2021届上海市敬业中学高三下学期3月月考数学试卷

2021年高三3月月考（一模）数学（理）试题含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.若复数则=（）A．3 B.2 C． D．2.已知集合，集合B为函数的定义域，且A∪B=R，那么m的值可以是（）A．﹣1 B．0C．1D．23．设向量与满足:在方向上的投影为，与垂直，则（）A． B． C． D．4.设中变量x，y满足条件，则z的最小值为（）A．2B．4C．8D．165.已知不重合的直线m、l和平面，，,则是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件6．已知对任意的实数，直线都不与曲线相切．则实数的取值范围为( )A. B. C. D.7．某三棱锥的三视图如图所示，其中左视图中虚线平分底边，则该三棱锥的所有面中最大面的面积是( )否是输入m 输出S 结束 S =0,i =1 S =S +ii =i +2 i<m 开始A ．2B ．C ．2D ． 8．阅读如图所示的程序框图，若输入m=xx ，则输出等于() A ．10072 B.10082 C ．10092 D ．xx 29.函数y=sin φ取最小正值时所得偶函数为，则函数的部分图象可以为( )10．设、是双曲线：（，）的两个焦点，是上一点，若，且△最小内角的大小为，抛物线：的准线交双曲线所得的弦长为4,则双曲线的实轴长为（ ）A ．6B ．2C ．D ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0.若函数只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A. B. C. D.左（侧）视图12.已知是定义在上的函数的导函数，且满足，则不等式的解集为( ) A. B. C. D.第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-24为选做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

是符合题目要求的。

(1) 已知集合,，则(2) （A ） （B ） （C ） （D ）答案：D解析：A ＝［－4,4］，B ＝（－7,3），所以，(3) 设复数在复平面内对应的点关于实轴对称，，则(4) （A ） （B ） （C ） （D ）答案：B解析：复数在复平面内对应的点关于实轴对称，它们互为共轭复数，又所以，，(5) 要得到函数的图象，只需将函数的图象(6) （A ）向左平移个周期 （B ）向右平移个周期(7) （C ）向左平移个周期 （D ）向右平移个周期答案：C解析：函数的最小正周期为T ＝，因为sin[2()]sin(2)cos 242x x x ππ+=+=，所以，向左平移个周期。

(8) 设等差数列的公差，且，若是与的等比中项，则(9) （A ） （B ）(10) （C ） （D ）答案：C解析：2(2)(3)k a a k d k d =+-=-，，，依题意，得：，即：2[(3)]3(3)k d d k d -=⨯+，解得k ＝9。

(11) 如图为某几何体的三视图，则其体积为(12) （A ） （B ）（C ） （D ）答案：A解析：由三视图可知，该几何体为半个圆柱与一个四棱锥组成的，如图所示，半圆柱的体积为：，四棱锥的体积为：，所以，该几何体体积为：(13)执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的的值分别为(14)（A）(15)（B）(16)（C）(17)（D）答案：C解析：由于皆为偶数，进入循环体，第1步：k＝1，m＝84，n＝56；第2步：k＝2，m＝42，n＝28；第3步：k＝3，m＝21，n＝14；这时m＝21为奇数，退出第一循环体，显然m≠n进入第二循环体，执行第二循环体第1次：d＝7，m＝14，n＝7；执行第二循环体第2次：d＝7，m＝7，n＝7；此时m＝n，退出循环，输出k＝3，m＝7。

(18)已知函数，，且,,，则（A）（B）（C）（D）答案：A解析：因为，且，故有，＝＞1，是开口向上的抛物线，对称轴方程为，故当取值离对称轴越近时，函数值越小。

高三3月月考 数 学（文科）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 已知i 是虚数单位，若复数z 满足31i z i=+，则z 为A ．12i + B ．12i - C ．12i -- D ．12i-+(2)已知集合A={x|x 2一x-6 >0），B={x|-1≤x ≤4），则A B=(A)[一l,3) (B)(3,4] (C)[一1,2) (D)(2,4] (3) 要得到函数x y 21sin =的图象，只要将函数cos 2y x =的图象 A ．向右平移4π个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的4倍， 纵坐标不变 B. 向左平移4π个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的41倍，纵坐标不变C. 向左平移4π个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变 D. 向右平移4π个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的41，纵坐标不变(4)设M 是△ABC 所在平面内的一点，若AB +AC =2AM ，|BC |=2，则MB ·MC =(A) -1 (B)1 (C) -2 (D)2(5)已知函数2,0()21,0x x ax x f x x ⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围为(A)(一∞,0) (B)(0,1] (C)(0,+∞) (D)[0,+∞) (6) 执行如图所示的程序框图，若输出的20164033S =，则判断框内应填入 A ．2014i > B ．2014i > C ．2015i > D ．2017i >(7)盒中共有形状大小完全相同的5个球，其中有2个红球和3个白球．若从中随机取2个球，则概率为35的事件是 (A)都不是红球 (B)恰有1个红球 (C)至少有1个红球 (D)至多有1个红球(8)已知等比数列{a n }为递增数列，其前n 项和为S n ．若S 3=7，a 2=2， 则 a 3 +a 4 +a 5= (A)74 (B 78(C) 28 (D) 56(9)已知点P 在双曲线22216x y a -=1的右支上，F 为双曲线的左焦点，Q 为线段PF 的中点，D为坐标原点．若|OQ|的最小值为1，则双曲线的离心率为(A)1715 (B)1517 (C)35 (D)53(10) 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， 则这个几何体的体积是 A ．72 B ．80 C ．120 D ．144(11)已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点，点A ，B 在抛物线上，O 为坐标 原点．若AF +2BF =0，则△OAB 的面积为(A)328 (B)324 (C)322(D)32 (12) 设函数()213m xf x x x =--，若()(0,),0x f x ∀∈+∞<恒成立，则实数m 的取值范围为A ．2(,)3-∞B ．2(,1)3C ．2(,2)3D ．2(,)3+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题一第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足12n n n a a S +=，数列{}n b 满足1116,2n n b b b n +=-=，则数列{}n nba 中第 项最小.(14) 已知实数,x y 满足条件0290y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则11y x -+的取值范围为(15)若一个长方体内接于表面积为4π的球，则这个长方体的表面积的最大值是(16)已知函数f(x)=x 2+bx+1满足f(一x ）=f(x+1），若存在实数t ，使得对任意实 数x ∈[l ，m]，都有f(x+t ）≤x 成立，则实数m 的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，已知222a cb ac +-=，且23b c =。

