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高二物理高效课堂资料学案14 简谐运动的描述【课标要求】1.通过实验，认识简谐运动的特征。
2.能用公式和图像描述简谐运动。
【学习目标】1.知道什么是振动的振幅、周期、频率及相位.2.理解周期和频率的关系.3.知道简谐运动的数学表达式，知道其中各物理量的意义． 【学习过程】一、描述简谐运动的物理量 [课前预习]描述简谐运动的物理量 1.振幅（A ）：(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离．振幅的两倍表示的是振动物体运动范围的大小． (2)注意：振幅是标量，只有大小没有方向，振幅的大小表示振子振动的强弱。
2.周期和频率 (1)周期（T ）：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，单位：S(2)频率（f ）：单位时间内（1s ）完成全振动的次数，单位：Hz ，T 和f 的关系为T ＝1f(3)周期和频率由振动系统本身的性质决定，与振幅无关. [课堂探究]如图所示，振子在A 、B 间振动，O 为平衡位置．1.振子从某一时刻经过O 点计时，至下一次再经过O 点的时间为一个周期吗？2.同一弹簧振子，若另一次振子振动中振幅减小，周期也减小吗？[知识深化]1.判断振子运动时间是否为一个周期的方法：(1)如果物体的位移和速度都回到原值(大小、方向两方面)，即物体从同一个方向回到出发点， 则是一次全振动，即振子运动时间是一个周期； (2)看物体通过的路程是否等于振幅的四倍。
2.振幅和位移的区别(1)振幅等于最大位移的数值．(2)对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的． (3)位移是矢量，振幅是标量．[例1]如图所示，弹簧振子在A 、B 间做简谐运动，O 为平衡位置，A 、B 间距离是20cm ，从A 到B 运动时间是2s ，则( )A ．从O→B→O 振子做了一次全振动B ．振动周期为2s ，振幅是10cmC ．从B 开始经过6s ，振子通过的路程是60cmD ．从O 开始经过3s ，振子处在平衡位置[例2]一质点做简谐运动，其位移x 与时间t 的关系图象如图所示，由图可知( ) A ．质点振动的频率是4Hz ，振幅是2cm B ．质点经过1s 通过的路程总是2cm C ．t ＝3s 时，质点的速度最大 D ．t ＝3s 时，质点的振幅为零 小结：1.周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快．2.振子在一个周期内的路程一定为四个振幅，在半个周期内的路程一定为两个振幅.3.振子在14个周期内的路程不一定等于一个振幅。
高二物理简谐振动 振幅、周期、频率 知识精讲 人教版一. 本周教学内容：第九章 第一节 简谐振动 第二节 振幅、周期、频率二. 知识要点：知道什么是简谐运动以与物体做简谐运动回复力特点，理解位移和回复力的概念，理解简谐运动在一次全振动中位移、回复力、加速度和速度的变化情况。
理解弹簧振子概念与实际物体运动抽象为弹簧振子的条件。
理解回复力kx F -=的意义。
知道振幅、周期、频率是描述振动整体特征的物理量，知道它们的物理意义，理解振幅和位移的区别，理解周期和频率的关系，知道什么是固有周期和固有频率。
三. 重点、难点解析： 1. 机械振动：物体〔或物体的一局部〕在某一位置附近做往复运动，叫做机械振动，简称振动。
物体受力满足2条才能做振动①是每当物体离开振动的中心位置就受到回复力作用力；②是运动中其它阻力足够小。
描述振动的名词。
① 平衡位置：物体振动停止时的位置也就是静止平衡的位置。
② 回复力：振动物体离开平衡位置就受到一个指向平衡位置的力，叫回复力。
回复力是力的作用效果命名的。
它可以是一个力，也可以是某个力的分力或者几个力的合力。
只要物体离开平衡位置回复力就不为零，方向指向平衡位置。
③ 振动位移：以平衡位置为原点〔起点〕的位移。
数值为从平衡到振动物体达到的位置的直线距离方向由平衡位置指向物体位置。
④ 一次全振动：物体以一样的速度经某位置，又以一样的速度回到同一位置，叫完成一次全振动。
2. 简谐振动：① 弹簧振子：一轻弹簧连接一质点，质点运动时不受摩擦阻力。
这样的装置叫弹簧振子。
弹簧振子沿水平方向运动过程分析，取水平坐标轴，平衡位置为原点。
弹簧处原长状③ 回复力：kx F -=。
④ 简谐运动的定义：质点在跟偏离平衡位置的位移成正比，并总指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐运动。
⑤ 简谐运动的动力学特征：kx F -=。
⑥ 运动学特征：x mka -=是变加速运动。
⑦ 整体特征与运动学量变化规律：位移、加速度、速度都按周期性变化。
高二物理（人教版）精品讲义—简谐运动课程标准课标解读1.通过对弹簧振子的研究，体会理想模型的建立方法。
2.通过利用数码相机、频闪仪和计算机等现代化工具，探究弹簧振子的位移随时间的变化规律。
3.通过对简谐运动图像的绘制，体会并总结简谐运动的规律。
