北京市西城区2015届高三上学期期末考试数学理试题含答案
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北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科） 2015.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合1,0,1{}A，2{|2}Bxxx，则集合AB（ ）
（A）{1,0,1} （B）{1,0} （C）{0,1} （D）{1,1}
3．在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若2ab，3sin4B，则（ ）
（A）3A （B）6A （C）3sin3A （D）2sin3A
4．执行如图所示的程序框图，输出的x值为（ ）
（A）4
（B）5
（C）6
（D）7
2．设命题p：平面向量a和b，||||||abab，则p为（ ）
（A）平面向量a和b，||||||≥abab （B）平面向量a和b，||||||abab
（C）平面向量a和b，||||||abab （D）平面向量a和b，||||||≥abab
a=2，x=3 开始
xya
x=x+1 103yx
输出x
结束 否
是 5．设函数()3cosfxxbx，xR，则“0b”是“函数()fx为奇函数”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
8. 设D为不等式组1,21,21xyxyxy≤≥≤表示的平面区域，点(,)Bab为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点(,)Axy，都有1OAOB≤成立，则ab的最大值等于（ ）
（A）2 （B）1
（C）0 （D）3
6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）
（A）最长棱的棱长为6
（B）最长棱的棱长为3
（C）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形
（D）侧面四个三角形都是直角三角形
7. 已知抛物线2:4Cyx，点(,0)Pm，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得90OQP?o，则实数m的取值范围是（ ）
（A）(4,8) （B）(4,)+?
（C）(0,4) （D）(8,)+? 侧(左)视图 正(主)视图
俯视图 2 2
1 1 1
1
1
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 复数2i12iz，则||z _____．
10．设12,FF为双曲线C：2221(0)16xyaa的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果12||||4PFPF，那么双曲线C的方程为____；离心率为____.
11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么xyz______．
12． 如图，在ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，且2ACAE，那么AFAB____；A _____．
13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）
14. 设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有_____条.
2 x
3
y a 32
12 58 z
E F
C B A
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数()23sincoscos442xxxfx, x∈R的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ） 设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求BAOtan的值.
16．（本小题满分13分）
现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
（1）投资股市：
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概 率 12 18 38
（2）购买基金：
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概 率 p
13 q
（Ⅰ）当14p=时，求q的值；
（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p的取值范围；
（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p=，16q=，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．
A x B
O y
17．（本小题满分14分）
如图，在四棱柱1111DCBAABCD中，AA1底面ABCD，90BAD，BCAD//，且122AAABADBC ，点E在棱AB上，平面1AEC与棱11CD相交于点F.
（Ⅰ）证明：1AF∥平面1BCE；
（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角1AECD的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥11BAEF的体积的最大值.
18．（本小题满分13分）
已知函数2()(0)fxaxbxa和()lngxx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同.
（Ⅰ）若点P的坐标为1(,1)e，求,ab的值；
（Ⅱ）已知ab，求切点P的坐标.
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C：2211612xy的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点(,0)(4)Pmm满足条件||||FAeAP.
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记PMF和PNF的面积分别为1S，2S，求证：12||||SPMSPN.
B C D A B1 C1
E F A1 D1
20．（本小题满分13分）
设函数()(9)fxxx，对于任意给定的m位自然数0121mmnaaaa（其中1a是个位数字，2a是十位数字，），定义变换A：012()()()()mAnfafafa. 并规定(0)0A．记10()nAn，21()nAn，， 1()kknAn，．
（Ⅰ）若02015n，求2015n；
（Ⅱ）当3m时，证明：对于任意的*()mmN位自然数n均有1()10mAn；
（Ⅲ）如果*010(,3)mnmmN，写出mn的所有可能取值.（只需写出结论）
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末
高三数学（理科）参考答案及评分标准
2015.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．C 2．D 3．A 4．C
5．C 6．D 7．B 8．A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．1 10．221416xy 5
11．174 12．12 π3
13．96 14．13
注：第10，12题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为()23sincoscos442xxxfx
3sincos22xx ……………… 2分
=π2sin()26x， ……………… 4分
所以 2π4π12T.
故函数()fx的最小正周期为4π. ……………… 6分
由题意，得πππ2π2π2262xkk≤≤，
解得4π2π4π4π+33kxk≤≤，
所以函数()fx的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33kkkZ. ……………… 9分
（Ⅱ）解：如图过点B作线段BC垂直于x轴于点C.
由题意，得33π4TAC，2BC，
A x O C B y 所以2tan3πBCBAOAC.
………… 13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
所以p+13+q=1. ……………… 2分
又因为14p=，
所以q=512 ． ……………… 3分
（Ⅱ）解：记事件A为 “甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事
件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分
则CABABAB=UU，且A，B独立.
由上表可知， 1()2PA=，()PBp=.
所以()()()()PCPABPABPAB=++ ……………… 5分
111(1)222ppp=?+??
1122p=+. ……………… 6分
因为114()225PCp=+>，
所以35p>. ……………… 7分
又因为113pq++=，0q≥，
所以23p≤.
所以3253p≤<. ……………… 8分
（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），
所以随机变量X的分布列为：
