山东省临沂市2024届高三下学期5月高考模拟考试（二模）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i 为虚数单位，()211i i 22z -⋅=+，则z =（）A ．14B ．12C ．4D ．22．若2Z08x A x x ⎧⎫-=∈≤⎨⎬-⎩⎭，{}5log 1B x x =<，则A B ⋂的元素个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．33．一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,,12,14,21m ，若该组数据的中位数是极差25，则该组数据的第45百分位数是（）A ．4B ．6C ．8D ．124．若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（）A ．16B ．20C ．28D ．405．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+（π2ϕ<）图象的一个对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 在区间ππ,83⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．5π6x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎣⎦上的值域为⎡-⎢⎣⎦D ．将()f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y 轴对称6．若实数a ，b ，c 满足π2sin 12a =，37b =，310c =，则（）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．a c b<<D ．b a c<<7．已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1CC ，1C D 的中点，则（）A ．直线MN 与1ACB ．平面BMN 与平面11BCD C ．在1BC 上存在点Q ，使得11B Q BD ⊥D ．在1B D 上存在点P ，使得//PA 平面BMN8．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上第一象限内的一点，且12PF PF ⊥，1PF 与y 轴相交于点Q，离心率e =11QF PF λ= ，则λ=（）A ．38B ．58C ．13D ．23二、多选题9．已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，则下列命题为真命题的是（）A ．若349a a +=，7818a a +=，则125a a +=B ．若2134a a +=，则1428S =C ．若150S <，则78S S >D ．若{}n a 和{}1n n a a +⋅都为递增数列，则0n a >10．设()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线C ：28x y =上两个不同的点，以A ，B 为切点的切线交于点()00,P x y .若弦AB 过焦点F ，则（）A ．1202x x x +=B ．若PA 的方程为210x y --=，则24x =-C ．点P 始终满足0PA PB ⋅=D ．PAB 面积的最小值为1611．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()132024f x f x f +++=，()()2f x f x -=+，且1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为4B ．()20f =C ．函数()1f x -是奇函数D ．20241120242k k f k =⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭∑三、填空题12．()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 项的系数为.13．若直线1y ax =+与曲线ln y b x =+相切，则ab 的取值范围为.14．根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X 满足：对于任意的*n ∈N ，1X n =+的样本在X n >的样本里的数量占比与1X =的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于15，即()()1115P X n X n P X =+>===，则()P X n >=，设()n a nP X n ==，{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =.四、解答题15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()cos sin cos cos c A B B C c C -=-．(1)求C ；(2)若点D 在线段AB 上，且2BD DA =，求22225CD a b +的最大值.16．“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）.非常喜欢感觉一般合计男性3t100女性t 合计60(1)求t 的值，试根据小概率0.01α=的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关；(2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X 为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X 的分布列及数学期望()E X .参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.01…x α2.7063.8416.635…17．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，BD ∥平面AMHN ，点M ，N ，H 分别在棱PB ，PD ，PC 上，且MN PC ⊥．(1)证明：PB PD =；(2)若H 为PC 的中点，PA PC =，PA 与平面PBD 所成角为60°，四棱锥P ABCD -被平面AMHN 截为两部分，记四棱锥P AMHN -体积为1V ，另一部分体积为2V ，求12V V .18．已知向量()0,1a =，()1,0b = ，点()1,0P ，()1,0Q -，直线PD ，QD 的方向向量分别为2a b λ+ ，2a b λ+ ，其中λ∈R ，记动点D 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)直线l 与E 相交于A ，B 两点，（i ）若l 过原点，点C 为E 上异于A ，B 的一点，且直线AC ，BC 的斜率AC k ，BC k 均存在，求证：AC BC k k ⋅为定值；（ii ）若l 与圆O ：222x y r +=相切，点N 为AB 的中点，且2AB ON =，试确定圆O 的半径r .19．