1.知道什么是弹簧振子，理解弹簧振子是一种理想化的物理模型.2.借助弹簧振子理解一次全振动、平衡位置及简谐运动的位移等概念.3.知道什么是简谐运动，知道简谐运动的振动图像为正弦曲线(或余弦曲线)，知道描述简谐运动的常用物理量及意义.知识点01弹簧振子模型1.如图所示，如果小球与杆之间的摩擦可以不计，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子．2.弹簧振子的位移—时间图像以纵坐标表示振子的位移，横坐标表示时间，描绘出简谐运动的振子的位移随时间变化的图像，称为简谐运动的图像，简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线．【即学即练1】(多选)下列运动属于机械振动的是()A ．说话时声带的运动B ．弹簧振子在竖直方向的上下运动C ．体育课上同学进行25米折返跑D ．竖直向上抛出的物体的运动【答案】AB【解析】机械振动的特点是物体在平衡位置附近做往复运动．知识点02简谐运动1.定义：如果做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数规律，这样的振动叫做简谐运动．2.特点：简谐运动是最简单、最基本的振动．弹簧振子的运动就是简谐运动．【即学即练2】关于简谐运动，下列说法正确的是()A．简谐运动一定是水平方向的运动B．所有的振动都可以看作是简谐运动C．物体做简谐运动时的轨迹线一定是正弦曲线D．只要振动图象是正弦曲线，物体一定做简谐运动【答案】D【解析】物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生，各个方向都有可能发生，A错；简谐运动是最简单的振动，B错；物体做简谐运动时的轨迹线并不一定是正弦曲线，C错；若物体振动的图象是正弦曲线，则其一定做简谐运动，D对．考法01简谐运动的图像1．弹簧振子(1)组成：如图所示，它是由弹簧和小球(振子)组成的，是一个理想模型．(2)理想化要求：小球在杆上能够自由滑动，球与杆间的摩擦可以不计，弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略．(3)平衡位置：小球原来静止时的位置．(4)机械振动：小球在平衡位置附近所做的周期性的往复运动，简称振动．(5)全振动：振动物体往返一次(以后完全重复原来的运动)的运动叫做一次全振动．如图4所示，对于水平方向运动的弹簧振子：A→O→B→O→A，即为一次全振动．(6)位移—时间图像①坐标系的建立：为了研究振子的运动规律，以小球的平衡位置为坐标原点，用横坐标表示振子振动的时间，用纵坐标表示振子相对平衡位置的位移，建立坐标系，如图所示，这就是弹簧振子运动时的位移—时间图像．②物理意义：振动图像表示振子相对平衡位置的位移随振动时间的变化规律．③振动图像：理论和实验表明，弹簧振子振动时，其位移—时间图像是正弦曲线(或余弦曲线)．2．简谐运动如果质点的位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数的规律，即它的振动图像(x －t图像)是一条正弦(或余弦)曲线，这样的振动叫做简谐运动．简谐运动是最简单、最基本的振动．弹簧振子的振动就是简谐运动．【典例1】(多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x－t图象如图乙所示．则下列说法中正确的是()A．t2时刻振子在A点B．t2时刻振子在B点C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小【答案】AC【解析】振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运动到A点有正向最大位移，在B点有负向最大位移，则t2时刻，振子在A点，t4时刻，振子在B点，故选项A正确，B错误；振子的位移是以平衡位置为参考点的，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故选项C正确，D错误．【典例2】(多选)如图所示是表示某弹簧振子运动的x－t图象，下列说法正确的是()A．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动B．t2时刻振子的位移最大C．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动D．该图象是从振子在平衡位置时开始计时画出的【答案】BC【解析】从题图可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图象，D选项错误；t1时刻以后振子的位移为负，因此t1时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，A选项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是振子的位移最大，B选项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，C选项正确．题组A基础过关练一、单选题1．在弹簧振子做简谐运动的过程中，当振子从最大位移处向平衡位置运动时，下列说法中正确的是（）A．加速度逐渐减小，速度也逐渐减小B．是匀加速运动C．加速度与速度的方向都与位移的方向相反D．回复力逐渐增加，速度也逐渐增加【答案】C【解析】做简谐运动的物体，在由最大位移处向平衡位置运动过程中，位移减小，回复力F=-kx也减小（负号表示方向与位移方向相反），故加速度kxam=-也减小（负号表示方向与位移方向相反），速度增大．振子做加速度减小的加速运动．故C正确，ABD错误.2．下列振动中可以看作一个简谐运动的是（）.A．讲话时声带的振动B．音叉的振动C．心脏的跳动D．秋风中树叶的振动【答案】B【解析】当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置，它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。
