云南师大附中2018届高考适应性月考卷(二)文科数学 精品推荐

2018届云南省师范大学附属中学高三12月高考适应性月考卷（五）数学（文）试题一、单选题 1．已知集合509x A xx ⎧⎫-=⎨⎬-⎩⎭，集合()(){}|3100B x Z x x =∈--≤，则A B ⋂=（ ）A. ∅B. [)(]3,59,10⋃ C. {}3,4,10 D. R 【答案】C【解析】求解分式不等式可得： ()()59A =-∞⋃+∞，，，求解二次不等式可得： {}345678910B =，，，，，，，， 所以{}3410A B ⋂=，，，故选C ．2．复数1111i iz i i-+=-+-，则复数z 的虚部是（ ） A. 2- B. 2i - C. 2 D. i【答案】A【解析】由题意可得： ()()()()2211i 11i 4i211112i i z i i i i i --+-+-=-===-+-+-， 则复数z 的虚部是 2.-故选A ．3．为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（ ）A. 各月的平均最高气温都不高于25度B. 七月的平均温差比一月的平均温差小C. 平均最高气温低于20度的月份有5个D. 六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度 【答案】C【解析】由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，选项C 的说法是错误的. 故选C ．4．已知函数()()()3log ,0,{2,0,x x f x f x x -<=--≥则()2017f =（ ）A. 1B. 0C. 1-D. 3log 2 【答案】B【解析】()()()()()320172015201311log 10f f f f f =-===--=-= ,选B. 5．在等差数列{}n a 中，若59103a a a ++=，则数列{}n a 的前15项的和为（ ） A. 15 B. 25 C. 35 D. 45 【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，则： 59101832133a a a a d a ++=+==, 故1151581515152a a S a +=⨯==，故选A ． 6．已知抛物线C ： 24y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线交曲线C 于A ， B 两点，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A.163 B. 133 C. 83 D. 53【答案】D【解析】由题意知过点()1,0F 的直线方程为)1y x =-，联立方程)21{4y x y x =-=，，消去y 得： 231030x x -+=. 设()11A x y ，， ()22B x y ，，则12103x x +=， 所以弦AB 的中点的横坐标为12523x x +=，故到y 轴的距离为53，故选D ．7．若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（ ）A. 2B.C. 3D.【答案】B【解析】结合三视图可知几何体为如图所示三棱锥A−BCD，三棱锥在边长为2的正方体中，可知正方体体对角线AC即为三棱锥最长的棱，且AC=故选B．点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．8．规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”.如图，若输入的a=，则输出的n为（）891A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C【解析】由题意知：输入的891a =，则程序运行如下： 当1n =时， 981m =， 189t =， 792a =， 当2n =时， 972m =， 279t =， 693a =， 当3n =时， 963m =， 369t =， 594a =， 当4n =时， 954m =， 459t =， 495a =， 此时程序结束，输出4n =，故选C ．9．已知函数()cos xf x e x =+，若()()211f x f -≥，则x 的取值范围为（ ）A. ][(),01,-∞⋃+∞B. []0,1C. (],0-∞D. [)1,+∞ 【答案】A 【解析】因为()(),f x f x -= 且0x >时()()0cos sin 10x x f x e x f x e x e =+⇒=->-='所以函数()f x 为偶函数,且在[)0,+∞ 上单调递增 因此()()21f x -≥()()21121121121110f x f x x x x x ⇒-≥⇒-≥⇒-≥-≤-⇒≥≤或或选A.10．如图，函数()f x 的图象为折线ABC ，则不等式()21xf x ≥-的解集是（ ）A. []2,0-B. []2,1-C. []2,2-D. (],1-∞ 【答案】B【解析】结合21xy =- 图像知()21xf x =-有且仅有一个交点()1,1 ，所以不等式()21x f x ≥-的解集是[]2,1-，选B.11．已知半径为5的球O 被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（ ）A. B.C. 或D. ()25π或()25π 【答案】C【解析】分类讨论：（1）当两截面圆在球心的同侧时，如下图，则AB 为大截面圆的直径， CD 为小截面圆的直径，梯形ABDC 为圆台的轴截面，由题意知， 13OO =，24OO =，则圆台的高为121O O =， AC =，所以圆台的侧面积为()18π6π2S =+=侧.（2）当两截面圆在球心的异侧时，如下图，则AB 为大截面圆的直径， CD 为小截面圆的直径，梯形ABDC 为圆台的轴截面，由题意知， 13OO =，24OO =，则圆台的高为127O O =， AC =，所以圆台的侧面积为()18π6π32S =+=侧，综上所述，故选C ．12．已知椭圆C ： 22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ， 2l ， 1l 与椭圆C 相交于点A ， B ， 2l 与椭圆C 相交于点C ， D ，则下列叙述不正确的是（ ）A. 存在直线1l ， 2l 使得AB CD +值为7B. 存在直线1l ， 2l 使得AB CD +值为487C. 弦长AB 存在最大值，且最大值为4D. 弦长AB 不存在最小值 【答案】D【解析】当直线1l ， 2l 一个斜率为零一个斜率不存在时，可得AB 即为长轴， CD 为通径，则7AB CD +=，则A 是正确的；当直线1l ， 2l 的斜率都存在时，不妨令直线1l 的斜率为()0k k ≠，由题意知1l 的直线方程为()1y k x =-，联立方程()221{ 431x y y k x +==-，，消去y 得()22223484120k xk x k +-+-=，设()11A x y ，， ()22B x y ，，由韦达定理知：2122834k x x k +=+， 2122412·34k x x k -=+，所以()212212134k AB x k+=-=+，同理()2212134k CD k +=+，特别地当21k=时， 247AB CD ==，即487AB CD +=，则B 正确 ；由()222121333434k AB k k+==+++，故当0k =时， AB 取到最大值4，则C 正确；由233334AB k =+>+，但当弦AB 的斜率不存在时， 3AB =，故AB存在最小值3，故D 选项不对，故选D ．点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.二、填空题13．若x ， y 满足约束条件11,{ 11,x y x y -≤+≤-≤-≤则34z x y =-的最小值为__________.【答案】4-【解析】由题意可知，线性区域是如图的阴影部分，由344z y x =-，则4z -为直线的截距，由图可知，当01x y ==，时， z 取到最小值4-.14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和， 11a =，当2n ≥时， 11n n S a -+=，则8a =__________.【答案】128【解析】由11a =，且11n n S a -+=，所以11n n S a ++=，两式做差可得： 12n n a a +=，所以{}n a 是以首项为1，公比为2的等比数列， 则12n n a -=，所以782128a ==.15．在边长为的等边ABC ∆中，点O 为ABC ∆外接圆的圆心，则()OA OB OC ⋅+=__________.【答案】4-【解析】如图，由O 是正ABC ∆外接圆的圆心（半径为2），则O 也是正ABC ∆的重心，设AO的延长线交BC 于点D ，故()224OB OC OD OA OA OB OC OA +==-∴⋅+=-=-点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.16．在ABC ∆中， D 为AC 上一点，且2AD =， 1DC =， BD 为ABC ∠的角平分线，则ABC ∆面积的最大值为__________.【答案】3【解析】如图，由于BD 为ABC ∠的角平分线，且2AD =， 1CD =，由角平分线定理知：2AB ADBC DC==， 令BC m =， 2AB m =，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知： 13m <<，在ABC 中，由余弦定理知： 2224959cos 2244m m ABC m m m +-∠==-⨯⨯，所以：1·2?·sin 2ABC S m m ABC m =∠=m ==3=，当且仅当2219m m -=-，即m 所以ABC 面积的最大值为3.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．三、解答题17．已知函数()22cos 1f x x x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中， A ∠， B ∠， C ∠所对的边分别是a ， b ，c ， ()3f B =，2b =， a c +=，求ABC ∆的面积.