2021届高三数学下学期3月质量检测试题 理〔含解析〕本套试卷一共5页，23题〔含选考题〕，全卷满分是150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★考前须知：1．在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡上．2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，请用黑色签字笔填写上在答题卡上对应的表格中．3．非选择题的答题：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．选考题的答题：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写上在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．6．答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给，原那么上一张A4拍成一张照片，要注意照片的明晰，不要多拍、漏拍．一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．z ＝〔1+2i 〕〔1+ai 〕〔a ∈R 〕，假设z ∈R ，那么实数a ＝〔 〕A.12B. 12-C. 2D. ﹣2【答案】D 【解析】 【分析】化简z ＝〔1+2i 〕〔1+ai 〕=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解. 【详解】因为z ＝〔1+2i 〕〔1+ai 〕=()()122a a i -++， 又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2. 应选：D【点睛】此题主要考察复数的运算及概念，还考察了运算求解的才能，属于根底题.M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x 〔x +3〕≤0}，那么M ∩N ＝〔 〕A. [﹣3，2〕B. 〔﹣3，2〕C. 〔﹣1，0]D. 〔﹣1，0〕 【答案】C 【解析】 【分析】先化简N ＝{x |x 〔x +3〕≤0}={x |-3≤x ≤0}，再根据M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x |x 〔x +3〕≤0}={x |-3≤x ≤0}， 又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}， 所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}. 应选：C【点睛】此题主要考察集合的根本运算，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为〔 〕 A.16B.518C.19D.512【答案】A 【解析】 【分析】直接计算概率得到答案.【详解】一共有66=36⨯种情况，满足条件的有()()()()()()1,11,21,32,1,2,2,3,1，，，6种情况， 故61366p ==. 应选：A .【点睛】此题考察了概率的计算，意在考察学生的计算才能. 4.在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，那么a 3=〔 〕 A. 2 B. 4C.12D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案.【详解】4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得112a q =⎧⎨=⎩或者11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩〔舍去〕.故2314a a q ==.应选：B .【点睛】此题考察了等比数列的计算，意在考察学生的计算才能. 5.执行如下图的程序框图，输出的s 的值是〔 〕A.53B.85C.138D.2113【答案】C 【解析】 【分析】根据循环构造依次进展，直至不符合4i ≤，终止循环，输出s .【详解】第一次循环，2,1s i ==，第二次循环，3,22s i ==， 第三次循环，5,33s i ==，第四次循环，8,45s i ==， 第四次循环，13,58s i ==， 此时不满足4i ≤，输出138s =.应选：C【点睛】此题主要考察程序框图中的循环构造，还考察了逻辑推理的才能，属于根底题. 6.等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，那么()PA PB PC ⋅+的最大值是〔 〕B. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】如下图建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，那么(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案.【详解】如下图建立直角坐标系，那么1,0A ，1,22⎛- ⎝⎭B ，1,22C ⎛-- ⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，那么(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 应选：D .【点睛】此题考察了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.f 〔x 〕＝sin 2x +sin 2〔x 3π+〕，那么f 〔x 〕的最小值为〔 〕 A.12 B.1432 【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值.【详解】函数f 〔x 〕＝sin 2x +sin 2〔x 3π+〕， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+， =1cos 232111cos 222223x x x π⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f 〔x 〕的最小值为12. 应选：A【点睛】此题主要考察倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考察了运算求解的才能，属于中档题.8.数列{a n }满足a 1=1，(a n +a n+1-1)2=4a n a n +1，且a n +1>a n (n ∈N *)，那么数列{a n }的通项公式a n =〔 〕 A. 2n B. n 2 C. n +2 D. 3n -2【答案】B 【解析】 【分析】1=，故为首项是1，公差为1的等差数列，得到答案.【详解】()21114n n n n a a a a +++-=，故11n n a a ++-=21=，1=，11a =，故为首项是1，公差为1的等差数列.n =，2n a n =.应选：B .1=是解题的关键. 9.a ，b =0. 40. 8，c = log 84，那么〔 〕A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a【答案】D 【解析】 【分析】计算得到555b c a <<，得到答案.【详解】5254582320.80.64,0.40.0256,log 4,0.13173243a b c c =======≈，故555b c a <<.即b c a <<. 应选：D .【点睛】此题考察了数值的大小比拟，计算其五次方是解题的关键.10.青春因奉献而美丽，为了响应HY 的HY 关于“推动城乡义务教育一体化开展，高度重视农村义务教育〞精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的去支教，每个至少去1人，那么恰好有2名大学生分配去甲的概率为〔 〕 A.25B.35C.15D.215【答案】A 【解析】 【分析】计算所有情况一共有150种，满足条件的一共有60种，得到答案.【详解】所有情况一共有2133535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种. 满足条件的一共有22253260C C A =种，故6021505p ==. 应选：A .【点睛】此题考察了概率的计算，意在考察学生的计算才能和应用才能.P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，假设PA ⊥PB ，那么椭圆τ的离心率e =〔 〕A.12B.2C.2D.3【答案】C 【解析】 【分析】设()11,P x y ，那么()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，那么()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =，那么11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，那么22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故e =应选：C .【点睛】此题考察了椭圆的离心率，意在考察学生的计算才能和转化才能.x 的不等式3xe x-x - alnx ≥1对于任意x ∈(l，+∞)恒成立，那么实数a 的取值范围为〔 〕A. 〔-∞，1-e]B. 〔-∞，-3]C. 〔-∞，-2]D. 〔-∞，2- e 2] 【答案】B 【解析】 【分析】化简得到3ln 1ln x x e x a x---≤，根据1x e x ≥+化简得到答案.【详解】根据题意：33ln 3ln 31111ln ln ln ln xx x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x-----------≤===. 设()1xf x e x =--，那么()'1xf x e =-，那么函数在(),0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，故()()min 00f x f ==，故1x e x ≥+.根据1xe x ≥+，3ln 13ln 113ln ln x x e x x x x x x----+--≥=-，故3a ≤-.应选：B .【点睛】此题考察了根据不等式恒成立求参数，利用不等式1x e x ≥+化简是解题的关键.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，那么该双曲线的HY 方程为________.【答案】221123y x -=【解析】 【分析】设双曲线方程为224x y λ-=，代入点(4,1)，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为20x y ±=，那么设双曲线方程为：224x y λ-=，代入点(4,1)，那么12λ=.故双曲线方程为：221123y x -=.故答案为：221123y x -=.【点睛】此题考察了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为224x y λ-=是解题的关键.f 〔x 〕cosx a sinx +=在〔0，2π〕上单调递减，那么实数a 的取值范围为___．【答案】a ≥﹣1． 【解析】 【分析】将函数f 〔x 〕cosx a sinx +=在〔0，2π〕上单调递减，转化()21cos 0sin a xf x x --'=≤在〔0，2π〕上恒成立 即1cos a x ≥-在〔0，2π〕上恒成立 再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f 〔x 〕cosx asinx +=在〔0，2π〕上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x --'=≤在〔0，2π〕上恒成立 ，即1cos a x ≥-在〔0，2π〕上恒成立 ，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()cos 0,1x ∈， 所以1(,1]cos x-∈-∞-，a≥-.所以1a≥-故答案为：1【点睛】此题主要考察了导数与函数的单调性，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题.15.根据气象部门预报，在间隔某个码头A南偏东45°方向的600km处的热带风暴中心B 正以30km/h的速度向正北方向挪动，间隔风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从如今起经过___小时后该码头A将受到热带风暴的影响〔准确到0.01〕．h.【解析】【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．假设在点C处受到热带风暴的影响，那么AC＝450，那么有22AD DC+=450，即22︒+︒-=450；两边平方并化简、整理求解.cos sin t(60045)(6004530)【详解】建立如下图直角坐标系：设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．假设在点C处受到热带风暴的影响，那么OC＝450，22AD DC+=450，22︒+︒-=450；(60045)(6004530)cos sin t两边平方并化简、整理得t2﹣2t+175＝0∴t1025=或者1025，≈159.0241所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】此题主要考察了三角函数的实际应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题.S- ABC 中，底面△ABC 是边长为3的等边三角形，SASB，假设此三棱锥外接球的外表积为21π，那么二面角S-AB-C 的余弦值为____． 【答案】12- 【解析】 【分析】证明CD AB ⊥，2O D AB ⊥，得到2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角，计算故13ODO π∠=，23ODO π∠=，得到1223O DO π∠=，得到答案. 【详解】球的外表积为2421R ππ=，故2R =，222SA SB AB +=，故2SAB π∠=.SAB ∆的外接圆圆心为SB 中点2O，2r = ABC ∆的外接圆圆心为三角形中心1O，1r ==设球心为O ，那么2OO ⊥平面SAB ，1OO ⊥平面ABC ，1CO 与AB 交于点D ， 易知D 为AB 中点，连接DO ，2DO ，易知CD AB ⊥，2O D AB ⊥， 故2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角.故132OO ==，232OO ==，1132DO CD ==，2122DO SA ==.1tan ODO ∠=13ODO π∠=，2tan ODO ∠=23ODO π∠=.故1223O DO π∠=，121cos 2O DO ∠=-. 故答案为：12-.【点睛】此题考察了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考察学生的空间想象才能和计算才能.三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题． 〔一〕必考题：一共60分．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =4，tan tan tan tan A B c bA B c--=+.〔1〕求A 的余弦值； 〔2〕求△ABC 面积的最大值． 【答案】〔1〕12；〔2〕3【解析】 【分析】〔1〕根据正弦定理化简得到()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，得到答案.