常见分布函数的期望和方差

标准正态分布的期望和方差标准正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它在各个领域都有着广泛的应用。

在学习标准正态分布的期望和方差之前，我们先来了解一下标准正态分布的基本概念。

首先，标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。

其概率密度函数为：f(x) = (1/√(2π)) e^(-x^2/2)。

其中，e是自然对数的底，π是圆周率。

标准正态分布的图像呈钟型，中心位于均值处，两侧逐渐减小，呈对称分布。

接下来，我们来讨论标准正态分布的期望和方差。

期望，也称为均值，是对随机变量取值的加权平均，用μ表示。

对于标准正态分布来说，期望为0。

这是因为标准正态分布呈对称分布，其均值位于分布的中心，也就是0处。

方差是衡量随机变量离散程度的指标，用σ^2表示。

标准正态分布的方差为1。

方差的计算公式为：σ^2 = E((X-μ)^2)。

其中，E表示期望，X表示随机变量的取值，μ表示期望。

标准正态分布的期望和方差对于理解和分析数据具有重要意义。

期望可以帮助我们了解数据的集中趋势，而方差则可以帮助我们了解数据的离散程度。

在实际应用中，我们经常需要对数据进行标准化处理，将数据转换为标准正态分布。

这样做的好处是可以消除不同数据之间的量纲影响，方便进行比较和分析。

除了期望和方差之外，标准正态分布还有许多重要的性质和应用。

例如，标准正态分布与正态分布的关系、标准正态分布表的应用等等。

总之，标准正态分布的期望和方差是我们在统计学中需要重点了解和掌握的内容。

通过对期望和方差的深入理解，我们可以更好地应用统计学知识进行数据分析和决策，为各个领域的发展和进步提供有力的支持。

希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。

学辅教育成功就是每天进步一点点！概率分布以及期望和方差上课时间 :上课教师：上课重点 :掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差上课规划：解题技巧和方法一两点分布知识内容⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为X1 0P p q其中 0 p 1 ， q 1 p ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为 1，不合格记为 0 ，已知产品的合格率为 80% ，随机变量 X 为任意抽取一件产品得到的结果，则 X 的分布列满足二点分布．X100.8 0.2P两点分布又称 0 1 分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．（2）典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在 n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．典例分析学辅教育成功就是每天进步一点点！，针尖向上；1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令 X1，如果针尖向上的，针尖向下 .概率为 p ，试写出随机变量X 的概率分布．2、从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白，当取到白球时，球个数”，即X1，求随机变量 X 的概率分布． ，当取到红球时，3、若随机变量 X 的概率分布如下：X1P23 8C9C C试求出 C ，并写出 X 的分布列．3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量0,(当第一次向上一面的点 数不等于第二次向上一 面的点数 )1, (当第一次向上一面的点数等于第二次向上一面的点数 )试写出随机变量 的分布列．4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得 0 分，已知运动员甲投篮命中率的概率为 P ．⑴记投篮1次得分X，求方差D ( X )的最大值；⑵当⑴中 D ( X ) 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y的分布列及Y的期望与方差．二超几何分布知识内容将离散型随机变量X 所有可能的取值x i与该取值对应的概率p i (i 1, 2,, n)列表表示：X x1x2P p1p2⋯⋯x ip i⋯⋯x np n一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取 n 件 ( n ≤ N ) ，这 n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为 m 时的概率为P( X m)C M m C n N m M≤ l ，l为 n 和M中较小的一个 ) ．C n N(0≤ m我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为 N ， M ，n的超几何分布．在超几何分布中，只要知道 N ， M 和n，就可以根据公式求出 X 取不同值时的概率P( X m)，从而列出 X 的分布列．超几何分布的期望和方差：若离散型随机变量 X 服从参数为N，M，n的超几何分布，则 E(X)nM，n(N n)( N M )M．ND(X)2(N 1)N典例分析例题：一盒子内装有 10 个乒乓球，其中 3 个旧的，7 个新的，从中任意取 4 个，则取到新球的个数的期望值是．练习 1. 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的 6 题，规定每次考试都从备选题中随机抽出 5 题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值．练习 2. 以随机方式自 5 男 3 女的小群体中选出 5 人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．练习 3. 在12个同类型的零件中有2 个次品，抽取 3 次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数．求，的期望值及方差．三二项分布知识内容若将事件 A 发生的次数设为X ，事件 A 不发生的概率为q 1 p ，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k 次的概率是P( X k)C kn pk q n k，其中k0 , 1, 2 , n, ．