【答案】(1)最小正周期πT =，在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域为[]14，. (2) . 【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式()π2226f x sin x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，据此可得函数的最小正周期πT =，在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域为[]14，.(2)由题意结合(1)的结论和余弦定理可得ABC ∆. 试题解析：（1）()22212f x x cos x =+-+ 222x cos x ++π=2226sin x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， `所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==， πππ7π022666x x ≤≤∴≤+≤ ，，π12226sin x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭， π122246sin x ⎛⎫∴≤++≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域为[]14，.（2）由()3f B =得π22236sin B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，又ππ13π2666B <+<， π5π266B ∴+=， π3B ∴=， 由2b =及余弦定理得： 224260a c accos =+-︒， ∴ ()234a c ac +-=，又a c +=，代入上式解得83ac =，∴ ABC 的面积116022S acsinB acsin ==︒=. 18．随着我国经济的快速发展，民用汽车的保有量也迅速增长.机动车保有量的发展影响到环境质量、交通安全、道路建设等诸多方面.在我国，尤其是大中型城市，机动车已成为城市空气污染的重要来源.因此，合理预测机动车保有量是未来进行机动车污染防治规划、道路发展规划等的重要前提.从2012年到2016年，根据“云南省某市国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，该市机动车保有量数据如表所示.（1）在图所给的坐标系中作出数据对应的散点图； （2）建立机动车保有量y 关于年份代码x 的回归方程； （3）按照当前的变化趋势，预测2017年该市机动车保有量.附注：回归直线方程ˆˆˆya bx =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1221ˆni i i ni i x y nxy b x nx ==-=-∑∑， ˆˆa y bx =-. 【答案】(1)答案见解析；(2) 15.6514ˆ1.yx =+.(3)245万辆. 【解析】试题分析：(1)结合所给的数据绘制散点图即可；(2)结合所给的数据计算可得回归方程为15.6514ˆ1.yx =+. (3)结合线性回归方程的预测作用可得2017年该市机动车保有量是245万辆.试题解析：（1）数据对应的散点图如图所示.（2）3198.2x y ==，， 515221515615.610ˆ5i i i i i x y x y b x x==-===-∑∑， ˆ151.ˆ4a y bx =-=， 所以回归直线方程为15.6514ˆ1.yx =+. （3）代入2017年的年份代码6x =，得15.661512ˆ.445y=⨯+=，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ， 2AB AC ==， 13AA =.（1）证明： 1AB CC ⊥；（2）若点P 为11B C 的中点，求三棱锥1P ABA -的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】试题分析：（1）由射影得线面垂直1A A M BC ⊥平面，再由线面垂直性质定理得线线垂直1A M AB ⊥，结合条件可由线面垂直判定定理得AB ⊥平面11A ACC ，即得结论（2）求体积关键在于确定高线：先根据等体积法将所求锥转化求112B AAC V -，再根据AB ⊥平面11A ACC ，以及锥体体积公式得体积试题解析：（1）证明：因为顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ， 所以1A M ABC ⊥平面，又AB ABC ⊂平面，所以1A M AB ⊥， 又因为AB AC ⊥，而11A MA A C C ⊂平面， 11AC A ACC ⊂平面且1A M AC M ⋂=，所以AB ⊥平面11A ACC ，又因为111CC A ACC ⊂平面， 所以1AB CC ⊥.（2）解：如图，因为P 是11B C 的中点，所以11111111111122222232P ABA C ABA B AA C B AA C V V V V ----====⨯⨯⨯⨯=20．椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，过其右焦点F 与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M ， 12MF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆上的动点，且点P 与点A ， B 不重合，直线PA 与直线3x =相交于点S ，直线PB 与直线3x =相交于点T ，求证：以线段ST 为直径的圆恒过定点.【答案】(1) 22141x y +=. (2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)由题意可得21a b ==，，则椭圆C 的标准方程为22141x y +=. (2)由题意可得()35S k ，，结合题意可得圆的方程为()222515132828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则以线段ST 为直径的圆恒过定点30⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 试题解析：（1）解： 2c e a ==因为，又212b MF a ==，联立解得： 21a b ==，， 所以椭圆C 的标准方程为22141x y +=. （2）证明：设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为()2y k x =+， 联立3x =得()35S k ，.()00P x y 设，，代入椭圆的方程有： ()220001241x y x +=≠±， 整理得： ()2200144y x =--，故2020144y x =--，又002y k x =+， 002yk x ='- (k k '，分别为直线PA ，PB 的斜率)， 所以2020144y kk x ==--'，所以直线PB 的方程为： ()124y x k=--， 联立3x =得134T k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，所以以ST 为直径的圆的方程为： ()222515132828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令0y =，解得：3x = 所以以线段ST为直径的圆恒过定点30⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.21．已知函数()ln 1xf x x =-. （1）确定函数()f x 在定义域上的单调性，并写出详细过程； （2）若()xf x ke ≤在()1,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2) 1k e≥. 【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调性（2）调整不等式为()()ln 10xh x x k x e =--≤在()1+∞，上恒成立.再利用导数研究函数单调性：当0k ≤时，函数()h x 单调递增，最大值趋于正无穷 ，不符题意；当1k e ≥时，函数()h x 先增再减，最大值为()10h =，满足题意；当10k e<<时，最大值大于()10h =，不符题意试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()()()()211ln 0111x x f x x --⋃+∞='-，，，，令()11ln g x x x =--，则有()21x g x x ='-， 令()210xg x x-'==，解得1x =，所以在()01，上， ()0g x '>， ()g x 单调递增，在()1+∞，上， ()0g x '<， ()g x 单调递减.又()10g =，所以()0g x ≤在定义域上恒成立. 即()0f x '<在定义域上恒成立，所以()f x 在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递减. （2）由()xf x ke ≤在()1+∞，上恒成立得：ln 1x xke x ≤-在()1+∞，上恒成立. 整理得： ()ln 10xx k x e --≤在()1+∞，上恒成立.令()()ln 1x h x x k x e =--，易知，当0k ≤时， ()0h x ≤在()1+∞，上恒成立不可能，0k ∴>，又()1x h x kxe x-'=， ()11h ke '=-， 1°当1k e ≥时， ()110h ke =-≤'，又()1xh x kxe x-'=在()1+∞，上单调递减，所以()0h x '≤在()1+∞，上恒成立，则()h x 在()1+∞，上单调递减，又()10h =，所以()0h x ≤在()1+∞，上恒成立.2°当10k e <<时， ()110h ke =->'， 11e 0k h k k ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，又()1xh x kxe x -'=在()1+∞，上单调递减， 所以存在()01x ∈+∞，，使得()00h x '=，所以在()01x ，上()0h x '>，在()0x +∞，上()0h x '<， 所以()h x 在()01x ，上单调递增，在()0x +∞，上单调递减， 又()10h =，所以()0h x >在()01x ，上恒成立， 所以()0h x ≤在()1+∞，上恒成立不可能. 