2021年中考数学专题 中考一轮复习之《二次函数》( 含部分答案)
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中考数学一轮复习之《二次函数》
课堂导入
同学们，你们去张家界旅游过吗？去参观过矮寨大桥吗？
矮寨特大悬索桥，全长约1000m，创造了四项世界第一，堪称桥梁建设史上的奇迹. 如图，这是一张设计图纸，悬索长度1000m，高度90m，悬索的线型可以近似看作是我们学过的二次函数图像，你能求出它的解析式吗？
二次函数是我们刚刚学过的内容，让我们一起来复习下相关的知识吧！
知识详解1-二 次函数图像与性质
二次函数：一般地，形如(a、b、c是常数，a≠0)的函数， 叫做二次函数.
二次函数的图像：是一条抛物线，是轴对称图形，
（1）对称轴是，
（2）顶点是， 90 1000 （3）与y轴交点为（0，c），
（4）a>0开口向上有最小值，a<0开口向下有最大值.
二次函数的图像与性质：
函数
图像 a>0 a<0
开口方向 上 下
对称轴 直线
顶点坐标
最值 当时，y有最小值 当时，y有最大值
增减性 在对称轴左侧，即当 y随着x增大而减小 y随着x增大而增大
在对称轴右侧，即当 y随着x增大而增大 y随着x增大而减小
y
x O 典例精讲1
【例题1】二次函数y=x2-ax+b的图象如图所示,对称轴为直线x=2,下列结论不正确的是( )
A. a=4 B. 当b=-4时，顶点的坐标为(2,-8)
C. 当x=-1时，b>-5 D. 当x>3时，y随x的增大而增大
【练习1-1】二次函数，下列描述正确的是 ( )
A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 经过原点 D. 在对称轴右侧部分是下降的
【例题2】已知点A、B在抛物线上，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【练习2-1】已知点A、B、C是抛物线上的点，则( )
A. B. C. D.
知识详解2-二次函数图像的平移、轴对称、中心对称
平移口诀：上加下减，左加右减（看变化量）.
函数图像变换： （1）先将函数写成顶点式；
（2）将顶点进行变换，得到变换后顶点坐标；
（3）得出变换后的a的值；
（4）用顶点式写出表达式；
（5）化成一般式.
典例精讲2
【例题1】二次函数可以由向______（填“左”“右”）平移______单位，再向（填“上”“下”）平移_______单位得到.
【练习1-1】将二次函数向左平移4单位，再向下平移2单位得到的表达式为_________________________.
【例题2】写出二次函数关于x轴对称的表达式_____________________.
【练习2-1】写出二次函数关于y轴对称的表达式_____________________.
【练习2-2】写出二次函数关于原点对称的表达式_____________________.
知识详解3-待定系数法求解二次函数表达式 一般式：.
（1）已知三点坐标可以用一般式；
（2）顶点坐标；
（3）对称轴；
顶点式： .
（1）若已知顶点为（h，k），则可以设表达式为；
（2）顶点坐标；
（3）对称轴；
交点式（两根式）：.
（1）若已知图像与轴的交点横坐标为、，则可设表达式为；
（2）顶点横坐标；
（3）对称轴；
典例精讲3
【例题1】二次函数顶点为A(-1,4),且过点B(2,-5). 则函数表达式为_________________.
【练习1-1】二次函数与x轴交点横坐标为-1、2，与y轴交点纵坐标为1，则函数表达式为_______________________.
【练习1-2】二次函数部分点坐标如下表，则函数的对称轴是____________，当x=1时，y的值为_________.
x …
-7
-6
-5
-4
-3
-2
…
y … -27 -13 -3 3 5 3 …
知识详解4-二次函数图像与a、b、c间的关系
a、b、c的作用：
a 决定抛物线的开口方向 a>0，开口向上
a<0，开口向下
决定开口大小 越大，开口越小
越小，开口越大
b、a 决定对称轴位置 b=0，对称轴为y轴
（a、b同号），对称轴在y轴左侧
（a、b异号），对称轴在y轴右侧 c 决定抛物线与y轴交点的位置 c=0，经过原点
c>0，与y轴正半轴相交
c<0，与y轴负半轴相交
决定抛物线与x轴交点的个数
，与x轴有唯一的交点（即顶点）
，与x轴有两个不同的交点
，与x轴有没有交点
特殊关系 当x=1时，y=a+b+c
当x=-1时，y=a-b+c
若a+b+c>0，则当x=1时，y>0
若a-b+c>0，则当x=-1时，y>0
典例精讲4
【例题1】二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是( )
A. c<0 B. b2-4ac<0 C. a-b+c<0 D. 图象的对称轴是直线x=3
【练习1-1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A. abc<0 B. b2-4ac<0 C. a-b+c<0 D. 2a+b=0
知识详解5-二次函数与方程、不等式
二次函数与一元二次方程：二次函数与x轴交点横坐标可以看成当y=0时，方程的解，若方程有解，则函数与x轴有交点，若方程无解，则函数与x轴无交点.
判别式 二次函数 一元二次方程 图像
与x轴交点的个数
实数根个数
a>0
2个 2个不相等实数根
a<0
a>0
1个 2个相等实数根
a<0
a>0
没有 没有实数根
a<0
二次函数与不等式：
判别式 二次函数 图像 不等式
解集
不等式
解集
a>0
或
a<0 或
a>0
a<0
a>0 全体实数 无解
a<0 无解 全体实数
典例精讲5
【例题1】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则关于x的方程的解是__________________.
【练习1-1】二次函数的图象如图所示,则 有实数根的条件是____________.
【例题2】若二次函数的图象如下图所示,则不等式的解集为__________.
【练习2-1】若二次函数的图象如上图所示,则不等式的解集为__________.
能力提升
1、已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，；⑤，正确的是 （填序号）． 2、已知二次函数（为常数）.
（1）求证：不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点；
（2）当取什么值时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方？
4、平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．
课后作业 1、抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是 ( )
A. 直线x=2 B. 直线x=-2 C. 直线x=1 D. 直线x=-1
2、将抛物线y=(x-3)2-2向左平移
个单位后经过点A(2,2)
3、抛物线C:y=12(x-1)2-1,顶点为D,将C沿水平方向向右(或向左)平移m个单位,得到抛物线C1,顶点为D1,C与C1相交于点Q,若∠DQD1=60°,则m等于 ( )
A. ±4√3 B. ±2√3 C. -2或2√3 D. -4或4√3
4、已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
5、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）