〔2〕计算16bc ≤，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】〔1〕tan tan tan tan A B c bA B c --=+，那么sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A B A B C B A B A B C--=+，即()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，sin 0B ≠，故1cos 2A =. 〔2〕2222cos a b c bc A =+-，故22162b c bc bc bc +-=≥-，故16bc ≤. 当4b c ==时等号成立.1cos 2A =，故3sin 2A =，1sin 432S bc A =≤，故△ABC 面积的最大值为43.【点睛】此题考察了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考察学生的综合应用才能. 18.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．〔1〕求证：AC ⊥QL ；〔2〕求点A 到平面PQL 的间隔 ． 【答案】〔1〕证明见解析；〔23a 【解析】 【分析】〔1〕作QM CD ⊥于M ，证明AC ⊥平面QML 得到答案.〔2〕取AB 中点N ，连接,PN LN ，利用等体积法P ANL A PNL V V --=计算得到答案. 【详解】〔1〕如下图：作QM CD ⊥于M ，易知M 为CD 中点，L 为BC 中点，故AC ML ⊥.QM CD ⊥，故QM ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故QM AC ⊥. QMML M =，故AC ⊥平面QML ，QL ⊂平面QML ，故AC QL ⊥.〔2〕取AB 中点N ，连接,PN LN ，易知//PQ LN ，AC QL ⊥，故PQLN 为矩形. 故A 到平面PQL 的间隔 等于A 到平面PNL 的间隔 .故31113322224P ANLa a a V Sh a -==⨯⋅⋅⋅=.222112322224PNLa S NL NP a a a ∆=⋅=⋅⋅+=， P ANLA PNL V V --=，即32133424a a d ⋅⋅=，故36d a =.【点睛】此题考察了线线垂直，点面间隔 ，意在考察学生的空间想象才能和计算才能. 19.抛物线Γ：y 2＝2px 〔p ＞0〕的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =〔2，3〕〔1〕求抛物线Γ的方程；〔2〕经过点A 〔3，﹣2〕的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B 〔3，﹣6〕和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，假如过定点，求出该定点，否那么说明理由．【答案】〔1〕y 2＝4x ；；〔2〕直线NL 恒过定点〔﹣3，0〕，理由见解析. 【解析】 【分析】〔1〕根据抛物线的方程，求得焦点F 〔2p，0〕，利用FP =〔2，3，表示点P 的坐标，再代入抛物线方程求解.〔2〕设M 〔x 0，y 0〕，N 〔x 1，y 1〕，L 〔x 2，y 2〕，表示出MN 的方程y 01014x y y y y +=+和ML 的方程y 02024x y y y y +=+，因为A 〔3，﹣2〕，B 〔3，﹣6〕在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y 1y 2＝12，然后表示直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+〔x 214y -〕，代入化简求解.【详解】〔1〕由抛物线的方程可得焦点F 〔2p，0〕，满足FP =〔2，P 的坐标为〔22p+，，P 在抛物线上， 所以〔2＝2p 〔22p +〕，即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；〔2〕设M 〔x 0，y 0〕，N 〔x 1，y 1〕，L 〔x 2，y 2〕，那么y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN 的斜率k MN10102210101044y y y y y y x x y y --===--+， 那么直线MN 的方程为：y ﹣y 0104y y =+〔x 204y-〕，即y 01014x y y y y +=+①，同理可得直线ML 的方程整理可得y 02024x y y y y +=+②，将A 〔3，﹣2〕，B 〔3，﹣6〕分别代入①，②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消y 0可得y 1y 2＝12，易知直线k NL 124y y =+，那么直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+〔x 214y -〕，即y 124y y =+x 1212y y y y ++，故y 124y y =+x 1212y y ++，所以y 124y y =+〔x +3〕，因此直线NL 恒过定点〔﹣3，0〕．【点睛】此题主要考察了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题.20.有人搜集了某10年中某城居民年收入〔即该城所有居民在一年内收入的总和〕与某种商品的销售额的相关数据：且101i i x =∑〔1〕求第10年的年收入x 10；〔2〕收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程y 363254x =+ˆa . 〔i 〕10年的销售额y 10；〔ii 〕居民收入到达40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？〔准确到0.01〕附加：〔1〕回归方程ˆˆˆybx a =+中，11221ˆni i ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-. 〔2〕1022110254.0ii xx =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，921340.0i i y ==∑【答案】〔1〕46；〔2〕1051y =，41.96y = 【解析】 【分析】 〔1〕直接根据101380ii x==∑计算得到答案.〔2〕利用公式计算1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑得到1051y =，得到中心点()38,39.1，代入计算得到答案. 【详解】〔1〕10101323133363738394345380ii xx ==+++++++++=∑，故1046x =.〔2〕1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解得1051y =，故38x =，2530343739+41+42+44+485139.110y +++++==.将点()38,39.1代入回归方程363254y x a =+得到：15.21a ≈-. 故36315.21254y x =-，当40x =时，41.96y =. 【点睛】.此题考察了回归方程，意在考察学生的计算才能和应用才能. 21.〔1〕证明函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；〔2〕证明函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x << 【答案】〔1〕见解析 〔2〕见解析 【解析】 【分析】〔1〕求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.〔2〕根据〔1〕已有信息，对函数进展二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证. 【详解】〔1〕对函数求导，得，'2cos 2cos 2sin 4cos 2sin ,x x y e x x x x e x x x =--+=-+因为任意的x ∈R ,有0x e >，且在区间(,)2ππ--上，1sin 0,1cos 0,x x -<<-<<所以(,),2sin 0,4cos 0,2x x x x ππ-->->∀∈即'4cos 2sin 0xy e x x x =-+>，即函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增.〔2〕对函数求导，得()()2212cos 'x x e x x f x x --=， 令()()212cos xg x ex x x =--，那么()()'2sin 4cos x g x x e x x x =+-当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，由〔1〕知，4cos 2sin 0xe x x x -+>，那么()'0g x < 故()g x 在,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减 而()()2210,12022g e g e πππππππ--⎛⎫⎛⎫-=--<-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点存在定理知：存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00g x =， 即()()02000012cos x g x ex x x =--当()0,x x π∈-时，()00g x >，即()'0f x >，()f x 为增函数； 当0,2x x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()00g x <，即()'0f x <，()f x 为减函数. 又当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()2212cos '0xx e x x f x x --=<所以()f x 在()0,0x 上恒为减函数， 因此()f x 有唯一的极大值点0x 由()f x 在0,2x π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，故()20212sin 202222e f x f e ππππππ-⎛⎫⎛⎫>-=--=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 即()00f x >又()00002sin ,x e f x x x =-当0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时， 00010,02sin 2x e x x -<<<-<故()02f x <综上，函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【点睛】导数题是高考中的重难点，通常涉及根据导数分析函数单调性、极值点等，此类证明题多涉及二次求导步骤，根据定义域分析函数值范围等.〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题 计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]xOy 中，曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩〔α为参数〕，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． 〔1〕求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程； 〔2〕假设点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值．【答案】〔1〕2212516x y +=，〔x ﹣2〕2+y 2＝1；〔2〕2.【解析】 【分析】〔1〕由C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数〕，消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用cos ,sin x y ρθρθ==转换为直角坐标方程.〔2〕设点P 〔5cos θ，4sinθ〕，根据点Q 在圆上，先求点P 到圆心的间隔 ，然后减去半径即为最小值.【详解】〔1〕曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数〕，两式平方相加整理得2212516x y +=． 将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． 得x 2+y 2﹣4x +3＝0， 整理得〔x ﹣2〕2+y 2＝1．〔2〕设点P 〔5cosθ，4sinθ〕在曲线C 1上，圆心O 〔2，0〕， 所以：PO ===， 当cosθ＝1时，|PO |min ＝3， 所以|PQ |的最小值3﹣1＝2．【点睛】此题主要考察了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题. [选修4-5:不等式选讲]f 〔x 〕＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|．〔1〕当a ＝4时，求解不等式f 〔x 〕≥8；〔2〕关于x 的不等式f 〔x 〕22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．【答案】〔1〕[5，+∞〕∪〔∞，13-]；〔2〕[﹣2，1]. 【解析】 【分析】〔1〕根据a ＝4时，有f 〔x 〕＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|，然后利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.〔2〕根据绝对值的零点有a ﹣1和12a ，分a ﹣112a =，a ﹣112a ＞和a ﹣112a ＜时三种情况分类讨论求解.【详解】〔1〕当a＝4时，f〔x〕＝|2x﹣4|+|x﹣3|，〔i〕当x≥3时，原不等式可化为3x﹣7≥8，解可得x≥5，此时不等式的解集[5，+∞〕；〔ii〕当2＜x＜3时，原不等式可化为2x﹣4+3﹣x≥8，解可得x≥9此时不等式的解集∅；〔iii〕当x≤2时，原不等式可化为﹣3x+7≥8，解可得x13≤-，此时不等式的解集〔∞，13 -]，综上可得，不等式的解集[5，+∞〕∪〔∞，13 -]，〔2〕〔i〕当a﹣112a=即a＝2时，f〔x〕＝3|x﹣1|22a≥=2显然不恒成立，〔ii〕当a﹣112a＞即a＞2时，()1321211123211x a x af x x a x ax a x a⎧-+-≤⎪⎪⎪=--⎨⎪-+≥-⎪⎪⎩，，＜＜，，结合函数的单调性可知，当x12a=时，函数获得最小值f〔12a〕112a=-，假设f〔x〕22a≥在R上恒成立，那么211122a a-≥，此时a不存在，〔iii〕当a﹣112a＜即a＜2时，f〔x〕3211111213212x a x ax a x ax a x a⎧⎪-+-≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，，＜＜，假设f〔x〕22a≥在R上恒成立，那么121122a a-≥，解得﹣2≤a≤1，此时a的范围[﹣2，1]，综上可得，a的范围围[﹣2，1]．【点睛】此题主要考察了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考察了分类讨论的思想和运算求解的才能，属于中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