于是得到X的分布列X01⋯k⋯nP C 0n p0q n C1n p1q n 1⋯C n k p k q n k⋯C n n p n q0由于表中的第二行恰好是二项展开式(q p)n C0n p0 q n C1n p1q n 1C k n p k q n k C n n p n q0各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n，p 的二项分布，记作 X ~ B(n , p) ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，则E ( X ) np ， D (x) npq (q1 p) ．二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，则 E( X ) np ，D ( x) npq (q 1 p) ．典例分析二项分布的概率计算1例题：已知随机变量服从二项分布， ~ B(4 ， ) ，则 P(2)等于．练3习 1.甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为2，则甲以 3:1 的比分获胜的3概率为（ ）A ．8B ．64C ．4D ．8278199练习 2.某篮球运动员在三分线投球的命中率是1，他投球 10 次，恰好投2进 3 个球的概率．（用数值表示）练习 3. 某人参加一次考试， 4 道题中解对 3 道则为及格，已知他的解题正确率为 0.4 ，则他能及格的概率为 _________（保留到小数点后两位小数）接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有 5 人接种了该疫苗，至少有 3 人出现发热反应的概率为．（精确到 0.01）例题 :从一批由 9 件正品， 3 件次品组成的产品中，有放回地抽取 5 次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2 位有效数字）．练习 1. 一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000 ，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有 2 台机床需要工人照看的概率是（）A．0.1536B．0.1808C．0.5632D．0.9728练习 2. 设在 4 次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率等于65，求事件A在一次试验中发生的概率．81例题：某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都学辅教育成功就是每天进步一点点！是1．若某人获得两个“支持，”则给予 10万元的创业资助；若只获得一个“支2持”，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴ 该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．练习 1. 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是 0.6 ，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润 200 元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250 元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．练习 2. 某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为1，若中奖，则家具城返还顾客5现金 200 元．某顾客消费了 3400 元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金 200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金 200元的概率．例题：设飞机 A 有两个发动机，飞机 B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p 是t的函数p 1 e t ，其中t为发动机启动后所经历的时间，为正的常数，试讨论飞机 A 与飞机 B 哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．练习 1. 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1 P，且各发动机互不影响．如果至少50% 的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的 P 而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？练习 2. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 ．3⑴设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；⑵设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．二项分布的期望与方差例题 :已知X ~ B(10，0.8)，求E( X )与D(X )．练习 1. 已知X ~ B(n，p)，E ( X )8， D(X ) 1.6 ，则 n 与p的值分别为（）A．10和0.8B．20和0.4C．10和 0.2D．100和 0.8练习 2.已知随机变量 X 服从参数为6，0.4的二项分布，则它的期望E(X )，方差 D(X)．练习 3. 已知随机变量X服从二项分布，且E ( ) 2.4 ，D( ) 1.44 ，则二项分布的参数 n ，p的值分别为，．练习 4. 一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取 4 次，则取到新球的个数的期望值是．例题：甲、乙、丙 3 人投篮，投进的概率分别是1，2，1．352⑴现 3 人各投篮 1 次，求 3 人都没有投进的概率；⑵用表示乙投篮 3 次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望．练习 1. 抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功．⑴ 求一次试验中成功的概率；⑵求在4次试验中成功次数X 的分布列及 X 的数学期望与方差．练习 2. 某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为 4% ．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？四正态分布知识内容概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量 X ，则这条曲线称为 X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a，b 之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．