高一数学解斜三角形的应用 教案
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1 / 6 某某省某某市高级中学高一数学解斜三角形的应用
课题:解斜三角形的应用
教学设计:
创设数学情境是前提，提出问题是重点，解决问题是核心，应用数学知识是目的。本节教学中,我们充分利用课本的例题创设问题情景，旨在帮助学生学生从实际问题中抽象出数学模型，学会运用正弦定理和余弦定理解斜三角形，指导学生学会探索和归纳数学规律的思想方法和策略，培养学生的数学问题意识，养成从数学的角度发现和提出问题、形成独立思考的习惯，提高学生解决数学问题的能力，增强学生的创新意识和实践能力。
充分利用学生资源，从多方位、多角度着手，让学生参与创造性的数学活动，让应用意识化为信念，伴随着学生的学习与生活，成为终生享用的财富。
例题多解教学是发展学生的主体性，让学生成为解题方法的发现者，教师成为例题多解的策划者，课堂教学过程的控制者，学生解题方法的欣赏者评价者，学生思维发展的梳理升华者。
教学目标:
知识与能力:
（1）使学生掌握利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的方法，学会分析在实际问题中何时运用正弦定理，何时运用余弦定理。
（2）通过在解决实际问题中应用解斜三角形的知识，逐步培养学生发现问题、提出问题和明确探究方向的数学建模能力。
过程与方法:
（1）使学生会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法。
（2）提高学生将实际问题转化为数学问题的能力,了解转化、化归与数形结合的数学思想方法.
情感态度价值观:
发挥学生的主体作用，让学生体验数学思维活动的过程和成功的喜悦，从而形成合作交流的学习气氛，。
教学重点：解斜三角形在实际中的应用，关键是把实际问题转化为解三角形的问题来解决． word
2 / 6 教学难点：数学建模
教学方法和教学手段：
引导分析法，案例教学，以计算机辅助教学，应用软件：几何画板．
教学过程
一．创设问题情景
阅读例题：[例1] 自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（图5—40）。已知车箱的最大仰角为60O，°油泵顶点B与支点A之间的距离为，AB与水平线之间的夹角为6O20’，AC长为，计算BC的长（保留三个有效数字）。
理解题意
引导学生分析：实际问题：求油泵顶杆BC的长度。
解三角形问题：在△ABC中，已知AB=,AC=，
∠BAC=60°+6°20’=66°20’,求BC的长。
基本类型：已知两边夹角，可用余弦定理解之。
建立数学模型
提问：△ABC中，已知什么？要求什么？
抽象出△ABC，可化为：△ABC中，AB=1.95,AC=1.40,A=66O20’，求BC
组织讨论求解
启发思考：可用什么方法求BC。
学生解答和教者讲评：属于已知两边夹角，求第三边
归纳解斜三角形的“基法”，确立“知识支撑点”
电脑投影表格：
解斜三角形
基本类型 一般解法 转化
A
C
图1 word
3 / 6 一边两角 先由内角和定理求第三角，再由正弦定理求另两边
两边夹角 先用余弦定理求第三边，再由正弦定理与内角和定理求角
三边 由余弦定理和内角和定理求角
两边和其中一边的对角 先由正弦定理求另一边的对角，再由内角和定理与正弦定理求其余的边和角
或者由余弦定理和解一元二次方程求边（解的情况可以确定）
（注：先给出基本类型，由学生回答一般解法，再对照投影）
问题2：
自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度。已知车箱的最大仰角为90O，°油泵顶点B与支点A之间的距离为，AB与水平线之间的夹角为6O20’， 油泵顶杆BC与AB的夹角为45°,计算BC的长（请问c点是唯一确定）
在三角形ACD中，∠BDC=15°,,∠BCD=120°, CD=200，（问B点确定吗）
ABCＤＢＡ
当ＡＢ重合时，(A、B、C、D四点在同一平面内)，求Ｃ、Ｄ之间的距离。
ＤＢＡＣ
求ＣＤ的距离
可放在△ACＤ（或△ADB）中求解
求边AC、BC（或AD、BD）
在△ACD中，Ｄ利用正弦定理可求BC。 word
4 / 6 点评：1、以上过程为分析过程，逆向即得解题步骤：分别求边AC、BC 求边AB。
2、将实际问题转化为数学问题求解时，指导学生列出“解题表”。（介绍数学家G•波利亚的解题表思想方法）
展示学生的不同解法
问题3：
自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度。已知车箱的最大仰角为90O，°油泵顶点B与支点A之间的距离为，AB与水平线之间的夹角为6O20’， 油泵顶杆BC与AB的夹角为45°，求油泵顶点Ｃ到ＡＢ的距离．
ＥＢＡＣ
应用训练、转化能力，夯实“知识的强化点”
练1：要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一
水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是α=35°12’和
β=49°28’,CD间的距离是m¸已知测角仪器高，
求烟囱的高（精确到）。
点评：练１，让学生列出“解题表”，试着将实际问题转化解三角形，将解三角形问题对应基本类型的解法上去，重点训练分析、转化的能力。
练2： 如图所示，隔河看到两目标A、B，但不能到达，在岸边选取C、D两点，测得CD=200m，并测得∠ADC=105°,∠BDC=15°,∠ACD=30°,∠BCD=120°,(A、B、C、D四点在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。
引导学生列表分析问题，灵活选用正弦定理和余弦定理： 余弦定理
基本类型：两边夹角 word
5 / 6 ACDB
求AB的距离
小结与思考，寻找“知识的深入点”
解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解（将知识向能力转化，培养数学建模能力和解决问题中的创新精神）。
课后学习，保持“知识的延伸点”
提炼和整理运用解斜三角形的知识解决实际问题的一般方法。
举一反三，变式训练，寻找题目间的相关点：
练习1
若货物与车底部的动摩擦力为0.3。求出车箱的最小倾斜角θ和BC的长。
分析：根据货物克服摩擦力开始下滑时，求出车箱的倾斜角θ。
当sinfmg时开始下滑：cosfNmg
当cossintanmgmg
货物下滑时，tan,0.3
2416arctan
787.10cos2222BACACABACABBC28.3BC（米）
五．教学反思
解斜三角形在生产实践中有着广泛的应用，核心问题是将实际问题转化为解斜三角形的数学问题。 word
6 / 6 本课中，从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第五章5.10解三角形应用举例的例1。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为解三角形应用的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐。
教师关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程。