上海市南洋模范中学2021届高三数学下学期3月月考试题（含解析）一、填空题。

1.已知全集，若集合，则_________.【答案】【解析】【分析】求出集合A，即可求解∁U A【详解】全集U＝R，集合A＝{x|x＞1或x<0}则＝故答案为【点睛】本题考查集合的基本运算，补集的求法，分式不等式解法，准确计算是关键，是基础题．2.双曲线的焦距为__________.【答案】6【解析】【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c的值．【详解】双曲线2x2﹣y2＝6即为1，可得a，b，c3，即焦距为2c＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，焦距的求法，注意将双曲线的方程化为标准方程，运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．3.已知二项展开式中的第五项系数为，则正实数_____.【答案】【解析】【分析】由二项式定理的通项公式可得：，解出即可得出．【详解】T5x﹣2，∴，a＞0．解得a．故答案为：．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，准确计算是关键，属于基础题．4.已知函数的图像与它的反函数的图像重合，则实数的值为___.【答案】-3【解析】【分析】先求反函数：y，利用函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出．【详解】由y（a），解得x（y≠3），把x与y互换可得：y，∵函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，∴﹣a＝3，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了反函数的求法及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.设，满足约束条件，则目标函数的最大值为_____.【答案】14【解析】【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.6.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____.【答案】【解析】【分析】将试验发生包含的事件（k，b）的所有可能的结果列举，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【详解】试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率P，故答案为．【点睛】本题考查古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于基础题．7.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长为___.【答案】24【解析】【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|＝10，再由3|PF1|＝4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|＝8，|PF2|＝6，由此能求出△PF1F2的周长．【详解】双曲线x21的a＝1，c5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），即|F1F2|＝10，由3|PF1|＝4|PF2|，设|PF2|＝x，则|PF1|x，由双曲线的定义知，x﹣x＝2，解得x＝6．∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝8+6+10＝24．故答案为：24．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，熟练运用定义是关键，属于基础题．8.已知四面体中，，，分别为，的中点，且异面直线与所成的角为，则____.【答案】1或【解析】【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO＝FO＝1，，或，由此能求出EF．【详解】取BD中点O，连结EO、FO，∵四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，∴EO∥CD，且EO，FO∥AB，且FO1，∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，∴，或，当∠EOF时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．当时，EF．故答案为：1或．【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，不等式的解集为____.【答案】【解析】【分析】由奇函数的性质可得x＞0时的解析式，再解不等式即可．【详解】∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）＝x2﹣6，由奇函数可得f（x）＝﹣x2+6，∴不等式f（x）＜x可化为，解得x＞2∴x＞0时，不等式f（x）＜x的解集为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）【点睛】本题考查函数的奇偶性，涉及不等式的解法，熟记奇函数得定义是关键，属基础题．10.关于的方程在上的解的个数是____.【答案】7【解析】【分析】化简y=从而作函数的图像，从而可解【详解】化简y=,作函数在上的图像如下：结合图像可知，两个图像共有7 个交点故答案为7【点睛】本题考查函数与方程，函数的性质，三角函数，准确作图是关键，是中档题11.任意实数，，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，，则____.【答案】4【解析】【分析】f（x）＝，及其数列{a n}是公比大于0的等比数列，且＝1，对公比q分类讨论，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】由题，∵数列{a n}是公比大于0的等比数列，且，①1＜q时，，，…，∈（0，1），，，∈（1，+∞），1．∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4．∵∴0++…+＝，∴q4q q2．∴2．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去．②0＜q＜1时，1，∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4，，，…，∈（1，+∞），，，∈（0，1），∵∴log2q2．∴2．∴4，∴a1＝4．③q＝1时，＝…＝＝…＝＝1，不满足舍去．综上可得：＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．12.以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.【答案】或-2【解析】【分析】设椭圆方程为，A（，），B（，），从而得到的坐标表示，然后，再根据M点在该椭圆上，建立关系式，结合A、B点在也该椭圆上，得到，，从而得到相应的结果，同理当椭圆方程为可得答案【详解】由题意可设椭圆方程为，又设A（，），B（，），因为M点在该椭圆上，∴，则又因为A、B点在也该椭圆上，∴，∴，即直线OA、OB的斜率乘积为，同理当椭圆方程为时直线OA、OB的斜率乘积为﹣2．故答案为：或﹣2．【点睛】本题重点考查椭圆综合，平面向量的坐标运算，注意审题仔细，要注意分类讨论椭圆的焦点位置，属于难题．二、选择题。

1敬业中学2024学年第一学期高三年级数学月考2024.10一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.若集合,则 .2.若复数满足(i 为虚数单位),则 .3.已知圆与直线相切,则圆的半径.4.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线:的右焦点重合,则抛物线的方程是 .5.在二项式的展开式中,的一次项系数为(用数字作答).6.已知一个圆柱的高为1,,则它的侧面积的大小为 .7.若为第四象限角,且,则的值是 .8.函数的严格增区间为 .9.如图:在中,若,则.10.若甲、乙两人从6门课程中各选修3门,则甲、乙所选修的课程中至少有1门相同的选法种数为.11.设,函数,若函数与的图像有且仅有一个公共点,则的取值范围是.12.已知,若存在定义域为R 的函数同时满足下列两个条件：（1）对任意;（2）关于的方程无实数解;则的取值范围为.{|12,}A x x x R =-<∈A N ⋂=z 112i z =-z =222:C x y r +=34100x y -+=C r =C 22172x y-=C 522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x α13sin α=-tan α(),22f x sinx x ,ππ⎡⎤=∈π⎢⎥⎣⎦ABC ∆13,,22AB AC cos BAC DC BD ==∠==AD BC ⋅= 0a >()()()()21,01f x x x cos ax x ,=+-∈21y x =-()y f x =a a R ∈()y f x =(){}*000,kx R f x x x x ,k N ∈∈=∈x ()f x a =a2二、选空题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）13.已知,若,则（ ）.A. B. C.D.14.关于直线及平面,下列合题中正确的是（ ）.A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则15.""是""成立的（ ）.A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.已知函数的定义域为,值域为,函数具有下列性质:(1)若,则;(2)若,则.下列结论正确的是（ ）.(1)存在,使得;(2)对任意,都有;A.(1)(2)都正确 B.(1)正确、(2)不正确C.(1)不正确、(2)正确 D.(1)(2)都不正确三、解答题(本大题共有5题,满分78分)17.(本题共2小题,其中第1小题6分,第2小题8分,满分14分)如图,四棱锥中,面,为线段上一点,为的中点.(1)证明：平面：,a b R ∈a b <2a b <33a b <2ab b <11a b --<,l m ,αβ//,l m αα⋂β=//l m //,//l m αα//l m ,//l m ⊥ααl m ⊥//,l m l α⊥m ⊥α()4x k k Z π=π+∈1tanx =()f x D A ()f x ,x y D ∈()()f x A f y ∈,x y D ∈()()f x f y A +∈x D ∈()20212020f x =x D ∈()2f x A ∈P ABC -PA ⊥,//ABCD AD BC 3,4,AB AD AC PA BC M =====AD 2,AM MD N =PC//MN PAB3(2)求直线与平面所成角的正弦值.18.(本题共2小题,其中第1小题6分,第2小题8分,满分14分)已知的内角的对边分别为,已知.(1)若,求的面积:(2)若,求.19.(本题共2小题,其中第1小题6分,第2小题8分,满分14分)已知双曲线以为焦点,且过点.(1)求双曲线与其渐近线的方程;(2)若斜率为1的直线与双曲线相交于两点,且(为坐标原点).求直线的方程.AN PMN ABC ∆,,A B C ,,a b c 3,2a b c ==23A π=ABC ∆21sinB sinC -=sinA C ()()1220,20F ,F ,-()712P ,C l C ,A B OA OB ⊥O l420.(本题共3小题,其中第1小题4分,第2小的6分,第3小题6分,满分18分)已知函数,其中是常效.(1)若,判断函数的奇偶性,并说明理由:(2)若,且函数在严格单调减,求实数的最大值:(3)若,且不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围.()21ax a f x x a+-=+a 0a >()f x 1a ≥()f x ()1,+∞a ()112f =2041t cos f f t θ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭θt521.(本题共3小题,其中第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分,满分18分)若函数的导函数是以为周期的函数,则称函数具有"性质".(1)试判断函数和是否具有"性质"，并说明理由;(2)已知函数,莫中具有"性质",求函数在上的极小值点;(3)若函数具有"性质",且存在实数使得对任意都有成立,求证:为周期函数.(提示:若函数的导函数满足,则(常数).(),y f x x R =∈()',y f x x R =∈()0T T ≠(),y f x x R =∈T 2y x =y sinx =2π()y h x =()22(03)h x ax bx sinbx b =++<<π()y h x =[]0,π(),y f x x R =∈T 0M >x R ∈()f x M <(),y f x x R =∈(),y f x x R =∈()'0,f x x R =∈()f x C =6参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.; 10.； 11. 12.二、选择题13.B 14.C15.C16.A15.""是""成立的（ ）.A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】C【解析】故选:C 。