综上所述， 1k e≥. 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22．已知抛物线C 的方程为28y x =，以抛物线C 的焦点F 为极点，以x 轴在点F 右侧部分为极轴建立极坐标系. （1）求抛物线C 的极坐标方程；（2）P ， Q 是曲线C 上的两个点，若FP FQ ⊥，求11FP FQ+的最大值. 【答案】(1) 4(0)1cos ρρθ=>-.(2)24.【解析】试题分析：(1)结合抛物线的直角坐标方程转化为极坐标方程可得抛物线C 的极坐标方程是4(0)1cos ρρθ=>-； (2)结合(1)中的结论和三角函数的性质可得11FP FQ +的最大值为24. 试题解析：（1）由抛物线的定义得： 1(0)4cos ρρρθ=>+，即： 4(0)1cos ρρθ=>-.（2）由（1）得：12ππ1121111224444cos cos sin cos FP FQ θθθθθρρ⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭+=+===24≤， 当且仅当3π4θ=时等号成立，故11FP FQ +.23．已知函数()()ln 2123f x x x =+--. （1）求不等式()0f x ≤的解集； （2）当m 取何值时， ()f x m <恒成立. 【答案】(1) 13|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.(2) ln4m >. 【解析】试题分析：(1)由题意分类讨论可得不等式的解集为13| 24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；(2)原问题等价于()max f x m <，将函数的解析式整理为()()134222{ 342ln x x f x ln x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭=⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，，可得4m ln >.试题解析：（1）由()0f x ≤有： ()21231ln x x ln +--≤， 所以021231x x <+--≤，即1{ 2021231x x x ≤-<--+-≤，或13{ 22021231x x x -<<<++-≤，或3{ 2021231x x x ≥<+-+≤，，解得不等式的解集为13| 24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭. （2）由()f x m <恒成立得()max f x m <即可.由（1）02123x x <+--得函数()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，所以有()()134222{ 342ln x x f x ln x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭=⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，，所以()4max f x ln =，即4m ln >.。

第 1 页云南师大附中2019届高考适应性月考卷（四）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{|13}A x x =-R ≤≤ð，故[14]AB =-R ，ð，故选A ．2．因为1i 1i 1i 1i ||z z =+--++=+∴=，，故选C ． 32222221sin sin sin C A B c a b=∴=+∴=+，，，故三角形为直角三角形，故选A ．4． 因为D 为BC 边的中点，2233OB OC OD OA AO OD ∴+==-∴=，，故选B ．5．由(2)(2)f x f x +=-知()f x 的周期为4，又()f x 是定义在R 上的奇函数，故11(4)(0)0(1)(1)(1)(4)22f f f f f f ===--=∴+=，，，故选B ．6．1n =时2162a b ==，，不满足a b ≤；2n=时63124a b ==，，不满足a b ≤；3n=时189248a b ==，，满足a b ≤，输出3n =，故选D ． 7．函数3()3l o g xf x x =+在(0)+∞，是增函数，故零点是唯一的，又00m x <<，则0()()0f m f x <=，故选B ． 8．由三视图知，该几何体下面是三棱柱，上面是三棱锥，故其表面积为：11112221211222282222S =⨯⨯+⨯+⨯++⨯⨯+⨯+⨯=+D ．9. π())cos(2)2sin 26f x x x x ϕϕϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，所以将()f x 的图象向左平移π4个单位后，得到πππ()2sin 22cos 2466g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，其对称中心为点 π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，πππ2cos 200π263ϕϕϕ⎛⎫∴⨯++=<<∴= ⎪⎝⎭，又，，故选C ．第 2 页10．因为双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为，则双曲线C 为等轴双曲线，即a b =，其渐近线为y x =±，与抛物线22(0)x py p =>交于A B ，两点，可得(22)(22)A p p B p p -，，，，所以14282OAB S p p p ==∴=△，，所以抛物线的方程为2x =，故选C ．11．设外接球O 的半径为R ，ABC △外接圆1O 的半径为r，则22164ππ169S R R ==∴，，2sin 60a r r =∴=∴︒，，棱锥的高h =，1O O ∴=-，22⎫∴+⎪⎪⎝⎭⎝⎭2=⎝⎭，1213a ∴=，故选A ． 12．由题意，325420172016462018a a a a a a +=+=-+=-，，，，以上各式相加得：201711008S a -=-，又20171110071(0)S b a b a b =--∴+=>，，11111323232()55ab a b a b a b a b⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭≥当且仅当1132a b a b=时等号成立，故选D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由题意所求圆的圆心坐标为(01)-，，所以所求圆的标准方程为22(1)5x y ++=． 14．由不等式组所表示的平面区域知：当2z x y =+过点(12)，时，max 4z =；当2z x y =+过点(21)-，时，min 3z =-，所以2z x y =+的取值范围是[34]-，．第 3 页15．设扇形OAB 的半径为r ，则扇形OAB 的面积为221505ππ36012r r ︒=︒，以OA 为直径的半圆的面积为2211ππ228r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故所求概率为221π781510π12rr -=．16．条件等价于在平面直角坐标系中有点(22)A ， ，存在点P 到y 轴的距离为该点到A 点距离的2倍，求该点到x 轴的距离的最大值. 设()P x y ，，由题意得：x =整理得：2y =±2+． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >，由1304n a a a >=，得22a =，……………………………………………………………（2分） 又3a 是22a -与4a 的等差中项，故232422222222a a a q q q =-+∴=-+∴=，，或=0q （舍）．……………………（4分）所以2122n n n a a q --==，122.n b n n n a b n +∴==∴=，……………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，121211111122(21)(21)22121n n n n n n c a b b n n n n +-+⎛⎫=+=+=+- ⎪-+-+⎝⎭，………………………………………………………………………………………（8分）所以数列{}n c 的前n 项和12(12)11122.1222121n n n n n +-⎛⎫=+-=-+ ⎪-++⎝⎭ ………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）第 4 页（Ⅰ）证明：正方形ABCD 中，AD AB ⊥，又AD AF ⊥，且AB AF A =，所以AD ABEF ⊥平面， 又AD BC BC ABEF BC EF ∴⊥∴⊥∥，平面，，因为ABE △和AFE △都是等腰直角三角形， 所以4590AEF AEB BEF ∠=∠=︒∴∠=︒，， 即EF BE ⊥，且BCBE B =，所以EF BCE ⊥平面．……………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC ABEF BC AE AE AB AB BC B ⊥∴⊥⊥=平面，，又，，设点A 到平面BMP 的距离为h ，则即点A 到平面BMP…………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为x y z ，，成等差数列，所以25a b ，，也成等差数列， 即225b a =+，且125a b +=，所以7550a b ==，．………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）第4，5，6组的总人数为150，则第4组抽取的人数为7563150⨯=，第5组抽取的人数为5062150⨯=，第6组抽取的人数为2561150⨯=．