已知函数()()()ln 1e xf x ax a x =+--.(1)当1a =时，求证：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02f x <-；(2)若()f x 存在两个零点，记较小的零点为1x ，t 是关于x 的方程()1ln 132cos x ax x ++=+的根，证明：1e 12e x t +>.参考答案：1．B【分析】借助复数的四则运算及复数模长计算公式计算即可得.【详解】()()()211i 11i 122i 212i 14i 4i i 4441i z ⨯======+⨯----⨯-，则1i 44z =--，故12z =.故选：B.2．C【分析】分别确定集合,A B ，再求交集.【详解】根据题意，可得集合{Z |2A x x =∈≤或8}x >，{}05B x x =<<，则{}1,2⋂=A B ，所以A B ⋂的元素个数为2个.故选：C 3．A【分析】根据题干中该组数据极差和中位数的关系列方程求出m ，然后根据百分位数的定义求解即可.【详解】根据中位数的定义，该组数据的中位数是122m +，根据极差的定义，该组数据的极差是21120-=，依题意得，1222025m +=⨯，解得4m =，60.45 2.7Ζ⨯=∉，根据百分位数的定义，该组数据的第45百分位数是从小到大排列的第3个数，即4.故选：A 4．C【分析】先分组后分配，分组时分一组2人一组4人和每组各3人两种情况.【详解】第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有1124C C 8=种；分为每组各3人，有122422C C 6A =种，分组方法共有14种.第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有22A 2=种.所以，总的分配方案有14228⨯=种.故选：C 5．D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A 、B ；结合正弦函数最值可得C ；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得()π2π6k k ϕ⨯+=∈Z ，解得()ππ3k k ϕ=-+∈Z ，又π2ϕ<，故π3ϕ=-，即()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对A ：当ππ,83x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π7ππ2,3123x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，由函数sin y x =在7ππ,123⎡⎤-⎢⎣⎦上不为单调递增，故()f x 在区间ππ,83⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不为单调递增，故A 错误；对B ：当5π6x =时，π4π233x -=，由4π3x =不是函数sin y x =的对称轴，故5π6x =不是()f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故C 错误；对D ：将()f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得5πππsin 22sin 2cos 21232y x x x ⎛⎫⎛⎫=+⨯=+= ⎪⎝⎭⎝⎭，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D.6．A【分析】首先判断1a <，12b <<，且3log 10c =，根据对数函数的性质可得2>c ，即可判断.【详解】因为ππ2sin2sin 1126a =<=，又37b =，则b =12<<=，即12b <<，因为310c =，所以33log 10log 92c =>=，所以c b a >>.故选：A 7．C【分析】以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，由空间向量计算异面直线所成角，二面角和线线垂直可判断ABC ；由,,,N M B A 四点共面，而A ∈平面BMN 可判断D.【详解】以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，所以()()()()1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0A D B C ，()()()()11111,0,1,0,0,1,1,1,1,0,1,1A D B C ，1110,1,,0,,222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ，10,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11,1,1AC =-- ，直线MN 与1AC所成角的余弦值为11112cos ,MN A C MN A C MN A C⋅= ，故A 错误；对于B ，10,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，11,0,2BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，设平面BMN 的法向量为(),,n x y z = ，则102102n MN y n BM x z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取1x =，可得0,2y z ==，所以()1,0,2n =，()110,1,0C D =-，()11,0,1BC =- ，设平面11BC D 的法向量为()111,,m x y z = ，则1111110n C D y n BC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11x =，可得110,1y z ==，所以()1,0,1m =，平面BMN 与平面11BC D夹角的余弦值为：cos ,m nm n m n ⋅=⋅，故B 错误；对于C ，因为Q 在1BC 上，设()00,1,Q x z ，所以11C Q C B λ=，01λ≥≤，则()()1001,0,1,1,0,1C Q x z C B =-=-，所以00,1x z λλ==-+，所以(),1,1Q λλ-+，()()111,0,,1,1,1B Q BD λλ=--=--，所以1110B Q BD λλ⋅=--= ，解得：12λ=.故1BC 上存在点11,1,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得11B Q BD ⊥，故C 正确；对于D ，因为////MN DC AB ，所以,,,N M B A 四点共面，而A ∈平面BMN ，所以1B D 上不存在点P ，使得//PA 平面BMN ，故D 错误.故选：C.【点睛】8．B【分析】设1PF m =、2PF n = ，结合椭圆定义及离心率可用c 表示1PF 、2PF ，结合勾股定理计算即可得解.