >0 C ．2－a <2cD ．1<2a ＋2c <2[解析] (1)由f (x )＝1－e |x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D ；又当x ＝0时，f (x )＝0，排除C ．(2)作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示，因为a <b <c ，且有f (a )>f (c )>f (b )，所以必有a <0，0<c <1，且|2a －1|>|2c －1|，所以1－2a >2c －1，则2a ＋2c <2，且2a ＋2c >1.故选D ．[答案] (1)A (2)D ►名师点津有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．|跟踪训练|1．函数y ＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )解析：选D 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到的，所以A项错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误，D 项正确．故选D ．2．(2019届唐山模拟)当x ∈[1，2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象有交点，则a 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤12，2B ．⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，2] C ．⎣⎡⎦⎤14，2D ．⎣⎡⎦⎤14，2解析：选B 当a >1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12×22≥a 2，即1<a ≤2；当0<a <1时，如图②所示，需满足12×12≤a 1，即12≤a <1，综上可知，a ∈⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，2]．故选B ．考点二 指数函数的性质及应用——多维探究高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题． 常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)与指数函数有关的函数值域问题；(3)探究指数型函数的性质．●命题角度一 比较指数式的大小【例2】 (2019届大连模拟)设y 1＝0.90.2，y 2＝0.90.4，y 3＝1.20.1，则( ) A ．y 2>y 1>y 3 B ．y 3>y 1>y 2 C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2[解析] 对于y 1＝0.90.2，y 2＝0.90.4，y 3＝1.20.1，∵y ＝0.9x 在R 上是减函数，故有1>y 1>y 2. ∵y ＝1.2x 在R 上是增函数，y 3＝1.20.1>1.20＝1， ∴y 3>y 1>y 2，故选B ． [答案] B ►名师点津比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．●命题角度二 与指数函数有关的函数值域问题 【例3】 已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．[解析] 令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴当t ＝1时，y max ＝52.[答案] 52►名师点津形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0且a ≠1)型函数的最值问题多用换元法求解，即令t ＝a x 转化为y＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．●命题角度三 探究指数型函数的性质【例4】 (1)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2](2)已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．[解析] (1)由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B ．(2)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减，而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．[答案] (1)B (2)(－∞，4] ►名师点津与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．|跟踪训练|3．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 因为函数y ＝0.6x 在R 上单调递减，所以b ＝0.61.5<a ＝0.60.6<1.又c ＝1.50.6>1，所以b <a <c .故选C ．4．(2019届福州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x，x >0，则满足f (x 2－2)>f (x )的x 的取值范围是______________．解析：由题意知，当x >0时，f (x )单调递增，故f (x )>f (0)＝0，而x ≤0时，x ＝0， 故由f (x 2－2)>f (x )，则x 2－2>x ，且x 2－2>0， 解得x >2或x <－ 2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)考点 指数函数性质的创新应用【例】 设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）>K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1[解析] 根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，∴K ≥1，故选D ．[答案] D ►名师点津根据题目信息条件，将问题转化为指数函数最值问题求解．|跟踪训练|(2019届吉林长春外国语学校模拟)若直角坐标平面内A ，B 两点满足：①点A ，B 都在函数f (x )的图象上；②点A ，B 关于坐标原点对称，则(A ，B )是函数f (x )的一个“姊妹点对”，(A ，B )与(B ，A )可看作同一个“姊妹点对”．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，2e x ，x ≥0，则f (x )的“姊妹点对”有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 依题意知，“姊妹点对”(A ，B )满足：点A ，B 都在函数f (x )的图象上，且点A ，B 关于坐标原点对称．作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象关于原点对称的图象(图略)，看它与函数y ＝2e x (x ≥0)的图象的交点个数即可．当x ＝1时，0<2e x <1，观察图象可得它们有2个交点，即f (x )的“姊妹点对”有2个，故选C ．。

第6讲对数与对数函数1．对数的定义如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作01x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的运算法则如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么(1)log a(MN)＝02log a M＋log a N，(2)log a MN＝03log a M－log a N，(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．3．对数函数的定义函数04y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．4．对数函数的图象与性质a>10<a<1 图象定义域05(0，＋∞)值域R定点过点06(1,0)单调性07增函数08减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞05．反函数指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)与对数函数y＝09log a x(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线10y＝x对称．1．对数的性质(a＞0且a≠1)(1)log a1＝0；(2)log a a＝1；(3)a log aN＝N.2．换底公式及其推论(1)log a b＝logcblogca(a，c均大于0且不等于1，b＞0)；(2)log a b·log b a＝1，即log a b＝1logba(a，b均大于0且不等于1)；(3)log am b n＝nm log a b；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d.3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1．(2020·全国卷Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A ．116B ．19C ．18D ．16答案 B解析 由a log 34＝2可得log 34a＝2，所以4a＝9，所以4－a＝19，故选B ．2．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 B解析 若a >1，则y ＝a x 是增函数，y ＝log a (－x )是减函数；若0<a <1，则y ＝a x 是减函数，y ＝log a (－x )是增函数，故选B ．3．函数f (x )＝错误!的定义域是( ) A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B ．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D ．(1,2)∪(2,3)答案 D解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋4x －3>0，－x2＋4x －3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，x≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．故选D ．4．(2021·菏泽高三月考)已知x ＝log 52，y ＝log 25，z ＝3，则下列关系正确的是( )A ．x ＜z ＜yB ．x ＜y ＜zC ．z ＜x ＜yD ．z ＜y ＜x答案 A解析 ∵x ＝log 52＜log 55＝12，y ＝log 25＞1，z ＝3＝13∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1.∴x ＜z ＜y .故选A ．5．函数f (x )＝ln (x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 D解析 由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8，∵y ＝ln t 为增函数，∴要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间．∵当x ∈(4，＋∞)时，函数t ＝x 2－2x －8为增函数， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D ． 6．计算：log 23×log 34＋(3)log 34＝________.答案 4解析 log 23×log 34＋(3)log 34＝lg 3lg 2×2lg 2lg 3＋3log 34＝2＋3log 32＝2＋2＝4.考向一 对数的化简与求值例1 (1)(2020·海口模拟)《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有4.02×102567种方法，设这个数为N ，则lg N 的整数部分为( )A ．2566B ．2567C．2568 D．2569答案 B解析由题可知，lg N＝lg (4.02×102567)＝2567＋lg 4.02.因为1<4.02<10，所以0<lg 4.02<1，所以lg N的整数部分为2567.(2)化简12lg3249－43lg 8＋lg 245＝________.答案1 2解析12lg3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7＝12lg 2＋12lg 5＝12lg (2×5)＝12.(3)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________.答案10解析因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝log m2＋log m5＝log m10＝2.所以m2＝10，所以m＝10.对数运算的一般思路(1)拆：把底数或真数进行变形，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算．(2)合：逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．1．(2020·青岛质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，x>0，则f (f (log 23))＝( )A ．－9B ．－1C ．－13D ．－127 答案 B解析 f (log 23)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12log 23＝－2log 23－1＝－13<0，∴f (f (log 23))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＝－1.2．lg 52＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2的值为________. 答案 3解析 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 2＋lg 5)＝2＋lg 5＋lg 2＝3.3．若log 147＝a,14b ＝5，则用a ，b 表示log 3528＝________. 答案2－a a ＋b解析 ∵a ＝log 147，b ＝log 145，∴a ＋b ＝log 1435.又log 1428＝log 141427＝2－log 147＝2－a ，∴log 3528＝log1428log1435＝2－a a ＋b.考向二 对数函数的图象及其应用例2 (1)(2020·泰安模拟)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )答案 A解析 由对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 可知，①当0＜a ＜1时，此时a －1＜0，对数函数y ＝log a x 为减函数，而二次函数y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向下，且其对称轴为x ＝错误!＜0，故排除C ，D ；②当a ＞1时，此时a －1＞0，对数函数y ＝log a x 为增函数，而二次函数y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向上，且其对称轴为x ＝错误!＞0，故B 错误，而A 符合题意．故选A ．(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12内有解，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，22 解析 构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x .当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数的大致图象，如图所示．可知，只需两图象在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12上有交点即可，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，即2≥log a 12，则0<a ≤22，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，22.利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．4．函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致是( )答案 A解析 由于函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)是偶函数，故其图象关于y 轴对称．当x >0时，f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)是减函数；当x <0时，f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)是增函数．再由图象过点(1,1)，(－1,1)，可知应选A ．5．(2020·河南洛阳高三阶段性测试)已知正实数a ，b ，c 满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a ＝log 3a ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14b ＝log 3b ，c ＝log 32，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b答案 B解析 在坐标系里画出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 与y ＝log 3x 的图象，可得a ＞b ＞1.而c ＝log 32＜1，故c ＜b ＜a .