中考数学专题复习分类练习 二次函数综合解答题附答案

中考数学专题复习分类练习 二次函数综合解答题附答案

一、二次函数

1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；

（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．

【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），

将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，

解得：a=﹣12，

所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；

（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB解析式为y=kx+b，

将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：

660bkb，

解得：16kb，

则直线AB解析式为y=﹣x+6，

设P（t，﹣12t2+2t+6）其中0＜t＜6，

则N（t，﹣t+6），

∴PN=PM﹣MN=﹣12t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t2+2t+6+t﹣6=﹣12t2+3t，

∴S△PAB=S△PAN+S△PBN

=12PN•AG+12PN•BM

=12PN•（AG+BM）

=12PN•OB

=12×（﹣12t2+3t）×6

=﹣32t2+9t

=﹣32（t﹣3）2+272，

∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；

（3）如图2，

∵PH⊥OB于H，

∴∠DHB=∠AOB=90°，

∴DH∥AO，

∵OA=OB=6，

∴∠BDH=∠BAO=45°，

∵PE∥x轴、PD⊥x轴，

∴∠DPE=90°，

若△PDE为等腰直角三角形，

则∠EDP=45°，

∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，

则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，

解得：x=0（舍）或x=4，

即点P（4，6）．

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

2．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4

m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为172m.

（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是43 m．

【解析】 【详解】

试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．

试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2BC在抛物线上

所以41719326cbc，解得24bc，所以21246yxx

所以，当62bxa时，10ty≦

答：21246yxx，拱顶D到地面OA的距离为10米

（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））

当x=2或x=10时，2263y，所以可以通过

（3）令8y，即212486xx，可得212240xx，解得12623,623xx

1243xx

答：两排灯的水平距离最小是43

考点：二次函数的实际应用．

3．如图，在平面直角坐标系中，直线483yx与x轴，y轴分别交于点A、B，抛物线24yaxaxc经过点A和点B，与x轴的另一个交点为C，动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向O点运动，同时动点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向A点运动，设运动的时间为t秒，0﹤t﹤5.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似；

（3）当△ADE为等腰三角形时，求t的值；

（4）抛物线上是否存在一点F，使得以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）抛物线的解析式为228833yxx；

（2）t的值为3011或5013；

（3）t的值为103或6017或258；

（4）符合条件的点F存在，共有两个1F（4，8），2(227F，-8）.

【解析】

（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE∽△AOB和△AED∽△AOB即可求出t的值；（3）过E作EH⊥x轴于点H，过D作DM⊥AB于点M即可求出t的值；（4）分当AD为边时，当AD为对角线时符合条件的点F的坐标.

解：(1)A（6,0），B（0,8），依题意知36240{8aacc，解得2{38ac，

∴228833yxx.

(2)∵ A（6,0），B（0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t，AE=10-2t，

①当△ADE∽△AOB时，ADAEAOAB，∴102610tt，∴3011t；

②当△AED∽△AOB时，AEADAOAB，∴102610tt，∴5013t；

综上所述，t的值为3011或5013.

(3) ①当AD=AE时，t=10-2t，∴103t；

②当AE=DE时，过E作EH⊥x轴于点H，则AD=2AH，由△AEH∽△ABO得，AH=31025t，∴61025tt，∴6017t；

③当AD=DE时，过D作DM⊥AB于点M，则AE=2AM，由△AMD∽△AOB得，AM=35t，∴61025tt，∴258t； 综上所述，t的值为103或6017或258.

(4) ①当AD为边时，则BF∥x轴，∴8FByy，求得x=4，∴F（4，8）；

②当AD为对角线时，则8FByy，∴2288833xx，解得227x，∵x﹥0，∴227x，∴227,8.

综上所述，符合条件的点F存在，共有两个1F（4，8），2(227F，-8）.

“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．

4．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

(4)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，53）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）638，315,24E .

【解析】

【分析】

（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：

①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．

②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．

③当CM＝CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；

（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；

（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．

【详解】

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），

∴309330abab，

解得：12ab．

∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如答图1，

∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，

∴其对称轴为x＝22＝﹣1，

∴设P点坐标为（﹣1，a），当x＝0时，y＝3，

∴C（0，3），M（﹣1，0）

∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝53，