平遥中学2018—2019学年度第二学期高一期末考试数 学 试 题本试卷满分：150分 考试时间:120分钟一. 选择题：(本大题共12小题，每小题5分)1.已知向量a ，b 满足||1a =，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=A ．4B ．3C ．2D ．02.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A．1)m B．1)m C．1)m D．1)m3．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π4．等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =A ．()1n n +B ．()1n n -C ．()12n n + D ．()12n n -5.若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥ 则2z x y =-的最小值等于A ．52-B ．2-C ．32- D ．2 6.若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 7.已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为 A ．158或5 B ．3116或5 C ．3116 D ．1588.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记0.5log 3a =，()2log 5b f =，()2c f m =则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a << 9.若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈ D ．()212k x k Z ππ=+∈ 10.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<11.在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =A B C ．- D ．-12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二. 填空题 ：本大题共4小题，每小题5分.13.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 14.函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为________．15.如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ．16.设0,0,25x y x y >>+=的最小值为 .三. 解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．18.ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，． （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值．19．设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，若()02Af =，1a =，求△ABC 面积的最大值．20.已知函数()4tan cos cos()3f x x x x π=--(Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期； (Ⅱ)讨论()f x 在区间[,44ππ-]上的单调性． 21.已知等比数列1{}a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为22n n +． (1)求q 的值；(2)求数列{}n b 的通项公式．22．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%(0100)x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30,030,()1800290,30100x f x x x x <⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩≤（单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．平遥中学2018—2019学年度第二学期高一年级期末考试数学试题 参考答案与评分标准1--5BCCAA 6--10DCBBA 11--12CB13 . 4 14 3个 15.2 16.34 17.【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．由17a =-得d =2．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--．所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为−16．18．【解析】（1）c b a ，，成等差数列，2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）c b a ，，成等比数列，22b ac ∴=由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥= 222a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立）2212a c ac+∴≥（当且仅当a c =等号成立） 2211112222a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）即1cos 2B ≥，所以B cos 的最小值为1219．【解析】（Ⅰ）由题意1cos(2)12()sin 222x f x x π++=-x x 2sin 21212sin 21+-= 212sin -=x ．由ππππk x k 22222+≤≤+-(Z k ∈)，可得ππππk x k +≤≤+-44(Z k ∈)；由ππππk x k 223222+≤≤+(Z k ∈)，得ππππk x k +≤≤+434(Z k ∈)； 所以)(x f 的单调递增区间是]4,4[ππππk k ++-（Z k ∈）；单调递减区间是]43,4[ππππk k ++（Z k ∈）．（Ⅱ）1()sin 022A f A =-=，1sin 2A ∴=，由题意A 是锐角，所以 cos A =A bc c b a cos 2222-+=，可得2212b c bc +=+≥32321+=-≤∴bc ，且当c b =时成立．12sin 24bc A +∴≤．ABC ∆∴面积最大值为432+． 20.【解析】(Ⅰ)()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈．()4tan cos cos()3f x x x x π=-4sin cos()3x x π=--14sin (cos )2x x x =+-22sin cos x x x =+-sin 2cos2)x x =+--sin 2x x =-2sin(2)3x π=-所以()f x 的最小正周期22T ππ==． ()II 令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减． 21．【解析】(1)由42a +是3a ，5a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=，解得48a =．由3520a a +=得18()20q q+=，因为1q >，所以2q =． (2)设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S ．由11,1,2n n n S n c S S n -=⎧=⎨-⎩≥，解得41n c n =-．由(1)可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)()2n n n b b n ---=-⋅，2n ≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-+⋅⋅⋅+-+-23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+．设221113711()(45)()222n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，2n ≥，2311111137()11()(45)()22222n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅，因此2114(43)()2n n T n -=--⋅，2n ≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=--⋅．22.【解析】(1)当030x <≤时，()3040f x =<恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间； 当30100x <<时，若40()f x <，即180029040x x+->，解得20x <（舍）或45x >； ∴当45100x <<时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； (2)设该地上班族总人数为n ，则自驾人数为%n x ⋅，乘公交人数为(1%)n x ⋅-．因此人均通勤时间30%40(1%),030()1800(290)%40(1%),30100n x n x x ng x x n x n x x x n ⋅⋅+⋅⋅-⎧<⎪⎪=⎨+-⋅⋅+⋅⋅-⎪<<⎪⎩≤， 整理得：240,0010()1(32.5)36.875,3010050x x g x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤3，则当(0,30](30,32.5]x ∈，即(0,32.5]x ∈时，()g x 单调递减；当(32.5,100)x ∈时，()g x 单调递增．实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短． 适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．。