多角度探究突破考向三 对数函数的性质及其应用 角度1 比较对数值的大小例3 (1)(2020·聊城二模)已知a ＝π，b ＝ln π，c ＝log πe ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >b >c答案 D解析 因为a ＝π>π0＝1，b ＝lnπ＝ln (π)＝12ln π，c ＝log πe ＝log π(e )＝12log πe ，又log π1<log πe<log ππ，即c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，ln e<ln π<ln e 2，即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，所以a >b >c ，故选D ．(2)(多选)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中可能成立的是( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．a <c <b答案 BCD解析 由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下四种可能：①1<c <b <a ；②0<a <1<c <b ；③0<b <a <1<c ；④0<c <b <a <1.作出函数的图象(如图所示)．由图象可知选项B ，C ，D 可能成立．(3)(2020·全国卷Ⅲ)已知55<84,134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则() A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<b答案 A解析∵a，b，c∈(0,1)，ab＝log53log85＝lg 3lg 5·lg 8lg 5＜错误!·错误!2＝错误!2＝错误!2＜1，∴a＜b.由b＝log85，得8b＝5，由55＜84，得85b＜84，∴5b＜4，可得b＜45.由c＝log138，得13c＝8，由134＜85，得134＜135c，∴5c＞4，可得c＞45.综上所述，a＜b＜c.故选A．比较对数值大小的方法6．(2021·长郡中学高三月考)已知实数a，b，c满足lg a＝10b＝1c，则下列关系式中不可能成立的是()A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 答案 D解析设lg a＝10b＝1c＝t，t＞0，则a＝10t，b＝lg t，c＝1t，在同一坐标系中分别画出函数y＝10x，y＝lg x，y＝1x的图象，如图，当t＝x3时，a＞b＞c；当t＝x2时，a＞c ＞b ；当t ＝x 1时，c ＞a ＞b .故选D ．7．(2020·全国卷Ⅱ)若2x －2y ＜3－x －3－y ，则( ) A ．ln (y －x ＋1)＞0 B ．ln (y －x ＋1)＜0 C ．ln |x －y |＞0 D ．ln |x －y |＜0答案 A解析 由2x －2y ＜3－x －3－y ，得2x －3－x ＜2y －3－y .令f (t )＝2t －3－t ，∵y ＝2x 为R 上的增函数，y ＝3－x 为R 上的减函数，∴f (t )为R 上的增函数．∴x ＜y ，∴y －x ＞0，∴y －x ＋1＞1，∴ln (y －x ＋1)＞0，故A 正确，B 错误．∵|x －y |与1的大小关系不确定，故C ，D 无法确定．故选A ．角度2 解简单的对数不等式例4 (1)设函数f (x )＝错误!若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log2a>－log2a或错误!解得a >1或－1<a <0.故选C ．(2)(2020·泰安四模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝－x 2＋2x ，若实数m 满足f (log 2m )≤3，则m 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．12，2C ．(0,8]D ．18，8答案 A解析 根据题意，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则f (x )在区间(－∞，0]上为增函数，且f (－1)＝(－1)＋2×(－1)＝－3，又f (x )为奇函数，则f (x )在区间[0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝－f (－1)＝3，故f (x )在R 上为增函数，f (log 2m )≤3⇒f (log 2m )≤f (1)⇒log 2m ≤1，解得0＜m ≤2，即m 的取值范围为(0,2]．故选A ．解对数不等式的类型及方法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．(2)形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x≤1，1－log2x ，x>1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)答案 D解析 当x ≤1时，由21－x ≤2得1－x ≤1，∴0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2得x ≥12，∴x >1.综上，x 的取值范围为[0，＋∞)．故选D ．9．(2020·北京模拟)已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝0，则“不等式f (log 4x )＞0的解集”是“⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|0＜x ＜12”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ∵定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝0，∴f (log 4x )＞0，即f (log 4x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，即f (|log 4x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，即|log 4x |＞12，即log 4x ＞12或log 4x ＜－12，解得x ＞2或0＜x ＜12.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x ＞2或0＜x ＜12是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|0＜x ＜12的必要不充分条件．故选C ．考向四 与对数有关的复合函数问题例5 (1)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，83解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，得f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，得f (x )min ＝log a (8－a )>1，得8－2a <0，a >4.a 不存在． 综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，83.(2)(2020·海南省高三第一次联考)已知函数f (x )＝3＋log 2x ，x ∈[1,16]，若函数g (x )＝[f (x )]2＋2f (x 2)．①求函数g (x )的定义域； ②求函数g (x )的最值．解 ①函数g (x )＝[f (x )]2＋2f (x 2)满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤16，1≤x2≤16，解得1≤x ≤4，即函数g (x )＝[f (x )]2＋2f (x 2)的定义域为[1,4]．②因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]． g (x )＝[f (x )]2＋2f (x 2) ＝(3＋log 2x )2＋6＋2log 2x 2＝(log 2x )2＋10×log 2x ＋15＝(log 2x ＋5)2－10， 当log 2x ＝0时，g (x )min ＝15， 当log 2x ＝2时，g (x )max ＝39，即函数g (x )的最大值为39，最小值为15.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．10.若f (x )＝lg (x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 A解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为直线x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上单调递减，则有错误!即错误!解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．故选A ．11．已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )(a >0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a 的值．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，4－x>0，解得－2<x <4，∴f (x )的定义域为(－2,4)．(2)f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x ) ＝log a [(x ＋2)(4－x )]，令t ＝(x ＋2)(4－x )，则变形得t ＝－(x －1)2＋9， ∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9.若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9，∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2＝15<1(舍去)，若0<a <1，则log a 9≤log a t ≤log a 5， ∴f (x )min ＝log a 9＝－2， 则a 2＝19，又0<a <1，∴a ＝13.综上，a ＝13.一、单项选择题1．函数f (x )＝错误!的定义域是( ) A ．(－3,0)B ．(－3,0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3,0)答案 A解析 因为f (x )＝错误!，所以要使函数f (x )有意义，需使错误!即－3<x <0. 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝()A．log2x B．1 2xC．log12x D．2x－2答案 A解析由题意知f(x)＝log a x(x>0)．∵f(2)＝1，∴log a2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.3．(2020·北京市平谷区二模)溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH ＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5×10－2摩尔/升，则胃酸的pH是(参考数据：lg 2≈0.3010)() A．1.398 B．1.204C．1.602 D．2.602答案 C解析由题意可得，pH＝－lg (2.5×10－2)＝－(lg 2.5＋lg 10－2)＝－(1－2lg 2－2)＝1＋2lg 2≈1.6020.故选C．4．(2020·滨州二模)设a＝0.30.1，b＝log 15，c＝log526，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a 答案 D解析∵0<0.30.1<0.30＝1，∴0<a<1，∵b＝log 15＝log35，log33<log35<log39，∴1<b<2，∵c＝log526>log525＝2，∴c>2，∴c>b>a.故选D．5．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝log a(x＋2)(a＞0，且a≠1)的图象大致为()答案 A解析 由题意，知函数f (x )＝2－ax (a ＞0，且a ≠1)为单调递减函数，当0＜a ＜1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a ＞2，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数；当a ＞1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a ＜2，且x ＝2a ＞0，又g (x )＝log a (x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数．综上只有A 满足．6．若log a 23<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，23B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，1∪(1，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，23∪(1，＋∞)答案 D解析 因为log a 23<1，所以log a 23<log a a .若a >1，则上式显然成立；若0<a <1，则应满足0＜a ＜23.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，23∪(1，＋∞)．故选D ．7．(2020·泰安一模)已知定义在R 上的函数f (x )的周期为4，当x ∈[－2,2)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －x －4，则f (－log 36)＋f (log 354)＝( ) A ．32B ．32－log 32C ．－12D ．23＋log 32答案 A解析 因为函数f (x )的周期为4，当x ∈[－2,2)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －x －4，∴f (－log 36)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log316＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13log 3－log 316－4＝2＋log 36，f (log 354)＝f (3＋log 32)＝f (log 32－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log323＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13log 3－log 323－4＝32－log 32＋1－4＝－32－log 32，∴f (－log 36)＋f (log 354)＝2＋log 36－32－log 32＝32.故选A ．8．(2020·枣庄模拟)已知a ＞b ＞0，若log a b ＋log b a ＝52，a b＝b a，则ab＝( )A ．2B ．2C ．22D ．4答案 B解析 对a b ＝b a 两边取以a 为底的对数，得log a a b ＝log a b a ，即b ＝a log a b ，同理有a ＝b log b a ，代入log a b ＋log b a ＝52，得ba ＋ab ＝52，因为a ＞b ＞0，所以ab ＞1，所以ab ＝2，ba ＝12，故选B ．9．(2020·海南模拟)函数f (x )＝log 2x4·log 4(4x 2)的最小值为( )A ．－94B ．－2C ．－32D ．0答案 A解析 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)．所以f (x )＝(－2＋log 2x )(1＋log 2x )＝(log 2x )2－log 2x －2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫log2x －122－94≥－94.当x ＝2时，函数取得最小值．故选A ．10．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln |2x ＋1|－ln |2x －1|，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞单调递增B ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12单调递减C ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12单调递增D ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12单调递减答案 D解析 f (x )＝ln |2x ＋1|－ln |2x －1|的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x≠±12，关于坐标原点对称，又f (－x )＝ln |1－2x |－ln |－2x －1|＝ln |2x －1|－ln |2x ＋1|＝－f (x )，∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除A ，C ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12时，f (x )＝ln (2x ＋1)－ln (1－2x )，∵y ＝ln (2x ＋1)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12上单调递增，y ＝ln (1－2x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12上单调递减，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12上单调递增，排除B ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12时，f (x )＝ln (－2x －1)－ln (1－2x )＝ln 2x ＋12x －1＝ln⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋22x －1，∵μ＝1＋22x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12上单调递减，f (μ)＝ln μ在定义域内单调递增，∴根据复合函数单调性可知f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12上单调递减，D 正确．