北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷含答案

学必求其心得，业必贵于专精

北京市西城区2016— 2017学年度第一学期期末试卷

高二数学(理科) 2017.1

试卷满分：150分 考试时间:120分钟

题号 一 二 三 本卷总分 15 16 17 18 19 20

分数

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1。 双曲线2213xy的一个焦点坐标为（ ）

（A）(2,0) （B）(0,2) （C）(2,0) （D）(0,2)

2。 已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（ ）

（A）12 (B）22 (C)15 (D）55

3. 设,是两个不同的平面,l是一条直线,以下命题正确的是( )

（A）若//，//l,则l （B）若//，l,则 l

（C)若，l，则l （D）若，//l，则 l

4。 设mR，命题“若0m，则方程2xm有实根”的逆否命题是（ ）

（A）若方程2xm有实根，则0m

（B)若方程2xm有实根，则0m (C）若方程2xm没有实根，则0m

(D）若方程2xm没有实根，则0m 学必求其心得，业必贵于专精

5。 已知,表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线，则“” 是“m"

的（ ）

(A)充分不必要条件 (B）必要不充分条件

(C）充要条件 （D)既不充分也不必要条件

6. 已知双曲线的焦点在x轴上,焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线210xy

平行,则双曲线的标准方程为（ )

(A）2214xy （B）2214yx （C）22331205xy （D）22331520xy

7. 已知(3,0)A，(0,4)B,动点(,)Pxy在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ）

(A）5 (B)4 （C）3 （D）2

8. 用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：

① 正方体的截面不可能是直角三角形；

② 正四面体的截面不可能是直角三角形；

③ 正方体的截面可能是直角梯形；

④ 若正四面体的截面是梯形,则一定是等腰梯形.

其中,所有正确结论的序号是（ ） （A）②③ （B）①②④ （C）①③ （D）①④

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上。

9。 命题“xR,使得2250xx”的否定是______________________。

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10. 已知点)1,0(M，)3,2(N. 如果直线MN垂直于直线032yax，那么

a等于_______。 11。 在正方体1111ABCDABCD中,异面直线1,ADBD所成角

的余弦值为_________.

12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的

侧视图的面积为_________.

13. 设O为坐标原点，抛物线24yx的焦点为F,P为抛物

线上一点。 若3PF，则OPF△的面积为_________。

14。 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系,但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程。你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分13分)

如图，四棱锥PABCD的底面是正方形,侧棱PA底面ABCD，E是PA的中点。

（Ⅰ）求证：//PC平面BDE；

(Ⅱ)证明：BDCE.

A

B C D P

E 正（主）视图

俯视图 2 4

2 学必求其心得，业必贵于专精

16．（本小题满分13分）

如图，PA平面ABC，ABBC,22ABPABC，M为PB的中点。

(Ⅰ）求证：AM平面PBC；

（Ⅱ）求二面角APCB的余弦值.

17．（本小题满分13分）

已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为22640xyy。

(Ⅰ）当直线l的斜率为2时，求l与圆C相交所得的弦长；

（Ⅱ）设直线l与圆C交于两点,AB，且A为OB的中点，求直线l的方程。

18．(本小题满分13分）

已知1F为椭圆22143xy的左焦点，过1F的直线l与椭圆交于两点,PQ.

（Ⅰ)若直线l的倾斜角为45，求PQ；

(Ⅱ）设直线l的斜率为k(0)k，点P关于原点的对称点为P，点Q关于x轴的对称点为Q，PQ所在直线的斜率为k。 若2k,求k的值.

A B C

P M 学必求其心得，业必贵于专精

y

1A

1B

2B 2A

O x

19．（本小题满分14分）

如图，四棱锥EABCD中，平面EAD平面ABCD，//DCAB，BCCD,

EAED，且4AB，2BCCDEAED.

(Ⅰ）求证:BD平面ADE；

(Ⅱ)求BE和平面CDE所成角的正弦值;

（Ⅲ)在线段CE上是否存在一点F，使得平面BDF平面CDE，请说明理由。

20．（本小题满分14分）

如图,过原点O引两条直线12,ll与抛物线21:2Wypx和22:4Wypx（其中p为常数,0p）分别交于四个点1122,,,ABAB。

（Ⅰ）求抛物线12,WW准线间的距离；

(Ⅱ）证明：1122//ABAB；

（Ⅲ）若12ll，求梯形1221AABB面积的最小值。

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷

高二数学（理科)参考答案及评分标准2017。1

E

A B C D 学必求其心得，业必贵于专精

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分。

1.C； 2。D； 3。 B ； 4。 D； 5。 B; 6。 A; 7。 C ；

8. D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9。 对任意xR，都有0522xx； 10. 1； 11。

33；

12. 83； 13. 2；

14。 碗底的直径m，碗口的直径n，碗的高度h;2224nmyxh.

注：一题两空的题目,第一空2分，第二空3分。

三、解答题:本大题共6小题，共80分.

15。（本小题满分13分）

解: (Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE,

因为四边形ABCD是正方形,所以O为AC中点.

又因为E是PA的中点，所以//PCOE， ………3分

因为PC平面BDE，OE平面BDE，

所以//PC平面BDE。 ……………6分

(Ⅱ)因为四边形ABCD是正方形,所以BDAC. ……8分

因为PA底面ABCD，且BD平面ABCD，

所以PABD。 ……………10分

又因为ACPAA，所以BD平面PAC， ……………12分

又CE平面PAC，

所以BDCE。 ……………13分

A

B C D P

E

O 学必求其心得，业必贵于专精

16.（本小题满分13分)

解： （Ⅰ)因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC.

因为BCAB，PAABA，

所以BC平面PAB。 ……………2分

所以AMBC。 ……………3分

因为PAAB,M为PB的中点，

所以AMPB. ……………4分

所以AM平面PBC。 ……………5分

(Ⅱ）如图，在平面ABC内，作//AzBC，

则,,APABAZ两两互相垂直，

建立空间直角坐标系Axyz.

则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)APBCM.

(2,0,0)AP，(0,2,1)AC,(1,1,0)AM . ……………8分

设平面APC的法向量为(,,)xyzn，则 0,0,APACnn

即0,20.xyz 令1y,则2z.所以(0,1,2)n。 ……………10分

由(Ⅰ）可知(1,1,0)AM为平面BPC的法向量，

设,AMn的夹角为,

则110cos1052AMAMnn. ……………A B C

P M

x y z