【详解】设1PF m = 、2PF n = ，则有2224m n c +=，225m n a c +===，则()22223625m n m n mn c +=++=，即22236162455mn c c c =-=，则()2222221642455m n m n mn c c c -=+-=-=，即5m n -=，即552m ==，332n +==，则11QF PF m c λλ=== ，由12QF QF = ，则有22225555c c c λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得85λ=，即58λ=.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助椭圆定义及离心率，用c 表示1PF 、2PF ，再借助λ表示出2QF ，结合勾股定理计算即可得解.9．BC【分析】根据题意，求得98d =，结合()12344a a a a d +=+-，可判定A 错误；根据数列的求和公式和等差数列的性质，可判定B 正确；由150S <，求得80a <，可判定C 正确；根据题意，求得任意的2,0n n a ≥>，结合1a 的正负不确定，可判定D 错误．【详解】对于A 中，由349a a +=，7818a a +=，可得()()378489a a d a a ++-==，所以98d =，又由()12349949482a a a a d +=+-=-⨯，所以A 错误；对于B 中，由()()1142131414142822a a a a S ++===，所以B 正确；对于C 中，由11515815()1502a a S a +==<，所以80a <，又因为8780S S a -=<，则78S S >，所以C 正确；对于D 中，因为{}n a 为递增数列，可得公差0d >，因为{}1n n a a +为递增数列，可得211120n n n n n a a a a a d ++++⋅-=>，所以对任意的2,0n n a ≥>，但1a 的正负不确定，所以D 错误．故选：BC.10．ACD【分析】由导数的几何意义，求得可得A 处的切线方程，得出直线,AP BP 的方程，联立两直线方程可判定A ；根据已知和A 选项可得12x =，再设直线:2pAB y kx =+，联立方程组，根据根与系数的关系可求2x ，根据1PA PB k k ⋅=-，可判定B 错误，C 正确；取AB 的中点H ，化简得到PAB 的面积，可判定D 正确.【详解】依题意设()11,A x y ，()22,B x y ，由方程28x y =，可得218y x =，则14y x '=，由导数的几何意义知，直线AP 的斜率为114AP k x =，同理直线BP 的斜率为214BP k x =，可得A 处的切线方程为：()11114y y x x x -=-，即()2111184x y x x x -=-，化简可得21148x x y x =-，所以直线AP 的方程为21148x x y x =-，同理可得：直线BP 的方程为22248x x y x =-，联立两直线方程得，2211224848x x x x x x -=-，则()2212121488x x x x x -=-，因为12x x ≠，解得122x xx +=，128x x y =，即1202x x x +=，所以A 正确；若PA 的方程为210x y --=，根据直线AP 的方程为21148x x y x =-，可得12x =，设直线:2AB y kx =+，联立方程组228y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得28160x kx --=，则()22Δ(8)646410k k =-+=+>，且128x x k +=，1216x x =-，所以28x =-，02y =-，所以B 错误；因为21221PA PB x x p k k p p p-⋅=⋅==-，所以0PA PB ⋅= ，故C 正确；取AB 的中点H ，连接PH ，根据中点坐标公式得1212,22x x y y H ++⎛⎫⎝⎭，从而PH 平行y 轴，由前可知12,22x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以221212121212111882222222x x y y S PH x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎛⎫=⋅-=+⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭22121212216x x x x ⎛⎫+=+⋅- ⎪⎝⎭因为128x x k +=，1216x x =-，所以()222212121226432x x x x x x k +=+-=+，12x x -==代入可得()()23222811643221612164k k S k +⎛⎫+=+⋅==+ ⎪⎝⎭，当0k =时，min 16S=，所以D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法：（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．11．AB【分析】据题意，通过赋值得到()()()22024f x f x f ++=，()()()242024f x f x f +++=，即可判断A ；令2021x =，可求出()20220f =，由周期性可判断B ；令0x =，得到()00f =，由周期性()20240f =，可证明()f x 是奇函数，假设函数()1f x -是奇函数，推出矛盾，判断C ；由周期性及对称性可计算D.【详解】对于A ，因为()()()132024f x f x f +++=，所以()()()22024f x f x f ++=，()()()242024f x f x f +++=，所以()()4f x f x +=，故()f x 的最小正周期为4，A 正确；对于B ，因为()()()132024f x f x f +++=，令2021x =，则()()()202220242024f f f +=，所以()20220f =，由A 可知，()()()20224505220f f f =⨯+==，故B 正确；对于C ，因为()()2f x f x -=+，①令0x =，则()()020f f ==，所以()()()2024450600f f f =⨯==，所以()()()220240f x f x f ++==，②由①②，所以()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，若函数()1f x -是奇函数，则()()11f x f x --=--，所以()()()111f x f x f x ⎡⎤--=-+=-+⎣⎦，即()()11f x f x -=+，所以()()()()21111f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=+-=⎣⎦⎣⎦，所以()f x 的最小正周期为2，与选项A 矛盾，故C 错误；对于D ，因为()f x 为奇函数，且1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1124f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为()f x 的最小正周期为4，所以711224f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()2f x