故选D ．二、多项选择题11．(2020·海南省普通高中高考调研测试)若10a ＝4,10b ＝25，则( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab >8(lg 2)2 D ．b －a >lg 6答案 ACD解析 由10a ＝4,10b ＝25，得a ＝lg 4，b ＝lg 25，∴a ＋b ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，∴b －a ＝lg 25－lg 4＝lg254，∵b －a ＝lg254>lg 6，∴b －a >lg 6，∴ab ＝4lg 2×lg 5>4lg 2×lg 4＝8(lg 2)2.故选ACD ．12．(2020·泰安三模)已知直线y ＝－x ＋2分别与函数y ＝e x 和y ＝ln x 的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列结论正确的是( )A ．x 1＋x 2＝2B ．e x 1＋e x 2>2eC ．x 1ln x 2＋x 2ln x 1<0D ．x 1x 2>e 2答案 ABC解析 函数y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，则y ＝e x 与y ＝ln x 的图象关于y ＝x 对称，将y ＝－x ＋2与y ＝x 联立，得x ＝1，y ＝1，由直线y ＝－x ＋2分别与函数y ＝e x 和y ＝ln x 的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，作出函数图象如图：则A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点坐标为(1,1)，对于A ，由x1＋x22＝1，解得x 1＋x 2＝2，故A 正确；对于B ，e x 1＋e x 2≥2ex1·ex2＝2ex1＋x2＝2e2＝2e ，因为x 1≠x 2，即等号不成立，所以e x 1＋e x 2>2e ，故B 正确；对于C ，将y ＝－x ＋2与y ＝e x 联立可得－x ＋2＝e x ，即e x ＋x －2＝0，设f (x )＝e x ＋x －2，则函数为单调递增函数，因为f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝e ＋12－2＝e －32>0，故函数的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12上，即0<x 1<12，由x 1＋x 2＝2，则32<x 2<2，x 1ln x 2＋x 2ln x 1＝x 1ln x 2－x 2ln 1x1<x 1ln x 2－x 2ln x 2＝(x 1－x 2)ln x 2<0，故C 正确；对于D ，x 1x 2＝x 1(2－x 1)＝2x 1－x 21，又x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，所以x 1x 2∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，34，故D 错误．故选ABC ．三、填空题13．计算：lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 2)2＋lg 16＋lg 0.06＝________. 答案 1解析 原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16×0.06＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1.14．(2020·南昌三模)已知函数f (x )＝2|x |＋x 2，m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log213，n ＝f (7－0.1)，p ＝f (log 425)，则m ，n ，p 的大小关系是________.答案 p ＞m ＞n解析 因为f (x )＝2|x |＋x 2，则f (－x )＝2|－x |＋(－x )2＝f (x )，即f (x )为偶函数，当x ＞0时，f (x )＝2x＋x 2单调递增，m ＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫log213＝f (log 23)，n ＝f (7－0.1)，p ＝f (log 425)＝f (log 25)，又log 25＞2＞log 23＞1＞7－0.1＞0，故p ＞m ＞n .15．函数y ＝log 0.6(－x 2＋2x )的值域是________. 答案 [0，＋∞)解析 －x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，又－x 2＋2x >0，则0<－x 2＋2x ≤1.函数y ＝log 0.6x 为(0，＋∞)上的减函数，则y ＝log 0.6(－x 2＋2x )≥log 0.61＝0，所以所求函数的值域为[0，＋∞)．16．如图，已知过原点O 的直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A ，B 两点，分别过A ，B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 图象交于C ，D 两点，若BC ∥x 轴，则四边形ABDC 的面积为________.答案433log 23解析 设点A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，由题设知，x 1＞1，x 2＞1.则点A ，B 的纵坐标分别为log 8x 1，log 8x 2.因为A ，B 在过点O 的直线上，所以log8x1x1＝log8x2x2，点C ，D 的坐标分别为(x 1，log 2x 1)，(x 2，log 2x 2)．由BC 平行于x 轴，知log 2x 1＝log 8x 2，即log 2x 1＝13log 2x 2，∴x 2＝x 31.代入x 2log 8x 1＝x 1log 8x 2得x 31log 8x 1＝3x 1log 8x 1.由x 1＞1知log 8x 1≠0，∴x 31＝3x 1.考虑x 1＞1，解得x 1＝3.于是点A 的坐标为(3，log 83)，即A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，16log23，∴B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，12log23，C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，12log23，D ⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，32log23.∴梯形ABDC 的面积为S ＝12(AC ＋BD )×BC ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13log23＋log23×23＝433log 23.四、解答题17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1＜f (1)＜1，求实数a 的取值范围． 解 (1)当x ＜0时，－x ＞0， 由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )． ∴当x ＜0时，f (x )＝log a (－x ＋1)， ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝错误! (2)∵－1＜f (1)＜1，∴－1＜log a 2＜1， ∴log a 1a＜log a 2＜log a a .①当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a＜2，a ＞2，解得a ＞2；②当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a＞2，a ＜2，解得0＜a ＜12.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．18．已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋a .(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围．解 (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0， ∴log 2(1＋a )＝0，∴a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数．所以a ＝0. (2)若函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a ＞0恒成立．即a ＞－12x 恒成立，由于－12x∈(－∞，0)， 故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞)．(3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0,1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋a ≥2，则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a≥4a＋2，4a ＋2＞0，解得－12＜a ≤－13.故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－12，－13.19．(2021·荆州月考)已知函数f (x )＝log 13(x 2－2mx ＋5)．(1)若f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围；(2)若f (x )在(－∞，2]内为增函数，求实数m 的取值范围．解 (1)由f (x )的值域为R ，可得u ＝x 2－2mx ＋5能取得(0，＋∞)内的一切值， 故函数u ＝x 2－2mx ＋5的图象与x 轴有公共点， 所以Δ＝4m 2－20≥0，解得m ≤－5或m ≥5.故实数m 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．(2)因为f (x )在(－∞，2]内为增函数，所以u ＝x 2－2mx ＋5在(－∞，2]内单调递减且恒正， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m≥2，9－4m>0，解得2≤m <94.故实数m 的取值范围为2，94.20．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 此时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3， 即函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令t ＝－x 2＋2x ＋3，则t ＝－x 2＋2x ＋3在(－1,1]上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4t 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1]，单调递减区间是(1,3)． (2)存在．令h (x )＝ax 2＋2x ＋3，则h (x )有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a －44a ＝1，解得a ＝12.。

考向06 函数及其表示（2021·浙江高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若()63f f ⎡⎤=⎣⎦，则a =___________.【答案】2 【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值. 【详解】()()()6642233f f f f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =， 故答案为：2.1.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 2.函数解析式的常见求法(1)配凑法：已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )的问题，往往把右边的g (x )整理或配凑成只含h (x )的式子，然后用x 将h (x )代换．(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f (x )可设为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，其中a ，b ，c 是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a ，b ，c 即可．(3)换元法：已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．(4)解方程组法：已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x(或f (－x ))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．3.分段函数(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。

考点测试6 函数的单调性高考概览本考点是高考的常考知识点，常与函数的奇偶性、周期性相结合综合考查．题型为选择题、填空题，分值5分，难度为低、中、高各种档次 考纲研读 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的单调性一、基础小题1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4答案 A解析 函数y ＝3－x ，y ＝1x，y ＝－x 2＋4在(0,1)上均为减函数，y ＝|x |在(0,1)上为增函数，故选A.2．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上( ) A ．递减 B ．递增 C ．先递减后递增 D ．先递增后递减答案 C解析 由函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，对称轴为直线x ＝3，知y ＝x 2－6x ＋10在(2,4)上先递减后递增，故选C.3．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 D解析 当2a －1<0，即a <12时，该函数是R 上的减函数．故选D.4．已知函数y ＝f (x )在R 上单调递增，且f (m 2＋1)>f (－m ＋1)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)答案 D解析 由题意得m 2＋1>－m ＋1，故m 2＋m >0，解得m <－1或m >0.故选D. 5．函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是( )A.32 B ．－83C ．－2D ．2答案 A解析 因为f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上为减函数，所以当x ＝－2时，f (x )取得最大值，且为2－12＝32.故选A.6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋cx ≥0，x －1x <0是增函数，则实数c 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－1]答案 A解析 ∵f (x )在R 上单调递增，∴c ≥－1，即实数c 的取值范围是[－1，＋∞)．故选A.7．设函数f (x )在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是( ) A ．y ＝1f x在R 上为减函数B ．y ＝|f (x )|在R 上为增函数C ．y ＝－1f x在R 上为增函数D ．y ＝－f (x )在R 上为减函数 答案 D解析 A 错误，如y ＝x 3，y ＝1f x在R 上无单调性；B 错误，如y ＝x 3，y ＝|f (x )|在R 上无单调性； C 错误，如y ＝x 3，y ＝－1f x在R 上无单调性；故选D.8．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22] D ．[－4，－3]答案 B解析 由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－a2∈[2,3]，即a ∈[－6，－4]．9．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]答案 D解析 f (x )＝－(x －a )2＋a 2，当a ≤1时，f (x )在[1,2]上是减函数；g (x )＝ax ＋1，当a >0时，g (x )在[1,2]上是减函数，则a 的取值范围是0<a ≤1.故选D.10．已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c答案 D解析 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，所以b >a >c .11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.12．已知f (x )＝ax ＋1x ＋2，若对任意x 1，x 2∈(－2，＋∞)，有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a ＋1－2ax ＋2，且y ＝f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，得1－2a <0，即a >12.