高中数学北师大版《弧度制》word导学案

弧度制高考要求 1 理解弧度的含义，掌握弧度与角度的换算公式2 掌握弧长计算公式与扇形面积计算公式，并能运用它们解决一些简单的实际问题 课前自主学习1 我们把弧长等于__________________________叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作_______2 用弧度作为单位来度量角的制度叫做___________,用弧度表示角的时候，“弧度”或“rad ”经常省略，即只写一实数表示角的度量，但以角度制表示角时，单位不能省略. 3.我们知道，角有正，负，零角之分，弧度数也应该有正，负，零之分，由角的旋转方向决定，一般地，正角的弧度数为_______,负角的弧度数为___________,零角的弧度数为___________4.弧度制下扇形的弧长和面积公式在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为 rad,则rl=α. 所以半径为，圆心角为 rad 的扇形弧长=______,面积=_________=___________.5. 角度与弧度的换算： ,01745.0____1rad rad ≈= 1 30.57(___)≈=rad当堂例题演练例1、按照下列要求把'3067 化成弧度：（1）精确值 （2）精确到的近似值例2、将换算成角度（用度数表示，精确到）例3、利用弧度制证明下列关于扇形的公式：（其中是半径，是弧长，)20(παα<< 为圆心角， 是扇形的面积）（1）R l α=； （2）221R S α=； （3）lR S 21=例4、利用计算器比较5.1sin 和 85sin 的大小.题型排雷题型一：角度制与弧度制的互化例1 把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数并指明它们各自所在象限： （1）127π （2）613π- （3） 1125 （4） 225- 题型二：用弧度制表示区间角问题题型三：弧度制下扇形弧长公式、面积公式的应用例3已知扇形的面积为S ，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？求出此最小值.跟踪练习1已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径是，若 10,60==R α,求扇形的周长及该弧所在的弓形面积.。

§5.2 弧度制 导学案目标要求：通过探究使学生认识到角度值和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣；培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。

重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算。

难点：弧度的概念及其与角度的关系。

学习过程一、自主学习：预习教材完成下列问题：1.在初中几何里，我们学习过角的度量， 1度的角是怎样定义的呢？2. 除了用角度度量外，还有没有其它度量角的办法呢？3.什么是1弧度的角？其单位是什么？4.角度与弧度的转化：360=rad 180= rad90= rad60= rad1= rad ≈ rad 1rad= ≈ =3.什么叫弧度制？4.弧长公式： l= =二、合作探究：1.把下列各角从度化成弧度.（1）135； （2）90； （3）60； （4）45；2.把下列各角从弧度化成度.（1）2π ； （2） ； （3）； （4）。

3.时间经过4h,时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？三、精讲点拨3602π= rad 180π=r a d 1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈例1、把下列各角从度化为弧度： (1)0252 （2）0/1115变式练习 把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º (4) 030 (5)'3067︒ 例2、把下列各角从弧度化为度： （1）35π (2) 3.5变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1）12π（2）—34π （3）103π(4)4π(5) 2归纳：把角从弧度化为度的方法是：把角从度化为弧度的方法是：四、当堂检测:1、把下列各角化为0-2π间的角加上2k π（ k 是整数）的形式，并指出它们是哪个象限的角。