f x -=+所以311122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，53312224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以4111357123422222k k f k f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-=⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑1111123414444⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯-+⨯-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，8519111315567822222k k f k f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-=⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑135756782222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111567814444⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，以此类推，所以()20241150615062k k f k =⎛⎫⋅-=⨯-=- ⎪⎝⎭∑，故D 错误.故选：AB【点睛】方法点睛：本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期.以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：设函数()y f x =x ∈R ，0,a a b>≠（1）若()()f x a f x a +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（2）若()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（3）若()()1f x a f x +=，则函数()f x 的周期为2a ；（4）若()()1f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（5）若()()f x a f x b +=+，则函数()f x 的周期为a b -.12．42【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.【详解】对()71x +，有17C r r r T x +=，则有()225525222277777311C C C C 2C 42x x x x x x ⨯+⨯=+==.故答案为：42.13．31,e ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得2ln b a =+，则()2ln 0ab a a a a =+>，构造()2ln g a a a a =+并研究单调性，进而求值域即可.【详解】函数ln y b x =+的导数为1y x '=，设切点为()00,1x ax +，所以01a x =，则01ax =，即01x a=又因为()00,1x ax +在ln y b x =+上，所以001ln ax b x +=+，所以0ln 2b x +=，即ln 2b a -=，所以2ln b a =+，所以()()2ln 2ln 0ab a a a a a a =+=+>，令()2ln g a a a a =+，1()2ln ln 3g a a a a a =++⋅=+'，令()0g a '>，可得31ea >，令()0g a '<，可得310e a <<，所以()g a 在310,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在31,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以min 33333331211231()ln e e ee e e e g a g ⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭.当a 趋近正无穷时，()g a 趋近正无穷.所以ab 的取值范围为：31,e ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,e ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.14．45n ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4555nn ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【分析】根据条件概率的计算以及递推法可得(1)4(2)()5P X n n P X n =+=≥=，根据等比数列的定义可得114()55n P X n -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，即可求解空1，根据错位相减法即可求解空2．【详解】()()1115P X n X n P X =+>===，因为(1)1(1|)()5P X n P X n X n P X n =+=+>=>，所以1(1)()5P X n X n =+=>，将n 换成n 1-，此时1()(1)5P X n P X n ==>-，两式相减可得()()()1111(1)()555P X n P X n P X n P X n P X n =-=+=>-->==，即(1)4(2)()5P X n n P X n =+=≥=，又114(2)(1)(1(1))(1)555P X P X P X P X ==>=⨯-===，所以(1)4()5P X n P X n =+==对任意*N n ∈都成立，此时{()}P X n =是首项为15，公比为45的等比数列，所以114()55n P X n -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，故144()5(1)5555n n P X n P X n ⎛⎫⎛⎫>==+=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11455n n a nP X n n -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭，01211444412(1)55555n n n S n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，12141444412(1)555555n n n S n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，两式作差得1211144441555555n n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦4115445(5)45515n n n n S n n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⨯=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，故答案为：45n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，45(5)5nn ⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：根据1(1)()5P X n P X n =+=>，即可利用数列的递推关系求解{()}P X n =是首项为15，公比为45的等比数列，11455n n a n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，利用错位相减法即可求解和.15．