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )答案 C解析 因为f (x )是定义域为R 的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)．又因为log 34>1>>0，且函数f (x )在(0，＋∞)单调递减，所以f (log 34)< ．故选C.14．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos2x |B ．f (x )＝|sin2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |答案 A解析 作出函数f (x )＝|cos2x |的图象，如图．由图象可知f (x )＝|cos2x |的周期为π2，在区间⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增．同理可得f (x )＝|sin2x |的周期为π2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，f (x )＝cos|x |的周期为2π.f (x )＝sin|x |不是周期函数．故选A.15．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 D解析 由x 2－2x －8>0可得x >4或x <－2，所以x ∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)，令u ＝x2－2x －8，则其在x ∈(－∞，－2)上单调递减，在x ∈(4，＋∞)上单调递增．又因为y ＝ln u 在u ∈(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝ln (x 2－2x －8)在x ∈(4，＋∞)上单调递增．故选D.16．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 答案 A解析 ∵函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，∴函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．又y ＝3x在R上是增函数，∴函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．故选A.17．(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln (x ＋1)D ．y ＝2－x答案 D解析 A 中，y ＝11－x ＝1－x －1的图象是将y ＝－1x的图象向右平移1个单位得到的，故y ＝11－x在(－1,1)上为增函数，不符合题意；B 中，y ＝cos x 在(－1,0)上为增函数，在(0,1)上为减函数，不符合题意；C 中，y ＝ln (x ＋1)的图象是将y ＝ln x 的图象向左平移1个单位得到的，故y ＝ln (x ＋1)在(－1,1)上为增函数，不符合题意；D 中，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－1,1)上为减函数，所以D 符合题意．18．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析 由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为f (2|a －1|)>f (－2)，且f (－2)＝f (2)，所以f (2|a －1|)>f (2)，所以2|a －1|<，解得12<a <32.三、模拟小题19．(2019·武汉模拟)若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]答案 B解析 因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a ，－2x ＋2a ＋3，x <a ，因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a >1，所以a 的取值范围是(1，＋∞)．故选B.20．(2019·郑州模拟)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3答案 C 解析 y ＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a ＋2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，a ＋2≤－1，得a ≤－3.所以a 的取值范围是a ≤－3.21．(2019·重庆模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12答案 C解析 由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.22．(2019·漳州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln x ＋1，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)答案 D解析 因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．因为当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln (x ＋1)也是增函数，所以函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.23．(2020·沈阳市高三摸底)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f xx在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0,1]D ．[1，3]答案 D解析 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为直线x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f x x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤ 3，即函数f x x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．24．(2019·广东名校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．答案 [0,1)解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2019·福建泉州高三阶段测试)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1；②当x >0时，f (x )>－1.(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解 (1)令x ＝y ＝0得f (0)＝－1. 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1.又f (x 1)＝f ((x 1－x 2)＋x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又因为f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．2．(2019·安徽肥东高级中学调研)函数f (x )＝2x －ax的定义域为(0,1]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的值域；(2)若f (x )在定义域上是减函数，求a 的取值范围．解 (1)因为a ＝－1，所以函数f (x )＝2x ＋1x ≥22⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝22时，等号成立，所以函数f (x )的值域为[22，＋∞)．(2)若函数f (x )在定义域上是减函数，则任取x 1，x 2∈(0,1]且x 1<x 2都有f (x 1)>f (x 2)成立， 即f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2x 1x 2x 1x 2>0，只要a <－2x 1x 2即可，由x 1，x 2∈(0,1]，得－2x 1x 2∈(－2,0)，所以a ≤－2，故a 的取值范围是(－∞，－2]．3．(2019·湖南永州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，－fx ，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围． 解 (1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0， 所以b ＝a ＋1，所以f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. 因为对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a ＋12－4a ≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －12≤0.所以a ＝1，从而b ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. 因为g (x )在[－2,2]上是单调函数， 所以k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．4．(2019·陕西西安长安区大联考)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调增函数；(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝－1，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤125，125上的最值． 解 (1)因为函数f (x )满足f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， 令x 1＝x 2＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0. (2)证明：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则x 1x 2>1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2>0，所以f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2·x 1x2－f (x 2)＝f (x 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝－2， 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15×5＝f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋f (5)＝0， 所以f (5)＝1，则f (5)＋f (5)＝f (25)＝2，f (5)＋f (25)＝f (125)＝3，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤125，125上的最小值为－2，最大值为3.。

第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示 突破点(一) 函数的定义域基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．函数与映射的概念 函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌图象法形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式[典例](1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x＋1)．(3)用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)．答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． 解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12错误!未找到引用源。

第七节 函数的图象1．利用描点法作函数的图象方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；③y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象．(3)伸缩变换①y ＝f (x )的图象y ＝f (ax )的图象；②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a ，横坐标不变y ＝af (x )的图象． (4)翻转变换①y ＝f (x )的图象―――――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( )(2)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( )(3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图象与y ＝|f (x )|的图象相同．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )①②③④图2­7­1A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④ B [设甲骑车速度为V 甲骑，甲跑步速度为V 甲跑，乙骑车速度为V 乙骑，乙跑步速度为V 乙跑，依题意V 甲骑＞V 乙骑＞V 乙跑＞V 甲跑，故选B.]3．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．ex ＋1 B ．e x －1 C ．e －x ＋1D ．e －x －1 D [依题意，与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e －x 向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e－x －1.] 4．(2016·某某高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )D [∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝π2时，sin x 2＝sin π24≠1，排除B 项，故选D.]5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值X 围是________.【导学号：51062049】(0，＋∞) [在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知当a ＞0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．]作函数的图象作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1. [解] (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.3分①②(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.7分(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.11分③④(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.15分[规律方法] 画函数图象的一般方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．[变式训练1] 分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg x |；(2)y ＝sin|x |.[解] (1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.∴函数y ＝|lg x |的图象，如图①.8分(2)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如图②.15分识图与辨图(1)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )(2)如图2­7­2，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )图2­7­2A B C D(1)D (2)B [(1)∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.(2)当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时， 在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ，在Rt △PAB 中，|PA |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|PA |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ；当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan 2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B.][规律方法] 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．