2020-2021中考数学专题复习二次函数的综合题附详细答案
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2020-2021中考数学专题复习二次函数的综合题附详细答案
一、二次函数
1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC＝ED，求点E的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E点坐标为（1132，﹣1132）；（3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；
（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；
（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333yxxyx，求解即可得出点Q的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），
∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1）， ∵x12+x22﹣x1x2＝13，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，
∴m2+3（m+1）＝13，
即m2+3m﹣10＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣5．
∵OA＜OB，
∴抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴m＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接BE、OE．
∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，
∴BE＝12CD＝CE．
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵C（0，﹣3），
∴OB＝OC，
又∵BE＝CE，OE＝OE，
∴△OBE≌△OCE（SSS），
∴∠BOE＝∠COE，
∴点E在第四象限的角平分线上，
设E点坐标为（m，﹣m），将E（m，﹣m）代入y＝x2﹣2x﹣3，
得m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝1132，
∵点E在第四象限，
∴E点坐标为（1132，﹣1132）；
（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则S△ACQ＝S△ACF．
∵S△ACQ＝2S△AOC，
∴S△ACF＝2S△AOC，
∴AF＝2OA＝2，
∴F（1，0）．
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．
∵AC∥FQ，
∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，
将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，
∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．
联立22333yxxyx，
解得11312xy，2223xy，
∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
2．如图，已知抛物线2yaxbxc经过A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2yx2x3.
（2）3210.
（3）①2Sm4m3.
②当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.
（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.
（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，2m2m3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可.
【详解】
解：（1）∵抛物线2yaxbxc经过A（－3，0），B（1，0），
∴可设抛物线交点式为yax3x1.
又∵抛物线2yaxbxc经过C（0，3），∴a1.
∴抛物线的解析式为：yx3x1，即2yx2x3.
（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，且BC是定值.
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小.
∵点A、点B关于对称轴I对称，
∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点.
∵AP=BP，∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.
∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=32，BC=10.
∴△PBC的周长最小是：3210. （3）①∵抛物线2yx2x3顶点D的坐标为（﹣1，4），A（﹣3，0），
∴直线AD的解析式为y=2x+6
∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，2m2m3）
∴22EFm2m32m6m4m3.
∴22DEFAEF1111SSSEFGHEFAGEFAHm4m32m4m32222.
∴S与m的函数关系式为2Sm4m3.
②22Sm4m3m21，
∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.
3．对于某一函数给出如下定义：若存在实数m，当其自变量的值为m时，其函数值等于﹣m，则称﹣m为这个函数的反向值．在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n称为这个函数的反向距离．特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n为零．
例如，图中的函数有4，﹣1两个反向值，其反向距离n等于5．
（1）分别判断函数y＝﹣x+1，y＝1x，y＝x2有没有反向值？如果有，直接写出其反向距离；
（2）对于函数y＝x2﹣b2x，
①若其反向距离为零，求b的值；
②若﹣1≤b≤3，求其反向距离n的取值范围；
（3）若函数y＝223()3()xxxmxxxm请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出相应m的取值范围．
【答案】（1）y＝−1x有反向值，反向距离为2；y＝x2有反向值，反向距离是1；（2）①b＝±1；②0≤n≤8；（3）当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，当﹣2＜m≤2时，n＝4．
【解析】
【分析】
(1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值，有反向值的可以求出相应的反向距离；
(2)①根据题意可以求得相应的b的值；
②根据题意和b的取值范围可以求得相应的n的取值范围；
(3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答本题．
【详解】
(1)由题意可得，
当﹣m＝﹣m+1时，该方程无解，故函数y＝﹣x+1没有反向值，
当﹣m＝1m时，m＝±1，∴n＝1﹣(﹣1)＝2，故y＝1x有反向值，反向距离为2，
当﹣m＝m2，得m＝0或m＝﹣1，∴n＝0﹣(﹣1)＝1，故y＝x2有反向值，反向距离是1；
(2)①令﹣m＝m2﹣b2m，
解得，m＝0或m＝b2﹣1，
∵反向距离为零，
∴|b2﹣1﹣0|＝0，
解得，b＝±1；
②令﹣m＝m2﹣b2m，
解得，m＝0或m＝b2﹣1，
∴n＝|b2﹣1﹣0|＝|b2﹣1|，
∵﹣1≤b≤3，
∴0≤n≤8；
(3)∵y＝223()3()xxxmxxxm，
∴当x≥m时，
﹣m＝m2﹣3m，得m＝0或m＝2，
∴n＝2﹣0＝2，
∴m＞2或m≤﹣2；
当x＜m时，
﹣m＝﹣m2﹣3m，
解得，m＝0或m＝﹣4，
∴n＝0﹣(﹣4)＝4，
∴﹣2＜m≤2，
由上可得，当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，
当﹣2＜m≤2时，n＝4．
【点睛】
本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答相关问题．
4．如图1，二次函数234yaxaxa的图像与x轴交于,AB两点(点A在点B的左