yx=μO x1( x)2正态变量概率密度曲线的函数表达式为f (x) e 22，x R ，其中，2π是参数，且0 ， ．式中的参数 和 分别为正态变量的数学期望和标准差． 期望为 、标准差为 的正态分布通常记作N ( ,2) ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布： 我们把数学期望为0 ，标准差为 1的正态分布叫做标准正态分布．①正态变量在区间( ,)，(2 ,2 )，(3 ,3 )内，取值的概率分别是 68.3% ， 95.4% ， 99.7% ．②正态变量在 (，) 内的取值的概率为 1，在区间 ( 3 ，3 ) 之外的取值的概率是 0.3% ，故正态变量的取值几乎都在距 x三倍标准差之内，这就是正态分布的3 原则．若 ~N(， 2) ， f ( x) 为其概率密度函数，则称 F (x)P( ≤ x)xf (t )dt 为概率分布函数，特别的，，2x1t 2dt 为标准正态分布函数．2~ N (0 1 ) ，称 ( x)e2πP(x) (x) ．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．典例分析（一）正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线）1.下列函数是正态分布密度函数的是（）1 ( x r ) 22 πe A ． f ( x )B ． f ( x )e22π2 πx 221 ( x1) 21 x 2ee2C ． f ( x )4D ． f ( x )22π2π2.若正态分布密度函数 f ( x)1( x 1) 2e 2( x R ) ，下列判断正确的是（）2πA ．有最大值，也有最小值B ．有最大值，但没最小值C ．有最大值，但没最大值D ．无最大值和最小值3.对于标准正态分布 N 0 ，1 1 x 2的概率密度函数2 ，下列说法不正确f xe2 π的是（）A．f x为偶函数B．f x最大值为12πC．f x在x0 时是单调减函数，在x ≤ 0 时是单调增函数D．f x关于x 1对称4.设的概率密度函数为1( x 1) 2e2f ( x)2πA．P(1) P(1)C．f (x)的渐近线是x0，则下列结论错误的是（）B．P( 1≤ ≤1) P(11) D．1~ N(0 ，1)（二)求,的取值以及概率例题：设 X ~ N ( ，2 ) ，且总体密度曲线的函数表达式为：f (x)1x2 2 x 1e4，2πx R ．⑴求，；⑵求 P(| x 1|2) 及 P(1 2 x 1 2 2) 的值．练习 1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 f ( x)1( x 80)2，则下列命题中不正确的是（）200e102A．该市这次考试的数学平均成绩为80 分B．分数在 120 分以上的人数与分数在60 分以下的人数相同C．分数在 110 分以上的人数与分数在50 分以下的人数相同D．该市这次考试的数学标准差为10（三）正态分布的性质及概率计算例题 :设随机变量服从正态分布N (0 ，1) ，a0 ，则下列结论正确的个数是____ ．⑴ P(||a )P(||a)P(| | a)⑵ P(||a )2P(a)1⑶ P(||a )12P(a)⑷ P(||a )1P(||a)练习 1. 已知随机变量 X 服从正态分布 N (3 ，a 2 ) ，则 P( X 3)（）A ．1B ．1C ．1D ．15 432练习 2. 在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N 1， 20 ，若X 在 0，1内取值的概率为 0.4 ，则 X 在 0 ，2 内取值的概率为．练习 3.已知随机变量 X 服从正态分布 N (2 ， 2) ， P( X ≤ 4) 0.84 ，则 P(X ≤ 0)A ． 0.16B ． 0.32C ． 0.68D ． 0.84练习4.已知X~N( 1，2 )，若 P( 3≤ X ≤-1) 0.4，则 P( 3≤ X ≤1) （）A ． 0.4B ． 0.8C ． 0.6D ．无法计算加强训练：1 设随机变量 服从正态分布 N (2 ，9) ，若 P( c 2)P( c 2) ，则 c_______．2 设 ~ N(0 1)，且 P(| | b) a(0 a 1 b 0) ，则 P(b) 的值是_______（用 a 表，，≥示）．3 正态变量 X ~ N (1， 2 ) ， c 为常数， c0 ，若 P(c X2c) P(2c X 3c ) 0.4，求P( X ≤ 0.5) 的值．4 某种零件的尺寸服从正态分布N (0 ，4) ，则不属于区间 ( 4 ，4) 这个尺寸范围的零件约占总数的．（四）正态分布的数学期望及方差例题:如果随机变量~ N( ， 2)，ED1，求 P( 1 1)的值．(五）正态分布的 3 原则例题 :灯泡厂生产的白炽灯寿命（单位： h ），已知 ~ N (1000 ，302 ) ，要使灯泡的平均寿命为1000h 的概率为 99.7% ，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____ 小时以上．练习 1.一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6 小时、标准差为4.4 小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于 40小时的概率是多少？练习 2. 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80 ，标准差为 10，理论上说在 80 分到 90 分的人数是 ______．杂题（拓展相关：概率密度，分布函数及其他）练习 3. 以F x表示标准正态总体在区间, x 内取值的概率，若随机变量服从正态分布N ,2，则概率P等于（）A．F F B．F1F1C．F 1D．2F练习 4.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10 道题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的 8 题．规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才算合格．⑴求甲答对试题数X的分布列、数学期望与方差；⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．课后练习1、一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）2.、同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为，则的数学期望是（）A．20B．25C．30D．