[变式训练2] (1)已知函数f (x )的图象如图2­7­3所示，则f (x )的解析式可以是( )图2­7­3A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1 D ．f (x )＝x －1x(2)(2017·某某二模)函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图象如图2­7­4所示，那么函数y ＝log b (x －a )的图象可能是( )图2­7­4(1)A (2)C [(1)由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A. (2)由题图可得a ＞1，且最小正周期T ＝2πb＜π，所以b ＞2，则y ＝log b (x －a )是增函数，排除A 和B ；当x ＝2时，y ＝log b (2－a )＜0，排除D ，故选C.]函数图象的应用☞角度1 研究函数的性质 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)C [将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．]☞角度2 确定函数零点的个数已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________. 【导学号：51062050】5 [方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.]☞角度3 求参数的值或取值X 围(2017·某某某某五校联盟一诊)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ kx －1，x ＞0，－ln －x ，x ＜0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值X 围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0，＋∞)B [根据题意可知，“伙伴点组”的点满足：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )，又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x， 即km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1， 可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.]☞角度4 求不等式的解集函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图2­7­5所示，那么不等式f xcos x ＜0的解集为________．图2­7­5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 [在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，y ＝cos x ＞0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4上，y ＝cos x ＜0. 由f (x )的图象知在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2上f x cos x ＜0， 因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数，所以y ＝f x cos x 为偶函数， 所以f x cos x ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.] [规律方法] 函数图象应用的常见题型与求解方法(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值． ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(X 围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[思想与方法]1．识图：对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布X 围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．2．用图：借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质．利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数，求不等式的解集等．[易错与防X]1．图象变换是针对自变量x 而言的，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，先作如下变形f (－2x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可避免出错． 2．明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．3．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．课时分层训练(九) 函数的图象A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 的图象上所有的点( ) 【导学号：51062051】A ．向右平行移动2个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动2个单位长度D ．向左平行移动1个单位长度B [因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图象，故B 正确．]2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )A B C DC [出发时距学校最远，先排除A ，中途堵塞停留，距离没变，再排除D ，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.]3．(2017·某某某某第一中学能力测试)若函数y ＝a x－b 的图象如图2­7­6所示，则( )图2­7­6A ．a >1，b >1B ．a >1,0<b <1C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <1D [由题图易知0<a <1，b >0，而函数y ＝a x－b 的图象是由函数y ＝a x的图象向下平移b 个单位得到的，且函数y ＝a x的图象恒过点(0,1)，所以由题图可知0<b <1，故选D.]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值X 围是( )A ．(0，＋∞) ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(0,1]D [作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ∈(0,1]，故选D.]5．(2017·某某市镇海中学模拟)若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)<0的解集是( )A ．(－1,0)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(1,2)D ．(0,2)D [由{ x ≥0，f x <0，得0≤x <1.由f (x )为偶函数．结合图象(略)知f (x )<0的解集为－1<x <1.所以f (x －1)<0⇔－1<x －1<1，即0<x <2.] 二、填空题6．已知函数f (x )的图象如图2­7­7所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________. 【导学号：51062052】图2­7­7(2,8] [当f (x )＞0时，函数g (x )＝log2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )＞0时，x ∈(2,8]．]7．如图2­7­8，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．图2­7­8f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，f(1,4)x －22－1，x ＞0[当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，＝1，∴y ＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1. ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14，即y ＝14(x －2)2－1.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，f(1,4)x －22－1，x ＞0.]8．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x <1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值X 围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞) [由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋1)＝－f (x ＋2)，因此f (x )＝f (x ＋2)，函数f (x )是周期为2的周期函数．函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点可转化成y ＝f (x )与h (x )＝log a |x |两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论．若a >1，则h (5)＝log a 5<1，即a >5.若0<a <1，则h (－5)＝log a 5≥－1，即0<a ≤15.所以a 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞)．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，－3，x ∈2，5].(1)在如图2­7­9所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；图2­7­9(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． [解] (1)函数f (x )的图象如图所示．6分(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5].10分 (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.15分 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}.【导学号：51062053】[解] (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，x 2＋4x －3，1＜x ＜3，∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3]，(1,2]，(3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3]是减区间；[1,2]，[3，＋∞)是增区间.10分(3)由f (x )的图象知，当0＜m ＜1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0＜m ＜1}.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4mB [∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，og 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ [对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|. 因为f (x )的草图如图所示，观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，og 13x ，x ＞1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.]3．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，某某数a 的取值X 围.【导学号：51062054】[解] (1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上， ∴2－y ＝－x ＋1－x＋2，4分∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.7分(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2].10分 ∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )， 即a ≥－x 2＋6x －1.12分令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7， 故a 的取值X 围为[7，＋∞).15分。

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第6节对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图像；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.1.对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算性质如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1，N >0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图像与性质a >10<a <1图像性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称.1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1).(2)log a m b n ＝nm log a b (a >0，且a ≠1；b >0；m ，n ∈R ，且m ≠0).2.在第一象限内，不同底的对数函数的图像从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过定点(1，0)，且过点(a ，1)函数图像只在第一、四象限.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)log 2x 2＝2log 2x .()(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.()(3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.()(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .()2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.63.(2021·天津卷)设a ＝log 20.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b4.(易错题)函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的图像恒过的定点是________.5.(易错题)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy＝________.6.若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________.考点一对数的运算1.(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝()A.116B.19C.18D.162.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10－10.13.(2021·天津卷)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝()A.－1B.lg 7C.1D.log 7104.计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.考点二对数函数的图像及应用例1(1)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图像大致为()(2)若方程4x ＝log a x 0，12上有解，则实数a 的取值范围为________.训练1(1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是()A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)已知函数f (x )log 2x ，x >0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________.考点三解决与对数函数的性质有关的问题角度1比较大小例2(1)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则()A.a >b >cB.a >c >bC.c>b>aD.c>a>b(2)若实数a，b，c满足log a2<log b2<log c2<0，则下列关系中正确的是()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b(3)(2021·衡水中学检测)已知a，b＝log120.2，c＝a b，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a角度2解对数不等式例3(1)(2022·太原质检)定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)<－1的解集是________.