…………………………………（7分）（Ⅲ）记第4组的3人分别为123a a a ，，，第5组的2人分别为12b b ，，第6组的1人为c ，则从抽取的6人中选3人的所有情况为12312112212()()()()a a a a a b a a b a a c ，，，，，，，，，，，， 共20种，其中至少有1人在第5组的情况有16种，第 5 页所以，所求概率164205P ==．…………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0)+∞，，当0a =时，1()1(0)f x bx b x=++>， 则22211()bx f x b x x -'=-+=，()0()00f x x f x x ''>⇒><⇒<< 所以()f x在0⎛ ⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递增，x ∴=()f x的极小值为131f b ==∴=，．…………………（6分） （Ⅱ）由题意，当2a -≥时，()F x 在区间(02]，上的最大值max ()2F x ≥．…………（7分）由（Ⅰ）知，121()ln 1ln 1F x a x x a x x x x x=+++-=-++， 则221()(02)x ax F x x x++'=<≤. ①当22a -≤≤时，222124()0a a x F x x⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭'=>， 故()F x 在(02]，上单调递增，max ()(2)F x F =；②当2a >时，设2210(40)x ax a ++=∆=->的两根分别为12x x ，，则1212120100x x a x x x x +=-<=∴<<，，，，所以在(02]，上221()0x ax F x x ++'=>，故()F x 在(02]，上单调递增，max ()(2)F x F =．综上，当2a -≥时，()F x 在区间(02]，上的最大值max 1()(2)ln 22122F x F a ==-++≥，第 6 页解得12ln 2a -≥，所以实数a 的取值范围是12ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，．………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，当点E 是椭圆的上、下顶点时，12EF F △的面积最大，此时12EF F △的面积221232S c b ca c ==-=，①又椭圆的离心率c e a ==，② 由①②得：222633a c b ===，，， 所以，椭圆C 的标准方程为22163x y +=．………………………………………………（5分） （Ⅱ）设直线l 的方程为11223()()x my P x y Q x y =+，，，，，则直线AP 的方程为1111(2)2y y x x --=--，则111201y x M y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，，即11(2)301m y M y ⎛⎫--⎪-⎝⎭，， 同理可得22(2)301m y N y ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，．…………………………………………………………（7分）由22326x my x y =+⎧⎨+=⎩，，得22(2)630m y my +++=， 由223612(2)0m m ∆=-+>得21m >且1212226322m y y y y m m +=-=++，，…………（9分） 所以1212(2)3(2)355||||2121m y m y DM DN y y ----=---- 故||||DM DN 为定值14．……………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】第 7 页解：（Ⅰ）由直线l的参数方程：2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，得直线l的普通方程为20x y +-，由ρθ=得220x y +-=，配方得22(3x y +-=，即曲线C的直角坐标方程为22(3x y +-=．………………………………………（5分） （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2223⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即210t -+=，因为0∆>，所以可设12t t ，是点A B ，所对应的参数，则12121t t t t +==．又直线过点(2P ，所以1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=…………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）由()2f x ≥得|3|2x t +≥，解得23t x -≥或23tx --≤， 由题意2132133tt -⎧=⎪⎪⎨--⎪=-⎪⎩，，所以1t =-．………………………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()|31|f x x =-，所以(1)(1)|32||34||(32)(34)|6f x f x x x x x +--=+--+--=≤，当且仅当43x ≥时等号成立，所以6m >，故实数m 的取值范围为(6)+∞，．……………………………………………………（10分）第 8 页。

文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|log 4}A x x =<，集合{|||2}B x x =≤，则A B =（ ）A ．(0,2]B ．[0,2]C ．[2,2]-D ．(2,2)- 2.已知复数1z i =-+，则复数32z z ++的模为（ ）A ．2C ．2 3.已知向量,a b 均为非零向量，(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则,a b 的夹角为（ ） A ．6π B ．23π C ．3π D ．56π4. 等差数列{}n a 中，34a =，前11项和11110S =，则9a =（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．165. 圆22420x y x y a ++-+=截直线50x y ++=所得弦的长度为2，则实数a =（ ）A ．-4B ．-2C ．4D ．26.某家具厂的原材料费支出x 与销售量y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为^^8y x b =+，则^b 为（ ） X 2 4 5 6 8 y2535605575A ．5B ．15C ．10D ．207. 某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ） A ．3024 B ．1007 C ．2018 D ．20168.给出下列四个结论：①已知直线1:10l ax y ++=，22:0l x ay a ++=，则12//l l 的充要条件为1a =±；②函数()cos f x x x ωω=+满足()()2f x f x π+=-，则函数()f x 的一个对称中心为(,0)6π； ③已知平面α和两条不同的直线,a b ，满足b α⊂，//a b ，则//a α； ④函数1()ln f x x x=+的单调区间为(0,1)(1,)+∞. 其中正确命题的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．09. 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．8+．8+．8+．8+A ．B ．C ．D ．10.已知()f x 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数2(2)(2)y f x f x m =++--只有一个零点，则函数4()(1)1g x mx x x =+>-的最小值是（ ）A ．3B ．-3C ．5D ．-511.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，2AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，则球O 的体积为（ ）A． B．2 C．3D ．2π 12. 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]124ππα∈，则该椭圆离心率的最大值为（ ）A．3．2 C．2D ．1 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若,x y 满足条件3560231500x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为 .14. ()f x 是定义在R 上的函数，且满足1(2)()f x f x +=-，当23x ≤≤时，()f x x =，则11()2f -= . 15.已知sin 3α=，1cos()3αβ+=-，且,(0,)2παβ∈，则sin()αβ-的值等于 .16. 已知曲线221y x b a -=（0a b ∙≠且a b ≠）与直线20x y +-=相交于,P Q 两点，且0OP OQ ∙=（O 为原点），则11b a-的值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）如图所示，在四面体ABCD中，1,3,AD CD AC B ====. （1）求ACD ∆的面积；（2）若BC AB的长.18. （本小题满分12分）2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元.为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4.x y p q的值，再将如图3所示的频率分布直方图绘制完整；（1）先求出,,,（2）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，,E F 分别是,BC PC 的中点.