403、某服务部门有n个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p ，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（）A．np(1 p)B．np C．n D．p(1 p)4、同时抛掷4枚均匀硬币 80次，设 4 枚硬币正好出现 2枚正面向上， 2 枚反面向上的次数为，则的数学期望是（）A、20B．25C．30D．405、一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出 1个球，得到黑球的概率是2；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白5球的概率是7．9⑴若袋中共有 10 个球，从袋中任意摸出 3 个球，求得到白球的个数的数学期望；⑵求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于7 ．并10指出袋中哪种颜色的球个数最少．5.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5% ，现从一批产品中的任意连续取出 2 件，求次品数的概率分布列及至少有一件次品的概率．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为5和4，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的 4 株65大树中：⑴至少有 1 株成活的概率；⑵两种大树各成活 1 株的概率．6.一个口袋中装有n 个红球（n≥5且n N *）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．⑴试用 n 表示一次摸奖中奖的概率p ；⑵若 n 5 ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n取多少时， P 最大？7.袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球， 从 A 中摸出一个红球的概率是 1，从 B 中摸出一个红球的概率为p ．3⑴从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止．①求恰好摸 5 次停止的概率；②记 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为，求随机变量 的分布．⑵若 A ，B 两个袋子中的球数之比为 1: 2 ，将 A ，B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 2，求 p 的值．58、一个质地不均匀的硬币抛掷 5 次，正面向上恰为 1次的可能性不为 0 ，而且与正面向上恰为2 次的概率相同．令既约分数i为硬币在 5 次抛掷中有 3j次正面向上的概率，求ij ．9、某气象站天气预报的准确率为80% ，计算（结果保留到小数点后面第 2位）⑴5 次预报中恰有2次准确的概率；⑵ 5 次预报中至少有 2 次准确的概率；⑶5 次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；10 、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层可以停靠．若该电梯在底层载有 5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1，求至少有两位乘客在 20 层下的概率．311、10 个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n 次才取得 k(k ≤ n) 次红球的概率．12 、已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮 3 次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）13 、若甲、乙投篮的命中率都是p 0.5，求投篮n次甲胜乙的概率．（ n N，n ≥ 1 ）14、省工商局于某年 3 月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的 x 饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用 6 瓶x饮料，并限定每人喝 2 瓶，求：⑴甲喝 2 瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙 3 人中只有 1 人喝 2 瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）．15、在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号不，正确的记“×”号若．某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于 4 道的概率；⑶至少答对 2 道题的概率．17、某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6 ．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出 3人；⑵双方各出 5 人；⑶双方各出 7 人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利．问：对系队来说，哪一种方案最有利？18、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60% ，参加过计算机培训的有75% ，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．⑴任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选 3 名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布和期望．19、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为 0.6 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布及期望．20、某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（m≤n）个人过生日的天数为 X ，求 X 的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．21、购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有 10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险。

