§5.18 解斜三角形应用举例（一）
教学目标：1．掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法；
2．会利用数学建模思想，解决生产实践中的有关问题．
教学重点：利用正弦定理、余弦定理、数学建模思想解决生产实践中的有关问题．
教学难点：1．根据给定的条件，确定解三角形的方法；
2．理解有关名词、术语，如：坡角、俯角、仰角、方位角等．
教学过程
知识平台
1．一斜坡长1km，其坡角为30，则斜坡的铅直高度为 ．
2．在楼顶测得距楼底水平距离为3米处的一物体的俯角为60，则楼高为 米．
3．某人朝正东方向走xkm后，向右转150，然后朝新方向走3km后，结果他离出发点恰好为3km，那么x的值为 km．
4．如图，一艘船以30n mile/h的速度向正北航行， 在A处看灯塔S在船的北偏东30，30分钟后航
行到B处，在B处看灯塔S在船的东偏南60，
则SB为 n mile．
【小结】
正余弦定理在航海中的应用解决步骤：分析─→建模─→求解─→检验． 东北6030SBA 能力平台
5．勘探队员为求得一山的高度，在山脚下的正东方向取两点,AB，测得山顶D的仰角分别为30，45，测得400ABm，求此山的高（精确到0.1m）．
6．隔河测算,AB两目标的距离，在岸边取,CD两点，测得3CD公里，45BCD，30ADC，45ADB，求,AB的距离．
7．一渔船在航行中遇险，发出警报，在遇险地的正西南10 n mile有一货轮收到警报并立即侦察，发现遇险渔船正沿南偏东75的方向，以9n mile/h的速度向一小岛靠近，如果要在40min将渔船救出险境，求货船的航行速度和方向．
【小结】
1°应用正弦定理解答应用性问题，应先确定问题所涉及的三角形，并弄清该三角形的未知元和已知元．
2°正、余弦定理在测量方面的应用．
3°选用正、余弦定理求解，很多时候需综合运用这两个定理，须注意应用和运算的正确性．
《相似三角形应用举例》习题
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于( )
A．60m B．40m C．30m D．20m
第1题图 第2题图
2．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米， 那么该古城墙的高度是( )
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
3．身高1.6米的小芳站在一棵树下照了一张照片，小明量得照片上小芳的高度是1.2厘米，树的高度为6厘米，则树的实际高度大约是( )
A．8米 B．4.5米 C．8厘米 D．4.5厘米
4．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为( )
A．5.5m B．6.2m C．11m D．2.2m
5．如图，身高1.6m的小华站在距路灯5m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为2.5m，则路灯的高度AB为( )
A．5m B．4.9m C．4.8m D．4.7m
第4题图 第5题图
1 相似三角形应用举例（1）(课标人教版)
教学设计
海门市教育局教研室 徐强
教学目标：
1、 了解常见的三角形相似模型。
2、 会根据具体情景构建恰当的相似模型，解决不能直接测量的物体的测高、河的测宽等问题，培养学生建模能力。
3、 会用数型结合的方法分析问题，多角度地思考问题，能有条理的表述解题过程。
教学重点、难点：
重点：将实际问题转化为数学问题，有条理的表述解题过程
难点：根据实际情境建立三角形相似模型
教学过程：
一、创设情境引入课题
一天中午小明和他爸爸在公园里散步，在阳光的照射下地面上留下了两人的影子，小明的身高150cm, 影子长120cm，他爸爸的影子长144cm，你能求出他爸爸的身高吗？
学法：教师提出问题，学生动手建模，展示学生成果，学生口答教师板书，共同归纳模型、步骤、注意点。
板书：1、利用“同一时刻物高与影长”构成相似三角形。乙物影长乙物高甲物影长甲物高
2、步骤：实际问题 转化 数学问题 解 数学问题 还原 实际问题
3、注意：几何计算题要先证后算
设计意图：从学生熟悉的现象中提炼数学，容易被学生接受，让学生知道数学就在我们的身边；由于学生熟悉，建模的难度明显降低，从简单的问题入手找出规律，在用规律指导下面的建模；从简单的问题入手总结出解决实际问题的一般步骤，并且教师的板书为下面的应用扫除了表达上的障碍；为解决书本上测金字塔的高做了铺垫。
二、常见的相似三角形模型
（一）测高
1、利用“同一时刻的两个物体的高与影长”构成相似三角形。乙物影长乙物高甲物影长甲物高
例1：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。
如图,如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m,求金字塔的高度BO.
问：怎样测量OA的长？
［教材习题解析］
方法点拔
A
B C D E F G a b
练习（第136页）
1.在△AEF中，∠AFE=180°－35°=145°，
∴∠EAF=180°－(145°+25°)=10°.
由10sinEF=145sinAE，得
AE=10sin145sinEF=10sin145sin12≈39.6.
在Rt△AGE中，
AG=AEsinα=39.6×sin25°≈16.75(m)，
∴AB=AG+GB=16.75+1.5=18.25(m).
2.(1)α=50°，
由sinAP=OPAOAsin，
得sinOPA=APOAsin=12550sin25≈0.1532.
∴∠OPA=8.8°.
∴∠OAP=180°－(50°+8.8°)=121.2°.
又由OAPOPsin=sinAP,
得OP=50sin2.121sin125≈139.6.
∴此时x=150－139.6=10.4(cm).
（2）α=90°,
由勾股定理，得
OP2=AP2－OA2=1252－252=15000,
∴OP≈122.5.
此时x=150－122.5=27.5(cm).
(3)α=135°,
由sinAP=OPAOAsin,
得sinOPA=APOAsin
=125135sin25≈0.1414.
∴∠OPA=8.1°.
∴∠OAP＝180°－135°－8.1°=36.9°.
又由OAPOPsin=sinAP, 烟囱的高为AG与BG两部分的和.解△AEF,求出AE或AF，然后在直角三角形中求AG.
P和Q之间的距离x受A点的运动影响.当A在不同位置时，求x转化为解不同的△AOP，求OP的长.
得OP=135sin9.36sin125≈106.1.
此时x=150－106.1＝43.9(cm).
(4)OA⊥AP,