（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）取2AB =，在线段PD 上是否存在点H ，使得EH 与平面PAD 所成最大角的正切值H 点的位置，若不存在，请说明理由.20. （本小题满分12分）已知O 为坐标原点，抛物线2:(0)C y nx n =>在第一象限内的点(2,)P t 到焦点的距离为52，C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，直线1l 经过点Q 且垂直于x 轴.（1）求线段OQ 的长；（2）设不经过点P 和Q 的动直线2:l x my b =+交C 交点A 和B ，交1l 于点E ，若直线,PA PB 的斜率依次成等差数列，试问：2l 是否过定点？请说明理由.21. （本小题满分12分） 已知2()ln ,f x x ax x a R =-+∈.（1）若0a =，求函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在1[,1]2上是增函数，求实数a 的取值范围；（3）令2()(),(0,]g x x f x x e =-∈（e 是自然对数的底数）；求当实数a 等于多少时，可以使函数()g x 取得最小值为3.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交圆O 于点N ，过点N 的切线交CA 的延长线于点P ，连接,BC CN . （1）求证：BCN PMN ∠=∠；（2）若60BCN ∠=，1PM =，求OM 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线:2cos C ρθ=，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线1C，又已知直线cos 3:sin3x t l y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），且直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点.（1）求曲线1C 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点P ，求11||||PA PB +. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|f x x =+.（1）求不等式()1(2)f x f x +<的解集M ； （2）设,a b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--.云南师大附中2017-2018学年高考适应性月考卷（一）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】 1．，，，故选A ．2．，则，模为，故选B ． 3．，，所以，即，故cos，=0，可得cos，又因为，，所以，=，故选C.4．因为，∴．∵为等差数列，a3，a6，a9也构成等差数列，∴，∴，故选D．5．圆的标准方程为(x+2)2+(y−1)2=5−a，r2=5−a，则圆心(−2，1)到直线x+y+5=0的距离为，由12+(2)2=5−a，得a=−4，故选A．6．由给定的表格可知=5，=50，又回归直线过点(，)，所以50=40+，∴，故选C．7．该程序框图表示的是通项为的数列前2016项和，2+2016=3024，故选A.8．对于①，由l1∥l2得∴，①错；对于②，由得，∴的周期为，，∴，时，②错；对于③，当时，结论不成立，③错；对于④，，的定义域为(0，)，由得，由得，∴的单调区间为(0，1)，(1，)，④错．故选D．10．令，则，又因为是R上的单调奇函数，所以，即只有一个实数解，则，解得，，所以的最小值为5，故选C. 11．根据题意，AB=AD=2，BD=2，则∠BAD=．在Rt△BCD中，BD=2，CD=2，则BC=2，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以球心就是BC的中点，半径为r=，所以球的体积为：，故选A．12．由题知AF⊥BF，根据椭圆的对称性，AF′⊥BF′（其中F′是椭圆的左焦点），因此四边形AFBF′是矩形，于是，|AB|=|FF′|=2c，|AF|=2c sin，|AF′|=2c cos，根据椭圆的定义，|AF|+|AF′|=2a，∴2c sin+2c cos=2a，∴椭圆离心率e===，而∈，∴+，∴sin，故e的最大值为，故选B．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．作出约束条件表示的平面区域如图所示．由得，当直线经过点(3，3)时，有最大值为．14．由f(x+2)=可得，f(x+4)==f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，．15．∵∈，∴2∈(0，π)．∵s i n=，∴c o s2α=1−2=−，∴s i n2α==，而α，β∈，∴α+β∈(0，π)，∴sin(α+β)==，∴=sin=sin2αcos(α+β) −cos2αsin(α+β)=×−×=．16．将y=2−x代入，得设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=．=x1x2+y1y2=x1x2+(2−x1) (2−x2)=2x1x2−2(x1+x2)+4，所以+4=0，即2a−2b=ab，即a−b=ab，所以．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，因为AD=1，CD=3，AC=2，所以cos D=．…………（2分）因为D∈(0，)，所以sin D==．………………………（4分）因为AD=1，CD=3，所以△ACD的面积S=AD·CD·sin D=×1×3×=．……………（6分）（Ⅱ）AC=2，BC=2，∴．∵，……………………………………………（8分）所以，所以AB=4．……………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4，所以网购金额在(2500，3000]的频率为0.4−0.3=0.1，即q=0.1，且y=100×0.1=10，从而x=15，p=0.15，相应的频率分布直方图如图3所示．…………………………………………………………（5分）（Ⅱ）相应的2×2列联表为：由公式K2=，………………（10分）因为5.56>5.024，所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关．……………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，60°，可得为正三角形，因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD. …………………………………………（3分）因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA平面PAD，AD平面PAD，PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：设线段PD上存在一点H，连接AH，EH．由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．……………………………………（8分）在Rt△EAH中，，所以当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，此时，因此．……………………（11分）所以，线段PD上存在点H，当DH=时，使得与平面所成最大角的正切值为．……………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由抛物线在第一象限内的点P到焦点的距离为，得，，抛物线C的方程为y2=2x，P(2，2)．………………………………（2分）C在第一象限的图象对应的函数解析式为，则y′=，故C在点P处的切线斜率为，切线的方程为，令y=0得x=−2，所以点Q的坐标为(−2，0)．故线段OQ的长为2．……………………………………………（5分）（Ⅱ）l2恒过定点(2，0)，理由如下：由题意可知l1的方程为x=−2，因为l2与l1相交，故．由l2：，令x=−2，得，故．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得：，则，．………………………………………………（7分）直线PA的斜率为，同理直线PB的斜率为，直线PE的斜率为．因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，所以，即．………………………（10分）整理得：，因为l2不经过点Q，所以，所以2m−b+2=2m，即b=2．故l2的方程为，即l2恒过定点(2，0). ………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当时，，∴，∴，，∴函数在点(1，f(1))处的切线方程为3x−y−2=0. ………………（3分）（Ⅱ）函数在上是增函数，∴在上恒成立，即在上恒成立.令，则，当且仅当时，取“=”号.∴，∴a的取值范围为(]. ………………………………（6分）（Ⅲ）∵，∴.（1）当时，，∴在(0，e]上单调递减，，（舍去）. ………………………………………（8分）（2）当且e时，，在(0，e]上恒成立，∴在(0，e]上单调递减，∴，（舍去）.（3）当且时，，令，则，令，则，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴满足条件. …………………………（11分）综上所述，当实数时，使的最小值为3. …………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：连接，∵为的切线，∴90°，在中，∵，∴，又∵，∴，根据弦切角定理，得，∴．………………………（4分）（Ⅱ）解法一：∵，∴为等边三角形，∴．设的半径为，则在直角三角形中，，，，根据相交弦定理，，可得，即可得，，∴．…………………………………………………（10分）解法二：∵60°，∴△PMN为等边三角形，∴，设的半径为r，则在直角三角形中，，，，又为的外接圆，由正弦定理可知，，又，∴，∴．………………………………………………（10分）解法三：，设的半径为r，则在直角三角形中，，，，在中，，∴，又∵，MN=PM=1，∴，∴，∴．………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为：，即，∴曲线的直角坐标方程为，∴曲线表示焦点坐标为，长轴长为4的椭圆．……………（4分）（Ⅱ）直线：（t是参数）将直线的方程代入曲线的方程中，得．设对应的参数分别为，则，，结合t的几何意义可知，．……………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：，即．当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解集为；当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解；当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解集为．综上，．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：因为，所以，要证，只需证，即证，即证，即证，即证．∵a，b M，∴a2>1，b2>1，∴(a2−1)(b2−1)>0成立，所以原不等式成立．………………………………………（10分）。