北师大版必修四第一章第三节弧度制课标聚焦1.理解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；2.掌握弧度制下的弧长公式与扇形的面积公式.基础强化1.下列说法正确的是（ ）.A 1弧度角的大小与圆的半径无关；.B 大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大；.C 用弧度表示的角都是正角；.D 半圆所对的圆心角为2rad π.2.300-化为弧度为（ ）4.3A π-5.3B π- 7.4C π- 7.6D π- 3.若220k απ=-()k Z ∈，则角α的终边在（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限4．将时钟的分针拨慢十分钟，则分针转过的弧度数为（ ）.3A π .3B π- .5C π .5D π-5．若α为第四象限角，则πα-是（ ）.A 第一象限角 .B 第二象限角 .C 第三象限角 .D 第四象限角6．1500-化为弧度为____，143π化为角度为____. 7．若三角形的三个内角之比为1:2:3，则此三角形的最小内角的弧度数为____.8．用弧度表示：（1）终边在x 轴非负半轴上的角的集合为______________;(2) 终边在y 轴非负半轴上的角的集合为______________;(3) 终边在坐标轴上的角的集合为______________.9.已知扇形的周长为6cm ，面积为22cm ，则扇形的圆心角的弧度数为____.10.若扇形的周长为30，当它的圆心角与半径各取多少时，扇形的面积最大？最大面积为多少？ 能力提升1.一个正常的时钟自零点开始到分针与时针再一次重合，则分针所转过的弧度数为____.2.22,2M k k k Z παπαπ⎧⎫=<<+∈⎨⎬⎩⎭， {}1010N ββ=-<<|，则MN =______________. 3．用弧度制表示顶点在坐标原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内角θ的集合（包括边界）.(1) (2) (3)4.要修建如图所示的一扇环花圃，其周长为定值l ，外圆弧半径是内圆弧半径的两倍，当扇环所对的圆心角为多少时，其面积最大？并求出最大面积.答案基础强化251.,2.,3.,4.,5.,6.,840,7.,36A B D A C ππ- {}8.(1)2,k k Z ααπ=∈(2)2,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭(3),2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，9.1或4,10.当152,2r α==时，扇形的面积最大为2254.能力提升241.,2.11π-352,0,2,,222πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.5(1)22,612k k k Z ππθπθπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ 35(2)22,46k k k Z ππθπθπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭,(3),62k k k Z ππθπθπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，4.当圆2 3时，面积最大为216l.心角为。

§3 弧度制[学习目标] 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.把握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．[学问链接]1．学校几何争辩过角的度量，当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答 规定周角的1360作为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．2．用度做单位来度量角的制度叫作角度制，在学校有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？ 答 l ＝n πR 180，S ＝n πR 2360.[预习导引] 1．弧度制 (1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零． (3)角的弧度数的计算假如半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝lr .2．角度制与弧度制的换算 (1)(2)3.设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则要点一 角度制与弧度制的换算 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值． 跟踪演练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 要点二 用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是其次象限角．规律方法 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要留意角度制与弧度制不能混用．跟踪演练2 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的全部角． 解 (1)∵180°＝π rad ， ∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在其次象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°. 要点三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值． 解 设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S .由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r .∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a2r＝－⎝⎛⎭⎫r －a 42＋a 216. ∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝lr＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大为a 216.规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，假如已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长肯定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数． 跟踪演练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，依据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.1．时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 radC.π12 radD ．－π12rad答案 B解析 时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π6rad ，故选B.2．圆的半径是6 cm ，则圆心角为15°的扇形面积是( ) A.π2cm 2B.3π2 cm 2 C ．π cm 2D ．3π cm 2答案 B解析 ∵15°＝π12，∴l ＝π12×6＝π2，∴S ＝12lr ＝12×π2×6＝3π2(cm 2)．3．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为________． 答案 12＋π360，12－π360解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，则⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得α＝12＋π360，β＝12－π360. 4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是________．答案 －34π解析 －114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－34π. ∴θ＝－34π.1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要留意角的单位取弧度．一、基础达标1．－300°化为弧度是( ) A ．－43πB ．－53πC ．－54πD ．－76π答案 B2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对答案 A3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1答案 C解析 r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1. 4．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C5．已知α是其次象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______． 答案 (－1.5π，－π)∪(0.5π，2] 解析 ∵α是其次象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，当k ＝－1时，－1.5π＜α＜－π，当k ＝0时，0.5π＜α≤2，当k 为其它整数时，满足条件的角α不存在．6．假如一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．答案 34解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .7．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解 (1)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|2k π－3π4<θ<2k π＋π3，k ∈Z }．(2)阴影部分内(不包括边界)的角的集合{θ|k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z }．二、力量提升8．扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9 答案 B解析 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.9．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C ．终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k ·π2，k ∈Z }D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }答案 D解析 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }．10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________. 答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．11．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ， 从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2rad ，半径为152cm 时，面积最大，为2254cm 2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)动身，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了动身点A 处，求θ.解 由于0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7，从而π2<n π7<3π4，即72<n <214，所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.三、探究与创新13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是肯定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×2×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－⎝⎛⎭⎫R －c 42＋c 216. 当且仅当R ＝c4，即α＝2 rad 时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。