(1)π3(2)19【分析】（1）利用()cos cos C A B =-+，结合和差公式化简，再利用正弦定理边化角可解；（2）根据平面向量线性运算可得2133CD CA CB =+ ，两边平方，然后利用重要不等式即可得解.【详解】（1）由()cos sin cos cos c A B B C c C -=-得()cos cos 2sin cos c A B c C B C -+=，∴()()()cos cos sin cos c A B A B B C --+=，即2sin sin sin cos c A B B C =，由正弦定理边化角得sin sin sin sin sin cos C A B A B C ，因为(),0,π,sin 0,sin 0A B A B ∈>>，所以sin C C =，∴tan C =又∵()0,πC ∈，∴π3C =.（2）∵D 点在线段AB 上，且2BD DA =，()2CD CB CA CD ∴-=- ，∴2133CD CA CB =+ ，∴222419499CD CA CB CA CB =++⋅ ()222222224124112599999999b a ab b a a b a b =++≤+++=+，当且仅当a b =时，等号成立．∴2222222251925259a bCDa b a b+=++≤．即22225CDa b+的最大值为19．16．(1)20t=，能；(2)分布列见解析，()3815E X=.【分析】（1）根据表中数据可知()360100t t+-=，求出t值完善列联表，然后计算2χ，对照临界值表即可得结论；（2）根据古典概型概率公式，结合排列组合求解可得分布列，再由期望公式求解即可.【详解】（1）由题意可知：()360100t t+-=，解得20t=，2×2列联表如下：非常喜欢感觉一般合计男性6040100女性8020100合计14060200()222006020804014060100100χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯220020009.524 6.63514060100100⨯=≈>⨯⨯⨯.根据小概率值0.01α=的独立性检验，认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.（2）设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”的人数为n，则X m n=+，且X的所有可能取值为1，2，3，4.()()3113213253C C C2110,1C C3015P X P m n=======，()()()12113223213232325353C C C C C C1321,10,2C C C C30P X P m n P m n====+===+=，()()()2111122232123232325353C C C C C C C 12232,11,2C C C C 305P X P m n P m n ====+===+==，()()2122323253C C C 3142,2C C 3010P X P m n =======.所以X 的分布列为X1234P 115133025110所以()2131233812343030303015E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17．(1)证明见解析(2)12【分析】（1）根据菱形性质知OB OD =，然后通过证明BD ⊥平面PAC ，可得BD PO ⊥，根据垂直平分线性质可证；（2）令2AB =，先证明OP ⊥平面ABCD ，MN ⊥平面PAC ，然后由13P ABCD ABCD V S OP -=⋅⋅和1123MAPH APH V V S MN -==⋅⋅ 可解.【详解】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OP ，∵BD ∥平面AMHN ，且平面PBD 平面AMHN MN =，BD ⊂平面PBD ，∴BD MN ∥．∵MN PC ⊥，∴BD PC ⊥，∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，OB OD =，∵PC AC C ⋂=，且,PC AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC ，又PO ⊂平面PAC ，∴BD PO ⊥，∴PB PD =．（2）∵PA PC =，且O 为AC 中点，∴OP AC ⊥，由（1）得OP BD ⊥，BD AC O ⋂= ，,BD AC ⊂平面ABCD ，∴OP ⊥平面ABCD ，令2AB =，又四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，AC BD ^，AO ∴1BO =．,,AO BD AO PO PO BD O ⊥⊥⋂= ，且都在平面PBD 内，AO ∴⊥平面PBD ，又PA 与平面PBD 所成角为60°，∴60APO ∠=︒，30PAC ∠=︒，∴13OP AO ==，∴133P ABCD ABCD V S OP -=⋅⋅=又H 为PC 中点，且2PA PC ==，∴112PH PC ==，在△PAC 中，记AH OP G = ，易知点G 在MN 上，且点G 为△PAC 重心，23PG PO =，又∵MN BD ∥，∴2433MN BD ==，由（1）知BD ⊥平面PAC ，∴MN ⊥平面PAC ，又11sin1202122APH S PA PH =⋅⋅︒=⨯⨯=∴1123M APH APH V V S MN -==⋅=∴21399P ABCD V V V -=-=-=，∴1212V V =．18．(1)2214y x -=；(2)（i ）证明见解析；（ii【分析】（1）设(),D x y ，根据向量,PD QD 分别与2a b λ+ ，2a b λ+ 平行列方程组，消去λ可得；（2）（i ）根据点A ，B 关于原点成中心对称，化简AC BC k k ⋅，结合点,A C 在双曲线上，由点差法化简可证；（ii ）分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，联立双曲线方程消去y ，利用韦达定理代入0OA OB ⋅= ，结合直线与圆相切可解.【详解】（1）设(),D x y ，则()1,PD x y =- ，()1,QD x y =+ ，又∵()0,1a = ，()1,0b = ，∴()21,2a b λλ+= ，()2,2a b λλ+= ，由已知得，()()210210x y x y λλ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，消λ得：2214y x -=，∴点D 的轨迹方程为2214y x -=．