云南师大附中2018届高三上学期12月高考适应性月考卷（五）数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合5|09xA xx-⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，集合{}|(3)(10)0B x Z x x=∈--≤，则A B=I（）A．∅B．[3,5)(9,10]U C．{}3,4,10D．R2.复数1111i izi i-+=-+-，则复数z的虚部是（）A．2-B．2i-C．2D．i3.为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（）A．各月的平均最高气温都不高于25度B．七月的平均温差比一月的平均温差小C．平均最高气温低于20度的月份有5个D．六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度4.已知函数3log(),0,()(2),0,x xf xf x x-<⎧=⎨--≥⎩则(2017)f=（）A．1B．0C．1-D．3log25.在等差数列{}na中，若59103a a a++=，则数列{}na的前15项的和为（）A．15 B．25 C．35 D．456.已知抛物线C：24y x=的焦点为F，过点F且倾斜角为3π的直线交曲线C于A，B两点，则弦AB的中点到y轴的距离为（）A．163B．133C．83D．537.若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（）A．2B．23C．3D．228.规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”．如图，若输入的891a=，则输出的n为（）A．2 B．3 C．4 D．59.已知函数||()cosxf x e x=+，若(21)(1)f x f-≥，则x的取值范围为（）A．(,0][1,)-∞+∞U B．[]0,1C．(,0]-∞D．[1,)+∞10.如图，函数()f x的图象为折线ABC，则不等式()21xf x≥-的解集是（）A．[]2,0-B．[]2,1-C．[]2,2-D．(,1]-∞11.已知半径为5的求O被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（）A．72πB．2πC．72π或2πD．(7225)π或(35225)π12.已知椭圆C：22143x y+=的右焦点为F，过点F的两条互相垂直的直线1l，2l，1l与椭圆C相交于点A ，B ，2l与椭圆C 相交于点C ，D ，则下列叙述不正确的是（ ） A ．存在直线1l ，2l使得||||AB CD +值为7B ．存在直线1l ，2l使得||||AB CD +值为487C ．弦长||AB 存在最大值，且最大值为4D ．弦长||AB 不存在最小值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若x ，y 满足约束条件11,11,x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩则34z x y =-的最小值为 ． 14.已知nS 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，当2n ≥时，11n n S a -+=，则8a = ．15.在边长为ABC ∆中，点O 为ABC ∆外接圆的圆心，则()OA OB OC ⋅+=u u u r u u u r u u u r．16.在ABC ∆中，D 为AC 上一点，且2AD =，1DC =，BD 为ABC ∠的角平分线，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数2()22cos 1f x x x =++． （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域；（2）在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别是a ，b ，c ，()3f B =，2b =，a c +=，求ABC ∆的面积．18.随着我国经济的快速发展，民用汽车的保有量也迅速增长．机动车保有量的发展影响到环境质量、交通安全、道路建设等诸多方面．在我国，尤其是大中型城市，机动车已成为城市空气污染的重要来源．因此，合理预测机动车保有量是未来进行机动车污染防治规划、道路发展规划等的重要前提．从2012年到2016年，根据“云南省某市国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，该市机动车保机动车保有量y（万辆）169181 196 215 230（1）在图所给的坐标系中作出数据对应的散点图；（2）建立机动车保有量y关于年份代码x的回归方程；（3）按照当前的变化趋势，预测2017年该市机动车保有量．附注：回归直线方程$$y a bx=+$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ni iiniix y nx ybx nx==-=-∑∑$，$a y bx=-$．19.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，AB AC⊥，顶点1A在底面ABC上的射影恰为AC的中点M，2AB AC==，13AA=．（1）证明：1AB CC ⊥；（2）若点P 为11B C 的中点，求三棱锥1P ABA -的体积．20.椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，过其右焦点F 与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M ，1||2MF =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆上的动点，且点P 与点A ，B 不重合，直线PA 与直线3x =相交于点S ，直线PB 与直线3x =相交于点T ，求证：以线段ST 为直径的圆恒过定点．21.已知函数ln ()1x f x x =-．（1）确定函数()f x 在定义域上的单调性，并写出详细过程；（2）若()xf x ke ≤在(1,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知抛物线C 的方程为28y x =，以抛物线C 的焦点F 为极点，以x 轴在点F 右侧部分为极轴建立极坐标系．（1）求抛物线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 是曲线C 上的两个点，若FP FQ ⊥，求11||||FP FQ +的最大值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()ln(|21||23|)f x x x =+--. （1）求不等死()0f x ≤的解集； （2）当m 取何值时，()f x m <恒成立.文科数学试卷答案 一、选择题1-5:CACBA 6-10:DBCAB 11、12：CD 二、填空题13.4- 14.128 15.4- 16.3 三、解答题17.解：（1）2()22cos 12f x x x =+-+Q 2cos22x x =++π=2sin 226x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，πππ7π022666x x ∴+Q ≤≤，≤≤，π12sin 226x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤≤，π12sin 2246x ⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭≤≤， 所以函数()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域为[14]，． （2）由()3f B =得π2sin 2236B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，又ππ13π2666B <+<Q，π5π266B ∴+=，π3B ∴=，由2b =及余弦定理得：2242cos60a c ac =+-︒，∴2()34a c ac +-=， 又3a c b +=，代入上式解得83ac =，∴ABC △的面积1123sin sin 6022S ac B ac ==︒=． 18.解：（1）数据对应的散点图如图8所示.（2）3198.2x y ==，，515221515615.6105i ii i i x yx ybx x==-===-∑∑$，$151.4a y bx =-=$，所以回归直线方程为$15.6151.4y x =+．（3）代入2017年的年份代码6x =，得$15.66151.4245y =⨯+=，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆．19．