【精品】2016-2017学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷(理科)
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第1页（共20页）2016-2017学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合要求的.
1．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）
A．B．C．（2，0）D．（0，2）
2．（5分）已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
3．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）
A．若α∥β，l∥α，则l?βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l?βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
4．（5分）设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2
=m有实根”的逆否命题是（）
A．若方程x2
=m有实根，则m≥0 B．若方程x2
=m有实根，则m＜0
C．若方程x2
=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2
=m没有实根，则m＜0
5．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”
是“ｍ⊥β”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与
直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）
A．﹣y2
=1 B．x2
﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
7．（5分）已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，
则xy的最大值为（）
A．B．C．3 D．4
8．（5
分）用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：
第2页（共20页）①正方体的截面不可能是直角三角形；
②正四面体的截面不可能是直角三角形；
③正方体的截面可能是直角梯形；
④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．
其中，所有正确结论的序号是（）
A．②③B．①②④C．①③D．①
④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9．（5分）命题“存在x∈R，使得x2
+2x+5=0”的否定是．
10．（5分）已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣
3=0，那么a等于．
11．（5分）在正方体ABCD﹣A
1B
1C
1D
1中，异面直线AD，BD
1所成角的余弦值
为．
12．（5分）一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的
面积为．
13．（5分）设O为坐标原点，抛物线y2
=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若
|PF|=3，则△OPF的面积为．
14．（5分）学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做
抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把
抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进
一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是
（所有测
第3页（共20页）量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤.
15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E
是PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：BD⊥CE．
16．（13分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
17．（13分）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x2
+y2
﹣6y+4=0．
（Ⅰ）当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；
（Ⅱ）设直线l与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程．
18．（13分）已知F
1为椭圆+=1的左焦点，过F
1的直线l
与椭圆交于两点
第4页（共20页）P，Q．
（Ⅰ）若直线l的倾斜角为45°，求|PQ|；
（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），点P关于原点的对称点为P′，点Q关于x
轴的对称点为Q′，P′Q′所在直线的斜率为k′．若|k′|=2，求k的值．
19．（14分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥
CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．
20．（14分）如图，过原点O引两条直线l
1，l
2与抛物线W
1：y2
=2px和W
2：y2
=4px
（其中P为常数，p＞0）分别交于四个点A
1，B
1，A
2，B
2．
（Ⅰ）求抛物线W
1，W
2准线间的距离；
（Ⅱ）证明：A
1B
1∥A
2B
2；
（Ⅲ）若l
1⊥l
2，求梯形A
1A
2B
2B
1
面积的最小值．
第5页（共20页）2016-2017学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合要求的.
1．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）
A．B．C．（2，0）D．（0，2）
【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论．
【解答】解：由双曲线得a2
=3，b2
=1，
则c2
=a2
+b2
=4，
则c=2，
故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），
故选：C．
【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据a，b，c之间的关系是解决本
题的关键．
2．（5分）已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【分析】由题意可知：2b=2×2c，即b=2c，a2
=b2
+c2
=4c2
+c2
=5c2
，则a=c，椭
圆的离心率e==．
【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：（a＞b＞0），
由2b=2×2c，即b=2c，
a2
=b2
+c2
=4c2
+c2
=5c2
，则a=c，
∴椭圆的离心率e==
，
第6页（共20页）椭圆的离心率，
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的离心率公式，考查计算能力，属于基础题．
3．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）
A．若α∥β，l∥α，则l?βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l?βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【分析】在A中，l?β或l∥β；在B中，由线面垂直的判定定理得l⊥β；在C
中，l与β相交、平行或l?β；在D中，l与β相交、平行或l?β．
【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：
在A中，若α∥β，l∥α，则l?β或l∥β，故A错误；
在B中，若α∥β，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；
在C中，若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l?β，故C错误；
在D中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l?β，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中
线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
4．（5分）设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2
=m有实根”的逆否命题是（）
A．若方程x2
=m有实根，则m≥0 B．若方程x2
=m有实根，则m＜0
C．若方程x2
=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2
=m没有实根，则m＜0
【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．
【解答】解：命题“若m≥0，则方程x2
=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2
=m
没有实根，则m＜0”，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．
5．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”
是“ｍ⊥β”的（
）
第7页（共20页）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，
可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定
能得到m⊥β．
【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，
且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所
以不一定能得到m⊥β，
所以“α⊥β”是“ｍ⊥β”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．
6．（5分）已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与
直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）
A．﹣y2
=1 B．x2
﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，
由双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，c2
=a2
+b2
，即可求得a
和b的值，即可求得双曲线的标准方程．
【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由
2c=2，则c=，
双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，
由c2
=a2
+b2
，解得：a=2，b=1，
∴双曲线的标准方程为：
，