2021年高三3月综合测试数学试题含解析一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.设复数为虚数单位,若为实数,则的值为▲ ．【答案】2【解析】试题分析：为实数,所以考点：复数概念，复数运算2.已知集合，，且，则实数的值是▲ ．【答案】1【解析】试题分析：由题意得：2,21,32,23,1或，解得++=≠==a a a a考点：集合包含关系3.某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为▲ ．【答案】20【解析】试题分析：松树苗的棵数为考点：分层抽样4.在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则的概率是▲ ．【答案】【解析】试题分析：当时，点为边三等分点M（靠近B点），所以的概率是考点：几何概型概率5.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为▲【答案】【解析】试题分析：双曲线的渐近线方程为，所以考点：双曲线的离心率，双曲线渐近线6.右图是一个算法流程图，则输出的值是▲ ．【答案】25【解析】试题分析：第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，第四次循环：，第五次循环：，结束循环，输出考点：循环结构流程图7.函数的定义域为▲ ．【答案】【解析】试题分析：由题意得，所以定义域为考点：函数定义域8.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为▲ ．【答案】【解析】试题分析：三棱锥的高为，体积为考点：三棱锥的体积9.在△中，已知，，且的面积为，则边长为▲ ．【解析】1sin 153,52bc A bc c b =⨯⨯⇒=⇒==，由余弦定理得22212cos 25930()49,7.2a b c bc A a =+-=+-⨯-== 考点：余弦定理，三角形面积10.已知函数，则不等式的解集为 ▲ ．【答案】【解析】 试题分析：由题意得：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，所以)(1)11f x f x x ⇔+⇔≥-≤，即解集为考点：利用函数性质解不等式11.已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为 ▲ ．【答案】【解析】试题分析：由题意得：,所以，即，又，所以，即单调增区间为考点：三角函数性质12.设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，则的值为 ▲ ．【答案】129【解析】试题分析：由题意得：23452=+21(),2a a a q q q q ⇒=+⇒==-舍，由得，所以考点：等比数列性质13.在平面四边形中，已知，，点分别在边上，且，．若向量与的夹角为，则的值为 ▲ ．【答案】7【解析】 试题分析：因为，所以，从而1293222733AB DC AB EF AB ⨯+⨯⨯+⋅=⋅==考点：向量数量积14.在平面直角坐标系中，若动点到两直线：和：的距离之和为，则的最大值为 ▲ ．【解析】试题分析：由题意得：，所以，其图像为一个正方形，四个顶点分别为, 而表示到原点距离的平方，所以的最大值为考点：线性规划求最值二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.(本小题满分14分)已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)先由向量垂直得到等量关系：，再代入式子化简即可： (2)先由得，化简得，再根据平方关系解得，所以223472 sin()(sin cos)()455θθθπ+=+=+=试题解析：（2）由可得，，即，①………………………………………10分又，且②，由①②可解得，，……12分所以223472sin()(sin cos)()455θθθπ+=+=+=．……………………14分考点：向量垂直，同角三角函数关系16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，点分别是棱的中点．(1)求证：//平面；(2)若平面平面，，求证：．【答案】(1) 详见解析(2)详见解析【解析】试题分析：(1)证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，利用中位线性质得到，再结合线面平行判定定理条件进行论证，(2)先将面面垂直条件转化为线面垂直，过点作，则平面,从而，又，从而平面,因此试题解析：（1）在中，、分别是、的中点，所以，又平面，平面，所以平面．……………………………………6分（2）在平面内过点作，垂足为．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面,………………8分又平面，所以，…………………………10分考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．（1）求关于的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）将扇环面的两段弧长和直线段长分别用与表示后，利用其和为30列式，再解出即可；（2）将花坛的面积和装饰总费用分别用与表示，再利用第（1）问的结果消去，从而可得到关于函数，然后可利用导数或基本等式求其最小值，并确定取最小值时的值.试题解析：(1)设扇环的圆心角为θ，则，所以，…………………………………4分(2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．…………7分 装饰总费用为， ……………………9分所以花坛的面积与装饰总费用的比， …11分令，则，当且仅当t=18时取等号，此时．答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．…………………14分(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)考点：函数在实际问题中的应用，基本不等式的应用.18.(本小题满分16分)已知的三个顶点，，，其外接圆为．(1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．【答案】(1) 或． (2)【解析】试题分析：（1）求的外接圆方程可用待定系数法或利用两边垂直平分线的交点先求出圆心，再利用两点之间距离公式求出半径，求出圆的方程后再利用待定系数法求出直线的方程，此时要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；（2）可设出点的坐标，再把点的坐标用其表示，把点的坐标代入圆的方程，利用方程组恒有解去考察半径的取值范围，但要注意三点不能重合，即圆和线段无公共点.试题解析：(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，的方程为．………………4分设圆心到直线的距离为，因为直线被截得的弦长为2，所以．当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；…………………………6分当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或．……………………………………8分(2) 直线的方程为，设，因为点是点，的中点，所以，又都在半径为的上，所以即……………10分因为该关于的方程组有解，即以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆有公共点，所以2222-≤-++-+≤+，…12分r r m n r r(2)(36)(24)(2)又，所以对]成立．而在上的值域为[，10]，故且． 15分又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故的半径的取值范围为．……………………………16分考点：圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.19.(本小题满分16分)已知函数（为常数），其图象是曲线．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）当时，存在常数，使；当时，不存在常数，使.【解析】(3) 设，则点处切线方程为，与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标．……………………12分由题意知，，，若存在常数，使得，则，即常数，使得，所以常数，使得解得常数，使得，．………15分故当时，存在常数，使；当时，不存在常数，使．16分考点：函数与方程、导数的综合应用.20.（本小题满分16分）已知数列满足，，，是数列的前项和．(1)若数列为等差数列．（ⅰ）求数列的通项；（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）详见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）（ⅰ）由可得，在递推关系式中，由可求，进而求出，于是可利用是等差数列求出的值，最后可求出的通项公式，（ⅱ）易知，所以要比较和的大小，只需确定的符号和和1的大小关系问题，前者易知为正，后者作差后判断符号即可；（2）本题可由递推关系式通过变形得出，于是可以看出任意，恒成立，须且只需，从而可以求出的取值范围．试题解析：(1)（ⅰ）因为，所以，即，又，所以， ……………………2分又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以()()()1111221*n a a n d n n n =+-=+-⨯=-∈N ； ……………………4分（ⅱ）因为，所以，其前项和，又因为， …………………………………5分所以其前项和，所以， ……7分当或时，；当或时，；当时，．…………………………………………………………9分（2）由知，两式作差，得， ……………………10分所以,再作差得，………………………………………………11分所以，当时，；当时，().31216366234n k a a a k x k n x -==+-⨯=+-=+-；当时，().331614966298n k a a a k x k n x ==+-⨯=-+-=-+；当时，().314161666267n k a a a k x k n x +==+-⨯=++-=+-；……14分因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，，故实数的取值范围为．…………………………………………………16分考点：等差数列、等比数列与函数、不等式的综合运用.附加题21.B (选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）设矩阵（其中），若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求的值．【答案】3．【解析】试题分析：本题可先求出曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线的方程再与方程加以比较得出的值，也可在曲线上取两特殊点经阵所对应的变换作用下得到点在曲线上，代入方程，求出的值.试题解析：设曲线上任意一点，在矩阵所对应的变换作用下得到点，则，即．…………………………………………………………5分又点在曲线上，所以，则为曲线的方程．又曲线的方程为，故，，因为，所以．…………………………………………………………10分考点：矩阵与变换.21.C(选修4—4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．【答案】．【解析】试题分析：先将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线上的点的坐标（含参数）代入，化为求函数的最值问题，也可将直线的参数方程化为普通方程，根据勾股定理转化为求圆心到直线上最小值的问题试题解析：因为圆的极坐标方程为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1,…4分因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C引切线长是=所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是．……………………………………10分考点：直线的参数方程和圆的极坐标方程，圆的切线长.22.（本小题满分10分）某品牌汽车4店经销三种排量的汽车，其中三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1)求该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率；(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】试题分析：(1)这是一个古典概型问题，先求出从15款车型中任买3辆共有多少种可能，再求出购买3辆车都为B 种车有多少种可能，即可求出结果；（2）的所有可能取值为1，2，3，对每种情况要准确分类，求出各种情况下有多少种可能，就可求出各种取值的概率，然后再求数学期望.试题解析：(1)设该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车为事件，则所以该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率为． ………………………………4分(2)随机变量的所有可能取值为1，2，3.则，．所以的分布列为……………………………8分数学期望．………………………………………………10分考点：随机变量的概率分布.23.（本小题满分10分）已知点，，动点满足．(1)求动点的轨迹的方程；(2)在直线：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为．问：是否存在点，使得直线//？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）．考点：曲线与方程.37464 9258 鉘37017 9099 邙ek29596 739C 玜35762 8BB2 讲U24153 5E59 幙5 N36124 8D1C 贜40312 9D78 鵸U5。