理解概率分布函数常见分布公式详解概率分布函数（Probability Distribution Function，简称PDF）是描述随机变量取值概率分布的函数，常用于统计学和概率论中。

在统计学中，常见的概率分布函数有众多的公式。

本文将详细解释几种常见的概率分布函数公式，包括均匀分布、正态分布、指数分布和泊松分布。

一、均匀分布均匀分布是最简单的概率分布函数之一，它在一个有限区间内的取值是均匀分布的。

均匀分布的概率密度函数公式为：f(x) = 1 / (b - a)，a ≤ x ≤ b其中，a和b分别是区间的上下界。

均匀分布的期望值（均值）为（a + b）/ 2，方差为（b - a）^2 / 12。

二、正态分布正态分布是自然界和社会现象中常见的概率分布函数。

它在统计学中有着重要的地位。

正态分布的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）公式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-((x - μ)^2/(2σ^2)))其中，μ是期望值（均值），σ是标准差。

正态分布的期望值和方差分别为μ和σ^2。

三、指数分布指数分布是描述事件发生的时间间隔的概率分布函数，常用于可靠性工程和排队论中。

指数分布的概率密度函数公式为：f(x) = λ * exp(-λx)，x ≥ 0其中，λ是事件发生率。

指数分布的期望值为1 / λ，方差为1 / λ^2。

四、泊松分布泊松分布是描述单位时间或空间内事件发生次数的概率分布函数，常用于描述稀有事件的发生情况。

泊松分布的概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）公式为：P(X = k) = (λ^k * exp(-λ)) / k!其中，λ是单位时间或空间内事件的平均发生率。

泊松分布的期望值和方差均为λ。

以上是几种常见的概率分布函数公式的详细解释。

这些概率分布函数在不同领域的应用非常广泛，能够描述和解释各种随机现象的概率分布情况。

掌握概率分布的期望与方差概率分布的期望与方差是统计学中重要的概念。

它们用于衡量随机变量的中心位置和离散程度，是概率分布的重要特征参数。

在本文中，我们将详细介绍概率分布的期望和方差的定义、计算方法以及它们的意义和应用。

一、期望的定义与计算方法期望是概率分布的平均值，用于表示随机变量的中心位置。

对于离散型随机变量，期望的定义如下：设X是一个随机变量，其取值集合为{x1, x2, ..., xn}，对应的概率分布为{p1, p2, ..., pn}。

那么X的期望E(X)定义为：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn即随机变量每个取值与其对应的概率乘积的总和。

而对于连续型随机变量，期望的计算方法则需要使用积分。

假设X的概率密度函数为f(x)，那么X的期望E(X)定义为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，积分范围为随机变量的取值区间。

二、方差的定义与计算方法方差是概率分布的离散程度的度量，用于衡量随机变量取值与其期望之间的偏离程度。

对于离散型随机变量，方差的定义如下：设X是一个随机变量，其期望为E(X)，概率分布为{p1, p2, ..., pn}。

那么X的方差Var(X)定义为：Var(X) = (x1 - E(X))^2 * p1 + (x2 - E(X))^2 * p2 + ... + (xn - E(X))^2 * pn即随机变量每个取值与其对应的期望差的平方与其概率乘积的总和。