(2)不等式log a(a2＋1)<log a(2a)<0，则a的取值范围是________.角度3对数型函数性质的综合应用例4已知函数f(x)＝log(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围.训练2(1)(2019·天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c <b <aB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为________.(3)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.1.已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是()A.d ＝acB.a ＝cdC.c ＝adD.d ＝a ＋c2.(2021·濮阳模拟)已知函数f (x )＝x ＋43x ＋的值域是全体实数，则实数m 的取值范围是()A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4]3.若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f (lg 5)＋()A.2B.4C.6D.84.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是()A.c <b <aB.b <a <cC.a <c <bD.a <b <ca>0，且a≠1)的图像可能是5.在同一直角坐标系中，函数y＝1a x，y＝log()6.已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法：①f(x)的图像关于原点对称；②f(x)的图像关于y轴对称；③f(x)的最大值为0；④f(x)在区间(－1，1)上单调递增.其中正确的是()A.①③B.①④C.②③D.②④7.(2021·济南一中检测)已知函数y＝log a(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，则b＝________.8.计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝________.9.函数f(x)＝log2x·log2(2x)的最小值为________.10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝log a(x＋1)(a>0，且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式；(2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围.11.已知函数f(x)＝log21＋ax(a为常数)是奇函数.x－1(1)求a的值与函数f(x)的定义域；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围.12.(2022·烟台模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P0e－kt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln 2≈0.693，ln5≈1.609)()A.11hB.21hC.31hD.41h13.已知函数f(x)log2（x－1），x>1，2x，x≤1，且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实数根，则实数a的取值范围为()A.(0，1)B.(0，1]C.(1，2)D.(0，2]14.(2022·郑州调研)在①f(x)＋f(－x)＝0，②f(x)－f(－x)＝0，③f(－2)＝－f(2)这三个条件中选择一个合适的补充在下面问题中，并给出解答.已知函数f(x)＝log2(x2＋a＋x)(a∈R)满足________.(1)求a的值；(2)若函数g(x)＝2f(－x)＋1－x2＋1，证明：g(x2－x)≤54.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.。

第2 讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2 时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x) 在区间D 上是增函数当x1<x2 时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y＝f(x) 的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意x∈ I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I ，使得f(x0)＝M(1)对于任意x∈ I，都有f(x)≥ M；(2)存在x0∈ I，使得f(x0)＝M结论M 为最大值M 为最小值[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f(x)，有f( －1)<f(3)，则函数f(x)在R 上为增函数．( )(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞ )上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．( )1(3)函数y＝x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞ ) ．( )x(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．( )答案：(1)× (2) × (3) × (4)× (5)× (6) √［教材衍化］1．(必修1P39B 组T1 改编)函数f(x)＝x2－2x 的单调递增区间是 ___________ ．答案：［1，＋∞ )(或(1，＋∞ ))2．(必修1P32T4 改编)若函数y＝(2k＋1)x＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是1解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b 在R 上是减函数，所以2k＋1< 0，即k<－12.1答案：－∞，－223．(必修1P31 例4 改编)已知函数f(x)＝，x∈ ［2，6］，则f(x)的最大值为________ ，x－1最小值为 ___________ ．2解析：可判断函数f(x)＝2在［2 ，6］上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)x －125.2答案：2 25［易错纠偏］(1)求单调区间忘记定义域导致出错；(2)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解；(3)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念．1．函数y＝log1(x2－4)的单调递减区间为 _________ ．2答案：(2，＋∞ )2．函数y＝f(x)是定义在［－2，2］上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a 的取值范围是－2≤a＋1≤ 2，－3≤a≤ 1，解析：由题意得－2≤2a≤2，即－1≤a≤1，所以－答案：1≤ a<1.［－1，1)a＋1>2a，a<1.3．(1) 若函数f(x)＝x2＋2(a－1) x＋2 在区间(－∞，4］上是减函数，则实数a 的取值范围是 _________（2）若函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2 的单调递减区间为（－∞，4］，则a 的值为答案：（1）a≤－3 （2）－3确定函数的单调性（区间）（高频考点）函数单调性的判断、证明及单调区间的求法是每年高考的热点，特别是导数的引入，使函数单调性成为每年必考内容．主要命题角度有：（1）求函数的单调区间；（2）判断或证明函数的单调性．角度一求函数的单调区间（2020 ·杭州七校联考）求函数f（x）＝－x2＋2|x|＋1 的单调区间．－x2＋2x＋1，x≥ 0，【解】f（x）＝2－x2－2x＋1，x<0，－（x－1）2＋2，x≥ 0，＝－（x＋1）2＋2，x<0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为（－∞，－1］和［0，1］，单调递减区间为［－1，0］和［1，＋∞）．（变条件）若将本例中函数变为f（x）＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为（1－2，1）和（1＋2，＋∞）；单调递减区间为（－∞，1－2）和（1，1＋2）．角度二判断或证明函数的单调性设函数f（x）＝x＋a x＋ln a 为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞ ）上的奇函数．x（1）求实数a 的值；（2）判断函数f（x）在区间（1，＋∞ ）上的单调性，并用定义法加以证明．【解】（1）因为f（x）＝x＋a x＋ln a 为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数，x所以f（－x）＝－f（x），所以－x－a＋ln a＝－x＋a＋ln a ，所以ln a＝0，xx所以a＝1.C ．(1，＋∞ )解析： 选 D. 由 x 2－ 2x － 8>0，得 x<－2 或 x>4.因此，函数 f(x)＝ ln( x 2－ 2x － 8)的定义域 是(－∞，－2)∪(4，＋ ∞)．注意到函数 y ＝x 2－2x －8 在(4，＋ ∞)上单调递增，由复合函数 的单调性知， f(x)＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是 (4，＋ ∞)，选 D.1(2)f(x)＝ x ＋ x 在区间 (1，＋ ∞)上是增函数．x证明如下：设 1<x 1< x 2，则 f(x 1)－f(x 2)＝x 1－x 2＋x 1－x 1＝x 1－x 2－x1x－x x2＝ (x 1－x 2)x1x x2x －1x 1 x 2x 1x 2x 1x 2x 1x 2－ 1因为 1< x 1< x 2，所以 x 1－ x 2< 0， x x >0.所以 f(x1)－ f(x 2)<0，即 f(x 1)<f(x 2)． 所以 f(x)在区间 (1，＋ ∞ )上是增函数．确定函数单调性的 4 种方法(1)定义法 ： 利用定义判断．(2)导数法 ： 适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法 ： 由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域 的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用 “和”或“，”连接，不能用 “∪” 连接．(4)性质法 ： 利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数 先确定简单函数的单调性．同增异减 ” 的原则时，需[提醒 ] 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．1．下列四个函数中，在 (0，＋∞ )上为增函数的是 ( ) f(x)＝x 2－3x A ．f(x)＝3－xB ． 1C ．f(x)＝－x ＋1D ． f(x)＝－ |x|解析： 选 C.当 x>0 时，f(x)＝3－x 为减函数；2．x ∈ x ∈x ∈ x ∈ 30，2时， f(x)＝ x 2－ 3x 为减函数， 32，＋ ∞ 时，(0，＋ ∞ )时， (0，＋ ∞ )时， f(x)＝x 2－3x 为增函数；1f(x)＝－x ＋11为增函数；f(x)＝－ |x|为减函数． 函数 f(x)＝ ln(x 2－2x － 8)的单调递增区间是 () A ． (－∞，－ 2) B ． ( －∞， 1)(4，＋∞ )D ．3．作出函数 y ＝|x 2－1|＋x 的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间． 1 25 解： 当 x ≥1 或 x ≤－ 1 时， y ＝x 2＋x －1＝ x ＋2 －4；当－ 1<x<115时，y ＝－ x 2＋x ＋1＝－ x －2 2＋ 4.画出函数图象如图所示， 由函数图象11可知， 函数的减区间为 (－∞，－1］， 12，1 ，函数的增区间为 －1，21 ， ［1，＋ ∞ )．函数的最值 (值域 )(1) 函数 y ＝x ＋ x － 1的最小值为2x 2－ 2x ＋ 3(2) ______________________________ 函数 y ＝2x x 2－x ＋ 1 的值域为(3) ________________ 用 min{ a ，b ，c}表示 a ，b ，c 中的最小值．设 f(x)＝ min{2 x，x ＋2，10－x}(x ≥0)， 则 f(x)的最大值为 ．【解析】 (1)法一： 令 t ＝ x －1，且 t ≥0，则 x ＝t 2＋1， 所以原函数变为 y ＝ t 2＋1＋t ，t ≥0.因为函数 y ＝x 和 y ＝ x － 1在定义域内均为增函数，故函数 y ＝x ＋ x －1在［1， ＋∞ )内为增函数，所以 y min ＝1.2x 2－2x ＋3 2(x 2－x ＋ 1)＋1 (2)y ＝x 2－x ＋ 1因为 x －12 ＋ 43≥43，1所以 2<2＋12 1 x －2 ＋4故函数的值域为 2， 130 .(3)f(x)＝ min{2 x，x ＋2，10－x}( x ≥0)的图象如图中实线所示．配方得 y ＝ t ＋ 12 ＋3又因为t ≥0，所以 y ≥14＋34＝ 1，故函数 y ＝ x ＋ x － 1的最小值为 1.法二： x 2－x ＋11 ＝2＋x 2－1x ＋1＝2＋ 1x －12 ＋343≤130，41．(2020 ·温州市十校联合体期初考试 )已知函数 f(x)＝4sin π ，则 f(x) x －π3 ，0≤x ≤1的最小值是 ( )A ．－ 2 3B ． 2 3C ．－ 4D ．4 π解析： 选A.当 0≤x ≤1时，f(x)＝4sin πx － 3 ，因为－ 3≤πx － 3≤π3 23π，所以－ 23≤sin πx － 3 ≤ 1，所以－ 2 3≤4sin πx － 3 ≤4，当 x>1 时， f(x)＝2 3，综上可得 f(x)33的最小值为－ 2 3.2．(2020 宁·波五校联考 )已知 f(x)＝2x－1，g(x)＝ 1－ x 2，规定：当 |f(x)|≥ g(x)时，h(x)＝|f(x)|； 当|f(x)|<g(x)时， h(x)＝－ g(x)，则 h(x)( )A ．有最小值－ 1，最大值 1B ．有最大值 1，无最小值C ．有最小值－ 1，无最大值D ．有最大值－ 1，无最小值故答案为 6.求函数最值的五种常用方法及思路2 3， x>1 ，令 x ＋ 2＝ 10－ x ， 又 f(4) ＝6，所以 f(x)的最大值为 6. 答案 】 (1)1(2) 2， 130(3)6得 x ＝ 4，故当解析：选C.由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，|f(x)|，|f(x) |≥g(x)，－g(x)，|f(x)|<g(x)，故h(x) 有最小值－1，无最大值．函数单调性的应用(高频考点)函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成为近几年高考命题的一个新的增长点，常以选择、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)比较两个函数值或两个自变量的大小；(2)解函数不等式；(3)求参数的值或取值范围．角度一比较两个函数值或两个自变量的大小已知函数f(x)的图象关于直线x＝1 对称，当x2>x1>1 时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<01恒成立，设a＝f －2，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c 的大小关系为( )A ．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c15【解析】因为f(x)的图象关于直线x＝1 对称．由此可得f －12＝f 52 .由x 2> x1>1 时，[f(x2)－f(x1)]( x2－x1)<0 恒成立，知f (x)在(1，＋∞)上单调递减．55因为1<2<52<3，所以f(2)> f 2 >f(3)，所以b>a>c.【答案】D角度二解函数不等式已知函数f(x)为(0，＋∞ )上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a 的取值范围为____________ ．a2－a>0，【解析】由已知可得a＋3>0 ，解得－3<a<－1 或a>3，所以实数a 的取值范围a2－a>a＋3，而h(x) ＝为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案】(－3，－1)∪(3，＋∞ )角度三求参数的值或取值范围a x，x>1，(2020 ·瑞安四校联考)若f(x)＝ a 是R 上的单调递增函数，则实数4－2 x＋2，x≤1a 的取值范围为a解析】因为f(x)是定义在R 上的增函数，故y＝a x和y＝4－2 x＋2 均为增函数，aa所以a>1 且4－2>0，即1<a<8.又由图象(图略)可得，该函数还必须满足a1≥ 4－2×1＋2，即a≥ 4.综上，a 的取值范围为4≤ a<8.【答案】[4，8)函数单调性应用问题的3 种常见类型及解题策略(1) 比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2) 解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] (1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．11．已知函数f(x)是定义在[0 ，＋∞ )上的增函数，则满足f(2x－1)<f 13的x 的取值范围是( )A. 1，2B. 1，2 3，3B.3，3 1 2 1 2C.2，3D. 2，3 2x－1≥0，解析选D. 由题意得 1 12 解得1≤x<2.2x－1< ，23－x2＋4x，x≤4，2．