嗦夺市安培阳光实验学校振动与波说明：本专题高考不考，但它是竞赛范围。
上本专题前请同学们先预习选修3－4课本的第11、12两章。
一、知识网络与概要1.机械振动(1)弹簧振子,简谐运动,简谐运动的振幅、周期和频率,简谐运动的位移—时间图象.(2)单摆,在小振幅条件下单摆做简谐运动,周期公式.(3)振动中的能量转化. (4)自由振动和受迫振动,受迫振动的振动频率,共振及其常见的应用.2.机械波(1)振动在介质中的传播——波,横波和纵波,横波的图象,波长、频率和波速的关系.(2)波的叠加,波的干涉、衍射现象. (3)声波、超声波及其应用. (4)多普勒效应.二、巩固：夯实基础1.机械振动的意义：物体(或物体的一部分)在某一中心位置两侧所做的往复运动，叫机械振动.回复力：使偏离平衡位置的振动物体回到平衡位置的力，叫回复力.回复力总是指向平衡位置，它是根据作用效果命名的，类似于向心力.振动物体所受的回复力可能是物体所受的合外力，也可能是物体所受的某一个力的分力.2.描述振动的物理量(1)位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段表示振动位移，是矢量.(2)振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量.表示振动的强弱.(3)周期T和频率f：物体完成一次全振动所需的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完成全振动的次数.它们是表示振动快慢的物理量.二者互为倒数关系：T=f1.当Ｔ和f是由振动系统本身的性质决定时(非受迫振动)，则叫做固有周期和固有频率.3.简谐运动：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动.(1)受力特征：回复力F=-kx.(2)运动特征：加速度a=-kx/m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置.简谐运动是一种变加速运动.在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大.判断一个振动是否为简谐运动，依据就是看它是否满足上述受力特征或运动特征.(3)振动能量：对于两种典型的简谐运动——单摆和弹簧振子，其振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大.简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒.（4）物体做简谐运动时，其位移、回复力、加速度、速度等矢量都随时间做周期性变化，它们的变化周期就是简谐运动的周期T.物体的动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为21T.4.单摆：（1）周期公式：T=2πgl其中摆长l 指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值.（2）单摆的等时性：在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关（单摆的振动周期跟振子的质量也没有关系）.（3）单摆的应用：A.计时器.（摆钟是靠调整摆长而改变周期，使摆钟与时间同步）B.测重力加速度：g=224Tl. 5.简谐运动的位移—时间图象如图所示为一弹簧振子做简谐运动的图象.它反映了振子的位移随时间变化的规律，而其轨迹并非正弦曲线.6.受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动.做受迫振动的物体，它的周期或频率等于驱动力的周期或频率，而与物体的固有周期或频率无关.7.共振：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大,当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象.8、机械波的产生：的条件有两个：一是要有作为波源的机械振动，二是要有能够传播机械振动的弹性介质。
高中物理竞赛机械振动和机械波知识点讲解知识点击1．简谐运动的描述和基本模型⑴简谐振动的描述：当一质点，或一物体的质心偏离其平衡位置x ，且其所受合力F 满足(0)F kx k =->，故得2ka x x m ω=-=-，k mω= 则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。
⑵简谐运动的能量：一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，即222111222E m kx kA υ=+=∑⑶简谐运动的周期：如果能证明一个物体受的合外力F k x =-∑，那么这个物体一定做简谐运动，而且振动的周期22mT kππω==，式中m 是振动物体的质量。