对于连续型随机变量，方差的计算方法与离散型随机变量类似，需要进行积分。

假设X的概率密度函数为f(x)，期望为E(X)，那么X的方差Var(X)定义为：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx三、期望与方差的意义与应用期望和方差是描述随机变量特征的重要指标，它们具有以下意义和应用：1. 期望是随机变量的中心位置，它表示随机变量平均取值的大小。

通过期望可以了解随机变量的分布特征，为问题的分析和决策提供依据。

罕睹分散的憧憬战圆好之阳早格格创做(0,1)N 2()Yx n t =概率取数理统计沉面纲要1、正态分散的预计：()()()X F x P X x μσ-=≤=Φ.2、随机变量函数的概率稀度：X是遵循某种分散的随机变量，供()Y f X =的概率稀度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =.（拜睹P66～72）3、分散函数(,)(,)xyF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具备以下基赋本量：⑴、是变量x ，y 的非落函数；⑵、0(,)1F x y ≤≤，对付于任性牢固的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 闭于x 左连绝，闭于y 左连绝；⑷、对付于任性的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述没有等式创造：4、一个要害的分散函数：1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率稀度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边沿分散：边沿概率稀度：()(,)()(,)X Y f x f x y dyf y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰边沿分散函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]xX yY F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv+∞-∞-∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=⎰⎰⎰⎰二维正态分散的边沿分散为一维正态分散.6、随机变量的独力性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独力.简称X 取Y 独力.7、二个独力随机变量之战的概率稀度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰其中Z ＝X ＋Y8、二个独力正态随机变量的线性推拢仍遵循正态分散，即22221212(,Z aX bYN a b a b μμσσ=+++).9、憧憬的本量：……（3）、()()()E X Y E X E Y +=+；（4）、若X ，Y 相互独力，则()()()E XY E X E Y =. 10、圆好：22()()(())D X E X E X =-. 若X ，Y 没有相闭，则()()()D X Y D X D Y +=+，可则()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++，()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-11、协圆好：(,)[(())(())]Cov X Y E X E X Y E Y =--，若X ，Y 独力，则(,)0Cov X Y =，此时称：X 取Y 没有相闭. 12、相闭系数：(,)()()XYCov X Y X Y ρσσ==1XY ρ≤，当且仅当X 取Y 存留线性闭系时1XYρ=，且1,b>0;1,b<0XYρ⎧=⎨-⎩　当 当。

正态分布的数学期望与方差正态分布:密度函数为: 分布函数为的分布称为正态分布～记为N(a, σ2). 密度函数为:或者称为n元正态分布。

其中B是n阶正定对称矩阵～a是任意实值行向量。

称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。

,1, 验证是概率函数,正值且积分为1, ,2, 基本性质:,3, 二元正态分布:其中～二元正态分布的边际分布仍是正态分布:二元正态分布的条件分布仍是正态分布:即 ,其均值是x的线性函数,其中r可证明是二元正态分布的相关系数。

,4, 矩～对标准正态随机变量～有,5, 正态分布的特征函数多元正态分布,1, 验证其符合概率函数要求,应用 B为正定矩阵～L为非奇异阵～然后进行向量线性变换,,2, n元正态分布结论a) 其特征函数为:b) 的任一子向量 ,m?n 也服从正态分布～分布为其中～为保留B的第～… 行及列所得的m阶矩阵。

表明:多元正态分布的边际分布还是正态分布c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵～即表明:n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关e) 若～为的子向量～其中是～的协方差矩阵～则是～相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。

则相互独立的充要条件为 ,0f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服从一元正态分布表明:可以通过一元分布来研究多元正态分布g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵～则服从m元正态分布表明:正态变量在线性变换下还是正态变量～这个性质简称正态变量的线性变换不变性推论: 服从n元正态分布N(a,b)～则存在一个正交变化U～使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量～他的数学期望为Ua～而他的方差分量是B的特征值。