设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数log 2x，x>4.a 的取值范围是( )1解析：由题意知f（m）>f（n）；x >1，即|x|<1，且x≠ 0.故－1<x<1 且x≠ 0.即实数x 的取值范围是（－1，0）∪（0，1）．答案：> （－1，0）∪（0，1）[基础题组练]1．下列函数中，在区间（0，＋∞ ）上为增函数的是（）A．y＝ln(x＋2)x C．y＝12B．y＝－x＋11 D．y＝x＋x解析：选A.选项A 的函数y＝ln（x＋2）的增区间为（－2，＋∞ ），所以在（0，＋∞）上一定是增函数．2．函数y＝（2m－1）x＋b 在R 上是减函数，则()1 1A ．m>2B．m<2C ．1 1m>－2 D．m<－21解析：选B.使y＝（2m－1）x＋b 在R 上是减函数，则2m－1<0，即m<2.3．若函数f（ x）＝a＋log 2x 在区间[1 ，a]上的最大值为6，则a＝（）A．2 B．4C．6 D．8解析：选B.由题得函数f（x）＝a＋log2x 在区间[1 ，a]上是增函数，所以当x＝a时，函数取最大值6，即a＋log 2a＝6，解得a＝4，故答案为B.4．（2020 金·华质量检测）已知函数f（x）＝|x＋a|在（－∞，－1）上是单调函数，则a 的取值范围是（）A ．（－∞，1] B．（－∞，－1]C．[－1，＋∞ ）D．[1，＋∞ ）解析：选A.因为函数f（x）在（－∞，－a）上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.5．(2020 台·州高三模拟 )下列函数 y ＝f(x)的图象中， 满足 f 41>f(3)>f(2)的只可能是 ( )11 解析：选 D.因为 f 4 >f(3)> f(2)，所以函数 y ＝f(x)有增有减，排除 A ，B.在 C 中，f 4<f(0)， 1f(3)>f(0)，即 f 4 <f(3)，排除 C ，故选 D.6．(2020 ·瑞安四校联考 )已知函数 y ＝f(x)在 R 上是减函数，则 y ＝f(|x － 3|)的单调递减区 间是 ( )A ． (－∞，＋∞ )B ． [3，＋∞ )C ．[－3，＋∞ )D ． (－∞， 3]解析： 选 B.因为函数 y ＝ f(|x － 3|)是由 y ＝ f( μ)， μ＝ |x － 3|复合而成的，而函数 y ＝f(x)在R 上是减函数， y ＝f(|x －3|)的单调递减区间即为 μ＝|x － 3|的单调递增区间，结合函数 μ＝ |x －3|的图象可得，应有 x －3≥ 0，解得 x ≥3，所以函数 y ＝ f(|x －3|)的单调递减区间是 [3，＋ ∞) ，故选B.7．(2020 衢·州市高三联考 )函数 y ＝x － |1－ x|的单调增区间为1，x ≥1，解析： y ＝ x － |1－ x|＝2x －1， x<1. 作出该函数的图象如图所示． 由图象可知，该函数的单调递增区间是(－∞，1]． 答案： (－∞， 1]2x ＋ －3，x ≥ 1，8．已知函数 f(x)＝ x则 f( f(－ 3))＝lg ( x 2＋ 1)， x<1，解析： 因为 f(－3)＝lg[( －3)2＋1]＝lg 10 ＝ 1，所以 f(f(－3))＝f(1)＝1＋2－3＝0.当 x ≥1 时， x ＋x 2－3≥2x ·x 2－3＝2 2－3，当且仅当 x ＝2x ，即 x ＝ 2时等号成立，此时 f(x)min＝2 2－ 3<0；当 x<1 时，lg( x 2＋ 1)≥ lg(0 2＋ 1)＝ 0，此时 f(x)min ＝0.所以 f( x)的最小值为 2 2－ 3.答案： 0 2 2－ 3x 3，x ≤ 0，9．已知函数 f(x)＝若 f(2－x 2)>f(x)，则实数 x 的取值范围是 ___________ ．ln ( x ＋ 1)， x>0，A.，f(x)的最小值是 _________2m －1<0，若 g(x)为减函数，必有0<m < 1，32m －1＋ ≤ m ，411 解得 0< m ≤41，即 m 的取值范围为 0，14 .因为 3≤ x 1<x 2≤5，所以 x1－ x 2<0，(x 1＋ 2)(x 2＋ 2)>0，所以 f(x 1)－ f(x 2)<0， 即 f(x 1)<f(x 2)，所以 f(x)在 ［3，5］上为增函数．1答案： 0， 14 11． (2020 ·杭州学军中学高三模拟 )已知函数 (1)判断函数 f(x)的单调性，并证明；(2)求函数 f(x)的最大值和最小值． 解： (1)f(x)在［3，5］上为增函数．证明如下：任取 x1，x 2∈［3， 5］且 x 1<x 2，解析： 函数 y ＝x 3 在(－∞，0］ 上是增函数，函数 y ＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上是增函数，且x>0 时， ln( x ＋1)>0 ，所以 f(x)在 R 上是增函数，由 f(2－x 2)>f(x)，得 2－x 2>x ，解得－ 2<x<1， 所以 x 的取值范围是 (－2，1)．答案： (－ 2， 1)10．定义 max{ a ， b}为 a ，b 中的最大值，函数 f (x)＝ max{log 2(x ＋ 1)， 2－ x}( x >－ 1)的最小值为 c ，如果函数3(2m －1) x ＋ ，x ≥cg(x)＝ 4在 R 上单调递减，则实数 m 的取值范 x，x <c围为解析： 根据题意， f(x)＝ max{log 2(x ＋1)，2－x}(x >－ 1)，2－x ，x <1则 f(x) ＝ ，分析可得，当log ( x ＋ 1)， x ≥1x ＝ 1 时，f(x)取得最小值 1，则有 c ＝ 1，则 g(x) ＝ m x，x <132m －1)x ＋ 4， x ≥1x －1 f(x)＝x ＋2，x ∈［3， 5］．f(x 1)－f(x 2)＝ x 1－1x 1＋2x 2－1 x 2＋23( x 1－ x 2)x1＋ 2)( x 2＋2)(2)由(1)知f(x)在［3，5］上为增函数，42则f(x)max＝f(5) ＝7，f(x)min＝f(3)＝5.1 12．(2020 金·丽衢十二校联考)已知函数f(x)＝a－|x|.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞ )上是增函数；(2)若f(x)<2x 在(1，＋∞ )上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：1当x∈ (0，＋∞ )时，f(x)＝a－x，设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0，1 1 1 1 x2－x1所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．1(2)由题意a－x<2x 在(1，＋∞ )上恒成立，x设h(x)＝2x＋1x，x则a<h(x)在(1，＋∞ )上恒成立．任取x1，x2∈(1，＋∞ )且x1<x2，1 h(x1)－h(x2)＝(x1－x2) 2－x1x2 .因为1<x1<x2 ，所以x1－x2<0，x1x2>1 ，1所以2－x1x2>0，所以h(x1)<h(x2) ，所以h(x)在(1，＋∞ )上单调递增．故a≤h(1) ，即a≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞ ，3］．(a－2)x，x≥21．已知函数f(x)＝12x－1，x<2 是2 R 上的单调递减函数，则实数）A ．（－∞，2）13 －∞，C．（0，2）13D. 183，2 ［综合题组练］（a 的取值范围是x2 x1 x1 x2 x1x2a－2<0 131，解得a≤13，故选B.2（a－2）≤（2）2－1 31 f1（x）＋f2（x）2．（2020 ·丽水质检）已知函数f1（x）＝|x－1|，f2（x）＝3x＋1，g（x）＝2＋则b－a 的最大值为A．2D．52（2019 高·考浙江卷）已知a∈R，函数f（x）＝ax4－x.若存在t∈R，使得|f（t＋2）－f （t）|≤ 32 4 4 4① f（x）＝x2；②f（x）＝x3＋2x2＋2x；3（3t2＋6t＋4）≤a≤3（3t2＋6t＋4）有解，所以a≤3（3t2＋6t＋4）max＝3，所以a 的最大值为 4 * * *3. 解析：选B. 因为函数为递减函数，则|f1（x）－f2（x）|，若a，b∈［－1，5］，且当x1，x2∈［a，b］时，g（x1）－g（x2）>0 恒成立，x1－x2B．3C．4解析：选D. 当f1(x)≥ f2(x)时，g（x）＝f1（x）＋f2（x）f1（x）－f2（x）＝f1（x）；当f1(x)<f2(x)时，f1（x）＋f2（x）g（x）＝f2（x）－f1（x）＝f2(x)．综上，g（x）＝f1（x），f1f2（x），f1 x）x）≥ f2（x），即g（x）是f1（x），f2（x）两者中的较大者．在同一直角坐标系中分别画出函数f1（x）与f2（x）的图象，则g（x）的图象如图中实线部分所示．由图可知g（x）在［0，＋∞）上单调递增，又g（x）在［a，b］上单调递增，故a，b∈[0，5］，则b－a 的最大值为5.3．则实数a 的最大值是解析：f（t＋2）－f（t）＝［a（t＋2）3－（t＋2）］－（at3－t）＝2a（3t2＋6t＋4）－2，因为存在t∈R，2 2 2使得|f（t＋2）－f（t）|≤32，所以－23≤ 2a（3t2＋6t ＋4）－2≤ 23有解．因为3t2＋6t＋4≥1，所以3 3 3x③ f(x)＝x ＋ln x ；④f(x)＝ x .e解析： y ＝f(x)为 2 倍值函数等价于， y ＝ f(x)的图象与 y ＝2x 有两个交点， 递增．对于 ①， y ＝ 2x 与 y ＝ x 5，有两个交点 (0， 0)， (2，2)， 在 ［0， 2］上 f(x)递增，值域为 ［0， 4］，①符合题意．对于 ②，y ＝2x 与 y ＝ x 6＋ 2x 2＋ 2x ，有两个交点 (0，0)，(－ 2，－ 4)， 在 ［－2， 0］上 f(x)递增，值域为 ［－4，0］，②符合题意．对于 ③，y ＝2x 与 y ＝ x ＋ ln x ，没有交点，不存在 x ∈ ［ a ，b ］，值域为［2a ， 意．对于④，y ＝2x 与 y ＝ x x 有两个交点 (0，0)，(－ln 2，－ 2ln 2)，ef(x)在［－ln 2，0］上递增，值域为 ［－2ln 2，0］，④符合题意，故答案为 ①②④ . 答案： ①②④x2 － 2ax ＋ a 2＋1，5． (2020 浙·江新高考联盟第三次联考 )已知函数 f(x)＝ 2 2 x 2＋x － a ，x >0. x (1)若对于任意的 x ∈R ，都有 f(x)≥f(0)成立，求实数 a 的取值范围；(2)记函数 f(x)的最小值为 M(a)，解关于实数 a 的不等式 M(a －2)<M(a) 解： (1)当 x ≤0 时， f(x)＝(x －a)2＋1，因为 f(x)≥f(0)，所以 f(x)在(－ ∞，0］上单调递减， 所以 a ≥ 0，2当 x >0时， f ′(x)＝2x －x 2，5令 2x － 2＝ 0 得 x ＝1，x所以当 0<x <1时， f ′(x)<0，当 x >1时， f ′(x)>0， 所以 f(x)在(0，1)上单调递减，在 (1，＋ ∞)上单调递增， 所以 f min (x)＝f(1)＝3－ a ， 因为 f(x)≥ f(0)＝ a 2＋1，所以 3－a ≥ a 2＋ 1，解得－ 2≤a ≤1. 又 a ≥ 0，所以 a 的取值范围是 ［0，1］．(2)由(1)可知当 a ≥0 时， f(x)在(－∞，0］上的最小值为 f(0)＝ a 2＋ 1，当 a <0 时， f(x) 在(－∞ ， 0］上的最小值为 f(a)＝ 1，且在 ［a ， b ］上2b ］，③不合题x ≤0，令 3－a ＝ 1 得 a ＝2， 因为 M(a －2)<M(a)， 所以 0<a < 2.p ，p ≤q ，6．已知 a ≥3，函数 F (x)＝ min{2| x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中 min{ p ，q}＝ q ，p >q.(1)求使得等式 F(x)＝x 2－2ax ＋4a －2 成立的 x 的取值范围； (2)①求 F(x)的最小值 m(a)；②求 F(x)在区间 [0， 6]上的最大值 M(a)． 解： (1)由于 a ≥ 3，故当 x ≤1时， (x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)·(2－x)>0， 当 x >1时， (x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a)．所以使得等式 F(x)＝x 2－2ax ＋4a －2 成立的 x 的取值范围为 [2，2a]．(2)①设函数 f( x)＝ 2|x － 1|，g( x) ＝ x 2－ 2ax ＋ 4a － 2，则 f(x) min ＝ f(1) ＝0，g(x)min ＝g(a)＝－ a 2＋4a －2，F(x)的定义知 m(a)＝min{ f(1)， g(a)} ，即0， 3≤a ≤2＋ 2， －a 2＋4a －2，a > 2＋ 2.②当 0≤ x ≤ 2时， F(x)＝f(x)≤max{f(0)，f(2)} ＝2＝F(2)；当 2≤x ≤6 时，F(x)＝g(x)≤max{g(2)，g(6)} ＝max{2，34－8a}＝max{F(2)，F(6)}．34－ 8a ， 3≤ a < 4 ， 所以 M(a)＝ 2，a ≥ 4.4f(x)在(0，＋ 解不等式组∞ )上的最小值为 f(1)＝3－ a ，a2＋1≤ 3－a得 0≤ a ≤1，a ≥0 解不等式组1≤ 3－a得 a < 0，a < 0 a 2＋1，0≤ a ≤1所以 M(a)＝ 所以 1，a < 0.3－ a ， a ≥ 1M(a)在 (－∞，0)上为常数函数，在 (0，1)上是增函数，在 (1，＋ ∞)上是减函数， 作出 M(a)的函数图象如图所示：所以由 m(a)＝答案：434．对于函数y＝f（ x），若存在区间［a，b］，当x∈ ［a，b］时，f（x）的值域为［ka，kb］（k>0），则称y＝f（x）为k倍值函数，下列函数为2 倍值函数的是 ________ （填上所有正确的序号）．。

第6讲对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0 底数的对数是1：log a a＝1 对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)推广：log am b n＝nmlog a b；log a b＝1log b aa>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x (a ＞1，b ＞1，0＜c ＜1，0＜d ＜1)的图象，如图所示．作出直线y ＝1，分别与四个图象自左向右交于点A (c ，1)，B (d ，1)，C (a ，1)，D (b ，1)，得到底数的大小关系是：b ＞a ＞1＞d ＞c ＞0.根据直线x ＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．4．反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修1P68练习T4改编)(log 29)·(log 34)＝________． 解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案：42．(必修1P73探究改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________． 解析：由题意知f (x )＝log 2x ， 所以f (2)＝log 22＝1.答案：13．(必修1P71表格改编)函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1)4．(必修1P82A 组T6改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.所以c >a >b .答案：c >a >b [易错纠偏](1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有②. 答案：②2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________． 解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1对数式的化简与求值(1)(2020·杭州市七校联考)计算：log 212＝______，2log 23＋log 43＝________．(2)若a ＝log 43，则2a＋2－a＝________． 【解析】 (1)log 212＝log 22－12＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23＋12log 23＝2log 2(3·312)＝3 3.(2)因为a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23，所以2a＋2－a＝2log 23＋2－log 2 3 ＝3＋2log 233＝3＋33＝433. 【答案】 (1)－12 3 3 (2)433对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________．解析：2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log 23＝ 3.答案：2 32．2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1＝________． 解析：原式＝2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(1－lg 2) ＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋1－lg 2 ＝2lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1. 答案：1对数函数的图象及应用(1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn＝－1上，且m >0，n >0，则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28【解析】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过A (－3，－1)，由点A 在直线x m ＋y n＝－1上可得，－3m＋－1n＝－1，即3m ＋1n＝1，故3m ＋n ＝(3m ＋n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ，因为m >0，n >0，所以n m ＋m n≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝mn，即m ＝n 时取等号)， 故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16，故选B.