2021年高三3月统一练习（一模）数学（理）试题含解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C． D．【考点】：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（1，﹣1），故选：A．【点评】：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．（5分）在等比数列{an }中，a3+a4=4，a2=2，则公比q等于（）A．﹣2 B．1或﹣2 C． 1 D．1或2【考点】：等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由题意可得q的一元二次方程，解方程可得．【解析】：解：∵等比数列{a n}中，a3+a4=4，a2=2，∴a3+a4=2q+2q2=4，∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2故选：B【点评】：本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．【解析】：解：双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故选：C．【点评】：本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．4．（5分）当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．7 B．10 C．11 D．16【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，m的值，当m=5时，不满足条件m ＜5，退出循环，输出S的值为11，从而得解．【解析】：解：模拟执行程序，可得n=5，m=1，S=1满足条件m＜5，S=2，m=2满足条件m＜5，S=4，m=3满足条件m＜5，S=7，m=4满足条件m＜5，S=11，m=5不满足条件m＜5，退出循环，输出S的值为11．故选：C．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，依次写出每次循环得到的S，m的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5．（5分）在极坐标系中，曲线ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+6=0与极轴交于A，B两点，则A，B两点间的距离等于（）A．B．C．D． 4【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用在x轴上的两根和与两根积的关系式，利用两点间的距离公式求出结果．【解析】：解：曲线ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+6=0转化成直角坐标方程为：x2+y2﹣6x﹣2y+6=0．由于曲线与极轴交于A，B两点，设交点坐标为：A（x1，0），B（x2，0），令y=0，则：x2﹣6x+6=0，所以：x1+x2=6，x1x2=6．则：|AB|=|x1﹣x2|==2．故选：B【点评】：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，两点角的距离公式的应用，及相关的运算问题．6．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（）A． 4 B． 5 C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱，底面是直角梯形，利用三视图的数据直接求解几何体的体积即可【解析】：解：三视图复原的几何体是直三棱柱与三棱锥的组合体，直三棱柱底面是等腰直角三角形，腰长为3，高为3，三棱锥的底面是等腰直角三角形，腰长为3，高为1，所以该几何体任意两个顶点间距离的最大值是=3．故选：D．【点评】：本题考查几何体任意两个顶点间距离的最大值，三视图复原的几何体的形状是解题的关键．7．（5分）将函数图象向左平移个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．B．C．y=cosx D．【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：根据“左加右减，上加下减”图象变换规律求出函数解析式即可．【解析】：解：将函数图象向左平移个长度单位，得到的函数解析式为：y=cos[（x+）﹣]=cos；再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是：y=cosx．故选：C．【点评】：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，“左加右减，上加下减”，熟练记忆平移规律是解题的关键，属于基本知识的考查．8．（5分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B，C分别在x轴和y轴非负半轴上，点A在第一象限，且∠BAC=90°，AB=AC=4，那么O，A两点间距离的（）A．最大值是，最小值是4 B．最大值是8，最小值是4C．最大值是，最小值是2 D．最大值是8，最小值是2【考点】：两点间距离公式的应用．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：设A（x，y），B（b，0），C（0，c），由条件∠BAC=90°，可得x2﹣bx+y2﹣cy=0，又b2+c2=32，可得A的轨迹方程为（x﹣）2+（y﹣）2=8，运用圆的参数方程，结合两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最值．【解析】：解：设A（x，y），B（b，0），C（0，c），则由∠BAC=90°，可得x（x﹣b）+y（y﹣c）=0，即为x2﹣bx+y2﹣cy=0，又|BC|=4，即有b2+c2=32，即有A的轨迹方程为（x﹣）2+（y﹣）2=8，设x=+2cosα，y=+2sinα，（0），则有x2+y2=（b2+c2）+8+2bcosα+2csinα=16+2（bcosα+csinα），令b=4sinθ，c=4cosθ（0），则有x2+y2=16（cosαsinθ+sinαcosθ）=16+16sin（α+θ），当α+θ=时，取得最大值32，即有|AO|最大为4，当α+θ=0时，取得最小值16，即有|AO|最小为4，故选：A．【点评】：本题考查轨迹方程的求法，主要考查圆的参数方程的运用：求最值，同时考查两点的距离公式和正弦函数的最值求法，注意三角函数的公式的灵活运用．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）定积分．【考点】：定积分．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：根据定积分的计算法则计算即可．【解析】：解：（x2+sinx）|=故答案为：．【点评】：本题主要考查了定积分的计算，关键是求原函数，属于基础题．10．（5分）已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n=4，展开式中的常数项是24．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：由题意知：得2n=16，即可求出n；利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r的值，将r的值代入通项求出常数项．【解析】：解：由题意知：得2n=16，∴n=4；展开式的通项为T r+1=，令4﹣2r=0得r=2∴展开式中的常数项为24故答案为：4，24【点评】：本题考查二项式系数和问题、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．11．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值是6．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解析】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，2）将C（2，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+2=6．即z=2x+y的最大值为6．故答案为：6．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，如果函数g （x）=f（x）﹣m（m∈R）恰有4个零点，则m的取值范围是（﹣1，0）．【考点】：根的存在性及根的个数判断．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：函数g（x）=f（x）﹣m（m∈R）恰有4个零点可化为函数f（x）与y=m恰有4个交点，作函数f（x）与y=m的图象求解．【解析】：解：函数g（x）=f（x）﹣m（m∈R）恰有4个零点可化为函数f（x）与y=m恰有4个交点，作函数f（x）与y=m的图象如下，故m的取值范围是（﹣1，0）；故答案为：（﹣1，0）．【点评】：本题考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用，属于基础题．13．（5分）如图，AB是圆O的直径，CD与圆O相切于点D，AB=8，BC=1，则CD=3；AD=．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；立体几何．【分析】：由切割线定理可得CD2=CB•CA，求出CD，再利用余弦定理求出AD．【解析】：解：∵CD与圆O相切于点D，AB=8，BC=1，∴由切割线定理可得CD2=CB•CA=1×9，∴CD=3；连接OD，则OD⊥DC，∴cos∠COD=，∴cos∠AOD=﹣，∴AD==．故答案为：3，．【点评】：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．14．（5分）已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A）．如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，点P的坐标为（2，0），那么d（P，A）=1；如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为6+π．【考点】：两点间距离公式的应用．【专题】：新定义；直线与圆；集合．【分析】：如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，设Q（x，y），运用两点的距离公式，结合二次函数的最值，即可得到最小值；讨论P的位置，得到点集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的图形为三个边长分别为2，1的矩形和三个半径为1，圆心角为120度的扇形以及内部，运用面积公式计算即可得到．【解析】：解：如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，设Q（x，y），点P的坐标为（2，0），则|PQ|====，由于0≤x≤1，即有x=1取得最小值1，那么d（P，A）=1；如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，若P在正三角形及其内部，则面积为0，若P∉A，则点集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的图形为三个边长分别为2，1的矩形和三个半径为1，圆心角为120度的扇形以及内部，即有面积为3×2×1+3×π=6+π，故答案为：1，6+π．【点评】：本题考查新定义：点P到集合A的距离的理解和运用，考查集合的含义和运算能力，属于中档题．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【专题】：常规题型；三角函数的图像与性质．【分析】：先利用倍角公式及两角和的正弦公式将函数f（x）化成标准形式，然后利用周期公式求出ω的值，根据正弦函数的最值求出函数f（x）的最大值和最小值；根据正弦函数的单调区间求出函数f（x）的单调区间．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=cos2+sin﹣===sin（）．