⑷弹簧振子：恒力对弹簧振子的作用：只要m 和k 都相同，则弹簧振子的振动周期T 就是相同的，这就是说，一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。
多振子系统：如果在一个振动系统中有不止一个振子，那么我们一般要找振动系统的等效质量。
悬点不固定的弹簧振子：如果弹簧振子是有加速度的，那么在研究振子的运动时应加上惯性力．⑸单摆及等效摆：单摆的运动在摆角小于50时可近似地看做是一个简谐运动，振动的周期为2lT gπ=，在一些“异型单摆”中，l g 和的含义及值会发生变化。
（6）同方向、同频率简谐振动的合成：若有两个同方向的简谐振动，它们的圆频率都是ω，振幅分别为A 1和A 2，初相分别为1ϕ和2ϕ，则它们的运动学方程分别为111cos()x A t ωϕ=+ 222cos()x A t ωϕ=+因振动是同方向的，所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移x 仍应在同一直线上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即12x x x =+由旋转矢量法，可求得合振动的运动学方程为cos()x A t ωϕ=+这表明，合振动仍是简谐振动，它的圆频率与分振动的圆频率相同，而其合振幅为221212212cos()A A A A A ϕϕ=++-合振动的初相满足11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+2．机械波：（1）机械波的描述：如果有一列波沿x 方向传播，振源的振动方程为y=Acos ωt ，波的传播速度为υ，那么在离振源x 远处一个质点的振动方程便是cos ()x y A t ωυ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，在此方程中有两个自变量：t 和x ，当t 不变时，这个方程描写某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当x 不变时，这个方程就是波中某一点的振动方程．（2）简谐波的波动方程：简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波叫做平面简谐波。
导读1、 判定简谐振动的定义是说，一个量随着时间变化规律满足0()cos()A t A t ωϕ=+ 如果是由动力学因素引起的，则可以归结为方程：2A A ω=-两边同时乘以A ，然后消去dt ，得到22211()022d A A ω+=也就说，本质上是需要寻找正比于A 平方的势能项和正比于A 平方的动能项。
这也就形成了判定简协振动的两种常见思路：受力分析和能量分析。
要注意的是，受力分析要精确到一阶小量，而能量分析要到第二阶（复习在平衡点的势能展开）。
比较好的运算习惯是在平衡点，设无量纲数作为展开变量。
简谐振动是广泛存在于物理世界中的，乃们好好学习…遇到两个自由度运动的时候，如果猜想其中一个是简谐振动，可以考虑用守恒量消去一个。
如果两个自由度看起来都在振动而且相互有关系，就要考虑是否要换元到独立变量了。
2、 相位计算这个是竞赛为了增加计算量而独有的一坨题目。
特点是包含不止一个运动过程，每次切换过程，需要用速度和位移，以及平衡点的位置，确定下一个过程的振幅的相位。
常见的办法是直接对比运动方程：0()cos()A t A t ωϕ=+；0()sin()A t A tωωϕ=-+或者比较能量方程。
这个计算过程相对来说较长，每个状态结束的时候，振幅、相位、位移、速度之类的一般会作为采分点出现。
例题精讲【例1】 如图，在半径为r 的光滑碗底，有两个质点，质量为均为m ，之间用一根长为r 的轻杆连接。
在平衡点上给一个小扰动，求简谐振动周期。
比较能量和受力两种做法。
第14讲简谐振动的判定和相位计算【例2】如图四根杆铰接，长度比为3：3：1：1。
短杆长度为l，两边吊着质量为m的重物，中间放着原长为22l的弹簧，弹簧下端和短杆一起铰接在地面上，平衡的时候杆和水平角度为45︒。
始终保持左右对称，求微小振动的时候系统的周期。
重力加速度为g。
比较受力分析和能量两种办法。
【例3】在光滑平面上放有一个质量为m的匀质圆环，内径为r。
从圆环的三个三等分点上各连出一根轻质弹簧，原长几乎为0，劲度系数为k，三根弹簧连到一个质量为m的质点上。
①用一个恒力F沿着x方向作用于圆环，若质点与圆环保持相对静止，则m相对圆心位移为多少？②初态圆环和质点保持静止，沿着某根弹簧方向给圆环一个冲量，使得速度为02kv rm=，求之后圆环和质点的运动方程。
xmmy【例4】讲一个密度为水的一半的均匀的，横截面为a b⨯的矩形的长木条浮在水面上。
a)证明上下振动和左右摆动是两个独立的振动。
b)要求木条能稳定的浮在水面上，/a b的取值范围。
【例5】在一个光滑顶角为α的漏斗中，一个小球以速度v在水平面内做圆周运动。
求有微小扰动的时候，小球的轨道有什么样的变化。
【例6】（选讲）质量为M的中心星体周边有一堆密度为ρ的尘埃，求这个体系中半径为R的圆轨道周期，并算出有扰动的时候对应的轨道进动周期。
