解三角形应用举例
主标题：解三角形应用举例
副标题：为学生详细的分析解三角形应用举例的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角
难度：3
重要程度：5
考点剖析：
能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
命题方向：
1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．
2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度：
(1)测量问题；
(2)行程问题．
规律总结：
1个步骤——解三角形应用题的一般步骤
2种情形——解三角形应用题的两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
2个注意点——解三角形应用题应注意的问题
(1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程．
(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．
知 识 梳 理
1．距离的测量
背景 可测元素 图形 目标及解法
两点均可到达 a，b，α 求AB：AB＝a2＋b2－2abcos α
只有一点可到达 b，α，β 求AB：(1)α＋β＋B＝π；(2)ABsin β＝bsin B
两点都不可到达 a，α，β，γ，θ 求AB：(1)△ACD中，用正弦定理求AC；
(2)△BCD中，用正弦定理求BC；
(3)△ABC中，用余弦定理求AB
2.高度的测量
背景 可测元素 图形 目标及解法
底部可到达 a，α 求AB：AB＝atan_α
底部不可到达 a，α，β 求AB：(1)在△ACD中用正弦定理求AD；(2)AB＝ADsin_β
全等三角形在生活中的应用举例
在全等图形中，全等三角形是最基本，应用最广泛的一类图形，利用全等三角形的有
关知识，不仅可以帮助我们进行决策，还可以帮助我们制作一些仪器，现举例说明这个问题，供同学们学习时参考．
一、仪器我也会做例1如图1是小亮做的一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明其中的道理吗？
分析：由已知条件易得△ABC和△ADC全等，由全等三角形的对应
角相等，可知∠BAC=∠DAC，即AE是角平分线．解：已知AB=AD，BC=DC，
又因为AC是公共边，所以△ABC≌△ADC，所以∠BAC=∠DAC．
所以AE是角平分线．评析：利用三角形全等的知识，常常可以说明两个角相等的问题．
二、巧测内口直径例2小红家有一个小口瓶（如图2所示），她很想知道它的内径是多
少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．
她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一
起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内
径是多少．你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）分析：只要量出AB的长，就知道内径是多少？显然只需要说明AB和CD相等就行
解：连结AB，CD，因为AO=DO，BO=CO，
又因为∠AOB=∠DOC，图1
图2
1 “解直角三角形”集体备课教案
教学目标：
1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
教学重点：
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
教学难点：
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
教学过程：
一、新课引入：
1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．
2、等腰三角形具有什么性质？
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．
二、新课讲解：
1、例1如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°，求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．
分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？
由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，可利用解Rt△ABC的方法求出BC和AB．
学生在把实际问题转化为数学问题后，大部分学生可自行完成．
∴BC=AC·tgA=5×tg26°≈2.44(米)．
答：中柱BC约长2.44米，上弦AB约长5.56米．
例题小结：求出中柱BC的长为2.44米后，我们也可以利用正弦计 2
这个结果与例1中所得的结果相比较，相差0.01米，这两个结果都可认为是正确的，因为cos26°、sin26°都取近似值，相除以后又取近似值，经过两次近似后，出现0.01米的差异，在本例中认为是可以的．
但是在求AB时，我们应尽量应用题目中原有的已知量，也就是选用关系式
如果在引导学生讨论后小结，效果会更好，不仅使学生掌握选何关系式，更重要的是知道为什么选这个关系式，以培养学生分析问题、解决问题的能力及计算能力，形成良好的学习习惯．
2008高考数学复习 解斜三角形及应用举例
高考要求：
掌握正弦定理、余弦定理，能利用这两个定理解斜三角形，进行有关计算.
知识要点：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径
即 RCcBbAa2sinsinsin（其中R表示三角形的外接圆半径）
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）
2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
第一形式，2b=Baccacos222，第二形式，cosB=acbca2222
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
3.三角形的面积：△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则
①ahaS21；②AbcSsin21；
③CBARSsinsinsin22；④RabcS4；
解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”
题型讲解
例1 在ΔABC中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C及边c．
解：由正弦定理得：sinA=23245sin3sinbBa,
因为B=45°<90°且b
所以有两解A=60°或A=120°
(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=22645sin75sin2sinsinBCb,
(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，
c=22645sin15sin2sinsinBCb
思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论．
