解斜三角形应用举例

解斜三角形的应用

【教学目标】

1． 运用三角形内角和定理，正余弦定理等知识解斜三角形。

2． 利用解斜三角形知识解决一些实际问题。

3． 激发学生学习的兴趣，增强用数学的意识。

【教学重点】

1． 数学模型的建立；

2． 实际问题解决中解三角形的应用。

【教学难点】

把实际问题转化为数学问题

【头脑体操】

1． 在ABC中，a=3，b=2，sinB=33，则A=__________

2． 在ABC中，A=60，b=2，32SABC，则Csinc=__________

【例题精讲】

例题1．上海的金茂大厦是改革开放以来的上海超高层标志性建筑。有一位测量爱好者在与金茂大厦底部同一水平线上的B处测得金茂大厦顶部A的仰角为66.15，再向金茂大厦前进500米到C处，测得金茂大厦顶部A的仰角为81.22。他能否算出金茂大厦的高度呢？若能算出，请计算其高度（精确到1米）。

点评：归纳一般步骤

例题2．修建铁路时要在一个山体上开挖一隧道，需要测量隧道口D、E之间的距离，测量人员在山的一侧选取点C，因有障碍物，无法测得CE、CD的距离，现测得CA=482.80米，CB=631.50米，ACB=3.56；又测得A、B两点到隧道口的距离分别是80.13米、40.24米（A、D、E、B在同一直线上）。求隧道DE的长（精确到1米）。

点评：难点是画出示意图

例题3．缉私艇在A处发现在北偏东45方向，距离12海里的海面C处有一艘走私船正以10海里每小时的速度沿东偏南15方向逃窜。若缉私船以14海里每小时的速度沿直线追击，问缉私艇应按什么方向（精确到1），需多长时间才能最快追上该走私船？ 数学问题的解 数学问题 审题，分析，建模

检验 求解 实际问题

实际问题的解

点评：关键是画出示意图，把实际问题转化为数学问题

【课堂小结】（师生共同小结）：略

【跟踪训练】

1、课本P75 1，2，3，4 练习册P27 11，13

1 第二十教时

教材：解斜三角形的应用

目的：要求学生利用数学建模思想，结合正弦定理、余弦定理和解任意三角形的知识解决实践中的有关问题。

过程：一、提出课题：解斜三角形的应用

二、例一 (课本P132 例一) 略

例二[变题] 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为0.3，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为620’，AC长为1.40米，求货物开始下滑时AC的长。

解： 设车箱倾斜角为，货物重量为mg

cosmgNf

当sincosmgmg即tan时货物下滑

tan tan3.0 '42163.0arctan

'0223'206'4216

在△ABC中: BACACABACABBCcos2222

787.10'0223cos40.195.1240.195.122 28.3BC

例三 (课本P133 例二) 略

例四 我舰在敌岛A南50西相距12 nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北10西的方向以10nmile/h的速度航行，问：我舰需要以多大速度，沿什么方向航行才能用功小时追上敌舰？

