中考数学复习二次函数专项综合练附答案
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一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：2ymx2mx3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
【答案】（1）A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．S△PBC最大值为2716
（3）2m2或1m时，△BDM为直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）在2ymx2mx3m中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值．
【详解】
解：（1）令y=0，则2mx2mx3m0，
∵m＜0，∴2x2x30，解得：1x1，2x3．
∴A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C1的表达式为yax1x3（a0）， 把C（0，32）代入可得，12a．
∴Ｃ1的表达式为：1yx1x32，即213yxx22．
设P（p，213pp22），
∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=23327p4216（）．
∵3a4<0，∴当3p2时,S△PBC最大值为2716．
（3）由C2可知： B（3，0），D（0，3m），M（1，4m），
∴BD2=29m9，BM2=216m4，DM2=2m1．
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即216m4＋2m1=29m9，
解得：12m2,22m2(舍去)．
当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2，即29m9＋2m1=216m4，
解得：1m1，2m1(舍去) ．
综上所述，2m2或1m时，△BDM为直角三角形．
2．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元．
（1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；
（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣10x+1000；w=﹣10x2+1300x﹣30000
（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．
【解析】
【分析】
（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y•（x﹣30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题.
【详解】
解：
（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000 获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000
（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46
w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65
∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大
∴当x＝46时，w最大值＝8640元
即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.
3．已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】（1）223yxx；（2）当PAPC的值最小时，点P的坐标为1,2；（3）点M的坐标为1,1、1,2、81,3或21,3.
【解析】
【分析】
1由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
2连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PAPC取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
3设点M的坐标为1,m，则22CM(10)(m3)，22AC[01](30)10，22AM[11](m0)，分AMC90、ACM90和CAM90三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标．
【详解】
解：1将1,0A、0,3C代入2yxbxc中，
得：103bcc，解得：23bc，
抛物线的解析式为223yxx．
2连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PAPC取最小值，如图1所示．
当0y时，有2230xx，
解得：11x，23x，
点B的坐标为3,0．
抛物线的解析式为2223(1)4yxxx，
抛物线的对称轴为直线1x．
设直线BC的解析式为0ykxdk，
将3,0B、0,3C代入ykxd中，
得：303kdd，解得：13kd，
直线BC的解析式为3yx．
当1x时，32yx，
当PAPC的值最小时，点P的坐标为1,2．
3设点M的坐标为1,m，
则22(10)(3)CMm，22[01](30)10AC，22[11](0)AMm．
分三种情况考虑：
①当90AMC时，有222ACAMCM，即22101(3)4mm，
解得：11m，22m，
点M的坐标为1,1或1,2； ②当90ACM时，有222AMACCM，即224101(3)mm，
解得：83m，
点M的坐标为81,3；
③当90CAM时，有222CMAMAC，即221(3)410mm，
解得：23m，
点M的坐标为21,.3
综上所述：当MAC是直角三角形时，点M的坐标为1,1、1,2、81,3或21,.3
【点睛】
本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P的位置；3分AMC90、ACM90和CAM90三种情况，列出关于m的方程．
4．如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）详见解析；（3）E（5524,）；（4）符合条件的点F的坐标（1，7）或（1，﹣7）或（1，2+7）或（1，2﹣7）．
【解析】
【分析】
（1）将B（2，0）代入设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，求得a，将B（2，0）代入y＝kx+2，求得k；
（2）分别求出AB2、BC2、AC2，根据勾股定理逆定理即可证明；
（3）作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．根据对称与三角形全等，求得A'（3，1），然后求出A'C解析式，与抛物线解析式联立，求得点E坐标；
（4）设F（1，m），分三种情况讨论：①当BF＝BD时，2122m，②当DF＝BD时，24522mm，③当BF＝DF时，22145mmm，m＝1，然后代入即可．
【详解】
（1）设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，
将B（2，0）代入，
0＝a（2﹣1）2﹣1，
∴a＝1，
抛物线解析式：y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，
将B（2，0）代入y＝kx+2，
0＝2k+2，
k＝﹣1，
∴直线BC的解析式：y＝﹣x+2；
（2）联立222yxyxx，
解得1113xy，2220xy，
∴C（﹣1，3），
∵A（1，﹣1），B（2，0），
∴AB2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，
