北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末考试高二数学(理科)试卷

北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷

高二数学（理科） 2017.7

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

题号 一 二 三 本卷总分 15 16 17 18 19 20

分数

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 复数2i1i（ ）

（A）1i

（B）1i （C）1i （D）1i

2. 已知函数()exfx，则(1)f（ ）

（A）1e （B）1e （C）e （D）e

3. 甲射击命中目标的概率为12，乙射击命中目标的概率为13. 现在两人同时射击目标，则

目标被击中的概率是（

）

（A）14 （B）13 （C）23 （D）56

4. 已知函数()fx在R上可导，其部分图象如图所示，设(2)(1)21ffa，则下列不等式正确的是（ ）

（A）(1)(2)aff

OO xO yO

1O 2O （B）(1)(2)faf

（C）(2)(1)ffa

（D）(1)(2)ffa

5. 直线yx与抛物线2yx所围成的封闭图形的面积是（ ）

（A）112 （B）18 （C）16 （D）14

6. 用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（ ）

（A）16个 （B）12个 （C）9个 （D）8个

7. 函数()2sinfxxx在区间[0,]上的最大、最小值分别为（ ）

（A）,0 （B）2,02 （C）,14 （D）0,14

8. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（ ）

（A）总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多

（B）总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多

（C）总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个

（D）总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.

9. 曲线1yx在2x处切线的斜率为______.

10. 4)12(xx展开式中的常数项是_______.（用数字作答）

11. 离散型随机变量的分布列为

 1 2 3 p 1p 2p 14

且2E，则1p_________；2p _________.

12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．

13. 若函数32()fxaxaxx在区间(1,0)上恰有一个极值点，则a的取值范围是_____．

14. 已知，对于任意xR，exaxb均成立.

①若ea，则b的最大值为__________；

②在所有符合题意的ba,中，ab的最小值为_________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分13分）

在数列{}na中，11a，121nnanna，其中1,2,3,n.

(Ⅰ) 计算2a，3a，4a，5a的值；

(Ⅱ) 根据计算结果，猜想{}na的通项公式，并用数学归纳法加以证明.

16．（本小题满分13分）

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p，且乙投球2次均未命中的概率为161.

(Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；

(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.

17．（本小题满分13分）

已知函数32()3fxxax.

(Ⅰ) 若1a，求)(xf的极值点和极值；

(Ⅱ) 求)(xf在[0,2]上的最大值.

18．（本小题满分13分）

一个袋中装有黑球，白球和红球共n(*nN)个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52. 现从袋中任意摸出2个球.

(Ⅰ) 用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值.（直接写出n的值）

(Ⅱ) 若15n，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是74，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.

19．（本小题满分14分）

已知函数2()fxaxbx和xxgln)(.

(Ⅰ) 若1ba，求证：()fx的图象在()gx图象的上方；

(Ⅱ) 若()fx和()gx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围.

20．（本小题满分14分） 已知函数()(1)exfxx.

（Ⅰ）求()fx的单调区间；

（Ⅱ）证明：当0a时，方程()fxa在区间(1,)上只有一个解；

（Ⅲ）设()()ln(1)hxfxaxax，其中0a.若()0hx恒成立，求a的取值范围.

北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷

高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. A； 2.D； 3. C ； 4. B ； 5. C； 6. D； 7. C； 8. B .

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 4； 10. 24； 11. ,42； 12. 42；

13. 1(,)5； 14. 0；1e.

注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15.（本小题满分13分）

解： (Ⅰ) 根据已知，24a；99a；416a；525a. …………… 4分

(Ⅱ)猜想2nan. …………… 6分

证明：① 当1n时，由已知11a；

由猜想，2111a，猜想成立. …………… 8分

②假设当kn（k*N）时猜想成立，即2kak， ……………10分

则1kn时， 221)1(1212kkkkakkakk.

所以，当1nk时，猜想也成立. ……………12分

由①和②可知，2nan对任意的*nN都成立. ……………13分

16.（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A，

则11(),()22PAPA. …………… 2分

故甲投球2次至少命中1 次的概率为31()1()()4PAAPAPA. …………5分

(Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件B.

由题意得1()(1)(1)16PBBpp， ……………7分

解得43p或45(舍去)，

所以31(),()44PBPB. ……………8分

甲、乙两人各投球2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次. ……………9分

甲中两次，乙中一次的概率为1211313()()()()2224432PAPACPBPB.…11分

甲中一次，乙中两次的概率为1211339()()()()2224432CPAPAPBPB.…12分

事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为93332328. 所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为38. ……………13分

17.（本小题满分13分）

解：(Ⅰ) 当1a时，32()3fxxx，2()36fxxx. ……………2分

令2()360fxxx，得0x或2x.

()fx与()fx在R上的情况如下：

x (,0) 0 (0,2) 2 (2,)

()fx  0  0 

()fx 0 4

……………4分

所以，函数)(xf的极大值点为0x，极大值为0；极小值点为2x，极小值为4.

……………6分

(Ⅱ) 2()363(2)fxxaxxxa. ……………7分

①当0a时，()0fx（仅当0x时，()0fx），函数)(xf是增函数，

)(xf在[0,2]上的最大值为(2)8128fa. ……………8分

②当0a时，在区间(0,)上()0fx，函数)(xf是增函数.

)(xf在[0,2]上的最大值为(2)812fa.

……………10分

③当0a时，()fx与()fx在区间(0,)上的情况如下：

x 0 (0,2)a 2a (2,)a

()fx 0  0 

()fx 0 (2)fa

……………11分