【答案】 (1)C (2)B利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1解析：选D.由对数函数的性质得0<a <1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c >0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c <1.2．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则log b a ＝________．解析：f (x )的图象过两点(－1，0)和(0，1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：1对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．主要命题角度有：(1)求对数型函数的定义域； (2)比较对数值的大小； (3)解对数不等式；(4)与对数函数有关的复合函数问题． 角度一 求对数型函数的定义域函数f (x )＝log 13（4x －5）的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，54 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32 【解析】 要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0，log 13（4x －5）≥0，所以0<4x －5≤1，54<x ≤32.故函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32.【答案】 C角度二 比较对数值的大小(1)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 215)，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b(2)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >cD ．b >c >a【解析】 (1)由f (x )是奇函数可得，a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f (log 25)，因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，且函数f (x )是增函数，所以c <b <a .(2)因为a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 23<log 22＝1，所以a >b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1，c >0，所以b >c ，故a >b >c .【答案】 (1)C (2)A 角度三 解对数不等式设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12（－a ）>log 2（－a ）， 解得a >1或－1<a <0.故选C. 【答案】 C角度四 与对数函数有关的复合函数问题(1)(2020·金丽衢十二校联考)函数y ＝lg|x |( ) A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________． 【解析】 (1)因为lg|－x |＝lg|x |，所以函数y ＝lg|x |为偶函数，又函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y 轴对称可得，y ＝lg|x |在区间(－∞，0)上单调递减，故选B.(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)． 【答案】 (1)B (2)[1，2)(1)比较对数值的大小的方法①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． ③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． (2)解对数不等式的类型及方法①形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．②形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2020·宁波模拟)已知a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3，4]上是增函数，则a 的取值范围是( )A.16≤a <14或a >1B ．a >1 C.18≤a <14 D.15≤a ≤14或a >1 解析：选A.令t ＝|ax 2－x |，y ＝log a t ，当a >1时，外函数为递增函数，所以内函数t ＝|ax 2－x |，x ∈[3，4]，要为递增函数，所以1a <3或4≤12a ，解得a >13或a ≤18，所以a >1，当0<a <1时，外函数为递减函数，所以内函数t ＝|ax 2－x |，x ∈[3，4]，要为递减函数，12a ≤3<4<1a ，解得16≤a <14，综上所述，16≤a <14或a >1，故选A.2．(2020·绍兴一中高三期中)已知f (x )＝lg(2x －4)，则方程f (x )＝1的解是________，不等式f (x )<0的解集是________．解析：因为f (x )＝1，所以lg(2x －4)＝1，所以2x －4＝10，所以x ＝7；因为f (x )<0，所以0<2x －4<1，所以2<x <2.5，所以不等式f (x )<0的解集是(2，2.5)．答案：7 (2，2.5)思想方法系列1 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f (x )＝log a (2x －a )(a >0且a ≠1)在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(13，1)B ．[13，1)C ．(23，1)D ．[23，1)【解析】 当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是(13，1)．【答案】 A本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a 的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．已知函数y ＝b ＋ax 2＋2x (a ，b 是常数且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有y max ＝3，y min ＝52，试求a ，b 的值．解：令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， 因为x ∈[－32，0]，所以t ∈[－1，0]．(1)若a >1，函数f (x )＝a t在[－1，0]上为增函数， 所以a t∈[1a，1]，则b ＋ax 2＋2x ∈[b ＋1a，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)若0<a <1，函数f (x )＝a t在[－1，0]上为减函数， 所以a t∈[1，1a]，则b ＋ax 2＋2x ∈[b ＋1，b ＋1a]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上，a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[基础题组练]1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A ．2 B ．5 C ．10D ．20解析：选A.lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A.2．函数f (x )＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( )A ．(－3，0)B ．(－3，0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3，0)解析：选A.因为f (x )＝ln （x ＋3）1－2x，所以要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x <0.3．(2020·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5(用p 、q 表示)等于( )A.3p ＋q5 B.1＋3pqp ＋qC.3pq1＋3pqD ．p 2＋q 2解析：选C.因为log 83＝p ，所以lg 3＝3p lg 2，又因为log 35＝q ，所以lg 5＝q lg 3，所以lg 5＝3pq lg 2＝3pq (1－lg 5)，所以lg 5＝3pq1＋3pq，故选C.4．若函数f (x )＝ax －1的图象经过点(4，2)，则函数g (x )＝log a1x ＋1的图象是( )解析：选D.由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，a ＝32. 所以g (x )＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)．由于g (0)＝0，且g (x )在定义域上是减函数，故排除A ，B ，C.5．(2020·瑞安四校联考)已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)<f (3)B ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)C ．f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)D ．f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 解析：选C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝log 1232，因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0，所以－1<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0；f (0)＝log 121＝0；f (3)＝log 122＝－1，所以C 正确．6．设函数f (x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( )A ．(0，2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 解析：选B.因为f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减， 令t ＝log 2x ，所以log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1，又因为f (1)＝log 122＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，所以－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1，1]，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故选B. 7．(2020·瑞安市高三四校联考)若正数a ，b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )，则1a ＋1b的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )＝k ， 所以a ＝2k，b ＝5k，a ＋b ＝10k，所以ab ＝10k， 所以a ＋b ＝ab ，则1a ＋1b＝1.答案：18．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图，令|log a x |＝1. 得x ＝a 或x ＝1a，又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a＜0，故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：239．(2020·台州模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1， 解得1<a <83，当0<a <1时，f (x )在x ∈[1，2]上是增函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1， 且8－2a <0，所以a >4，且a <1，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ≤3，2－log 3x ，x ＞3，若a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b＋c 的取值范围为________．解析：由f (a )＝f (b )＝f (c )，可知－log 3a ＝log 3b ＝2－log 3c ，则ab ＝1，bc ＝9，故a ＝1b ，c ＝9b ，则a ＋b ＋c ＝b ＋10b ，又b ∈(1，3)，位于函数f (b )＝b ＋10b 的减区间上，所以193＜a ＋b ＋c ＜11.答案：⎝⎛⎭⎪⎫193，1111．函数f (x )＝log 12(a x－3)(a >0且a ≠1)．(1)若a ＝2，求函数f (x )在(2，＋∞)上的值域；(2)若函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)令t ＝a x－3＝2x－3，则它在(2，＋∞)上是增函数，所以t >22－3＝1， 由复合函数的单调性原则可知，f (x )＝log 12(2x－3)在(2，＋∞)上单调递减，所以f (x )<f (2)＝log 121＝0，即函数f (x )在(2，＋∞)上的值域为(－∞，0)．(2)因为函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则，所以t ＝a x－3在(－∞，－2)上单调递减且恒为正数，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，t min >a －2－3≥0，解得0<a ≤33. [综合题组练]1．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z解析：选D.设2x ＝3y ＝5z＝k >1， 所以x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k .因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0，所以2x >3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k125243log k 3·log k 5<0，所以3y <5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5<0，所以5z >2x .所以5z >2x >3y ，故选D.2．(2020·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，其中“同形”函数是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A.f 3(x )＝log 2x 2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x )的图象重合，故排除选项B ，D ；f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，将f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象，再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x 的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.3．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知函数f (x )＝ln(e 2x＋1)－mx 为偶函数，其中e 为自然对数的底数，则m ＝________，若a 2＋ab ＋4b 2≤m ，则ab 的取值范围是________．解析：由题意，f (－x )＝ln(e－2x＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx ，所以2mx ＝ln(e 2x＋1)－ln(e－2x＋1)＝2x ，所以m ＝1，因为a 2＋ab ＋4b 2≤m ，所以4|ab |＋ab ≤1，所以－13≤ab ≤15，故答案为1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15.答案：1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15 4．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则a 的取值范围是________．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，即有f (x )＝f (|x |)， 由实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则有f (log 3a )＋f (－log 3a )≥2f (1)， 即2f (log 3a )≥2f (1)即f (log 3a )≥f (1)， 即有f (|log 3a |)≥f (1)，由于f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减， 则|log 3a |≤1，即有－1≤log 3a ≤1， 解得13≤a ≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3。