因为T=，ω＞0，所以ω=2．因为f（x）=sin（2x+），x∈R，所以．所以函数f（x）的最大值为1，最小值为﹣1．（Ⅱ）令2kπ，k∈Z，得2k，k∈Z，所以k，k∈Z．所以函数f（x）的单调递增区间为[，k∈Z．【点评】：本题考查了三解函数式的化简及三角函数的图象与性质，解决这类问题的关键是把三角函数式利用三角公式化成标准形式．16．（13分）（xx•高密市模拟）甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：若甲、乙都选C类车型的概率为．（Ⅰ）求p，q的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．【考点】：离散型随机变量及其分布列；概率的应用．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）利用已知条件列出方程组，即可求解p，q的值．（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，分情况直接求解甲、乙选择不同车型的概率．（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．分别求解概率，即可得到分布列．【解析】：解：（Ⅰ）由题意可得解得，．…（4分）（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，分三种情况，甲选车型A，甲选车型B，甲选车型C，满足题意的概率为：P（A）=．答：所以甲、乙选择不同车型的概率是．…（7分）（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．P（X=7）==，P（X=8）==，P（X=9）==；P（X=10）==．所以X的分布列为：…（13分）【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，概率的应用，考查分析问题解决问题的能力．17．（14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．【考点】：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【专题】：探究型；空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CE∥DG，由DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，即证明CE∥平面PAD．（Ⅱ）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=1，则可得=（1，1，2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解．（Ⅲ）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），由，可得，由•=0，可解a，然后求得的值．【解析】：（本小题共14分）解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，所以BE∥AG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形．所以EG∥AB，且EG=AB．因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，所以EG∥CD，且EG=CD．所以四边形CDGE为平行四边形．所以CE∥DG．因为DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD．…（4分）（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣4）．设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），所以，可得．令x=1，则，所以=（1，1，2）．设PD与平面PCE所成角为a，则sinα=|cos＜，＞|=|=||=．．所以PD与平面PCE所成角的正弦值是．…（9分）（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则，=（4，﹣4，2）．设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则．令x=2，则，所以=（2，，a﹣4）．因为平面DEF⊥平面PCE，所以•=0，即2++2a﹣8=0，所以a=＜4，点．所以．…（14分）【点评】：本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．18．（13分）设函数f（x）=e x﹣ax，x∈R．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞0；（Ⅲ）当a＞1时，求函数f（x）在[0，a]上的最大值．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出当a=2时的f（x），求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）求出导数，求得单调区间，极小值也为最小值，判断它大于0，即可得证；（Ⅲ）求出导数，令导数为0，可得极值点x=lna，比较a与lna的大小，再求得f（0），f（a）作差比较，即可得到最大值．【解析】：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=e x﹣2x，f（0）=1，f′（x）=e x﹣2，即有f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为f′（0）=e0﹣2=﹣1，即有f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣0），即为x+y﹣1=0；（Ⅱ）证明：f′（x）=e x﹣2，令f′（x）=0，解得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞n2时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有x=ln2处f（x）取得极小值，也为最小值，且为e ln2﹣2ln2=2﹣2ln2＞0，即有f（x）＞0；（Ⅲ）由于f（x）=e x﹣ax，f′（x）=e x﹣a，令f′（x）=0，解得x=lna＞0，当a＞1，令M（a）=a﹣lna，M′（a）=1﹣=＞0，M（a）在（1，+∞）递增，又M（1）=1﹣ln1=0，M（a）=a﹣lna＞0，即有a＞1，a＞lna，当0＜x＜lna时，f′（x）＜0，f（x）递减，lna＜x＜a时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有x=lna处f（x）取得最小值；f（0）=e0﹣0=1，f（a）=e a﹣a2，令h（a）=f（a）﹣f（0）=e a﹣a2﹣1，a＞1时，h′（a）=e a﹣2a＞0，h（1）=e﹣1﹣1=e﹣2＞0，h（a）=e a﹣a2﹣1＞0，当a＞1时，f（a）＞f（0），则有当a＞1时，f（x）在[0，a]上的最大值为f（a）=e a﹣a2．【点评】：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查构造函数运用导数判断单调性，进而判断大小，考查运算化简能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C：的离心率为，右顶点A是抛物线y2=8x的焦点．直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如果，点M关于直线l的对称点N在y轴上，求k的值．【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）确定椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C联立，确定M的坐标，进一步可得MN中点坐标，由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，即可求k的值．【解析】：解：（Ⅰ）抛物线y2=8x，所以焦点坐标为（2，0），即A（2，0），所以a=2．又因为e==，所以c=．所以b=1，所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为，所以=（x1+x2﹣4，y1+y2），所以M（x1+x2﹣2，y1+y2）．由直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C联立，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，得x1+x2﹣2=﹣，y1+y2=，即M（﹣，）．设N（0，y3），则MN中点坐标为（﹣，），因为M，N关于直线l对称，所以MN的中点在直线l上，所以=k（﹣﹣1），解得y3=﹣2k，即N（0，﹣2k）．由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，所以，解得k=±．…（14分）【点评】：本题考查抛物线的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（13分）如果数列A：a1，a2，…，a m（m∈Z，且m≥3），满足：①a i∈Z，（i=1，2，…，m）；②a1+a2+…+a m=1，那么称数列A为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M：﹣2，1，3，﹣1；数列N：0，1，0，﹣1，1．试判断数列M，N是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．【考点】：数列的应用．【专题】：新定义；探究型；等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）根据定义直接判断即可得解．（Ⅱ）假设存在等差数列是“Ω”数列，由a1+a2+…+a m=1，得a1+am=∉Z，与a i∈Z矛盾，从而可证不存在等差数列为“Ω”数列．（Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：设S n为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），任取大于0的一项作为第一项，则满足﹣+1≤S1≤，然后利用反证法，证明即可．【解析】：（本小题共13分）解：（Ⅰ）数列M不是“Ω”数列；数列N是“Ω”数列．…（2分）（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，则由a1+a2+…+a m=1 得a1+am=∉Z，与a i∈Z矛盾，所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列．…（7分）（Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：设S n为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），任取大于0的一项作为第一项，则满足﹣+1≤S1≤，假设当2≤n≤m时，若S n﹣1=0，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证﹣+1≤S n≤，若S n﹣1≠0，则剩下的项必有0或与S n﹣1异号的一项，否则总和不是1，所以取0或与S n﹣1异号的一项作为第n项，可以保证﹣+1≤S n≤．如果按上述排列后存在S n=0成立，那么命题得证；否则S1，S2，…，S m这m个整数只能取值区间[﹣+1，]内的非0整数，因为区间[﹣+1，]内的非0整数至多m﹣1个，所以必存在S i=S j（1≤i＜j≤m），那么从第i+1项到第j项之和为S i﹣S j=0，命题得证．综上所述，数列A中必存在若干项之和为0．…（13分）【点评】：本题主要考查了新定义和数列的应用，解答新定义的试题的关键是把题目中的定义转化已经学过的知识进行解决，属于中档题．u•L34253 85CD 藍25939 6553 敓26216 6668 晨H8&24430 5F6E 彮aj35593 8B09 謉22644 5874 塴y。