（2）设直线l 与E 的两个交点为()11,A x y ，()22,B x y ，（i ）∵直线l 过原点，∴点A ，B 关于原点成中心对称．设(),C x y ，∴22121112212111AC BC y y y y y y y y y y k k x x x x x x x x x x ---+-⋅=⋅=⋅=---+-，由2211221414y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得()2222114y y x x -=-，∴2212214AC BC y y k k x x -⋅==-．（ii ）∵N 为AB 的中点，且2AB ON =，∴0OA OB ⋅= .①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x r =±，此时点A ，B 关于x 轴对称，不妨设点A 在第一象限，∴11x y r ==，∵221114x x -=，∴22143x r ==，∴3r =．②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，由2214y kx b y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()()2224240k x kbx b ---+=，∴12224kb x x k +=-，()212244b x x k -+=-，∵0OA OB ⋅= ，∴12120x x y y +=，即()()22121210k x x kb x x b ++++=，整理得：22344b k =+．又∵l 与圆相切，∴r =综上可得3r =，∴圆O19．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，利用零点存在性定理判断()f x '存在零点，利用隐零点方程代入()02f x +化简，通过配方即可得证；（2）令()()ln 1e 0x ax a x +--=，同构函数()e x g x x =+，根据单调性转化为()ln x ax =的根，构造()()ln h x x ax =-，利用导数判断单调性，结合零点存在性定理判断零点范围，得11e x ax =，1>0x ,将()1ln 132cos x ax x ++=+转化为()ln 1cos 10t t +-+>.记()()ln 1cos 1t t t ϕ=+-+（1t >-），利用导数判断t 的范围，设()()e ln 1cos 2x m x x x =-++-，0x >，利用e 1,sin x x x x >+>判断()m x '的符号，由单调性可证.【详解】（1）当1a =时，()ln e x f x x =-，()0,x ∞∈+，∴()1e x f x x='-，易知()f x '在()0,∞+上单调递减，且1212e 02f ⎛⎫=-> ⎪'⎝⎭，()11e 0f ='-<，则01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得当()00,x x ∈时，()0f x '>，当()0,x x ∞∈+时，()0f x '<，且()00f x '=，即001e x x =，即00ln x x =-，∴()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减，∴()f x 存在唯一的极大值点0x ，而()()02000000112ln e 220x x f x x x x x -+=-+=--+=-<，∴()02f x <-．（2）令()()ln 1e 0x ax a x +--=，得()ln e x ax ax x +=+，设()e xg x x =+，显然()g x 在定义域上单调递增，而()()()ln ln eln ax ax ax ax +=+，则有()()()ln g ax g x =，∴()ln x ax =．依题意，方程()ln x ax =有两个不等的实根，即函数()()ln h x x ax =-在定义域上有两个零点，显然0a ≠，当a<0时，()h x 的定义域为(),0∞-，()h x 在(),0∞-上单调递增，()h x 最多一个零点，不合题意，∴0a >，()h x 的定义域为()0,∞+，∴求导，得()11h x x'=-，当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，∴()h x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，()()min 11ln h x h a ==-，要使()h x 有两个零点，必有1ln 0a -<，即e a >，此时110h a a⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即()h x 在()0,1有一个零点，()223ln h a a a =-，令()23ln u x x x =-，e x >，求导得()23u x x x ='-，显然()u x '在()e,∞+上单调递增，∴()()3e 2e 0eu x u >=-'>'，∴()u x 在()e,∞+上单调递增，()()2e e 30u x u >=->，∴()20h a >，则函数()h x 在()1,∞+上存在唯一零点．由1x 为()ln x ax =的两个根中较小的根，得11e x ax =，1>0x ，又由已知得()12ln 1cos 3ax t t =+-+，从而()12e ln 1cos 3x t t =+-+，∵1>0x ，∴12e 2x >，∴()ln 1cos 10t t +-+>．设()()ln 1cos 1t t t ϕ=+-+（1t >-），当0t >时，()ln 10t +>，1cos 1t -≤≤，则()0t ϕ>符合题意，当10t -<≤时，()1sin 01t t tϕ+'=>+，则()t ϕ在(]1,0-上单调递增，∴()()00t ϕϕ<=不合题意，∴0t >∴设()()e ln 1cos 2x m x x x =-++-，0x >．求导，得()1e sin 1x m x x x=--+'，当0x >时，令()e 1x p x x =--，()sin q x x x =-，则()e 10x p x ='->，()1cos 0q x x ='-≥，∴()p x ，()q x 在()0,∞+上单调递增，从而()()00p x p >=，()()00q x q >=，即e 1x x >+，sin x x >，从而()11110111x m x x x x x x>+--=-=++'>+，即()m x 在()0,∞+单调递增，则()()00m x m >=，于是()e 1ln 1cos 3x x x +>+-+，即()1e 1ln 1cos 32e x t t t +>+-+=，即1e 12e x t +>．【点睛】关键点睛：本题关键在于利用零点存在性定理判断零点范围，进而将条件方程转化为不等式，构造函数，利用导数讨论t 的范围，再通过e 1,sin x x x x >+>判断()()e ln 1cos 2x m x x x =-++-的单调性，利用单调性即可得证.。
