中考数学复习二次函数专项综合练含详细答案

中考数学复习二次函数专项综合练含详细答案

一、二次函数

1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；

（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为 ：P1（3+52，152），P2（352-，1+52），P3（5+52，1+52），P4（552，152）.

【解析】

分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；

（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；

（3）存在四种情况：

如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．

详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，

由对称性得：D（3，0），

设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），

把A（0，3）代入得：3=3a，

a=1，

∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；

（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，

∴∠AOE=45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，

∴AE=OA=3，

∴E（3，3），

易得OE的解析式为：y=x，

过P作PG∥y轴，交OE于点G，

∴G（m，m），

∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，

∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，

=12×3×3+12PG•AE，

=92+12×3×（-m2+5m-3），

=-32m2+152m， =32（m-52）2+758，

∵-32＜0，

∴当m=52时，S有最大值是758；

（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，

易得△OMP≌△PNF，

∴OM=PN，

∵P（m，m2-4m+3），

则-m2+4m-3=2-m，

解得：m=5+52或552，

∴P的坐标为（5+52，1+52）或（552，152）；

如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，

∴PN=FM， 则-m2+4m-3=m-2，

解得：x=3+52或352-；

P的坐标为（3+52，152）或（352-，1+52）；

综上所述，点P的坐标是：（5+52，1+52）或（552，152）或（3+52，152）或（352-，1+52）．

点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．

2．如图，已知顶点为(0,3)C的抛物线2(0)yaxba与x轴交于A，B两点，直线yxm过顶点C和点B．

（1）求m的值；

（2）求函数2(0)yaxba的解析式；

（3）抛物线上是否存在点M，使得15MCB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）﹣3；（2）y13x2﹣3；（3）M的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．

【解析】

【分析】

（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；

（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；

（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．

【详解】

（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：

m＝﹣3；

（2）将y＝0代入y＝x﹣3得： x＝3，

所以点B的坐标为（3，0），

将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：

390bab，

解得：133ab，

所以二次函数的解析式为：y13x2﹣3；

（3）存在，分以下两种情况：

①若M在B上方，设MC交x轴于点D，

则∠ODC＝45°+15°＝60°，

∴OD＝OC•tan30°3，

设DC为y＝kx﹣3，代入（3，0），可得：k3，

联立两个方程可得：233133yxyx，

解得：121203336xxyy，，

所以M1（33，6）；

②若M在B下方，设MC交x轴于点E，

则∠OEC＝45°-15°＝30°，

∴OE＝OC•tan60°＝33，

设EC为y＝kx﹣3，代入（33，0）可得：k33， 联立两个方程可得：2333133yxyx，

解得：12120332xxyy，，

所以M2（3，﹣2）．

综上所述M的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．

【点睛】

此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．

3．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；

（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣3x。

（2）点B的坐标为：（4，4）。

（3）存在；理由见解析；

【解析】

【分析】

（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。

（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。 【详解】

解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。

∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。

（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，

令x2﹣3x=0，解得：x=0或3。∴AO=3。

∵△AOB的面积等于6，∴12AO•BD=6。∴BD=4。

∵点B在函数y=x2﹣3x的图象上，

∴4=x2﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。

又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，

∴x轴下方不存在B点。

∴点B的坐标为：（4，4）。

（3）存在。

∵点B的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO4442。

若∠POB=90°，则∠POD=45°。

设P点坐标为（x，x2﹣3x）。

∴2xx3x。

若2xx3x，解得x="4" 或x=0（舍去）。此时不存在点P（与点B重合）。

若2xx3x，解得x="2" 或x=0（舍去）。

当x=2时，x2﹣3x=﹣2。

∴点P 的坐标为（2，﹣2）。

∴22OP2222。

∵∠POB=90°，∴△POB的面积为：12PO•BO=12×42×22=8。

4．如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC的函数表达式；

（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．

①当线段PQ=34AB时，求tan∠CED的值；

②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3．（2）直线BC的函数表达式为y=x－3．（3）①23．①P1（1－2，－2），P2（1－62，74）．

【解析】

【分析】

已知C点的坐标，即知道OC的长，可在直角三角形BOC中根据∠BCO的正切值求出OB的长，即可得出B点的坐标．已知了△AOC和△BOC的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO与OB的比．由此可求出OA的长，也就求出了A点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．

【详解】

（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴− 221bba＝＝1

∴b=-2

∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），

∴c=-3，

∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3；

（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，

当y=0时，x2-2x-3=0．

∴x1=-1，x2=3．

∵A点在B点左侧，

∴A（-1，0），B（3，0）

设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，

则033kmm＝＝，