2021年高三数学第二学期3月月考试卷理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（） A． [0，2] B．（1，3） C． [1，3） D．（1，4）2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B． 5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p ∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（） A． y= B． y=e﹣x C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|5．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A． 2 B． C． 0 D．﹣6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α与β相交，且交线平行于l B．α与β相交，且交线垂直于lC．α∥β，且l∥α D．α⊥β，且l⊥β7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 38．已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n∈N*）．若点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P xx P xx|等于（）A． 21004 B． 21005 C． 21006 D． 21007二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为．10．若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是．11．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a= ．12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．13．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为．14．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsin θ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为．15．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB= ．三、解答题16．已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．17．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：x i（月） 1 2 3 4 5y i（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）18．已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n•a n+1，n∈N*，其中a1=1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．20．已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1．（1）在抛物线C1上取点M，C2的圆周取一点N，求|MN|的最小值；（2）设P（x0，y0）（2≤x0≤4）为抛物线C1上的动点，过P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点．求AB的中点D的横坐标的取值范围．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：m、n∈N+时，m（m+n）[+++…+]＞n．xx学年广东省阳江市阳东县广雅学校高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A． [0，2] B．（1，3） C． [1，3） D．（1，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B． 5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解答：解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p ∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，故选：C．点评：本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A． y= B． y=e﹣x C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D 在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．解答：解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．5．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A． 2 B． C． 0 D．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．解答：解：由题意可得cos===，解得 m=，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α与β相交，且交线平行于l B．α与β相交，且交线垂直于lC．α∥β，且l∥α D．α⊥β，且l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：A．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．解答：解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．8．已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n∈N*）．若点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P xx P xx|等于（）A． 21004 B． 21005 C． 21006 D． 21007考点：数列递推式．专题：推理和证明．分析：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），…，寻找其规律，即可求出|P xx P xx|．解答：解：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），…∴|P1P2|=1，|P2P3|=，|P3P4|=2，|P4P5|=，…，∴|P xx P xx|=21006．故答案为：21006．点评：本题考查合情推理，考查学生对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞} ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0⇔不等式|2x+1|＞2|x﹣1|⇔（2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．解答：解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，∴x＞．∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．故答案为：{x|x＞}．点评：本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0转化为（2x+1）2＞4（x﹣1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．10．若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．解答：解：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．点评：本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．11．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a= ．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中项可得a，c的值，作差即可得答案．解答：解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故c﹣a=﹣==故答案为：点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96 ．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．解答：解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．点评：本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．13．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为37 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据圆与x轴相切，得到b=1，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行判断即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：∵圆与x轴相切，∴由图象知b=1，即圆心在直线y=1上，若a2+b2最大，则只需要|a|最大即可，由图象知当C位于直线y=1与x+y﹣7=0的交点时，|a|最大，此时两直线的交点坐标为（6，1），此时a=6，故a2+b2的最大值为62+12=37，故答案为：37点评：本题主要考查线性规划的应用，利用圆和x轴相切，求出b，以及数形结合是解决本题的关键．14．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsin θ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标．解答：解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，即为ρ2sin2θ=ρcosθ，化为普通方程为：y2=x，曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，联立，即交点的直角坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．点评：本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题15．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB= 5 ．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：利用相交弦定理得出DE=，再利用△DFE∽△DEB，得出DF•DB=DE2=5．解答：解：∵AB=6，AE=1，∴EB=5，OE=2．连接AD，则△AED∽△DEB，∴=，∴DE=．又△DFE∽△DEB，∴=，即DF•DB=DE2=5．故答案为：5点评：此题考查了垂径定理、直角三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握垂径定理与直角三角形中的射影定理．三、解答题16．已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．17．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：x i（月） 1 2 3 4 5y i（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）利用所给数据，可得散点图；（2）利用公式，计算回归系数，即可得到回归方程；（3）x=12代入回归方程，即可得到结论．解答：解：（1）散点图如图所示…（3分）（2）由题设=3，=1.6，…（4分）∴===0.58，a=﹣=﹣0.14…（9分）故回归直线方程为y=0.58x﹣0.14…（10分）（3）当x=12时，y=0.58×12﹣0.14=6.82…（11分）饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克．…（12分）点评：本题考查回归分析的初步运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1D中点G，并连接FG，EG，能够说明四边形BFGE为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可得出BF∥面A1DE；（2）先根据已知的边、角值说明△A1DE为等边三角形，然后取DE中点H，连接CH，从而得到A1H⊥DE，根据已知的边角值求出A1H，CH，得出，从而得到A1H⊥CH，从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证出面A1DE⊥面DEBC；（3）过H作HO⊥DC，垂足为O，并连接A1O，容易说明DC⊥面A1HO，从而得出∠A1OH为二面角A1﹣DC﹣E的平面角，能够求出HO，从而求出tan∠A1OH，即求出了二面角A1﹣DC﹣E 的正切值．解答：解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A1HC中，，，A1C=4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．点评：考查中位线的性质，平行四边形的概念，线面平行的判定定理，能根据折叠前图形的边角值得到折叠后对应的边角值，直角三角形边的关系，线面垂直、面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义及求法．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n•a n+1，n∈N*，其中a1=1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．考点：数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）令n=1，得，由a1=1，得a2=2．当n≥2时，推导出，由此利用累乘法能求出a n=n．（2）由b n====＜，利用放缩法和不等式的性质能证明T n＜．解答：（1）解：∵S n=n•a n+1，n∈N*，∴令n=1，得，由已知a1=1，得a2=2．…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，即，即得：，n≥2，…（4分）∴，n≥3，即，n≥3，…（6分）又∵a2=2，∴a n=n，又∵a1=1，∴a n=n，n∈N*．…（7分）（2）证明：∵a n=n，∴b n====＜，…（11分）∴T n=b1+b2+…+b n＜=（）==，∴T n＜．…（14分）点评：本题考查数列的通项公式和不等式的证明，解题时要认真审题，注意累乘法和放缩法的合理运用．20．已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1．（1）在抛物线C1上取点M，C2的圆周取一点N，求|MN|的最小值；（2）设P（x0，y0）（2≤x0≤4）为抛物线C1上的动点，过P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点．求AB的中点D的横坐标的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出M的坐标，由圆C2：x2+（y﹣4）2=1可知圆心C2（0，4），写出|MC2|，利用配方法求其最小值，则|MN|的最小值为|MC2|的最小值减去圆的半径；（2）设出P，A，B的坐标，再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k（x﹣x0），由点到直线的距离公式得到方程，则其两根为PA，PB的斜率，利用根与系数关系得到其两根和，再把y﹣x02=k（x﹣x0）代入y=x2得，，结合x0是此方程的根得到x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0，然后把AB的中点D的横坐标x用含有x0的代数式表示，再利用单调性结合x0的范围求得AB的中点D的横坐标的取值范围．解答：解：（1）设M（x，y），由圆C2：x2+（y﹣4）2=1可知圆心C2（0，4），则|MC2|===．当且仅当M（）时取“=”，∴|MN|的最小值为；（2）设P（x0，），，再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k（x﹣x0），①则，即，设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是上述方程的两根，∴，，将①代入y=x2得，，由于x0是此方程的根，故x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0，∴AB的中点D的横坐标x===．∵y=是[2，4]上的减函数，且2≤x0≤4，∴y∈，则x．点评：本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题，其中涉及到直线与圆相切的问题，考查了学生的逻辑思维能力和运算能力，是压轴题．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：m、n∈N+时，m（m+n）[+++…+]＞n．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意先求函数的定义域，再求导f′（x）=+x﹣（1+a）=，从而讨论导数的正负以确定函数的单调性；（2）由（2）知，当a=﹣时，f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0；当且仅当x=1时，等号成立；从而可化出当＞1时，＞﹣；从而证明．解答：解：（1）f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=+x﹣（1+a）=；①当a=1时，f′（x）≥0，f（x）在定义域上是增函数；②当a＞1时，1＜x＜a时，f′（x）＜0，0＜x＜1或x＞a时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（1，a）；单调增区间为（0，1），（a，+∞）；③当0＜a＜1时，a＜x＜1，f′（x）＜0，0＜x＜a或x＞1时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（a，1）；单调增区间为（0，a），（1，+∞）；④当a＜0时，0＜x＜1，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（0，1）；单调增区间为（1，+∞）；（2）证明：由（1）知，当a=﹣时，f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0；当且仅当x=1时，等号成立；即lnx≤x2﹣x，当＞1时，＞﹣；故+++…+＞﹣+﹣+…+﹣=﹣=；故m（m+n）[+++…+]＞n．点评：本题考查了导数的综合应用及构造函数证明不等式的方法应用，属于中档题．37577 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2021年高三第三次月考数学（文）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，则 （ ） A ． B ． C ． D ．2.已知是第二象限角，，则sin2=（ ） A ．B ．C ．D ．3.如右图所示，圆和直角的两边相切，直线从处开始，绕点匀速旋转（到处为止）时，所扫过的圆内阴影部分的面积是的函数，它的图象大致为( )4.“”是“”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.函数的零点所在的大致区间是（ ） A ．B ．(1,2)C ．D ．6.设，则的大小关系是（ ） A ． B ． C ． D ．7.曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.120°ABCD8．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为 （ ）A. B. C ． D ．9.已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a >0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g (x )＝f (x )＋2，则g (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．2C ．4D ．不能确定10.对于复数,，，，若集合具有性质“对任意,必有”,则当，，时，等于 ( ) A.1 B. C.0 D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡划线上。

（一）必做题（11～13题）11.函数的定义域为12.在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________13.对a,bR,记max{a,b}=函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(xR) 的最小值是_（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题）若直线⎩⎨⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.15. （几何证明选讲选做题）如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，直线PO 交圆O 于B 、C 两点，AC ＝2，∠PAB ＝120°，则圆O 的面积为_____ ___三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。