（1）证明：因为顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ， 所以1A M ABC ⊥平面，又AB ABC ⊂平面，所以1A M AB ⊥，又因为AB AC ⊥，而111A M A ACC ⊂平面，11AC A ACC ⊂平面且1A M AC M =I ， 所以AB ⊥平面11A ACC ，又因为111CC A ACC ⊂平面， 所以1AB CC ⊥． （2）解：如图，因为P 是11B C 的中点，所以111111111111222222222232P ABA C ABA B AA C B AA C V V V V ----====⨯⨯⨯⨯⨯=．20．（1）解：3c e a ==因为，又21||2b MF a ==，联立解得：21a b ==，， 所以椭圆C 的标准方程为22141x y +=．（2）证明：设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为(2)y k x =+， 联立3x =得(35)S k ，． 00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：220001(2)41x y x +=≠±，整理得：22001(4)4y x =--，故2020144y x =--，又02y k x =+，02y k x '=-(k k '，分别为直线PA ，PB 的斜率)，所以2020144y kk x '==--，所以直线PB 的方程为：1(2)4y x k =--，联立3x =得134T k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，， 所以以ST 为直径的圆的方程为：2225151(3)2828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令0y =，解得：3x =±，所以以线段ST为直径的圆恒过定点30⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 21．解：（1）函数()f x 的定义域为211ln (01)(1)()(1)x xf x x --'+∞=-U ，，，，令1()1ln g x x x =--，则有21()xg x x -'=， 令21()0xg x x -'==，解得1x =，所以在(01)，上，()0g x '>，()g x 单调递增，在(1)+∞，上，()0g x '<，()g x 单调递减． 又(1)0g =，所以()0g x ≤在定义域上恒成立． 即()0f x '<在定义域上恒成立，所以()f x 在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递减． （2）由()e xf x k ≤在(1)+∞，上恒成立得：ln e 1xxk x -≤在(1)+∞，上恒成立． 整理得：ln (1)e 0xx k x --≤在(1)+∞，上恒成立. 令()ln (1)e xh x x k x =--，易知，当0k ≤时，()0h x ≤在(1)+∞，上恒成立不可能，0k ∴>， 又1()e xh x kx x '=-，(1)1e h k '=-，1°当1e k ≥时，(1)1e 0h k '=-≤，又1()e x hx kx x '=-在(1)+∞，上单调递减，所以()0h x '≤在(1)+∞，上恒成立，则()h x 在(1)+∞，上单调递减，又(1)0h =，所以()0h x ≤在(1)+∞，上恒成立．2°当10e k <<时，(1)1e 0h k '=->，11e 0k h k k ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，又1()e x hx kx x '=-在(1)+∞，上单调递减， 所以存在0(1)x ∈+∞，，使得0()0h x '=， 所以在0(1)x ，上()0h x '>，在0()x +∞，上()0h x '<，所以()h x 在0(1)x ，上单调递增，在0()x +∞，上单调递减， 又(1)0h =，所以()0h x >在0(1)x ，上恒成立， 所以()0h x ≤在(1)+∞，上恒成立不可能． 综上所述，1e k ≥．22．解：（1）由抛物线的定义得：1(0)4cos ρρρθ=>+，即：4(0)1cos ρρθ=>-．（2）由（1）得：12ππ1cos 1cos 211112sin cos 24||||444FP FQ θθθθθρρ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭+=+===，当且仅当3π4θ=时等号成立，故11||||FP FQ +的最大值为． 23．解：（1）由()0f x ≤有：ln(|21||23|)ln1x x +--≤， 所以0|21||23|1x x <+--≤，即12021231x x x ⎧-⎪⎨⎪<--+-⎩≤，≤或1322021231x x x ⎧-<<⎪⎨⎪<++-⎩，≤或32021231x x x ⎧⎪⎨⎪<+-+⎩≥，≤， 解得不等式的解集为1324x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．（2）由()f x m <恒成立得max ()f x m <即可.由（1）0|21||23|x x <+--得函数()f x 的定义域为12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，， 所以有13ln(42)22()3ln 42x x f x x ⎧⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，≥，所以max ()ln 4f x =，即ln 4m >．图1云南师大附中2018届高考适应性月考卷（五） 文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C ACBADBCABCD【解析】1．(5)(9)A =-∞+∞U ，，，{345678910}B =，，，，，，，，所以{3410}A B =I ，，，故选C ． 2．由221i 1i (1i)(1i)4i2i 1i 1i (1i)(1i)2z -+--+-=-===-+-+-，故选A ．3．由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，故选C ． 4．当0x ≥时，()(2)f x f x =--，所以当2x ≥时，(2)(4)f x f x -=--，故而当2x ≥时，有()(4)f x f x =-，则(2017)(2013)(5)(1)f f f f ====…．又由3(1)(1)log 10f f =--=-=，故选B ．5．设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，由59101832133a a a a d a ++=+==，1581515S a ==，故选A ．6．由题意知过点F 的直线方程为3(1)y x =-，联立方程23(1)4y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去y 得：231030x x -+=.设11()A x y ，，22()B x y ，，则12103x x +=，所以弦AB 的中点的横坐标为53，故到y 轴的距离为53，故选D ．7．如图1所示三棱锥A −BCD ，三棱锥在边长为2的正方体中，可知[KS5UKS5U]正方体体对角线AC 即为三棱锥最长的棱，且23AC =B ． 8．由题意知：输入的891a =，则程序运行如下： 当1n =时，981m =，189t =，792a =， 当2n =时，972m =，279t =，693a =，当3n =时，963m =，369t =，594a =， 当4n =时，954m =，459t =，495a =，图 2图3图4此时程序结束，输出4n =，故选C ．9．由||()e cos x f x x =+，知()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()f x 为增函数，故(21)(1)f x f -≥等价于不等式|21|1x -≥，解得x 的取值范围为(0][1)-∞+∞U ，，，故选A ． 10．如图2，由()21xf x -≥，需满足函数()f x 的图象不在函数21x -图象的下方，令()21xg x =-，所以()2ln 20xg x '=>，则()g x 在R 上单调递增，且当0x <时，()0g x <，(0)0g =，(1)1g =，而由图可知函数()2||[22]f x x x =-∈-，，，则(1)1f =，由题意可知，不等式的解集为[21]-，，故选B ．11．（1）当两截面圆在球心的同侧时，如图3，则AB 为大截面圆的直径，CD 为小截面圆的直径，梯形ABDC 为圆台的轴截面，由题意知，13OO =，24OO =，则圆台的高为121O O =，2AC =，所以圆台的侧面积为1(8π6π)272π2S =+g 侧．CD（2）当两截面圆在球心的异侧时，如图4，则AB 为大截面圆的直径，为小截面圆的直径，梯形ABDC 为圆台的轴截面，由题意知，13OO =，24OO =，则圆台的高为127O O =，52AC =1(8π6π)52352π2S =+=g 侧，综上所述，故选C ．12．当直线1l ，2l 一个斜率为零一个斜率不存在时，可得AB 即为长轴，CD 为通径，则||||7AB CD +=，则A 是正确的；当直线1l ，2l 的斜率都存在时，不妨令直线1l 的斜率为(0)k k ≠，由题意知1l 的直线方程为(1)y k x =-，联立方程22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设11()A x y ，，22()B x y ，，由韦达定理知：2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+g ，所以2212212(1)||1|34k AB k x x k +=+-=+，同理图 5图 6图72212(1)||34k CD k +=+，特别地当21k =时，24||||7AB CD ==，即48||||7AB CD +=，则B 正确 ；由22212(1)3||33434k AB k k +==+++，故当0k =时，||AB 取到最大值4，则C 正确；由23||3334AB k =+>+，但当弦AB 的斜率不存在时，||3AB =，故||AB 存在最小值3，故D 选项不对，故选D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16 答案 4- 1284-3【解析】13．