【例7】如图两个质量为m，直径为l的圆盘之间用一个质量为m，长度为l的套筒固定相连，套筒中方有一个质量为m，长度为3l的木棒。
找两根原长为l，劲度系数为k的弹簧绳套，绕过直径把木棒两端各自套在圆盘上。
（1）让装置下端距离地面h，静止释放木棒与地面发生完全非弹性碰撞，要求圆盘与地面不相碰，求h的最大值。
（2）不考虑重力，把木棒拉开平衡位置一定距离d，求体系振动周期。
29届复赛第一题【例8】（17分）设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好接触。
已知湖水密度为ρ；物块边长为b，密度为'ρ，且'ρρ<。
在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。
由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称x 系. 设物块下底面的坐标为x，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为2b f b x g ρ= (x b ≤) (1)式中g 为重力加速度.物块的重力为3g f b g ρ'= (2) 设物块的加速度为a ，根据牛顿第二定律有3g b b a f f ρ'=- (3) 将(1)和(2)式代入(3)式得g a x b b ρρρρ'⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭(4) 将x 系坐标原点向下移动/b ρρ' 而建立新坐标系，简称X 系. 新旧坐标的关系为X x b ρρ'=-(5) 把(5)式代入(4)式得ga X bρρ=-' (6) (6)式表示物块的运动是简谐振动. 若0X =，则0a =，对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在x 系中的坐标为0x b ρρ'= (7) 物块运动方程在X 系中可写为()()cos X t A t ωϕ=+ (8) 利用参考圆可将其振动速度表示为()()sin V t A t ωωϕ=-+ (9) 式中ω为振动的圆频率'gbρωρ=(10) 在(8)和(9)式中A 和ϕ分别是振幅和初相位，由初始条件决定. 在物块刚被释放时，即0t =时刻有x =0，由(5)式得(0)X b ρρ'=-(11) (0)0V = (12)由(8)至(12)式可求得A b ρρ'=(13) ϕ=π (14)将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得()()cos X t b t ρωρ'=+π (15)()()sin V t gb t ρωρ'=-+π (16) 由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 显然，在x 系中看，物块下底面坐标为b 时，物块刚好被完全浸没；由(5)式知在X 系中这一临界坐标值为b 1X X b ρρ'⎛⎫==- ⎪⎝⎭ （17）即物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下b X 处. 注意到在振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠A ，下面分两种情况讨论：I ．b A X ≤. 由(13)和(17)两式得ρρ'≥2 (18)在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期 22bT gρωρ'π==π(19)物块从初始位置出发往返一次所需的时间I 2bt T gρρ'==π(20) II ．b A X >. 由(13)和(17)两式得2ρρ'< (21)在这种情况下，物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下. 设从初始位置起，经过时间1t 物块刚好全部浸入湖水中，这时()1b X t X =. 由(15)和(17)式得()1cos 1t ρρωρρ''+π=- (22) 取合理值，有1arccos 1b t g ρρπρρ⎡⎤'⎛⎫=--⎢⎥ ⎪'⎝⎭⎣⎦(23) 由上式和(16)式可求得这时物块的速度为21()1-1V t g b ρρρρ'⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭(24)此后，物块在液体内作匀减速运动，以a '表示加速度的大小，由牛顿定律有a g ρρρ'-'='(25)设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为2t ，有()120V t a t '-= (26) 由(24)-(26)得2211()b t g ρρρρρρρ''⎛⎫=-- ⎪''-⎝⎭(27)物块从初始位置出发往返一次所需的时间为2II 1222()2arccos 111()b b t t t g g ρρρρρπρρρρρρ⎡⎤'''⎛⎫⎛⎫=+=--+--⎢⎥ ⎪ ⎪'''-⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (28)评分标准：本题17分.（6）式2分，（10）（15）（16）（17）（18）式各1分，（20）式3分，（21）式1分，（23）式3分，（27）式2分，（28）式1分.24届复赛第一题【例9】 （20分）如图所示，一块长为m L 00.1=的光滑平板PQ 固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地面固定连接。