解：在△ABC中：AB=12 AC=10×2=20 BAC=40+80=120

BACACABACABBCcos2222

784)21(20122201222 BC=28

即追击速度为14mile/h 又：∵△ABC中，由正弦定理：ABCBACsinsin

∴1435sinsinBCAACB ∴1435arcsinB

解三角形必须具备以下三类基础知识：　（１）平面几何的基本知识；　（２）三角方面的基本知识；　（３）正弦定理和余弦定理等相关方面　的知识．　解三角形一般用在解决：　（１）某些几何问题（包含今后要学习　的立体几何）；　（２）物理工程技术问题；　（３）测量问题；　（４）航海问题等．　下面简要地介绍解斜三角形在解决这　些问题中的应用，以便我们对解斜三角形　的应用有一个系统、完整、深刻的认识．　一、几何学方面的应用　解三角形是解其他几何图形的基础，　应用解三角形的方法，还可以解某些几何　的计算题和证明题．但在证明几何问题时　必须注意，应用三角方法一般可以减少由　于添辅助线而引起的困难，但有时却会使　得证明问题过于烦琐，特别是三角方法不　能用来解决所有的几何证明题，而只是在　某些特殊情况下，用它来解决比较方便．　例１在内接四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝　３，　Ｄ：５，ＢＤ＝７，　日ＤＣ＝４５。，求ＢＣ　的长．　解：如图Ｉ，　图１　在△ＡＢＤ中，　＾　３　＋５　一７　１　ＯＯＳ　一　’　又因为０。＜ＬＡ＜１８０。，　所以厶４＝１２０。．　又因为圆内接四边形对角互补，　所以　Ｃ＝６０。．　￣ＡＢＣＤ　ｅｌ，，　＝　ＢＣＳ１　Ｓ１ｎ，　ｎ乙　ＬＤ　，Ｌ　所以ＢＣ：—７Ｘ　／６．　例２已知ＡＡＢＣ的两边ｂ，Ｃ是方　程　一１８ｘ＋６０＝０的两根，　：６０。，　ＡＤ为角平分线，求：　（１）ｓｉｎＢ・ｓｉｎＣ；（２）ＡＤ的长．　解：（１）因为ＢＣｚ＝ｂ　＋Ｃ　一２ｂｃ・　ＣＯＳ　６０。＝（ｂ　＋ｃ　）一ｂｃ：１４４，　所以ＢＣ＝１２．　又因为一Ｓｌｎ　－Ｓｌ鱼ｎ　—Ｓ１ｎ　２ｒ，　Ａ　【Ｊ　所以ｓｉｎ曰‘ｓｉｎＣ＝（　）（寺）＝　．　（２）因为Ｓ　∞＋Ｊｓ　∞＝Ｓ　∞，　ｌｉＪｆＩ．￣ＩＡＤ・６・ｓｉｎ　３０。＋　１　ＡＤ・ｃ・　ｓｉｎ　３０。＝—　６・ｃ・ｓｉｎ　６０。．　所以ＡＤ：．１０Ｘ／３－．　例３如图２，半圆的直径ＡＢ：４，　Ｃ是ＡＢ延长线上一点，ＢＣ＝２，Ｐ是半　图２　解：设ＬＰＯＣ＝Ｏｔ，ＰＯ＝２，ＯＣ＝４，　所以Ｓ△　＝　１・２・４・ｓｉｎ　＝４ｓｉｎ　．　又尸Ｃ　＝２　＋４。一２×２×４ｃｏｓ　０／：２０—　１６ｃ。ｓ　，所以Ｊｓ　＝　：５Ｘ／３—　４、／　ＣＯＳ　．　所以四边形ＣＯＰＱ的面积Ｓ：４ｓｉｎ　Ｏ／一　４　ＣＯＳ　Ｏ／＋５　＝８ｓｉｎ（ＯＬ一６０。）＋　５、／丁．　所以四边形ＯＣＰＱ的面积最大值为　８＋ｓｘ／３，此时Ｏｌ一６０。＝９０。，　＝１５０。，　即ＬＰＯＣ＝１５０ｏ．　二、在物理学方面的应用　在平面向量这一章内容中增加了研究　性课题：向量在物理中的应用．作为既有　大小又有方向的量，可以说向量源于物　理，是从物理学中抽象出来的数学概念．　向量作为一种重要的数学工具除在数学中　有广泛的应用外，在物理学、工程学技术　中也有广泛的应用，如在物理学中关于力　的计算、位置的计算以及工程上曲柄杆装　置等的应用中，同时要用到解三角形的　方法．　例４平面上三个力　，　，　同　时作用于一点而处于平衡状态，已知ＦＩ＝　１　Ｎ，Ｆｚ：一￣６　＋ｘ／Ｕ　Ｎ，Ｆｌ，Ｆ２成４５。　二　角，求　的大小及Ｆ．，Ｆ３的夹角．　解：如图３，在△ＡＯＢ中，　ｘｆＣ　＋ｘ／Ｙ×ｃ。ｓ　１３５。：４＋２Ｘ／３，　所以Ｉ　ｌ＝、／　＋１．　一　（　＿＋１ｎ１：＿（　２）　又ｃ０ｓ　————＿　—————　：　２×（、／３＋１）×１　ｖ３所以口＝３０。．　所以１８０。一口＝１５０。．　所以　的大小为（、／　＋１）Ｎ，Ｆ　，　［２０１１年第１期］基础教育论坛　ＶＶ　

相似三角形的应用举例

相似三角形的应用

目的：利用相似三角形的性质解决实际问题．

中考基础知识

通过证明三角形相似

线段成比例

备考例题指导

例1．如图，P是△ABC的BC边上的一个动点，且四边形ADPE是平行四边形．

（1）求证：△DBP∽△EPC；

（2）当P点在什么位置时，S ADPE= S△ABC，说明理由．

分析：

（1）证明两个三角形相似，常用方法是证明两个角对应相等，题目中有 ADPE 平行线 角相等，命题得证．

（2）设 =x，则 =1-x，

ADPE DP∥AC， EP∥AB，

△BDP∽△BAC △CPE∽△CBA

∴ =（ ）2=（1-x）2， =（ ）2=x2

∴ =x2+（1-x）2．

∵S ADPE= S△ABC，即 = ． ∴x2+（1-x）2= （转化为含x的方程）

x= ，

∴ = ．

即P应为BC之中点．

例2．已知△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2：1，又关于x的方程 x2-2（n-1）x+m2-12=0的两个实数根的差的平方小于192，求m，n为整数时，•一次函数y=mx+n的解析式．

分析：这是一个几何、代数综合题，由条件发现，建立关于m，n的方程或不等式，•求出m，n再写出一次函数．

抓条件：AC2：BC2=2：1做文章（转化到m，n上）．

双直角图形 有相似形 比例式（方程）

∠ACB=90°，CD⊥AB Rt△BCD∽Rt△BAC

BC2=BDBA，同理有AC2=ADAB，

∴ = =m=2n ①