山西省晋中市平遥县第二中学2018-2019学年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75参考答案：D【考点】模拟方法估计概率．【专题】计算题；概率与统计．【分析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，∴所求概率为0.75．故选：D．【点评】本题考查模拟方法估计概率、随机数的含义与应用，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．2. 化简所得结果是（）A B C D参考答案：C略3. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是A．B． C．D．参考答案：C4. 将函数（其中）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则不可能等于（）A．0 B．1 C. D．参考答案：D由题意，所以，因此，从而，可知不可能等于．5. 函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（）A. （2，+∞）B. （1，2）C. （0，1）D. （﹣1，0）参考答案：B【分析】求出，即得解.【详解】由题得，所以，因为函数是R上的连续函数，故选：B【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6. 设实数x1、x2是函数f(x)=|lnx|﹣()x的两个零点，则（）A．x1x2＜0 B．0＜x1x2＜1 C．x1x2=1 D．x1x2＞1参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】能够分析出f（x）的零点便是函数y=|lnx|和函数y=（）x交点的横坐标，从而可画出这两个函数图象，由图象懒虫不等式组，然后求解即可．【解答】解：令f（x）=0，∴|lnx|=（）x；∴函数f（x）的零点便是上面方程的解，即是函数y=|lnx|和函数y=（）x的交点，画出这两个函数图象如下：由图看出＜﹣lnx1＜1，﹣1＜lnx1＜0，0＜lnx2＜；∴﹣1＜lnx1+lnx2＜0；∴﹣1＜lnx1x2＜0；∴0＜＜x1x2＜1故选：B．7. 一个三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．36πD．64π参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：所以球的直径是4，半径为2，球的表面积：16π故选A．8. 若120°的终边上有一点(－1,a),则a =（）A．B．C．D．参考答案：D9. 设f（x）是偶函数且在（﹣∞，0）上是减函数，f（﹣1）=0则不等式xf（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据偶函数的性质确定函数在（0，∞）上是增函数，再将不等式等价变形，利用函数的单调性，即可求解不等式．【解答】解：∵f（x）是偶函数且在（﹣∞，0）上是减函数，∴函数在（0，+∞）上是增函数，∵f（﹣1）=0，∴f（1）=0，则不等式xf（x）＞0等价于或，解得x＞1或﹣1＜x＜0，故不等式xf（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．10. 在R上定义运算：．若不等式的解集是(2,3)，则()A．1 B．2 C．4 D．5参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 .参考答案：略12. 在△中，角所对的边分别为，，，，则.参考答案：；略13. 20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，已知里氏震级与地震释放的能量的关系为。
平遥中学2018-2019学年度第二学期高一期中考试数 学 试 题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 与终边相同的角是A.B. C. D.2．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )A ．2 B. 2 C ．1 D.223．已知316cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin πα的值为 A. 31B.31-C.322 D.322- 4．设a ，b 是两个非零向量，下列结论一定成立的是( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 5．九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢，弧田如图由圆弧和其所对弦围城，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是A. 16平方米B. 18平方米C. 20平方米D. 25平方米6．设02θπ≤<，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量12PP 长度的最大值是( )2332 D.37．已知平面向量(1,3)a =-，(4,2)b =-，a b λ+与a 垂直，则λ＝( ) A ．1- B ．1 C ．2- D ．28．已知[])sin(cos )(,,0x x f x =∈π的最大值为a ，最小值为b ，)cos(sin )(x x g =的最大值为c ，最小值为d ，则 A. b<d<a<c B. d<b<c<aC. b<d<c<aD. d<b<a<c9．设函数4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f 其中a ，b ，，为非零实数，若，则的值是A. 5B. 3C. 8D. 不能确定10. 下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ） A ．sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭11.要得到函数的图象，需将函数的图象上所有的点的变化正确的是A. 横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π个单位长度B. 横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度C. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4π个单位长度D. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动8π个单位长度12．关于函数)32sin(4)(π+=x x f 有如下命题，其中正确的个数有的表达式可改写为是以为最小正周期的周期函数；的图象关于点对称；的图象关于直线对称．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上 13．在内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是______．14．．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 15.函数xy -=11的图象与函数)42(sin 2≤≤-=x x y π的横坐标之和等于______． 16． 设,D E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD =12AB ，BE =23BC ，若12DE AB AC λλ=+（1λ，2λ为实数），则21λλ+的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，（17题为10分，其余各题均为12分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