平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。
平板与弹簧构成的振动系统的振动周期s T 00.2=。
一小球B 放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P 端的正上方，到P 端的距离为m h 80.9=。
平板静止在其平衡位置。
水球B 与平板PQ 的质量相等。
现给小球一水平向右的速度0μ，使它从水平台面抛出。
已知小球B 与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。
要使小球与平板PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰撞，0μ的值应在什么范围内？取2/8.9s m g =如果小球的水平速度比较大，它与平板的第一次碰撞正好发生在平板的边缘Q 处，这时0u 的值便是满足题中条件的最大值；如果小球的水平速度0u 较小，在它与平板发生第一次碰撞后再次接近平板时，刚好从平板的边缘Q 处越过而不与平板接触，这时0u 的值便是满足题中条件的最小值．设小球从台面水平抛出到与平板发生第一次碰撞经历的时间为1t ，有2112h gt =（1） 若碰撞正好发生在Q 处，则有01L u t =（2）从（1）、（2）两式解得的0u 值便是满足题中条件的最大值，即0max 2gu Lh= （3）代入有关数据得0max 0.71m/s u =（4）如果00max u u <，小球与平板的碰撞处将不在Q 点．设小球第一次刚要与平板碰撞时在竖直方向的速度为1v ，则有12gh =v（5）以1'v 、1V '分别表示碰撞结束时刻小球和平板沿竖直方向的速度，由于碰撞时间极短，在碰撞过程中，小球和平板在竖直方向的动量守恒．设小球和平板的质量都是m ，则有111mV ''+mv =mv （6）因为碰撞是弹性的，且平板是光滑的，由能量守恒可得22222101101111122222mV ''+++mv mu =mv mu （7）解（6）、（7）两式，得 10'=v （8）112V gh '==v（9）碰撞后，平板从其平衡位置以1V '为初速度开始作简谐振动．取固定坐标，其原点O 与平板处于平衡位置时板的上表面中点重合，x 轴的方向竖直向下，若以小球和平板发生碰撞的时刻作为0t =，则平板在t 时刻离开平衡位置的位移 ()PQ cos x A t ωϕ=+（10）式中2πTω= （11） A 和ϕ是两个待定的常量，利用参考圆方法，在t 时刻平板振动的速度()PQ sin A t ωωϕ=-+v（12）因0t =时，PQ 0x =．PQ V '=v ，由（9）、（11）、（12）式可求得22ghA T π=（13）π2ϕ=-（14）把（13）、（14）式代入（10）式，得PQ 22ππcos 2π2gh x T t T⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （15）碰撞后，小球开始作平抛运动．如果第一次碰撞后，小球再经过时间2t 与平板发生第二次碰撞且发生在Q 处，则在发生第二次碰撞时，小球的x 座标为()2B 2212x t gt = （16）平板的x 座标为()PQ 2222ππcos 2π2gh x t T t T⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （17）在碰撞时，有()()B 2PQ 2x t x t =（18）由（16）、（17）、（18）式，代入有关数据得222π4.90 4.41cos π2t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（19）这便是2t 满足的方程式，通过数值计算法求解方程可得（参见数值列表）20.771s t =（20）如果第二次碰撞正好发生在平板的边缘Q 处，则有()012L u t t =+（21）由（1）、（20）和（21）式得0120.46m/s Lu t t ==+ （22）而满足题中要求的0u 的最小值应大于（22）式给出的值．综合以上讨论，0u 的取值范围是00.46m/s 0.71m/s u <≤（23）附：（19）式的数值求解用数值解法则要代入2t 不同数值，逐步逼近所求值，列表如下：2t0.730 0.750 0.760 0.765 0.770 0.771 0.772 0.775 0.780 0.790 0.810 2π4.41cos π2PQ x t =-⎛⎫ ⎪⎝⎭3.31 3.12 3.02 2.96 2.91 2.91 2.90 2.86 2.81 2.70 2.48 224.90B x t =2.612.762.832.872.912.912.912.942.983.063.21PQ B x x -0.70 0.36 0.19 0.09 0 0 -0.01 -0.08 -0.17 -0.36 -0.73【例10】 从北极向北纬30度某地之间挖一条直线的光滑轨道。