条件分布若服从n元正态分布N(a,b)～～则在给定下～的分布还是正态分布～其条件数学期望:(称为关于的回归)其条件方差为:,与无关,•••••••••••••••••• 【唯美句子】走累的时候～我就到升国旗哪里的一角台阶坐下～双手抚膝～再闭眼～让心灵受到阳光的洗涤。

概率论笔记（四）概率分布的下期望和方差的公式总结一：期望引入：1.1离散型随机变量的期望注：其实是在等概率的基础上引申来的，等概率下的权重都是1/N。

1.2连续型随机变量的期望注意:因为连续随机变量的一个点的概率是没有意义的，所以我们需要借用密度函数，如所示，这实际上是一个期望积累的过程。

1.3期望的性质注：其中第三个性质，可以把所有的X+Y的各种情况展开，最后得出的结果就是这样的。

二：随机变量函数（复合随机）的数学期望1.理解注：其实就是复合随机变量的期望，对于离散型，其主要是每个值增加了多少倍/减少了多少倍，但是概率不变，所以公式见上面；对于连续性随机变量，其实是一样的，每个点的概率没有变，所以就是变量本身的值发货所能了改变。

三：方差引入的意义：求每次相对于均值的波动：求波动的平方和：定义：注：其实就是对X-E(X)方，求均值其实就是方差，注意这里的均值也是加权平均，所以方差其实就是一种特殊的期望。

3.1离散型随机变量的方差3.2连续性随机变量的方差3.3方差的性质注：3）4）5）等性质可以套入定义中就可以得到，这里不多说；对于独立以及协方差见后；8）的证明如下四：协方差4.1定义注:与上一个变量相比，之前是一个变量移位平方，但这里是两个变量移位相乘。

4.2离散型二维随机变量的协方差4.3连续型二维随机变量的协方差4.4二维随机变量的协方差性质注：了解即可…4.5协方差矩阵五：相关系数所以：独立必不相关，但不相关不一定独立，因为这里的不相关指的是线性不相关，可能会有其他非线性关系，具体例子找到再补充-------。

参考链接：。

机器学习数学笔记概率论基础常见概型分布期望与⽅差机器学习数学笔记|概率论基础常见概型分布期望与⽅差觉得有⽤的话,欢迎⼀起讨论相互学习~本博客为七⽉在线邹博⽼师机器学习数学课程学习笔记为七⽉在线打call!!概率论对概率的认识,x表⽰⼀个事件,则P(x)表⽰事件发⽣的概率,其中不可能发⽣的事件P(x)=0,⼀定会发⽣的事件P(x)=1.P(x)∈[0,1]但是事件出现的概率是0,并不意味着这个事件不可能发⽣.概率为1也并不意味着事件⼀定发⽣若x为离散/连续变量,则P(x=x0)表⽰X0发⽣的概率/概率分布机器学习中不刻意区别离散/连续变量∑F(x)和∫f(x)意义完全相同公式可以等价看待,前者表⽰离散变量,后者表⽰连续变量累计分布函数:ϕ(x)=P(x<=x0)计算的是x<=x0的概率值的和.因为P(x)∈[0,1],是正数,所以ϕ(x)⼀定是单增函数min(ϕ(x))=0,max(ϕ(x))=1因此可以将值域为[0,1]的单调递增函数y=f(x)看成x事件的累积概率(cumulative distribution function,CDF),若y=f(x)可导,则p(x)= f′(x)为概率密度函数(probabilitydensityfunction,pdf)古典概型如果⼀个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发⽣的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。

遇到古典概型的问题,⾸先计算出所有可能的情况,然后计算出满⾜条件的情况,将两者相除后得到的即为事件的概率.N(N−1)(N−2)(N−3)(N−4)...(N−n+1)=P n NP(A)=P n N N n概率公式贝叶斯概率公式以下内容部分或全部摘⾃百度词条定义--摘⾃百度贝叶斯的统计学中有⼀个基本的⼯具叫贝叶斯公式、也称为贝叶斯法则，尽管它是⼀个数学公式，但其原理⽏需数字也可明了。