由题意可知，线性区域是如图5的阴影部分，由344zy x =-，则4z -为直线的截距，由图可知，当01x y ==，时，z 取到最 小值4-.14．由11a =，且11n n S a -+=，所以11n n S a ++=，可得：12n n a a +=，所以{}n a 是以首项为1，公比为2的等比数列，则12n n a -=，所以782128a ==. 15．如图6，由O 是正ABC △外接圆的圆心，则O 也是正ABC △的重心，设AO 的延长线交BC 于点D ，故2OB OC OD OA +==-u u u r u u u r u u u r u u u r，故2()()4OA OB OC OA +=-=-u u u r u u u r u u u r u u u rg ． 16．如图7，由于BD 为ABC ∠的角平分线，且2AD =， 1CD =，由角平分线定理知：2AB ADBC DC ==，令BC m =， 2AB m =，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知：13m <<，在ABC △中，由余弦定理知：2224959cos 2244m m ABC m m m +-∠==-⨯⨯，所以212sin 1cos 2ABC S m m ABC m ABC =∠=-∠g g g △m= 3=，当且仅当2219m m -=-，即m =时取等号，所以ABC △面积的最大值为3.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()22cos 12f x x x =+-+Q 2cos22x x ++π=2sin 226x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，πππ7π022666x x ∴+Q ≤≤，≤≤，π12sin 226x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤≤，π12sin 2246x ⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭≤≤，所以函数()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域为[14]，．…………………………………………（6分） （Ⅱ）由()3f B =得π2sin 2236B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，又ππ13π2666B <+<Q，π5π266B ∴+=，π3B ∴=，[KS5UKS5U.KS5U由2b =及余弦定理得：2242cos60a c ac =+-︒，∴2()34a c ac +-=，又a c +=，代入上式解得83ac =，∴ABC △的面积11sin sin 6022S ac B ac ==︒．…………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）数据对应的散点图如图8所示.图8图9………………………………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）3198.2x y ==，，515221515615.6105i ii i i x yx ybx x==-===-∑∑$，$151.4ay bx =-=$，所以回归直线方程为$15.6151.4y x =+．………………………………………………（10分）（Ⅲ）代入2017年的年份代码6x =，得$15.66151.4245y =⨯+=，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆．…………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：如图9，因为顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ，所以1A M ABC ⊥平面， 又AB ABC ⊂平面，所以1A M AB ⊥，又因为AB AC ⊥，而111A M A ACC ⊂平面，11AC A ACC ⊂平面且1A M AC M =I ，所以AB ⊥平面11A ACC ，又因为111CC A ACC ⊂平面，所以1AB CC ⊥．…………………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）解：如图，因为P 是11B C 的中点，所以111111111111222222222232P ABA C ABA B AA C B AA C V V V V ----====⨯⨯⨯⨯=．………（12分） 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：c e a =因为，又21||2b MF a ==，联立解得：21a b ==，， 所以椭圆C 的标准方程为22141x y +=．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为(2)y k x =+， 联立3x =得(35)S k ，． 00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：220001(2)41x y x +=≠±，整理得：22001(4)4y x =--，故2020144y x =--，又02y k x =+，02y k x '=-(k k '，分别为直线PA ，PB 的斜率)，所以2020144y kk x '==--，所以直线PB 的方程为：1(2)4y x k =--，联立3x =得134T k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，所以以ST 为直径的圆的方程为：2225151(3)2828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令0y =，解得：3x =，所以以线段ST为直径的圆恒过定点30⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．…………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为211ln (01)(1)()(1)x xf x x --'+∞=-U ，，，，令1()1ln g x x x =--，则有21()xg x x -'=，令21()0xg x x -'==，解得1x =，所以在(01)，上，()0g x '>，()g x 单调递增，在(1)+∞，上，()0g x '<，()g x 单调递减． 又(1)0g =，所以()0g x ≤在定义域上恒成立． 即()0f x '<在定义域上恒成立，所以()f x 在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递减．……………………………（5分） （Ⅱ）由()e xf x k ≤在(1)+∞，上恒成立得：ln e 1xxk x -≤在(1)+∞，上恒成立． 整理得：ln (1)e 0xx k x --≤在(1)+∞，上恒成立. 令()ln (1)e xh x x k x =--，易知，当0k ≤时，()0h x ≤在(1)+∞，上恒成立不可能，0k ∴>， 又1()e xh x kx x '=-，(1)1e h k '=-，1°当1e k ≥时，(1)1e 0h k '=-≤，又1()e x hx kx x '=-在(1)+∞，上单调递减，所以()0h x '≤在(1)+∞，上恒成立，则()h x 在(1)+∞，上单调递减，又(1)0h =，所以()0h x ≤在(1)+∞，上恒成立． 2°当10e k <<时，(1)1e 0h k '=->，11e 0k h k k ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，又1()e x hx kx x '=-在(1)+∞，上单 调递减，所以存在0(1)x ∈+∞，，使得0()0h x '=， 所以在0(1)x ，上()0h x '>，在0()x +∞，上()0h x '<，所以()h x 在0(1)x ，上单调递增，在0()x +∞，上单调递减， 又(1)0h =，所以()0h x >在0(1)x ，上恒成立， 所以()0h x ≤在(1)+∞，上恒成立不可能． 综上所述，1e k ≥．……………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由抛物线的定义得：1(0)4cos ρρρθ=>+，即：4(0)1cos ρρθ=>-．………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：12ππ1cos 1cos 211112sin cos 24||||444FP FQ θθθθθρρ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭+=+===，当且仅当3π4θ=时等号成立，故11||||FP FQ +的最大值为．………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 解：（Ⅰ）由()0f x ≤有：ln(|21||23|)ln1x x +--≤， 所以0|21||23|1x x <+--≤，即12021231x x x ⎧-⎪⎨⎪<--+-⎩≤，≤或1322021231x x x ⎧-<<⎪⎨⎪<++-⎩，≤或32021231x x x ⎧⎪⎨⎪<+-+⎩≥，≤，解得不等式的解集为1324x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）由()f x m <恒成立得max ()f x m <即可.由（Ⅰ）0|21||23|x x <+--得函数()f x 的定义域为12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，， 所以有13ln(42)22()3ln 42x x f x x ⎧⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，≥，所以max ()ln 4f x =，即ln 4m >．………………………………………………………………………………（10分）。